新高考数学二轮复习专题培优练习专题10 导数解答题分类练（2份打包，原卷版+解析版）

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1. （2023届河南省开封市通许县高三冲刺卷）已知函数 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)若函数 SKIPIF 1 < 0 的图象与直线 SKIPIF 1 < 0 相切，求实数 SKIPIF 1 < 0 的值；
(2)若函数 SKIPIF 1 < 0 有且只有一个零点，求实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围．
【解析】（1）设直线 SKIPIF 1 < 0 与函数 SKIPIF 1 < 0 的图象相切于点 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ,
所以 SKIPIF 1 < 0 ，由②③可得 SKIPIF 1 < 0 ④，易知 SKIPIF 1 < 0 .
由①得 SKIPIF 1 < 0 ，代入④可得 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 .
故 SKIPIF 1 < 0 .
（2）令 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
由题意可得 SKIPIF 1 < 0 只有一个根.
易知 SKIPIF 1 < 0 不是方程 SKIPIF 1 < 0 的根，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以由 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 .
设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的图象只有一个交点.
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，函数 SKIPIF 1 < 0 单调递增；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，函数 SKIPIF 1 < 0 单调递减；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，函数 SKIPIF 1 < 0 单调递增.
设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，函数 SKIPIF 1 < 0 单调递减；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，函数 SKIPIF 1 < 0 单调递增.
所以 SKIPIF 1 < 0 .
所以 SKIPIF 1 < 0 .
又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
画出函数 SKIPIF 1 < 0 的图象如图所示：

由图可知，若 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的图象只有一个交点，
则 SKIPIF 1 < 0 .
所以实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是 SKIPIF 1 < 0 .
2．（2024届福建省莆田哲理中学高三上学期月考）已知函数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
(1)当 SKIPIF 1 < 0 时，求曲线 SKIPIF 1 < 0 在点 SKIPIF 1 < 0 处的切线方程；
(2)试讨论函数 SKIPIF 1 < 0 的单调性.
【解析】（1）因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，切点为 SKIPIF 1 < 0
又因为 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0
所以曲线 SKIPIF 1 < 0 在点 SKIPIF 1 < 0 处的切线方程是 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 .
（2）因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减；
当 SKIPIF 1 < 0 时，令 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
综上，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增
3．（2024届重庆市第一中学高三上学期开学考）已知函数 SKIPIF 1 < 0 .
(1)设 SKIPIF 1 < 0 ，经过点 SKIPIF 1 < 0 作函数 SKIPIF 1 < 0 图像的切线，求切线的方程；
(2)若函数 SKIPIF 1 < 0 有极大值，无最大值，求实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围.
【解析】（1） SKIPIF 1 < 0 时 SKIPIF 1 < 0 ，
设切点为 SKIPIF 1 < 0 ，则切线斜率为 SKIPIF 1 < 0 ，
切线方程： SKIPIF 1 < 0 ，
将点 SKIPIF 1 < 0 带入得： SKIPIF 1 < 0 ，
此时斜率 SKIPIF 1 < 0 ，所以切线方程为 SKIPIF 1 < 0 .
（2）函数 SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
（1）当 SKIPIF 1 < 0 时 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 单调递增，
注意到 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，注意到 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
故存在 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 ，在 SKIPIF 1 < 0 时 SKIPIF 1 < 0 单调递减，在 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 单调递增，函数 SKIPIF 1 < 0 有极小值，无极大值，不符合题意.
（2）当 SKIPIF 1 < 0 时，令 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 单调递增，在 SKIPIF 1 < 0 单调递减.
当 SKIPIF 1 < 0 时 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 恒成立， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 单调递减，无极值和最值.
若 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，此时存在 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 ，
且在 SKIPIF 1 < 0 有 SKIPIF 1 < 0 单调递减；在 SKIPIF 1 < 0 有 SKIPIF 1 < 0 单调递增，此时 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的极大值.
注意到 SKIPIF 1 < 0 时 SKIPIF 1 < 0 ，要使 SKIPIF 1 < 0 无最大值，则还应满足 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，同时 SKIPIF 1 < 0 ，
带入 SKIPIF 1 < 0 整理得 SKIPIF 1 < 0 .
