2025中考数学大复习 第09讲 函数与平面直角坐标系（讲义）（解析版）

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TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc871" 考点一 平面直角坐标系 PAGEREF _Tc871 \h 2
\l "_Tc22405" 题型01 用有序数对表示点的位置 PAGEREF _Tc22405 \h 3
\l "_Tc22617" 考点二 点的坐标特征与变换 PAGEREF _Tc22617 \h 5
\l "_Tc29766" 一、点的坐标特征 PAGEREF _Tc29766 \h 5
\l "_Tc17264" 四、坐标系内点与点之间的距离 PAGEREF _Tc17264 \h 7
\l "_Tc12938" 题型01 判断点所在的象限 PAGEREF _Tc12938 \h 7
\l "_Tc16164" 题型02 由点到坐标轴的距离判断点的坐标 PAGEREF _Tc16164 \h 10
\l "_Tc31889" 题型03 由点在坐标系的位置确定点的坐标 PAGEREF _Tc31889 \h 12
\l "_Tc1997" 题型05 由点在坐标系的位置确定坐标中未知数的值或取值范围 PAGEREF _Tc1997 \h 14
\l "_Tc5118" 题型06 探索点的坐标规律 PAGEREF _Tc5118 \h 18
\l "_Tc15467" 类型一 平移 PAGEREF _Tc15467 \h 18
\l "_Tc6169" 类型二 沿坐标系水平运动的点的规律探查 PAGEREF _Tc6169 \h 20
\l "_Tc4704" 类型三 沿坐标系翻折运动的点的规律探查 PAGEREF _Tc4704 \h 24
\l "_Tc5897" 类型四 图形变换中点的规律探查 PAGEREF _Tc5897 \h 28
\l "_Tc7232" 类型五 新定义问题中点的规律探查 PAGEREF _Tc7232 \h 30
\l "_Tc18937" 考点三 坐标方法的简单应用 PAGEREF _Tc18937 \h 34
\l "_Tc25575" 题型01 实际问题中用坐标表示位置 PAGEREF _Tc25575 \h 35
\l "_Tc23361" 题型02 用方位角和距离确定物体位置 PAGEREF _Tc23361 \h 37
\l "_Tc23154" 题型03 根据方位描述确定物体位置 PAGEREF _Tc23154 \h 40
\l "_Tc20241" 题型04 平面直角坐标系中面积问题 PAGEREF _Tc20241 \h 41
\l "_Tc29904" 类型一 直接利用面积公式求面积 PAGEREF _Tc29904 \h 41
\l "_Tc10796" 类型二 已知三角形面积求点的坐标 PAGEREF _Tc10796 \h 44
\l "_Tc16899" 考点四 函数 PAGEREF _Tc16899 \h 47
\l "_Tc4013" 一、函数的相关概念： PAGEREF _Tc4013 \h 47
\l "_Tc28750" 二、函数的三种表示法及其优缺点 PAGEREF _Tc28750 \h 48
\l "_Tc5631" 题型01 函数的概念辨析 PAGEREF _Tc5631 \h 48
\l "_Tc8412" 题型02 根据实际问题列函数解析式 PAGEREF _Tc8412 \h 50
\l "_Tc9644" 题型03 求自变量的取值范围 PAGEREF _Tc9644 \h 53
\l "_Tc30124" 题型04 求自变量的值或函数值 PAGEREF _Tc30124 \h 54
\l "_Tc25536" 题型05 函数图象的识别 PAGEREF _Tc25536 \h 55
\l "_Tc16953" 题型06 从函数图象中获取信息 PAGEREF _Tc16953 \h 58
\l "_Tc9186" 题型07 用描点法画函数图象 PAGEREF _Tc9186 \h 61
\l "_Tc10611" 题型08 动点问题的函数图象 PAGEREF _Tc10611 \h 67
考点一 平面直角坐标系
有序数对概念：有顺序的两个数a与b组成的数对，叫做有序数对，记作（a ，b）.
1. 有序数对（a，b）与（b，a）顺序不同，含义也不同.
2. 坐标轴上的点不属于任何象限.
3. 坐标平面内点的坐标是有序实数对，当a≠b时，（a，b）和（b，a）是两个不同点的坐标.
4. 坐标平面内的点可以用有序实数对来表示，反过来每一个有序实数对应着坐标平面内的一个点，即坐标平面内的点和有序实数对是一一对应的关系.
题型01 用有序数对表示点的位置
【例1】．（2023·吉林·统考一模）在学习有序数对时，老师和同学们用如图所示的密码表玩听声音猜动物的游戏．当听到“叮叮-叮，叮叮叮-叮叮，叮-叮”时，分别对应的字母是“C，A，T”，表示的动物是猫．当听到“叮叮-叮叮，叮-叮叮叮，叮叮叮-叮”时，表示的动物是（ ）
A．牛B．鱼C．狗D．猪
【答案】C
【分析】根据题意，声音的前一部分表示列数，后一部分表示行数，举出即可求解．
【详解】解：依题意，“叮叮-叮叮，叮-叮叮叮，叮叮叮-叮”，对应的字母分贝为D，O，G，
故选：C．
【点睛】本题考查了用有序实数对表示位置，理解题意是解题的关键．
【变式1-1】（2023·山东临沂·统考中考真题）某小区的圆形花园中间有两条互相垂直的小路，园丁在花园中栽种了8棵桂花，如图所示．若A，B两处桂花的位置关于小路对称，在分别以两条小路为x，y轴的平面直角坐标系内，若点A的坐标为，则点B的坐标为（ ）

