[数学]2023_2024学年江苏南京鼓楼区金陵中学高二上学期开学考试数学试卷(原题版+解析版)

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2023~2024学年江苏南京鼓楼区金陵中学高二上学期开学考试数学试卷
1. 已知直线
A. 0
与直线
B.
垂直，则实数 的值是
C. 0或
D.
或
答案
解析
C
由直线垂直可得：
本题正确选项：
，解得：
或
2. 已知圆
A. 1
，则
，则圆M与圆N的公切线条数是（
C. 3
）
B. 2
D. 4
答案
解析
B
圆
，即
表示以
为圆心，半径等于2的圆，圆
，表示以
为圆
心，半径等于1的的圆，
两圆圆心 的距离等于 ，小于两圆半径之和3，大于两圆半径之差的绝对值，故两圆相交，圆M与圆N的公切线条数为2，
因此正确答案为：B.
3. 过点
A.
且与
有相同焦点的椭圆的方程是（
B.
）
C.
D.
答案
解析
B
【分析】
运用焦点相同这个条件得到 相同，结合椭圆经过定点
【详解】
条件，构造方程组求解即可.
由题意得椭圆
的焦点坐标为
，
，
设所求椭圆的标准方程为
由于椭圆经过过点
，
，则可将点代入方程得到， ．
有相同的焦点， 所求椭圆的半焦距
所求椭圆与椭圆
，
，
联立解得
故选：B.
，
，所求椭圆的标准方程为
.
4. 已知 是边长为
A.
的正三角形的边
B.
上的一点，且
到
的距离等于 ，则
C. 1
到
的距离为（
）
D.
答案
解析
C
【分析】
设 到 的距离为 ，根据
即可求解.
【详解】
设 到 的距离为 ，
则
即
，
，解得
.
所以 到
故选：C.
的距离为 .

5. 在正方体
A. 0
中，E是
B.
的中点，则异面直线DE与AC所成角的余弦值是（
C.
）
D.
答案
解析
D
【分析】
根据题意分析可得异面直线DE与AC所成角为
【详解】
（或
的补角），在
中利用余弦定理运算求解.
取
的中点 ，连接
// ，且
分别为
，
因为
又因为
所以
，则
为平行四边形，可得
// ，
//
，
的中点，则
//
，
故异面直线DE与AC所成角为
设正方体的棱长为2，则
（或
的补角），
，
在
中，由余弦定理
，
所以异面直线DE与AC所成角的余弦值是
故选：D.
.
6. 如图，已知圆柱的底面半径为2，与圆柱底面成
角的平面截这个圆柱得到一个椭圆，则该椭圆的焦距为（ ）
A.
B.
C.
D.
答案
解析
D
【分析】
如图所示，设椭圆的长轴为AB，短轴为CD，中心为点 、圆柱的底面中心为O，则
，可得
， b，求出c，然后求
解结果．
【详解】
如图所示，

设椭圆的长轴为AB，短轴为CD，中心为点 ，圆柱的底面中心为O，
则
，
可得
，
，
椭圆的焦距为:
故选：D
7. 已知实数a，b满足
A. 1
，则
的最小值是（
C. 4
）
B. 2
D. 16
答案
A
解析
通过题意可知曲线
表示一个以
为圆心，1为半径的圆，
求
的最小值相当于先求
上一点到直线
的最小值，
的距离d的最小值，
即求圆
所以
即
，
的最小值为1．
因此正确答案为：A．
8. 设椭圆
的左右两个焦点分别为
B.
，右顶点为
为椭圆上一点，且
C.
，则椭圆 的离心率
为（
A.
）
D.
答案
解析
B
【分析】
由题知，
，
，
，作
于N点，则N为
的中点，求得
的值，从而在
和
中，
，代入化简得到离心率满足的关系式，求得离心率.
【详解】
由
知，
，
由题知，
，
，作
于N点，则N为
的中点，

因此
则在
即
，
，
和
中，
，
，化简得
，
即
，解得
，
离心率为正，只能取
故选：B
，
9. 已知
A.
，
，则（
）
B.
C.
D.
答案
解析
AC
【分析】
运用两角差的正弦展开，结合二倍角的余弦解出三个三角函数值，后运用两角差的正切和二倍角正弦可解.
【详解】
，
，
又
，
，
，故A对B错；
得出的两个式子联立
，
，
，
，故C对D错.
故选：AC.
10. 在平面直角坐标系xy中，F ，F 分别为椭圆
的左、右焦点，点A在椭圆上.若△AF F 为直角三角形，则AF 的长度可以为（
）
1
2
1 2
1
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
答案
ABC
解析
利用已知条件判断三角形的直角顶点的位置，转化求解AF1的长，判断选项即可.
【详解】
由椭圆
可知，
焦点坐标为
，通径为
，
因为△AF1F2为直角三角形，
所以A为直角顶点时，A在短轴端点，此时AF 的长为2； 为直角顶点时，A在y轴左侧，此时AF 的长为1;
1
1
为直角顶点时，A在y轴右侧，此时AF1的长为3;
故选：ABC.
11. 如图，
垂直于以
为直径的圆所在的平面，点 是圆周上异于
，
任一点，则下列结论中正确的是
. .
A.
B.
C.
平面
D. 平面
平面
答案
解析
BD
【分析】