由于 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 单调递减，故 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
综上实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为 SKIPIF 1 < 0 .
4.（2024届江苏省南通市高三上学期质量监测）已知函数 SKIPIF 1 < 0 的极小值为 SKIPIF 1 < 0 ，其导函数 SKIPIF 1 < 0 的图象经过 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点.
(1)求 SKIPIF 1 < 0 的解析式；
(2)若曲线 SKIPIF 1 < 0 恰有三条过点 SKIPIF 1 < 0 的切线，求实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围.
【解析】（1） SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 的图象经过 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点.
所以当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 单调递增；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 单调递减；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 单调递增.
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 处取得极小值，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
又因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
解方程组 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
（2）设切点为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以切线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
将 SKIPIF 1 < 0 代入上式，得 SKIPIF 1 < 0 .
因为曲线 SKIPIF 1 < 0 恰有三条过点 SKIPIF 1 < 0 的切线，所以方程 SKIPIF 1 < 0 有三个不同实数解.
记 SKIPIF 1 < 0 ，则导函数 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 或1.
列表：
所以 SKIPIF 1 < 0 的极大值为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的极小值为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 .故 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是 SKIPIF 1 < 0 .
5.（2024届上海市华东师范大学第二附属中学高三上学期质量调研）设函数 SKIPIF 1 < 0 的定义域为开区间 SKIPIF 1 < 0 ，若存在 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 处的切线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的图象只有唯一的公共点，则称切线 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的一条“ SKIPIF 1 < 0 切线”.
(1)判断函数 SKIPIF 1 < 0 是否存在“ SKIPIF 1 < 0 切线”，若存在，请写出一条“ SKIPIF 1 < 0 切线”的方程，若不存在，请说明理由；
(2)设 SKIPIF 1 < 0 ，若对任意正实数 SKIPIF 1 < 0 ，函数 SKIPIF 1 < 0 都存在“ SKIPIF 1 < 0 切线”，求实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围；
(3)已知实数 SKIPIF 1 < 0 ，函数 SKIPIF 1 < 0 ，求证：函数 SKIPIF 1 < 0 存在无穷多条“ SKIPIF 1 < 0 切线”，且至少一条“ SKIPIF 1 < 0 切线”的切点的横坐标不超过 SKIPIF 1 < 0 .
【解析】（1）记 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
取 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，切线方程为 SKIPIF 1 < 0 .
与函数 SKIPIF 1 < 0 联立，得 SKIPIF 1 < 0 .
记 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ,
当 SKIPIF 1 < 0 时 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上严格增，在 SKIPIF 1 < 0 上严格减， SKIPIF 1 < 0 ，
故函数 SKIPIF 1 < 0 只有一个零点 SKIPIF 1 < 0 ,故 SKIPIF 1 < 0 是一条“ SKIPIF 1 < 0 切线”:
（2） SKIPIF 1 < 0
设点 SKIPIF 1 < 0 在函数 SKIPIF 1 < 0 的图像上,
点 SKIPIF 1 < 0 处的切线为 SKIPIF 1 < 0 ，与 SKIPIF 1 < 0 联立
得 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 （*）
由题意得直线 SKIPIF 1 < 0 为“ SKIPIF 1 < 0 切线”，故方程（*）在 SKIPIF 1 < 0 上有且仅有一解 SKIPIF 1 < 0
则 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 是方程（*）的唯一解（此时有无数条“ SKIPIF 1 < 0 切线”切点横坐标为 SKIPIF 1 < 0 上的任意值）.
若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （此时只有一条“ SKIPIF 1 < 0 切线”，切点的横坐标为 SKIPIF 1 < 0 ）
或 SKIPIF 1 < 0 （此时有无数条“ SKIPIF 1 < 0 切线”,切点横坐标为 SKIPIF 1 < 0 上的任意值）
综上， SKIPIF 1 < 0 .
（3）证明： SKIPIF 1 < 0 ，将点 SKIPIF 1 < 0 处的切线 SKIPIF 1 < 0 的方程与 SKIPIF 1 < 0 联立得 SKIPIF 1 < 0 ，
记 SKIPIF 1 < 0 ，则直线 SKIPIF 1 < 0 为“ SKIPIF 1 < 0 切线” SKIPIF 1 < 0 函数 SKIPIF 1 < 0 有且仅有一个零点 SKIPIF 1 < 0
（此时，一个 SKIPIF 1 < 0 对应一条“ SKIPIF 1 < 0 切线”），显然 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的零点，
故只要 SKIPIF 1 < 0 没其他零点.
