新高考数学二轮复习专题培优练习专题21 圆中的最值问题（2份打包，原卷版+解析版）

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1．（2024届广东省信宜市高三上学期摸底）设O为坐标原点，A为圆C： SKIPIF 1 < 0 上一个动点，则 SKIPIF 1 < 0 的最大值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【解析】
如图所示，当直线 SKIPIF 1 < 0 与圆相切时，A为切点，此时 SKIPIF 1 < 0 最大，易得 SKIPIF 1 < 0 ,
由 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .故选C
2．（2023届天津市宁河区芦台第一中学高三上学期期末）己知直线： SKIPIF 1 < 0 被圆 SKIPIF 1 < 0 截得的弦长为 SKIPIF 1 < 0 ，则点 SKIPIF 1 < 0 与圆上点的距离最大值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C．2D．4
【答案】A
【解析】由题可得，圆的半径 SKIPIF 1 < 0 ，圆心 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离为 SKIPIF 1 < 0 ，
直线 SKIPIF 1 < 0 被圆 SKIPIF 1 < 0 截得的弦长为 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 （舍去），
则点 SKIPIF 1 < 0 的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，该点到圆心 SKIPIF 1 < 0 的距离为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以点 SKIPIF 1 < 0 到圆上点的距离最大值为 SKIPIF 1 < 0 ，故选A.
3．（2024届浙江省嘉兴市高三上学期9月测试）已知点 SKIPIF 1 < 0 是直线 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 的交点，点 SKIPIF 1 < 0 是圆 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 上的动点，则 SKIPIF 1 < 0 的最大值是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【解析】因为直线 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，可知直线 SKIPIF 1 < 0 过定点 SKIPIF 1 < 0 ，同理可知：直线 SKIPIF 1 < 0 过定点 SKIPIF 1 < 0 ，
又因为 SKIPIF 1 < 0 ，可知 SKIPIF 1 < 0 ，所以直线 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 的交点 SKIPIF 1 < 0 的轨迹是以 SKIPIF 1 < 0 的中点 SKIPIF 1 < 0 ，半径 SKIPIF 1 < 0 的圆，因为圆 SKIPIF 1 < 0 的圆心 SKIPIF 1 < 0 ，半径 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 的最大值是 SKIPIF 1 < 0 .故选B.
4．（2024届广东省珠海市第二中学高三上学期10月月考）在平面直角坐标系中，过直线 SKIPIF 1 < 0 上一点 SKIPIF 1 < 0 作圆 SKIPIF 1 < 0 的两条切线，切点分别为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最大值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【解析】如下图所示：

由题意圆 SKIPIF 1 < 0 的标准方程为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
又因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
又圆心 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以不妨设 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
又因为 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 单调递增，所以当且仅当 SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 ，即当且仅当直线 SKIPIF 1 < 0 垂直已知直线 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 有最大值 SKIPIF 1 < 0 .故选A.
5．（2024届重庆市高三上学期9月月度质量检测）已知A，B是圆C： SKIPIF 1 < 0 上的两个动点，且 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则点P到直线AB距离的最大值为（ ）
A．2B．3C．4D．7
【答案】D
【解析】由题意可知：圆C： SKIPIF 1 < 0 的圆心 SKIPIF 1 < 0 ，半径 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，设P、C到直线AB的距离分别为 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
分别过P、C作 SKIPIF 1 < 0 ，垂足分别为 SKIPIF 1 < 0 ，再过C作 SKIPIF 1 < 0 ，垂足为 SKIPIF 1 < 0 ，
显然当P、C位于直线AB的同侧时，点P到直线AB的距离较大，

则 SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 ，即直线AB与直线PC垂直时，等号成立，所以点P到直线AB距离的最大值为7.故选D.