A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据关于轴对称的点的特点：纵坐标不变，横坐标互为相反数，进行求解即可．
【详解】解：由题意，得：点B的坐标为；
故选：A．
【点睛】本题考查坐标与轴对称．熟练掌握关于轴对称的点的特点：纵坐标不变，横坐标互为相反数，是解题的关键．
【变式1-2】（2023长阳县一模）如图是济南市地图简图的一部分，图中“济南西站”、“雪野湖”所在区域分别是（ ）
A．E4，E6B．D5，F5C．D6，F6D．D5，F6
【答案】D
【分析】观察已知表格，由行列定位法确定位置即可知道答案．
【详解】解：由行列定位法知，图中“济南西站”、“雪野湖”所在区域分别是：D5，F6故选：D
【点睛】本题考查行列定位法确定位置，熟记相关的知识点是解题的关键．
【变式1-3】（2023·北京海淀·校考一模）小杰与同学去游乐城游玩，他们准备根据游乐城平面示意图安排游玩顺序，如果用8,5表示入口处的位置，6,1表示高空缆车的位置，那么攀岩的位置可以表示为 ， 的位置离入口最近．
【答案】 0,7 天文馆
【分析】先根据入口和高空缆车的位置，确定原点，并建立平面直角坐标系，即可进行解答．
【详解】解：∵8,5表示入口处的位置，6,1表示高空缆车的位置，
∴可建立如图所示平面直角坐标系：
由图可知：攀岩的位置可以表示为0,7，天文馆的位置离入口最近．
故答案为：0,7，天文馆．
【点睛】本题主要考查了根据题意建立平面直角坐标系，解题的关键是根据8,5表示入口处的位置，6,1表示高空缆车的位置，确定原点位置．

在同一平面内，表示物体的位置需要用两个数，而且这两个数顺序不同，表示的位置也不同. 用有序数对表示位置时，必须明确前后两个数表示的实际意义.
考点二 点的坐标特征与变换
一、点的坐标特征
二、点的坐标变化
三、点到坐标轴的距离
在平面直角坐标系中，已知点P(a,b)， 则
1）点P到x轴的距离为b；
2）点P到y轴的距离为a；
3）点P到原点O的距离为P＝ a2+b2.
四、坐标系内点与点之间的距离
点M（x1，y1）与点N（x2，y2）之间的直线距离（线段长度）：MN=（x2−x1)2+(y2−y1)2
若AB∥x轴，则A(xA,y),B(xB,y)的距离为xA−xB；
1）原点既是x轴上的点，又是y 轴上的点.
2）点的横坐标或纵坐标为0，说明点在 y轴上或在x轴上.
3）已知点的坐标可以求出点到x 轴、y轴的距离，应注意取相应坐标的绝对值.
4）点到坐标轴的距离与这个点的坐标是有区别的，表现在两方面：
①到x 轴的距离与纵坐标有关，到y轴的距离与横坐标有关；
②距离都是非负数，而坐标可以是负数.
5）因为横轴向右为正，所以点向右平移时横坐标变大，向左平移时横坐标变小，同理向上平移时纵坐标变大，向下平移纵坐标变小.
若AB∥y轴，则A(x,yA),B(x,yB)的距离为yA−yB；
题型01 判断点所在的象限
【例1】（（2024·四川广元·中考真题）如果单项式与单项式的和仍是一个单项式，则在平面直角坐标系中点在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】D
【分析】本题主要考查同类项和确定点的坐标，根据同类项的性质求出的值，再确定点的位置即可
【详解】解：∵单项式与单项式的和仍是一个单项式，
∴单项式与单项式是同类项，
∴，
解得，，
∴点在第四象限，
故选：D
【变式1-1】（2024·广西·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点P的坐标为，则点Q的坐标为（ ）

A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题主要考查点的坐标，理解点的坐标意义是关键．根据点P的坐标可得出横、纵轴上一格代表一个单位长度，然后观察坐标系即可得出答案．
【详解】解：∵点P的坐标为，
∴点Q的坐标为，
故选：C．
【变式1-2】（2023·湖南怀化·统考中考真题）在平面直角坐标系中，点关于x轴对称的点的坐标是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据关于x轴对称的两个点，横坐标相等，纵坐标互为相反数，即可求解．
【详解】解：点关于x轴对称的点的坐标是，
故选：D．
【点睛】本题考查了关于x轴对称的两个点的坐标特征，熟练掌握关于x轴对称的两个点，横坐标相等，纵坐标互为相反数是解题的关键．
【变式1-3】（2023·浙江·统考中考真题）在平面直角坐标系中，点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】B
【分析】根据点坐标分别判断出横坐标和纵坐标的符号，从而就可以判断改点所在的象限．
【详解】解：，
，，
满足第二象限的条件．
故选：B．
【点睛】本题考查的是平面直角坐标系中点的坐标以及象限知识，解题的关键在于熟练掌握各个象限的横纵坐标点的符号特点．
【变式1-4】（2023遂溪县三模）已知a