此时 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 恒成立，
此时当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
故此时 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 唯一的极小值点（也是最小值点），而 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 无其他零点，故直线 SKIPIF 1 < 0 为“ SKIPIF 1 < 0 切线”，因 SKIPIF 1 < 0 的任意性，
故函数 SKIPIF 1 < 0 存在无穷多条“ SKIPIF 1 < 0 切线”，有一条 “ SKIPIF 1 < 0 切线”的切点的横坐标为 SKIPIF 1 < 0 .
二、含参函数的单调性问题
6. （2024届山东省泰安市肥城市高三上学期9月月考）已知函数 SKIPIF 1 < 0 .
(1)讨论 SKIPIF 1 < 0 的单调性；
(2)证明：当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 .
【解析】（1）函数 SKIPIF 1 < 0 的定义域是 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 .
当 SKIPIF 1 < 0 时，可知 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增；
当 SKIPIF 1 < 0 时，由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，
可得 SKIPIF 1 < 0 时，有 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 时，有 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增.
综上所述：当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增.
（2）证明：当 SKIPIF 1 < 0 时，要证 SKIPIF 1 < 0 成立，
只需证 SKIPIF 1 < 0 成立，
只需证 SKIPIF 1 < 0 即可.
因为 SKIPIF 1 < 0 ，由（1）知， SKIPIF 1 < 0 .
令 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
可得 SKIPIF 1 < 0 时，有 SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0 时，有 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
可知 SKIPIF 1 < 0 ，则有 SKIPIF 1 < 0 ，所以有 SKIPIF 1 < 0 ，
所以当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 成立.
7.（2024届江西省丰城厚一学校高三上学期9月月考）已知函数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
(1)讨论函数 SKIPIF 1 < 0 的单调性；
(2)证明：当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 .
【解析】（1）函数 SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0 ，
求导得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时，恒有 SKIPIF 1 < 0 ，函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减；
当 SKIPIF 1 < 0 时，由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 单调递减，由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 单调递增；
当 SKIPIF 1 < 0 时，由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 单调递减，由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 单调递增；
所以当 SKIPIF 1 < 0 时，函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增；
当 SKIPIF 1 < 0 时，函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减；
当 SKIPIF 1 < 0 时，函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增.
（2）由（1）知，当 SKIPIF 1 < 0 时，函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，
则当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 取得最大值 SKIPIF 1 < 0 ，
于是当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 成立，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 成立，
即当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 成立，令函数 SKIPIF 1 < 0 ，求导得 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，求导得 SKIPIF 1 < 0 ，
于是函数 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增， SKIPIF 1 < 0 ，
因此函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增， SKIPIF 1 < 0 ，即当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 成立，
所以当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 .