由题意结合线面垂直的性质及平面几何知识可得
D；结合线面垂直的判定、性质可判断A、C；即可得解.
【详解】
、
，再由线面垂直的判定、性质可判断B，由面面垂直的判定可判断
因为
垂直于以
为直径的圆所在的平面，所以
，
，
又点 是圆周上异于 ， 任一点，所以
，
对于A，若
，则可得
平面
平面
，则
，由
，与
平面
矛盾，故A错误；
对于B、D，可知
，所以
可得平面
平面
，故B、D正确；
对于C，由
故选：BD.
【点睛】
与
不垂直可得
平面
不成立，故C错误.
本题考查了线面、面面垂直的判定与性质的应用，关键是熟练掌握性质定理和判定定理，属于基础题.
12. 已知P是椭圆C：
A. C的焦距为
上的动点，Q是圆D：
B.
上的动点，则（
）
C. 圆D在C的内部
D.
C的离心率为
|PQ|的最小值为
答案
解析
BC
由椭圆方程知：
，故焦距为
，半径为 ，而
，故A有误；C的离心率
，故B无误；
由圆D的方程知：圆心
C无误；
且椭圆上
的点到D的距离为
，故圆D在C的内部，故
设
，则
，而
，又
，可知
，故
，故D有误.
因此正确答案为：BC
13. 若
，则
的值为
.
答案
解析
【分析】
由
得
，然后根据两角和差的正切公式计算即可.
【详解】
由
，整理得
.
所以
.
故答案为：
.
14. 甲、乙两人在罚球线投球命中的概率分别为
，
，则甲、乙两人在罚球线各投球一次，恰好命中一次的概率
．
答案
解析
/
【分析】
利用题意可知，两人恰好命中一次包括“甲投中乙未投中”和“乙投中甲未投中”两种情况，由互斥事件的加法公式即可求得结果.
【详解】
根据题意可设事件
即
“甲在罚球线投球命中”，
;
“乙在罚球线投球命中”；
则两人各投一次，恰好命中一次的概率
故答案为：
.
2
2
15. 在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x ＋y －4x＝0.若直线y＝k(x＋1)上存在一点P，使过P所作的圆的两条切线相互垂直，则实数k的取值范
围是
．

答案
解析
[－2 ，2
]
通过题意知原命题等价于直线上存在点P使得PC＝2 ，从而(PC)min≤2 ，即圆心C(2，0)到直线y＝k(x＋1)的距离d＝
，解得－2 ≤k≤2 .
≤2
16. 在三棱锥
距离的最大值为
中，
和
都是边长为
的正三角形，
.若 为三棱锥
外接球上的动点，则点 到平面
.
答案
解析
【分析】
设
中点为 ，可证明
，设
和
的外心分别为 和 ，过 和 分别作两个平面的垂线交于点 即为三棱锥
的长， 到平面 的距离 即可求解.
外接球的球心，求出外接球的半径
【详解】
设
中点为 ，
过点 作面
两条垂线的交点 即为三棱锥
的外心为 ，
的垂线，过点 作直线面
外接球的球心，
的正三角形，可得
，所以
，所以
，所以平面
的外心为 ，
的垂线，
因为
又
和
都是边长为
，
，
，所以
，
又因为
因为
，
面
，
平面
平面
，且
所以四边形
是边长为 的正方形，所以外接球半径
，
到平面
的距离
.
，
故答案为：
17. 已知直线 过点
，且与 轴、 轴的正半轴分别交于
两点， 为坐标原点.
(1)当
(2)当
时，求直线 的方程；
的面积为 时，求直线 的方程.
答案
(1)
(2)
；
或
解析
【分析】
（1）设直线 的截距式为
，由题意列出方程组，求出截距即可得解；
（2）利用截距表示出三角形面积，再联立方程求出截距，即可得解.
【详解】
（1）设直线 的方程为
，且
由
，得
，由直线 过点
.
，得
，解得
，
所以直线 的方程为
（2）设直线 的方程为
，且直线 不经过原点，
由题意知，
，
，解得
或
或
，
所以直线 的方程为
.

