[数学]2023_2024学年山东泰安新泰市新泰市第一中学高二下学期期末模拟数学试卷(原题版+解析版)

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2023~2024学年山东泰安新泰市新泰市第一中学高二下学期期末模拟数学试卷
1. 已知命题p：
，
；命题q：
，
，则（
）
A. p和q都是真命题
B. 和q都是真命题
C. p和 都是真命题
D.
和
都是真命题
答案
解析
B
【分析】
对于两个命题而言，可分别取
【详解】
、
，再结合命题及其否定的真假性相反即可得解.
对于 而言，取
对于 而言，取
，则有
，则有
，故 是假命题， 是真命题，
，故 是真命题， 是假命题，
综上， 和 都是真命题.
故选：B.
2. 已知集合
A.
，则
（
C.
）
B.
D.
答案
解析
A
【分析】
化简集合 ，由交集的概念即可得解.
【详解】
因为
，且注意到
，
从而
.
故选：A.
3. 已知函数
A.
，
，若
，
恒成立，则实数k的取值范围是（
D.
）
，
B.
C.
答案
解析
D
【分析】
利用导数判断单调性，根据单调性求解最值，根据两个函数最值之间的关系即可求解.
【详解】
，
当
时，
，
上的最大值是
，
单调递增，当
．
时，
时，
，
，
单调递减，
单调递增，
所以
在
当
时，
，
上的最小值是
，
单调递减，当
，
所以
若
在
，
恒成立，则
，即
，
所以
，所以实数k的取值范围是
．
故选:D．
4. 设向量
A. “
，则（
）
”是“
”的必要 B. “
”是“
”的必要 C. “
件
”是“
”的充分条 D. “
的充分条件
”是“
”
条件
条件

答案
解析
C
【分析】
根据向量垂直和平行的坐标表示即可得到方程，解出即可.
【详解】
对A，当
所以
时，则
，
，解得
或 ，即必要性不成立，故A错误；
，故 ，
对C，当
所以
时，
，即充分性成立，故C正确；
对B，当
对D，当
故选：C.
时，则
，解得
，即必要性不成立，故B错误；
，所以 不成立，即充分性不立，故D错误.
时，不满足
5. 已知关于 的不等式
的解集为
，则下列结论正确的是（
）
A．
B．
C．不等式
的解集为
D．不等式
的解集为
答案
解析
暂无
略
6. 中国民族五声调式音阶的各音依次为：宫、商、角、徵、羽，如果用这五个音，排成一个没有重复音的五音音列，且商、角不相邻，徵位于羽的左
侧，则可排成的不同音列有（
A. 18种
）
B. 24种
C. 36种
D. 72种
答案
解析
C
【分析】
先排宫、徽、羽三个音节，然后商、角两个音阶插空即可求解.
【详解】
解：先将宫、徽、羽三个音节进行排序，且徽位于羽的左侧，有
再将商、角插入4个空中的2个，有 ，
，
所以共有
种．
故选：C．
7. 已知
A．
，则不等式
B．
的解集为（
C．
）
D．
答案
解析
C
【详解】
判断出
由
为偶函数，且在
上单调递增，将所求不等式利用函数性质转化为
利用单调性解得答案.
为偶函数，又因为
得
所以函数
，
当
时，
，当
时
所以
即
在
上单调递增，则不等
解得:
.
所以不等式
故选:C.
的解集为
.

8. 设
A.
，比较
B.
的大小关系（
b
）
C.
D.
答案
C
解析
【分析】
由
，构造
、
且
，利用导数研究单调性比较大小关系.
【详解】
由
，
令
且
，则
，故
，
所以
递减，则
，则
，
，
令
且
，则
，故
所以
递减，则
.
，则
，
综上，
故选：C
9. 已知
展开式的二项式系数和为
B.
，
，下列选项正确的是
（
A.
）
C.
D.
答案
解析
BD
【分析】
先用题目条件得到
，然后取特殊值即可验证A，对表达式求导即可验证B，换元并使用二项式定理即可验证C，考查每一项系数的
符号并取特殊值即可验证D.
【详解】
由已知有
所以
，故
，
.
.
对于A，取
所以
得
，取
得
，
，A错误；
对于B，对
求导得
中用
，
取
得
，B正确；
对于C，在
得
替换 ，
.
所以
，特别地对
有
有
，C错误；
对于D，由
在
.
中取
得
，
所以
，D正确.
故选：BD.
【点睛】
关键点点睛：本题的关键在于在恒等式中取特殊值，以得到相应的结果.
10. 关于概率统计，下列说法中正确的是（
A．两个变量x，y的线性相关系数为r，若r越大，则x与y之间的线性相关性越强
B．某人解答5个问题，答对题数为X，若 ，则
）
～
C．若一组样本数据
D．已知
（
，2，3，…，n）的样本点都在直线
，则
上，则这组数据的相关系数r为0.56
，若
答案
BD