8.（2024届四川省仁寿第一中学校高三上学期9月月考）已知a为实常数，函数 SKIPIF 1 < 0 （其中 SKIPIF 1 < 0 为自然对数的底数）
(1)讨论函数 SKIPIF 1 < 0 的单调性；
(2)设 SKIPIF 1 < 0 ，函数 SKIPIF 1 < 0 有两个零点，求实数a的取值范围．
【解析】（1） SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减；
综上： SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上是单调递增；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减；
（2）由（1）得， SKIPIF 1 < 0 时，函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 递增，不可能有2个零点，
当 SKIPIF 1 < 0 时，函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 递减，在 SKIPIF 1 < 0 递增，
函数 SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 ，∴函数 SKIPIF 1 < 0 只有1个零点，
当 SKIPIF 1 < 0 时，函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 递减，在 SKIPIF 1 < 0 递增，
SKIPIF 1 < 0 为函数 SKIPIF 1 < 0 的最小值，
令 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，故函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 递增，且 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上递减，
SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0
由于 SKIPIF 1 < 0 ，
所以，当 SKIPIF 1 < 0 时，函数 SKIPIF 1 < 0 有2个零点．
9.（2024届江苏省淮安市高三上学期第一次调研测试）已知函数 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)讨论函数 SKIPIF 1 < 0 的单调性；
(2)求证：当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ．
【解析】（1）因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ．
①当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 单调递减；
②当 SKIPIF 1 < 0 时，由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增．
综上，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 单调递减；当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增．
（2）当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
要证明 SKIPIF 1 < 0 ，只要证 SKIPIF 1 < 0 ，即证 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，列表得
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ．
10.（2024届湖南省长沙市长郡中学高三上学期月考）已知函数 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)讨论 SKIPIF 1 < 0 的单调性；
(2)证明：当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ．
【解析】（1）因为 SKIPIF 1 < 0 ，定义域为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ．
当 SKIPIF 1 < 0 时，由于 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 恒成立，此时 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
则当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，有 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，有 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减；
综上所述：当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减．
（2）我们先证明引理： SKIPIF 1 < 0 ，恒有 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ．
引理的证明：
设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
故只需证明 SKIPIF 1 < 0 ，恒有 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
由于 SKIPIF 1 < 0 ，知当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ；当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ；
则 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，恒有 SKIPIF 1 < 0 ．
由于 SKIPIF 1 < 0 ，知当 SKIPIF 1 < 0 ，均有 SKIPIF 1 < 0 ，
所以恒有 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
则 SKIPIF 1 < 0 ．
所以 SKIPIF 1 < 0 ，恒有 SKIPIF 1 < 0 ．
综上，引理得证．回到原题：
由（1）得 SKIPIF 1 < 0 ，
故只需证明：对 SKIPIF 1 < 0 ，恒有 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ．
由引理得 SKIPIF 1 < 0 ．命题得证．
三、函数零点与方程实根个数问题
11. （2024届江西省全南中学高三上学期开学考试）已知函数 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)当 SKIPIF 1 < 0 时，求函数 SKIPIF 1 < 0 的极小值；
(2)若函数 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上有且只有一个零点，求 SKIPIF 1 < 0 的取值范围．
【解析】（1）当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 单调递减；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 单调递增，
所以函数 SKIPIF 1 < 0 的极小值为 SKIPIF 1 < 0 .
（2）解：若 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ；当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
所以函数 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上有且只有一个零点.
若 SKIPIF 1 < 0 时，由 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
①若 SKIPIF 1 < 0 时，此时 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，且 SKIPIF 1 < 0 ，此时函数 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上有且只有一个零点；
②若 SKIPIF 1 < 0 时，可得 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 上单调递增，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，
又由 SKIPIF 1 < 0 ，只需讨论 SKIPIF 1 < 0 的符号，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，函数 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上有且只有一个零点；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，函数 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上无零点.
③若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 上单调递增，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，
又由 SKIPIF 1 < 0 ，
此时函数 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上有且只有一个零点，
综上可得， SKIPIF 1 < 0 ，即实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为 SKIPIF 1 < 0 .
12.（2023届海南省海口市高三下学期学生学科能力诊断）已知函数 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求 SKIPIF 1 < 0 的极值；
(2)若函数 SKIPIF 1 < 0 至少有两个不同的零点，求实数m的最小值.
【解析】（1）由题意得 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，
故 SKIPIF 1 < 0 的极大值为 SKIPIF 1 < 0 ，极小值为 SKIPIF 1 < 0 .
（2）由 SKIPIF 1 < 0 ，即得 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 （舍去），
令 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，
令 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
故 SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，故当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，故存在唯一的 SKIPIF 1 < 0 ，使 SKIPIF 1 < 0 ，
当x变化时， SKIPIF 1 < 0 的变化情况如表：
当 SKIPIF 1 < 0 且无限趋近于0时， SKIPIF 1 < 0 ，
由于 SKIPIF 1 < 0 趋近于负无穷小，故 SKIPIF 1 < 0 趋近于负无穷小，
由于 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，故 SKIPIF 1 < 0 ，
作出 SKIPIF 1 < 0 的大致图像如图：
要使函数 SKIPIF 1 < 0 至少有两个不同的零点，
则直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的图象至少有两个交点，
故需使 SKIPIF 1 < 0 ，即实数m的最小值为3.