18. 在
中，角
、
、
所对的边长分别为 、 、 ，
的面积；
，
.．
（1）若
，求
（2）是否存在正整数 ，使得
为钝角三角形?若存在，求出 的值；若不存在，说明理由．
答案
（1）
；（2）存在，且
.
解析
（1）因为
，则
，所以， 为锐角，则
，则
，故
，
，
，
因此，
；
（2）显然
，若
为钝角三角形，则 为钝角，
由余弦定理可得
，
解得
，则
，
由三角形三边关系可得
，可得
，
，故
.
19. 如图，在直三棱柱
中， 为AC中点.
(1)求证：
(2)若
平面
；
，
，且
，求三棱锥
的体积.
答案
解析
(1)证明见解析；
(2) .
【分析】
（1）连接
交
于点 ，借助三角形中位线性质，利用线面平行的判定推理即得.
（2）利用线面平行可得点
【详解】
到平面
的距离相等，再利用等体积法求出体积.
（1）在直三棱柱
中，连接
交
于点 ，连接OD，
的中点，而 为AC中点，
平面
由四边形
则
是平行四边形，得 是
平面 ，
，又
平面
，
所以
.
（2）由
于是点
由
，
平面
的距离相等，
， 是AC的中点，得
平面ABC，
的体积
，
平面
，则
平面
，
到平面
，
，
，
又
，
所以三棱锥
.

20. 已知
（1）求
关于直线
对称，且圆心在 轴上.
的标准方程；
（2）已知动点 在直线
上，过点 引圆 的两条切线
、
，切点分别为
，
.记四边形
的面积为 ，求 的最小值；
答案
解析
（1）
；（2）
.
【分析】
（1）由
关于直线
，而圆心在 轴上，则有
对称，可得圆心
在直线
上，从而有
，可求出
，
的值，进而可求出圆的方程；
（2）根据切线性质及切线长定理，表示出
【详解】
的长，根据圆的性质可知当 最小时，即可求得面积的最小值.
，
（1）由题意知，
圆心
在直线
上，即
，
又因为圆心 在 轴上，所以
，
.
由以上两式得：
所以
，
，
.
故
的标准方程为
（2）如图，
的圆心为
，半径
，
因为
所以
故
、
是 的两条切线，
，
，
又因为
，
根据平面几何知识，要使 最小，只要
最小即可.
.
易知，当点 坐标为
此时
时，
.
【点睛】
此题考查了圆的一般方程与标准方程的应用，圆中三角形面积问题的应用，考查计算能力，属于中档题.
2
2
21. 在平面直角坐标系xy中，已知圆O：x +y =1，点A，B是直线x-y+m=0(m∈R)与圆O的两个公共点，点C在圆O上.
（1）若△ABC为正三角形，求直线AB的方程；
（2）若直线x-y-
=0上存在点P满足
，求实数m取值范围.
答案
（1）
或
（2）
解析
（1）根据圆心 到直线
的距离列方程计算 的值，得出直线
的方程；
（2）求出以
为直径的圆 的方程，令直线 与圆 有公共点列出不等式，解出 的范围．
【详解】
（1）圆 的半径为1，若
是正三角形，则
到
的距离为 ，
，
，
直线
的方程为
或
．
（2） 直线
与圆 有两个公共点，

，即
，
，
的中垂线方程为
，
联立方程组
即 的中点坐标为
可得
，
，
，
以
为直径的圆 的方程为
，
直线
直线
上存在点 满足
，
与圆 有公共点，
，
．
解得
【点睛】
关键点点睛：本题考查直线与圆的位置关系，解题关键是利用圆心到直线的距离判定直线与圆的位置关系．本题中根据条件
的圆 的方程，然后直线 上存在点 满足 ，转化为直线 与圆 有公共点．考查了学生的运算
求解能力，逻辑推理能力．属于中档题．
为直径
22. 在平面直角坐标系
中， 椭圆
：
的左，右顶点分别为
、
，点 是椭圆的右焦点，
，
．
(1)求椭圆 的方程；
(2)不过点 的直线 交椭圆
的坐标．
于
、
两点，记直线 、
、
的斜率分别为 、
、
.若
，证明直线 过定点， 并求出定点
答案
(1)
；
(2)证明见解析，
．
解析
（1）通过题意知，
，
，
，
∵
∴
，
，
，解得
，从而
，
．
∴椭圆 的方程为
.
（2）设直线 的方程为
直线 不过点 ，因此
，
，
，
，
．
由
，得
时，
，
，
，
∴
，
由
，可得
，即
，恒过定点
，
故 的方程为
．