解析
略
11. 设函数
，则（
B. 当
）
A.
是
的极小值点
时，
C. 当
时，
D. 当
时，
答案
解析
ACD
【分析】
求出函数
判断D.
的导数，得到极值点，即可判断A；利用函数的单调性可判断B；根据函数
在
上的值域即可判断C；直接作差可
【详解】
对A，因为函数
易知当
的定义域为R，而
，
时，
，当
或
时，
函数
在
上单调递增，在
上单调递减，在
，所以
上单调递增，故
，
是函数
的极小值点，正确；
对B，当
时，
而由上可知，函数
在
上单调递增，所以
，而由上可知，函数
，正确；
，错误；
对C，当
所以
时，
在
上单调递减，
，即
对D，当
所以
时，
，正确；
，
故选：ACD.
12. 已知
且
恒成立，实数 的最大值是
．
答案
解析
/
【分析】
将不等式转化，应用基本不等式求出最大值，即可得到答案.
【详解】
由题意，
所以
，
转化为
，
可得
因为
，即
，当且仅当
，
等号成立，
所以实数 的最大值是
故答案为：
.
13. 若曲线
在点
处的切线也是曲线
的切线，则
.
答案
解析
【分析】
先求出曲线
，表示出切线方程，结合两切线方程相同即可求解.
【详解】
在
的切线方程，再设曲线
的切点为
，求出 ，利用公切线斜率相等求出
由
得
，
，
故曲线
由
在
处的切线方程为
，
；
得
设切线与曲线
由两曲线有公切线得
相切的切点为
，解得
，
，则切点为
，

切线方程为
，
根据两切线重合,所以
故答案为：
，解得
.
14. 将杨辉三角中的每一个数
在x使得
都换成分数
，可得到如图所示的分数三角形，成为“莱布尼茨三角形”，从莱布尼茨三角形可以看出，存
，则x的值是
.
答案
解析
略
15. 2023年全国竞走大奖赛，暨世锦赛及亚运会选拔赛3月4日在安徽黄山开赛.重庆队的贺相红以2小时22分55秒的成绩打破男子35公里竞走亚洲纪
录.某田径协会组织开展竞走的步长和步频之间的关系的课题研究，得到相应的试验数据：
步频 （单位：s）
步长 （单位：
0.28
90
0.29
95
0.30
99
0.31
103
0.32
117
）
(1)根据表中数据，得到步频和步长近似为线性相关关系，求出 关于 的回归直线方程，并利用回归方程预测，当步长为
时，步频约是多少？
(2)记
，其中 为观测值， 为预测值， 为对应
.参考公式：
的残差，求（1）中步频为0.30的残差.
参考数据：
，
，
.
答案
解析
(1)
(2)
，
秒
【分析】
（1）根据最小二乘法即可求解，
（2）由残差的计算公式即可求解.
【详解】
（1）依题意可得
，
，
，
，
所以回归直线方程为
，
将
代入得
，解得
，所以当步长为
，
时，步频约是
；
秒.
（2）根据（1）得到
所以步长为0.30残差和为
.
16. 若函数
的定义域、值域都是有限集合
上的有限完整函数.
的最大值；
，
，则定义
为集合A上的有限完整函数.已知
是定义在有限集合
(1)求
(2)当
时，均有
，求满足条件的
的个数.
答案
(1)140
(2)42