6．（2023届河南省开封市通许县高三下学期押题）已知点 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 为圆 SKIPIF 1 < 0 上一动点，则 SKIPIF 1 < 0 的最大值是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【解析】因为点 SKIPIF 1 < 0 为圆 SKIPIF 1 < 0 上一动点，故设 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 为辅助角， SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，整理得 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 的最大值为 SKIPIF 1 < 0 ，故选A
7．（2023届四川省岳池中学高三上学期10月月考）已知点 SKIPIF 1 < 0 是圆 SKIPIF 1 < 0 上任意一点， SKIPIF 1 < 0 ，则（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 的最大值是 SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 的最小值是 SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 的最小值是 SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0 的最大值是 SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【解析】圆的方程可化为 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 取得最大值 SKIPIF 1 < 0 ，故A错误； SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
所以当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 取得最小值 SKIPIF 1 < 0 ，故B正确；
SKIPIF 1 < 0 ，
所以当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 取得最小值 SKIPIF 1 < 0 ，故C错误；
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
所以当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 取得最大值 SKIPIF 1 < 0 ，故D错误.故选B
8．（2024届THUSSAT中学生标准学术能力诊断性测试高三上学期9月测试）已知三角形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，角 SKIPIF 1 < 0 的平分线交 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则三角形 SKIPIF 1 < 0 面积的最大值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【解析】在 SKIPIF 1 < 0 中 SKIPIF 1 < 0 ，在 SKIPIF 1 < 0 中 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
又角 SKIPIF 1 < 0 的平分线交 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 .故 SKIPIF 1 < 0 .
以 SKIPIF 1 < 0 为坐标原点建立如图平面直角坐标系，则因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
化简可得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，故点 SKIPIF 1 < 0 的轨迹是以 SKIPIF 1 < 0 为圆心，2为半径的圆（除去 SKIPIF 1 < 0 ）.故当 SKIPIF 1 < 0 纵坐标最大，即 SKIPIF 1 < 0 时 SKIPIF 1 < 0 面积取最大值为 SKIPIF 1 < 0 .

故选C
9．（2023届安徽省临泉第一中学高三下学期三模）在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，D是以BC为直径的圆上一点，则 SKIPIF 1 < 0 的最大值为（ ）
A．12B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【解析】如图：

取BC，BD中点E，G，可知 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，取BE的中点O，则G为圆O上一点，所以 SKIPIF 1 < 0 最大值为 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 的最大值为12.故选A.
10．（2024届辽宁省朝阳市高三上学期9月联考）已知抛物线 SKIPIF 1 < 0 ，圆 SKIPIF 1 < 0 ，若点 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 分别在 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 上运动，且设点 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为（ ）．
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【解析】如图，设圆心为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 为抛物线 SKIPIF 1 < 0 的焦点，
该抛物线的准线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ，
由抛物线的定义得 SKIPIF 1 < 0 ，要使 SKIPIF 1 < 0 最小，则 SKIPIF 1 < 0 需最大，
如图， SKIPIF 1 < 0 最大时，经过圆心 SKIPIF 1 < 0 ，且圆 SKIPIF 1 < 0 的半径为1，
SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 ，
而 SKIPIF 1 < 0 ，
得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 取得最小值 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 ．故选B．
11．（2023届福建师范大学附属中学高三上学期12月月考）已知实数 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最大值是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B．6C． SKIPIF 1 < 0 D．12
【答案】D
【解析】如图：
设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则原题等价于点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是圆 SKIPIF 1 < 0 上两点，
并且 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
所以所求最大值就是 SKIPIF 1 < 0 两点到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离之和 SKIPIF 1 < 0 的 SKIPIF 1 < 0 倍，
设AB的中点为M，由上图可知： SKIPIF 1 < 0 ，就是M点到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离的 SKIPIF 1 < 0 倍，
由于 SKIPIF 1 < 0 是直角三角形， SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 的中点为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 在圆 SKIPIF 1 < 0 上运动，所以本题等价于求 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离 SKIPIF 1 < 0 倍的最大值，
显然，最大值=原点O到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离与圆 SKIPIF 1 < 0 的半径之和的 SKIPIF 1 < 0 倍
SKIPIF 1 < 0 ；故选D.