13.（2024届北京市陈经纶中学高三上学期9月阶段性诊断）已知函数 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求曲线 SKIPIF 1 < 0 在点 SKIPIF 1 < 0 处的切线方程；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，求实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围；
(3)当 SKIPIF 1 < 0 时，判断 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 零点的个数，并说明理由．
【解析】（1）由 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ，
此时切线斜率为 SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 ；
所以切线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ；
即曲线 SKIPIF 1 < 0 在点 SKIPIF 1 < 0 处的切线方程为 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）根据题意，若 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
即可得 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上恒成立，即 SKIPIF 1 < 0 恒成立；
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ；
显然 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上满足 SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 恒成立，所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上恒成立；
即 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 单调递增，所以 SKIPIF 1 < 0 ；
所以 SKIPIF 1 < 0 即可；
因此实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为 SKIPIF 1 < 0 .
（3）令 SKIPIF 1 < 0 ，即可得 SKIPIF 1 < 0 ；
构造函数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，易知 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上恒成立，
即 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，如下图中实曲线所示：
又函数 SKIPIF 1 < 0 恒过 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，
易知 SKIPIF 1 < 0 ，所以函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 处的切线方程为 SKIPIF 1 < 0 ；
又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 （图中虚线）在 SKIPIF 1 < 0 范围内恒在 SKIPIF 1 < 0 （图中实直线）的上方；
所以由图易知 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 范围内仅有一个交点，
即函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 内仅有一个零点.
14.（2023届河南省部分学校高三押题信息卷）已知函数 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求证：曲线 SKIPIF 1 < 0 仅有一条过原点的切线；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 时，关于 SKIPIF 1 < 0 的方程 SKIPIF 1 < 0 有唯一解，求实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围．
【解析】（1） SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，设切点 SKIPIF 1 < 0 ，
则切线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
当切线过原点时有 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即切点有且只有一个，则曲线 SKIPIF 1 < 0 仅有一条过原点的切线，即得证.
（2）关于 SKIPIF 1 < 0 的方程 SKIPIF 1 < 0 有唯一解，即方程 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 有唯一解，
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 .
因为 SKIPIF 1 < 0 ，故当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，函数 SKIPIF 1 < 0 单调递增，且当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 .
易知 SKIPIF 1 < 0 的图象与直线 SKIPIF 1 < 0 有且仅有一个交点，满足题意，此时 SKIPIF 1 < 0 ；
当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时，设 SKIPIF 1 < 0 有两个根 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 .
①若 SKIPIF 1 < 0 ，则当 SKIPIF 1 < 0 时 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 单调递增；
当 SKIPIF 1 < 0 时 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 单调递减，且当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 .
故要使得 SKIPIF 1 < 0 有唯一解，则 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 恒成立.
此时 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
则极大值 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，故当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 单调递增；当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 单调递减.
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 恒成立，故 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；
同理，极小值 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时无最小值，此时无实数 SKIPIF 1 < 0 使得 SKIPIF 1 < 0 恒成立.
②若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，不满足 SKIPIF 1 < 0 ；
③若 SKIPIF 1 < 0 ，由①可得 SKIPIF 1 < 0 ；
故当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 .
综上所述：
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ；当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 .
四、不等式恒成立问题
15. （2023届河南省信阳高级中学高三下学期3月测试）已知函数 SKIPIF 1 < 0 .
(1) SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的导函数，求 SKIPIF 1 < 0 的最小值；
(2)证明：对任意正整数 SKIPIF 1 < 0 ，都有 SKIPIF 1 < 0 （其中 SKIPIF 1 < 0 为自然对数的底数）；
(3)若 SKIPIF 1 < 0 恒成立，求实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围.
【解析】（1）依题意， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上 SKIPIF 1 < 0 单调递减；
在区间 SKIPIF 1 < 0 上 SKIPIF 1 < 0 单调递增，
所以当 SKIPIF 1 < 0 时 SKIPIF 1 < 0 取得最小值为 SKIPIF 1 < 0 .
（2）要证明：对任意正整数 SKIPIF 1 < 0 ，都有 SKIPIF 1 < 0 ，
即证明 SKIPIF 1 < 0 ，
即证明 SKIPIF 1 < 0 ，
由（1）得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0
令 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
所以对任意正整数 SKIPIF 1 < 0 ，都有 SKIPIF 1 < 0 .
（3）若不等式 SKIPIF 1 < 0 恒成立，此时 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 恒成立，
令 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时等号成立，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时等号成立，所以 SKIPIF 1 < 0 .
16.（2024届河北省保定市唐县第一中学高三上学期9月月考）已知函数 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ）．
(1)若 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上恒成立，求a的取值范围：
(2)设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为函数 SKIPIF 1 < 0 的两个零点，证明： SKIPIF 1 < 0 ．
【解析】（1）若 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上恒成立，即 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即a的取值范围是 SKIPIF 1 < 0 ．
（2）令 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
又 SKIPIF 1 < 0 ，所以当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增．
不妨设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ．
设函数 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ），则 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上恒成立，
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ．
又函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ．
17.（2024届上海市育才中学高三上学期第一次调研检测）已知函数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的导数．
(1)求曲线 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 处的切线方程；
(2)证明： SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 存在唯一零点；
(3)若 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，求a的取值范围．
【解析】（1） SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以曲线 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 处的切线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）令 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
又 SKIPIF 1 < 0 ，所以函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上没有零点，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，
又 SKIPIF 1 < 0 ，所以函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上有且只有一个零点，
综上所述，函数 SKIPIF 1 < 0 在在区间 SKIPIF 1 < 0 存在唯一零点，
即 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 存在唯一零点；
（3）若 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
由（2）知， SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上只有一个零点，设为 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
所以函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，
又 SKIPIF 1 < 0 ，
所以当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
又当 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
所以a的取值范围为 SKIPIF 1 < 0 ．
18.（2023届陕西省咸阳市武功县高三上学期11月期中）已知函数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
(1)若 SKIPIF 1 < 0 ，求函数 SKIPIF 1 < 0 的单调区间；
(2)若关于 SKIPIF 1 < 0 的不等式 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上恒成立，求 SKIPIF 1 < 0 的取值范围；
(3)若实数 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，证明： SKIPIF 1 < 0 .
【解析】（1）当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 的单调增区间为 SKIPIF 1 < 0 ，单调减区间为 SKIPIF 1 < 0 ；
（2） SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 递增，在 SKIPIF 1 < 0 递减， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 的取值范围 SKIPIF 1 < 0 ；
（3） SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上递增，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
下面证明： SKIPIF 1 < 0 ，
即证 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
∴函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 递减，
SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
19.（2024届辽宁省朝阳高三上学期9月联考）已知函数 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求函数 SKIPIF 1 < 0 的单调区间；
(2)若存在 SKIPIF 1 < 0 ，使得不等式 SKIPIF 1 < 0 成立，求 SKIPIF 1 < 0 的取值范围.
【解析】（1）由函数 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 无单调性；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 对任意 SKIPIF 1 < 0 恒成立，
所以函数 SKIPIF 1 < 0 的单调递增区间为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，无单调递减区间；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 对任意 SKIPIF 1 < 0 恒成立，
所以函数 SKIPIF 1 < 0 的单调递减区间为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 无单调递增区间.
（2）由不等式 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
根据题意，存在 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
又由 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上恒成立，不满足题意；
当 SKIPIF 1 < 0 时，方程 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上恒成立，则 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上恒成立，不满足题意；
当 SKIPIF 1 < 0 时，令 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
则当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，此时 SKIPIF 1 < 0 ，
因此，当 SKIPIF 1 < 0 时，存在 SKIPIF 1 < 0 ，使得不等式 SKIPIF 1 < 0 成立，
所以满足题意的 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为 SKIPIF 1 < 0 .