解析
【分析】
（1）利用基本不等式求解即可.（2）利用排列组合的知识求解即可.
【详解】
（1）由题意得
当且仅当
即
时取等号，
，
的最大值为140；
（2）由题意知
从集合M中任取5个数，记为
，共有 中取法，然后剩余的两个数全排列，
故共有
个
满足条件；
17. 已知
的展开式的各项系数和为256.
(1)求展开式中的常数项；
(2)设
，证明：
；
(3)求证：
.
答案
解析
(1)
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【分析】
（1）由题意得
，求出 ，再求出二项式展开式的通项公式，令 的次数为0，求出 ，从而可求出展开式中的常数项；
（2）根据阶乘公式化简等式右边即可；
（3）根据（2）的结论，利用裂项相消求和法可证得结论.
【详解】
（1）因为
所以
的展开式的各项系数和为256，
，解得
，
所以
，
展开式的通项公式为
令 ，得
，
，
所以展开式中的常数项为
（2）证明：因为
；
，
所以
；
（3）证明：因为由（2）知
，
所以
18. 某研发团队研发了一款聊天机器人，在对某一类问题进行测试时发现，如果输入的问题没有语法错误，机器人作答正确的概率为0.8；如果出现语
法错误，机器人作答正确的概率为0.3.假设每次输入的问题出现语法错误的概率为0.1，且每次输入问题，机器人的作答是否正确相互独立.该研发团队
成员小王想挑战一下聊天机器人，与机器人各自从给定的10个问题中随机抽取5个作答.已知在这10个给定的问题中，小王恰好能正确作答其中9个问
题.
(1)对抽出的5个问题，求小王能全部答对的概率；

(2)求聊天机器人答对题数 的数学期望；
(3)答对题数较多者判定为获胜，求小王获胜的概率.
答案
解析
(1)
(2)3.75
(3)
【分析】
（1）根据组合知识求出相应的概率；
（2）根据全概率公式得到聊天机器人作答正确的概率，从而得到
（3）计算出机器人获胜和两者平局的概率，从而求出小王获胜的概率.
【详解】
，根据二项分布期望公式求出答案；
（1）小王能全部答对的概率为
；
（2）设每次输入的问题出现语法错误为事件A，则
，
聊天机器人作答正确为事件
则
，
，
故聊天机器人答对题数
数学期望
，
；
（3）由题意可得小王最少答对4道题，
小王能答对5道题的概率为
，答对4道题的概率为
，
由（2）知，聊天机器人答对题数
故机器人能答对5道题的概率为
，
，
机器人能答对4道题的概率为
，
故机器人获胜的情况为机器人能答对5题且小王答对4题，
故机器人获胜的概率为
小王和机器人平局的情况为小王和机器人都答对5道题和都答对4道题，
，
其中都答对5道题的概率为
都答对4道题的概率为
所以小王获胜的概率为
，
，
.
19. 悬链线的原理运用于悬索桥、架空电缆、双曲拱桥、拱坝等工程.通过适当建立坐标系，悬链线可为双曲余弦函数
的图像，定
义双曲正弦函数
.类比三角函数的性质:①平方关系:
，②导数关系:
.
(1)直接写出
(2)证明:当
(3)求
具有的类似①、②的性质（不需要证明）：
时，
;
的最小值.
答案
(1)答案见详解
(2)证明见详解
(3)0
解析
【分析】
（1）类比，写出平方关系，导数关系；
（2）构造函数
，
，求导，结合基本不等式，得到函数单调性，进而得证；
（3）多次求导，结合（2）中结论，先得到
在
内单调递增，再求出
为偶函数，从而得到
在
内单调递减，
求出
.
【详解】
（1）平方关系：
；
导数关系：
；
（2）构造函数
，
，

可知
由
，
，
故
恒成立，故
单调递增，
则
，故对任意
，
恒成立，满足题意；
（3）
令
，
，
，
，
，则
，则
令
当
时，由（2）可知，
，则
，故
，
令
，则
，故
，故
，故
在
内单调递增，
则
在
在
在
内单调递增，
内单调递增，
内单调递增，
则
则
因为
即
，
为偶函数，故
在
内单调递减，
时， 取得最小值0.
则
，故当且仅当
【点睛】
对于求不等式成立时的参数范围问题，一般有三个方法，一是分离参数法, 使不等式一端是含有参数的式子，另一端是一个区间上具
体的函数，通过对具体函数的研究确定含参式子满足的条件；二是讨论分析法，根据参数取值情况分类讨论；三是数形结合法，将不
等式转化为两个函数，通过两个函数图像确定条件.