12.圆 SKIPIF 1 < 0 内一点 SKIPIF 1 < 0 作倾斜角互补的直线 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ，分别与圆交于 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，则四边形 SKIPIF 1 < 0 面积的最大值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【解析】设直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 ，设点 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，
联立 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
由韦达定理可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
易知四边形 SKIPIF 1 < 0 为等腰梯形，所以，四边形 SKIPIF 1 < 0 的面积为 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，此时函数 SKIPIF 1 < 0 单调递增，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，此时函数 SKIPIF 1 < 0 单调递减，
所以， SKIPIF 1 < 0 ，因此，四边形 SKIPIF 1 < 0 面积的最大值为 SKIPIF 1 < 0 .故选D.
二、多选题
13．（2023届福建省厦门双十中学高三上学期10月考试）古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名，他发现：“平面内到两个定点A，B的距离之比为定值 SKIPIF 1 < 0 的点的轨迹是圆．”后来人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．在平面直角坐标系 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 的轨迹为曲线 SKIPIF 1 < 0 ，下列结论正确的是（ ）
A．曲线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0
B．直线 SKIPIF 1 < 0 与曲线 SKIPIF 1 < 0 有公共点
C．曲线 SKIPIF 1 < 0 被 SKIPIF 1 < 0 轴截得的弦长为 SKIPIF 1 < 0
D． SKIPIF 1 < 0 面积的最大值为 SKIPIF 1 < 0
【答案】ACD
【解析】设 SKIPIF 1 < 0 ，对于选项A，因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，化简得 SKIPIF 1 < 0 ，故A正确；对于选项B，因为曲线C为 SKIPIF 1 < 0 ，所以圆心为 SKIPIF 1 < 0 ，半径为 SKIPIF 1 < 0 ，计算圆心 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离为 SKIPIF 1 < 0 ，所以直线 SKIPIF 1 < 0 与曲线C没有公共点，故B错误；
对于选项C，曲线 SKIPIF 1 < 0 的圆心在 SKIPIF 1 < 0 轴上，所以被 SKIPIF 1 < 0 轴截得的弦即为直径，所以曲线 SKIPIF 1 < 0 被 SKIPIF 1 < 0 轴截得的弦长为 SKIPIF 1 < 0 ，故C正确；对于选项D，因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ,故 SKIPIF 1 < 0 ，
而曲线C为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 的最大值为 SKIPIF 1 < 0 ，故D正确.
故选ACD
14．（2024届山西省大同市高三上学期质量检测）已加点P是圆 SKIPIF 1 < 0 上的一点．直线 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 交于点M．则下列说法正确的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B．直线 SKIPIF 1 < 0 与圆O相切
C．直线 SKIPIF 1 < 0 被圆O截得的弦长为 SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0
【答案】ABD
【解析】由题意可知：圆 SKIPIF 1 < 0 的圆心 SKIPIF 1 < 0 ，半径为3，因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，故A正确；圆心O到 SKIPIF 1 < 0 的距离为 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 与圆O相切，故B正确；
圆心O到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离为 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，所以弦长为 SKIPIF 1 < 0 ，故C错误；
由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 ，故D正确．
故选ABD．
15．（2023届河北省秦皇岛市联考高三冲刺）已知圆 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 ，则下列结论正确的是（ ）
A．存在实数k，使得直线l与圆C相切
B．若直线l与圆C交于A，B两点，则 SKIPIF 1 < 0 的最大值为4
C．当 SKIPIF 1 < 0 时，圆C上存在4个点到直线l的距离为 SKIPIF 1 < 0
D．当 SKIPIF 1 < 0 时，对任意 SKIPIF 1 < 0 ，曲线 SKIPIF 1 < 0 恒过直线 SKIPIF 1 < 0 与圆C的交点
【答案】BCD
【解析】 SKIPIF 1 < 0 ，圆心 SKIPIF 1 < 0 且半径为 SKIPIF 1 < 0 ，
因为直线 SKIPIF 1 < 0 过定点 SKIPIF 1 < 0 ，且点 SKIPIF 1 < 0 在圆上，若直线l与圆C相切，则直线l的斜率不存在，即 SKIPIF 1 < 0 ，故A不正确；当直线l经过圆心时， SKIPIF 1 < 0 取最大值即圆的直径 SKIPIF 1 < 0 ，故B正确；
当 SKIPIF 1 < 0 时，直线 SKIPIF 1 < 0 ，因为圆心C到直线l的距离 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以圆C上有4个点到直线的距离为 SKIPIF 1 < 0 ，故C正确；当 SKIPIF 1 < 0 时，直线 SKIPIF 1 < 0 ，曲线 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 一定过直线 SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 的交点，故D正确．故选BCD．