五、不等式证明
20. （2024届云南省大理高三区域性规模化统一检测）已知函数 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)讨论 SKIPIF 1 < 0 的极值；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 （e是自然对数的底数），且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，证明： SKIPIF 1 < 0 ．
【解析】（1）函数 SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0 ，求导得 SKIPIF 1 < 0 ，
若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，无极值；
若 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
若 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 单调递减，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 单调递增，
此时，函数 SKIPIF 1 < 0 有唯一极小值 SKIPIF 1 < 0 ，无极大值；
若 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 单调递增，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 单调递减，
此时，函数 SKIPIF 1 < 0 有唯一极大值 SKIPIF 1 < 0 ，无极小值；
所以当 SKIPIF 1 < 0 时，函数 SKIPIF 1 < 0 无极值；
当 SKIPIF 1 < 0 时，函数 SKIPIF 1 < 0 有极小值 SKIPIF 1 < 0 ，无极大值；
当 SKIPIF 1 < 0 时，函数 SKIPIF 1 < 0 有极大值 SKIPIF 1 < 0 ，无极小值；
（2）证明：由 SKIPIF 1 < 0 ，两边取对数可得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
由（1）可知，函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
而 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 恒成立，
因此，当 SKIPIF 1 < 0 时，存在 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，满足 SKIPIF 1 < 0 ，
若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 成立；
若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
记 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
即有函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
于是 SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，因此 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 .
21.（2023届陕西省西安市第八十三中学等校高三二轮复习联考）已知函数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求 SKIPIF 1 < 0 的极值；
(2)证明：当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ．（参考数据： SKIPIF 1 < 0 ）
【解析】（1） SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
所以函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，
故 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 处取得极大值 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 的极大值为 SKIPIF 1 < 0 ，无极小值；
（2）设 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 单调递减，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 单调递增，
又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以存在 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ．
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 单调递减，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 单调递增，
所以当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 处取得极小值，即为最小值，
故 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ，
由二次函数的性质得函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，
故 SKIPIF 1 < 0 ，
所以当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ．
22.（2024届湖南省长沙市高三上学期第二次阶段性测试）函数 SKIPIF 1 < 0 .
(1)若 SKIPIF 1 < 0 存在极值，求 SKIPIF 1 < 0 的取值范围；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 ，已知方程 SKIPIF 1 < 0 有两个不同的实根 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，证明： SKIPIF 1 < 0 .（其中 SKIPIF 1 < 0 是自然对数的底数）
【解析】（1）因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 为单调递增函数，不可能有极值，舍去；
当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时，令 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ；当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ；
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 取得极大值，符合题意；
综上： SKIPIF 1 < 0 ，故实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为 SKIPIF 1 < 0 .
（2）由 SKIPIF 1 < 0 得: SKIPIF 1 < 0 .
由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0
构造 SKIPIF 1 < 0 .易知 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 单调递增且 SKIPIF 1 < 0 .
∴ SKIPIF 1 < 0 .即 SKIPIF 1 < 0 取对数得 SKIPIF 1 < 0
设 SKIPIF 1 < 0 .则 SKIPIF 1 < 0
即 SKIPIF 1 < 0 .
利用对数均值不等式有 SKIPIF 1 < 0 即证得 SKIPIF 1 < 0 .
要证 SKIPIF 1 < 0 .只要证明 SKIPIF 1 < 0 .
设 SKIPIF 1 < 0 .由（*）可且 SKIPIF 1 < 0
则 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 单调递减，则 SKIPIF 1 < 0 .即 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
对数均值不等式 SKIPIF 1 < 0 .
证明如下:不妨设 SKIPIF 1 < 0 ，要证 SKIPIF 1 < 0 ，即证， SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 即证 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0
即证: SKIPIF 1 < 0 .
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 结论得证.
23.（2023届四川省绵阳市涪城区南山中学高三仿真测试）已知函数 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求实数a的取值范围；
(2)已知 SKIPIF 1 < 0 ，证明： SKIPIF 1 < 0 ．
SKIPIF 1 < 0 .
【解析】（1）函数 SKIPIF 1 < 0 定义域为R， SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 解得 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
由 SKIPIF 1 < 0 解得 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，
故 SKIPIF 1 < 0 的最小值是 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，所以实数a的取值范围为 SKIPIF 1 < 0 ．
（2）在（1）中，令 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以， SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ．且 SKIPIF 1 < 0 不恒为零．
所以，函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，故 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ．
所以， SKIPIF 1 < 0 ，
所以， SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
0
SKIPIF 1 < 0
1
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
+
0
-
0
+
SKIPIF 1 < 0
↗
极大
↘
极小
↗
a
SKIPIF 1 < 0
1
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
单调递减
极小值
单调递增
x
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
1
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
+
0
-
0
+
SKIPIF 1 < 0
+
0
-
0
+
SKIPIF 1 < 0
增
极大值
减
极小值3
增