16．（2023届河南省信阳高级中学高三下学期3月测试）已知曲线 SKIPIF 1 < 0 上的动点满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为坐标原点，直线 SKIPIF 1 < 0 过 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 两点， SKIPIF 1 < 0 为直线 SKIPIF 1 < 0 上一动点，过点 SKIPIF 1 < 0 作曲线 SKIPIF 1 < 0 的两条切线 SKIPIF 1 < 0 为切点，则（ ）
A．点 SKIPIF 1 < 0 与曲线 SKIPIF 1 < 0 上点的最小距离为 SKIPIF 1 < 0
B．线段 SKIPIF 1 < 0 长度的最小值为 SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0
D．存在点 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 的面积为 SKIPIF 1 < 0
【答案】CD
【解析】对于A，因为 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，可得曲线 SKIPIF 1 < 0 的轨迹为圆.
方程为直线 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 ，圆心 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离为 SKIPIF 1 < 0 ，
则点 SKIPIF 1 < 0 与曲线 SKIPIF 1 < 0 上点的最小距离为 SKIPIF 1 < 0 ，故A错误；
对于B，由图可知，在直角三角形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，要使得线段 SKIPIF 1 < 0 的长度最小，则 SKIPIF 1 < 0 取最小值，由选项A可知， SKIPIF 1 < 0 长度的最小值为 SKIPIF 1 < 0 ，故B错误；
对于C，设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
在直角三角形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
令 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，又函数 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 的最小值为3，故C正确；
对于D，由切线长定理知，直线 SKIPIF 1 < 0 垂直平分线段 SKIPIF 1 < 0 ，得
SKIPIF 1 < 0 ，
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 垂直时取等号，即弦 SKIPIF 1 < 0 长度的最小值为 SKIPIF 1 < 0 .
此时 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 的中点为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 的面积的最小值为 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 的面积所以存在点 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 的面积为3，故D正确.故选CD.
17．（2024届福建省泉州市高三高中毕业班质量监测）已知 SKIPIF 1 < 0 的顶点 SKIPIF 1 < 0 在圆 SKIPIF 1 < 0 上，顶点 SKIPIF 1 < 0 在圆 SKIPIF 1 < 0 上.若 SKIPIF 1 < 0 ，则（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 的面积的最大值为 SKIPIF 1 < 0
B．直线 SKIPIF 1 < 0 被圆 SKIPIF 1 < 0 截得的弦长的最小值为 SKIPIF 1 < 0
C．有且仅有一个点 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 为等边三角形
D．有且仅有一个点 SKIPIF 1 < 0 ，使得直线 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 都是圆 SKIPIF 1 < 0 的切线
【答案】ACD
【解析】设线段 SKIPIF 1 < 0 的中点为 SKIPIF 1 < 0 ，因为圆 SKIPIF 1 < 0 的半径为2， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，

对于A选项，设点 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以当且仅当 SKIPIF 1 < 0 四点共线时，点 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 距离的最大值为15，所以 SKIPIF 1 < 0 的面积的最大值为 SKIPIF 1 < 0 ，故A正确；对于B选项，点 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离小于等于 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时，等号成立，又 SKIPIF 1 < 0 的最大值为7，所以点 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离的最大值为7，这时直线 SKIPIF 1 < 0 被圆 SKIPIF 1 < 0 截得的弦长的最小值为 SKIPIF 1 < 0 ，故B错误；对于C选项，若 SKIPIF 1 < 0 为等边三角形，则需 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以点 SKIPIF 1 < 0 的轨迹是以 SKIPIF 1 < 0 为圆心的单位圆，所以 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 的最小值为4，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 四点共线时成立，因此有且仅有一个点 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 为等边三角形，故C正确；
对于D选项，若直线 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 都是圆 SKIPIF 1 < 0 的切线，则 SKIPIF 1 < 0 ，由射影定理，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
同上，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 三点共线时， SKIPIF 1 < 0 ，因此有且仅有一个点 SKIPIF 1 < 0 ，使得直线 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 都是圆 SKIPIF 1 < 0 的切线，故D正确；故选ACD
三、填空题
18．（2024届山东省临沂市高三上学期联考）已知A，B为圆 SKIPIF 1 < 0 上的两点， SKIPIF 1 < 0 ，M为 SKIPIF 1 < 0 的中点，则M到直线 SKIPIF 1 < 0 距离的最小值为 ．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】由垂径定理可知 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴M的轨迹是以O为圆心， SKIPIF 1 < 0 为半径的圆，
O到l的距离 SKIPIF 1 < 0 ，∴M到直线 SKIPIF 1 < 0 距离的最小值为 SKIPIF 1 < 0 ．
19．（2023届江西省九江市高三一模）已知点 SKIPIF 1 < 0 分别是抛物线 SKIPIF 1 < 0 和圆 SKIPIF 1 < 0 上的动点，点 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为 ．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】如图所示：

由圆 SKIPIF 1 < 0 的标准方程为 SKIPIF 1 < 0 可知圆心 SKIPIF 1 < 0 ，半径为 SKIPIF 1 < 0 ，抛物线 SKIPIF 1 < 0 的焦点为 SKIPIF 1 < 0 ，准线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，由抛物线定义可知 SKIPIF 1 < 0 ，
圆外一点到圆上点的距离满足 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ；
所以 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 三点共线时，等号成立；即 SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 ．
20．（2024届福建省厦门第一中学高三上学期9月月考）已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，过x轴上一点P分别作两圆的切线，切点分别是M，N，当 SKIPIF 1 < 0 取到最小值时，点P坐标为 .
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】 SKIPIF 1 < 0 的圆心为 SKIPIF 1 < 0 ，半径 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 的圆心为 SKIPIF 1 < 0 ，半径 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
取 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 三点共线时取等号，此时 SKIPIF 1 < 0 直线： SKIPIF 1 < 0
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0

21．（2023届海南省海口市海南华侨中学高三模拟测试）已知圆 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 的图象在第四象限，直线 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 .若 SKIPIF 1 < 0 上存在点 SKIPIF 1 < 0 ，过点 SKIPIF 1 < 0 作圆 SKIPIF 1 < 0 的切线 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，切点分别为A， SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 为等边三角形，则 SKIPIF 1 < 0 被圆 SKIPIF 1 < 0 截得的弦长的最大值为 .
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】
由已知可得，圆 SKIPIF 1 < 0 的圆心 SKIPIF 1 < 0 ，半径 SKIPIF 1 < 0 ，且有 SKIPIF 1 < 0 .则圆心到直线 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 的距离 SKIPIF 1 < 0 .又直线 SKIPIF 1 < 0 方程可化为 SKIPIF 1 < 0 ，可知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以直线 SKIPIF 1 < 0 过一、二、三象限，不过第四象限，直线 SKIPIF 1 < 0 与圆相离.
由题意易知 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以有 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
所以圆心 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离 SKIPIF 1 < 0 ，
所以，直线 SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 总相交，
又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 被圆 SKIPIF 1 < 0 截得的弦长为 SKIPIF 1 < 0 .
22．（2023届河北省盐山中学高三模拟）阿波罗尼斯是古希腊著名的数学家，他对圆锥曲线有深刻而系统的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线论》一书，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是“如果动点 SKIPIF 1 < 0 与两定点 SKIPIF 1 < 0 的距离之比为( SKIPIF 1 < 0 ，那么点 SKIPIF 1 < 0 的轨迹就是阿波罗尼斯圆”下面我们来研究与此相关的一个问题，已知点 SKIPIF 1 < 0 为圆 SKIPIF 1 < 0 上的动点， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】
假设存在这样的点 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，设点 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
该圆对照 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以点 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .