新高考数学二轮复习专题培优练习专题23 解析几何解答题分类练（2份打包，原卷版+解析版）

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1. （2024届广东省江门市部分学校高三上学期9月联考）在直角坐标系xOy中，动点P到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离是它到点 SKIPIF 1 < 0 的距离的2倍，设动点P的轨迹为曲线C．
(1)求曲线C的方程；
(2)直线 SKIPIF 1 < 0 与曲线C交于A，B两点，求 SKIPIF 1 < 0 面积的最大值．
【解析】（1）设 SKIPIF 1 < 0 ，因为点P到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离是它到点 SKIPIF 1 < 0 的距离的2倍，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
整理得 SKIPIF 1 < 0 ，故曲线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ．
（2）设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
联立方程组 SKIPIF 1 < 0 整理得 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
因为 SKIPIF 1 < 0 过点 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ．
令 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上恒成立， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
则当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最大值为3．
故 SKIPIF 1 < 0 面积的最大值为3．

2．（2023届四川省成都市蓉城名校联盟高三第一次联考）已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 的对称中心为坐标原点，对称轴为坐标轴，焦点在 SKIPIF 1 < 0 轴上，离心率 SKIPIF 1 < 0 ，且过点 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求椭圆 SKIPIF 1 < 0 的标准方程；
(2)若直线 SKIPIF 1 < 0 与椭圆交于 SKIPIF 1 < 0 两点，且直线 SKIPIF 1 < 0 的倾斜角互补，判断直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
【解析】（1）设椭圆 SKIPIF 1 < 0 的标准方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
由题意知 SKIPIF 1 < 0 ，
故椭圆的标准方程又为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
又椭圆过点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 椭圆的标准方程为 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）由题意可知直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率存在且不过点 SKIPIF 1 < 0 ，
设直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，消去 SKIPIF 1 < 0 整理得 SKIPIF 1 < 0 ，
需满足 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
直线 SKIPIF 1 < 0 的倾斜角互补， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
将 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 代入得 SKIPIF 1 < 0 ，
整理得 SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
所以直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率为定值，其定值为2.
3.（2024届安徽省皖东智校协作联盟高三上学期10月联考）平面直角坐标系 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 为动点， SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 垂直，垂足 SKIPIF 1 < 0 位于第一象限， SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 垂直，垂足 SKIPIF 1 < 0 位于第四象限， SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，记动点 SKIPIF 1 < 0 的轨迹为 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求 SKIPIF 1 < 0 的方程；
(2)已知点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，设点 SKIPIF 1 < 0 与点 SKIPIF 1 < 0 关于原点 SKIPIF 1 < 0 对称， SKIPIF 1 < 0 的角平分线为直线 SKIPIF 1 < 0 ，过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 的垂线，垂足为 SKIPIF 1 < 0 ，交 SKIPIF 1 < 0 于另一点 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的最大值.
【解析】（1）由题意设 SKIPIF 1 < 0 ，由点到直线距离公式得
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，又∵垂足 SKIPIF 1 < 0 位于第一象限，
垂足 SKIPIF 1 < 0 位于第四象限， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 的轨迹方程为 SKIPIF 1 < 0 .
（2）解：由对称性，不妨设 SKIPIF 1 < 0 在第一象限，设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
设直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率为 SKIPIF 1 < 0 ，记 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的角平分线，
则有 SKIPIF 1 < 0 ，
其中 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
同理得： SKIPIF 1 < 0 ，代入 SKIPIF 1 < 0 中，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，化简得： SKIPIF 1 < 0 .
将 SKIPIF 1 < 0 代入 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 中，
解得： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
设直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，将 SKIPIF 1 < 0 代入，
解得： SKIPIF 1 < 0 ，
∴直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
由点到直线距离公式得： SKIPIF 1 < 0 .
由直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率为 SKIPIF 1 < 0 ，设直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
将 SKIPIF 1 < 0 点代入，解得： SKIPIF 1 < 0 ，
∴直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，将其与 SKIPIF 1 < 0 联立得：
SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 可知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
由均值不等式， SKIPIF 1 < 0 ，
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时，等号成立，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时，等号成立.
∴ SKIPIF 1 < 0 的最大值为 SKIPIF 1 < 0 .
二、长度与周长问题
4. （2024届云南省三校高三联考）已知点 SKIPIF 1 < 0 到定点 SKIPIF 1 < 0 的距离和它到直线 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 的距离的比是常数 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求点 SKIPIF 1 < 0 的轨迹 SKIPIF 1 < 0 的方程；
(2)若直线 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 相切，切点 SKIPIF 1 < 0 在第四象限，直线 SKIPIF 1 < 0 与曲线 SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点，求证： SKIPIF 1 < 0 的周长为定值．
【解析】（1）
设 SKIPIF 1 < 0 ，由条件可知： SKIPIF 1 < 0 ，等号的两边平方，整理后得： SKIPIF 1 < 0 ；
（2）
由（1）的结论知：曲线C是方程为 SKIPIF 1 < 0 的椭圆，设 SKIPIF 1 < 0 ，依题意有： SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，所以直线l的方程为： SKIPIF 1 < 0 ，
联立方程： SKIPIF 1 < 0 ，得： SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
由条件可知： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 的周长 SKIPIF 1 < 0 ，即定值为10；
综上，曲线C的方向为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的周长 SKIPIF 1 < 0 .
5．（2023届福建省厦门第一中学高三四模）已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别是椭圆 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 的右顶点和上顶点， SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率为 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求椭圆的方程；
(2)直线 SKIPIF 1 < 0 ，与 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 轴分别交于点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，与椭圆相交于点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
（i）求 SKIPIF 1 < 0 的面积与 SKIPIF 1 < 0 的面积之比；
（ⅱ）证明： SKIPIF 1 < 0 为定值.
【解析】（1）∵ SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 是椭圆 SKIPIF 1 < 0 ，的两个顶点，且 SKIPIF 1 < 0 ，
直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率为 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴椭圆的方程为 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）
设直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
联立方程 SKIPIF 1 < 0 消去 SKIPIF 1 < 0 ，
整理得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0
设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
（i） SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 的面积与 SKIPIF 1 < 0 的面积之比为1；
（ii）证明： SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
综上， SKIPIF 1 < 0 .
三、面积问题
6.（2023届四川省南充高级中学高三下学期第三次模拟） 已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 的左、右焦点为 SKIPIF 1 < 0 ，离心率为 SKIPIF 1 < 0 .点 SKIPIF 1 < 0 是椭圆 SKIPIF 1 < 0 上不同于顶点的任意一点，射线 SKIPIF 1 < 0 分别与椭圆 SKIPIF 1 < 0 交于点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的周长为8.
(1)求椭圆 SKIPIF 1 < 0 的标准方程；
(2)设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的面积分别为 SKIPIF 1 < 0 .求证： SKIPIF 1 < 0 为定值.
【解析】（1）因为 SKIPIF 1 < 0 的周长为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
由椭圆的离心率 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，从而 SKIPIF 1 < 0 ，
所以椭圆 SKIPIF 1 < 0 的标准方程为 SKIPIF 1 < 0 ．
（2）证明：设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
可设直线PA的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 ，
联立方程 SKIPIF 1 < 0 ，整理得 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
同理可得， SKIPIF 1 < 0 ．
因为 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 是定值．
7．（2023届河北省唐山市迁西县第一中学高三二模）已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 ，连接E的四个顶点所得四边形的面积为4， SKIPIF 1 < 0 是E上一点．
(1)求椭圆E的方程；
(2)设斜率为 SKIPIF 1 < 0 的直线 SKIPIF 1 < 0 与椭圆E交于A，B两点，D为线段 SKIPIF 1 < 0 的中点，O为坐标原点，若E上存在点C，使得 SKIPIF 1 < 0 ，求三角形 SKIPIF 1 < 0 的面积．
【解析】（1）由题意知连接E的四个顶点所得四边形的面积为 SKIPIF 1 < 0 ，
又点 SKIPIF 1 < 0 在E上，得 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
故椭圆E的方程为 SKIPIF 1 < 0 ．
（2）设直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，消去 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，
得 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
由 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 为三角形 SKIPIF 1 < 0 的重心，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
故由 SKIPIF 1 < 0 在椭圆E上，得 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
又原点 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ．

8．（2023届新疆伊犁州伊宁县第三中学高三上学期诊断）已知椭圆C： SKIPIF 1 < 0 经过点 SKIPIF 1 < 0 ，O为坐标原点，若直线l与椭圆C交于A，B两点，线段AB的中点为M，直线l与直线OM的斜率乘积为 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若四边形OAPB为平行四边形，求四边形OAPB的面积.
【解析】（1）由题意可设：直线l SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
可得：直线l的斜率 SKIPIF 1 < 0 ，直线OM的斜率 SKIPIF 1 < 0 ，
因为A，B两点在椭圆C上，则 SKIPIF 1 < 0 ，
两式相减得整理得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
又因为点 SKIPIF 1 < 0 在椭圆C上，则 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以椭圆C的标准方程为 SKIPIF 1 < 0 .
（2）因为四边形OAPB为平行四边形，则M为 SKIPIF 1 < 0 的中点，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，可得直线l的斜率 SKIPIF 1 < 0 ，
所以直线l的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
可得点 SKIPIF 1 < 0 到直线l的距离 SKIPIF 1 < 0 ，
由（1）可知：椭圆C的标准方程为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
联立方程 SKIPIF 1 < 0 ，消去y得 SKIPIF 1 < 0 ，
可得 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以四边形OAPB的面积 SKIPIF 1 < 0 .

四、斜率问题
9. （2024届陕西省商洛市部分学校高三上学期10月测试）已知椭圆C： SKIPIF 1 < 0 过点 SKIPIF 1 < 0 ，且C的右焦点为 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求C的离心率；
(2)过点F且斜率为1的直线与C交于M，N两点，P直线 SKIPIF 1 < 0 上的动点，记直线PM，PN，PF的斜率分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，证明： SKIPIF 1 < 0 ．
【解析】（1）由 SKIPIF 1 < 0 得C的半焦距为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
又C过点 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
故C的离心率为 SKIPIF 1 < 0 ．
（2）

由（1）可知C的方程为 SKIPIF 1 < 0 ．
设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
由题意可得直线MN的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
联立 SKIPIF 1 < 0 ，消去y可得 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，
因此 SKIPIF 1 < 0 ．
10．（2024届山东省金科大联考高三上学期9月质量检测）如图，已知点 SKIPIF 1 < 0 和点 SKIPIF 1 < 0 在双曲线 SKIPIF 1 < 0 上，双曲线 SKIPIF 1 < 0 的左顶点为 SKIPIF 1 < 0 ，过点 SKIPIF 1 < 0 且不与 SKIPIF 1 < 0 轴重合的直线 SKIPIF 1 < 0 与双曲线 SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点，直线 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 分别交于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点.

(1)求双曲线 SKIPIF 1 < 0 的标准方程；
(2)设直线 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的斜率分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的值；
(3)证明：直线 SKIPIF 1 < 0 过定点.
【解析】（1）因为点 SKIPIF 1 < 0 和点 SKIPIF 1 < 0 在双曲线上，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，所以双曲线 SKIPIF 1 < 0 的标准方程为 SKIPIF 1 < 0 .
（2）由题可知，直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率不等于零，故可设直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ，
联立 SKIPIF 1 < 0 ，整理得 SKIPIF 1 < 0 ，
若 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率为 SKIPIF 1 < 0 ，与渐近线 SKIPIF 1 < 0 平行，
此时直线 SKIPIF 1 < 0 与双曲线有且仅有一个交点，不满足题意，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
（3）（i）当 SKIPIF 1 < 0 轴时， SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
联立 SKIPIF 1 < 0 ，整理得 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
由于对称性， SKIPIF 1 < 0 ，此时直线 SKIPIF 1 < 0 过定点 SKIPIF 1 < 0 ；
（ii）当 SKIPIF 1 < 0 不垂直于 SKIPIF 1 < 0 轴时，以下证明直线 SKIPIF 1 < 0 仍过定点设为 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以联立 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ,
同理，将上述过程中 SKIPIF 1 < 0 替换为 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 三点共线，即此时直线 SKIPIF 1 < 0 恒过定点 SKIPIF 1 < 0 ，
综上直线 SKIPIF 1 < 0 过定点 SKIPIF 1 < 0 .
11．（2024届河南省周口市项城市高三5校青桐鸣大联考）已知 SKIPIF 1 < 0 是椭圆 SKIPIF 1 < 0 上的两点， SKIPIF 1 < 0 关于原点 SKIPIF 1 < 0 对称， SKIPIF 1 < 0 是椭圆 SKIPIF 1 < 0 上异于 SKIPIF 1 < 0 的一点，直线 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的斜率满足 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求椭圆 SKIPIF 1 < 0 的标准方程；
(2)若斜率存在且不经过原点的直线 SKIPIF 1 < 0 交椭圆 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 两点 SKIPIF 1 < 0 异于椭圆 SKIPIF 1 < 0 的上、下顶点），当 SKIPIF 1 < 0 的面积最大时，求 SKIPIF 1 < 0 的值.
【解析】（1）设 SKIPIF 1 < 0 ，易知 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 ，
得 SKIPIF 1 < 0 ，
化简得 SKIPIF 1 < 0 ，
故椭圆 SKIPIF 1 < 0 的标准方程为 SKIPIF 1 < 0 .
（2）
设 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
将 SKIPIF 1 < 0 代入椭圆方程整理得，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
又原点 SKIPIF 1 < 0 到 SKIPIF 1 < 0 的距离为 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ，
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时取等号，
此时 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的面积最大.
故 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 .
五、定点问题
12. （2024届四川省达州外国语学校高三9月月考）已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 经过 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点， SKIPIF 1 < 0 是椭圆 SKIPIF 1 < 0 上异于 SKIPIF 1 < 0 的两动点，且 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率均存在.并分别记为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
(1)求椭圆 SKIPIF 1 < 0 的标准方程
(2)证明直线 SKIPIF 1 < 0 过定点.
【解析】（1）∵椭圆过 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
∴椭圆 SKIPIF 1 < 0 的方程为： SKIPIF 1 < 0 ，
（2）如图所示：
由 SKIPIF 1 < 0 知 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 关于直线 SKIPIF 1 < 0 对称．
在 SKIPIF 1 < 0 上任取一点 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 关于直线 SKIPIF 1 < 0 对称的点为 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
从而 SKIPIF 1 < 0 ，
于是 SKIPIF 1 < 0 ．
设点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 ．
由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
从而 SKIPIF 1 < 0 ．
同理 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
由（1）有 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
为方便，记 SKIPIF 1 < 0 ，则
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ．
由此可知，当 SKIPIF 1 < 0 变化时，直线 SKIPIF 1 < 0 过定点 SKIPIF 1 < 0 ．
13．（2024届广西玉林市高三联考）已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 的左焦点为 SKIPIF 1 < 0 ，且点 SKIPIF 1 < 0 在椭圆 SKIPIF 1 < 0 上.
(1)求椭圆 SKIPIF 1 < 0 的标准方程；
(2)椭圆 SKIPIF 1 < 0 的上、下顶点分别为 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 ，若直线 SKIPIF 1 < 0 与椭圆 SKIPIF 1 < 0 的另一个交点分别为点 SKIPIF 1 < 0 ，证明：直线 SKIPIF 1 < 0 过定点，并求该定点坐标.
【解析】（1）因为椭圆 SKIPIF 1 < 0 的左焦点 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
由定义知点 SKIPIF 1 < 0 到椭圆的两焦点的距离之和为 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以椭圆 SKIPIF 1 < 0 的标准方程为 SKIPIF 1 < 0 .
（2）由椭圆的方程 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
且直线 SKIPIF 1 < 0 斜率存在，
设 SKIPIF 1 < 0 ，设直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为： SKIPIF 1 < 0 ，
与椭圆方程 SKIPIF 1 < 0 联立得：
SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0
直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
由直线 SKIPIF 1 < 0 和直线 SKIPIF 1 < 0 交点的纵坐标为4得， SKIPIF 1 < 0
即 SKIPIF 1 < 0
又因点 SKIPIF 1 < 0 在椭圆 SKIPIF 1 < 0 上，故 SKIPIF 1 < 0 ，
得 SKIPIF 1 < 0 ，
同理，点 SKIPIF 1 < 0 在椭圆 SKIPIF 1 < 0 上，得 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0
即 SKIPIF 1 < 0
即 SKIPIF 1 < 0
即 SKIPIF 1 < 0
化简可得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时，直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 过点 SKIPIF 1 < 0 ，与题意不符.
故 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 恒过点 SKIPIF 1 < 0

14．（2024届贵州省高三适应性联考）已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 的一条渐近线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，焦点到渐近线的距离为 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求 SKIPIF 1 < 0 的方程；
(2)过双曲线 SKIPIF 1 < 0 的右焦点 SKIPIF 1 < 0 作互相垂直的两条弦（斜率均存在） SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 .两条弦的中点分别为 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，那么直线 SKIPIF 1 < 0 是否过定点?若不过定点，请说明原因；若过定点，请求出定点坐标.
【解析】（1）设双曲线的焦点坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，
依题意渐近线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
有 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；
（2）由（1）可知右焦点 SKIPIF 1 < 0 ，
设直线 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
由联立直线与双曲线 SKIPIF 1 < 0 ，
化简得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
同理可得： SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
化简得 SKIPIF 1 < 0 ，
故直线 SKIPIF 1 < 0 过定点 SKIPIF 1 < 0 .
六、定值问题
15.（2023届陕西省丹凤中学高三模拟演练）已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 的左、右顶点分别为 SKIPIF 1 < 0 ，长轴长为短轴长的2倍，点 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上运动，且 SKIPIF 1 < 0 面积的最大值为8．
(1)求 SKIPIF 1 < 0 的方程；
(2)若直线 SKIPIF 1 < 0 经过点 SKIPIF 1 < 0 ，交 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 两点，直线 SKIPIF 1 < 0 分别交直线 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点，试问 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的面积之比是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由．
【解析】（1）由题意得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ①．
当点 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的上顶点或下顶点时， SKIPIF 1 < 0 的面积取得最大值，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ②．
联立①②，得 SKIPIF 1 < 0 ．
故 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ．
（2）
SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的面积之比为定值．
由（1）可得 SKIPIF 1 < 0 ，
由题意设直线 SKIPIF 1 < 0 ．
联立 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ．
直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ．
同理可得 SKIPIF 1 < 0 ．
故 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的面积之比为
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的面积之比为定值 SKIPIF 1 < 0 ．
16．（2024届湖南省长沙市长郡中学高三上学期月考）已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 的左右焦点分别为 SKIPIF 1 < 0 是椭圆的中心，点 SKIPIF 1 < 0 为其上的一点满足 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求椭圆 SKIPIF 1 < 0 的方程；
(2)设定点 SKIPIF 1 < 0 ，过点 SKIPIF 1 < 0 的直线 SKIPIF 1 < 0 交椭圆 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 两点，若在 SKIPIF 1 < 0 上存在一点 SKIPIF 1 < 0 ，使得直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率与直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率之和为定值，求 SKIPIF 1 < 0 的范围．
【解析】（1）设 SKIPIF 1 < 0 ，在 SKIPIF 1 < 0 中，设 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
所以椭圆 SKIPIF 1 < 0 的方程为： SKIPIF 1 < 0
（2）设 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
若 SKIPIF 1 < 0 为常数，则 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，而此时 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
综上所述， SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，存在点 SKIPIF 1 < 0 ，使得直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率与直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率之和为定值 SKIPIF 1 < 0
17．（2024届广西百色市贵百联考高三上学期9月月考）已知双曲线C： SKIPIF 1 < 0 一个焦点F到渐近线的距离为 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求双曲线C的方程；
(2)过点 SKIPIF 1 < 0 的直线 SKIPIF 1 < 0 与双曲线C的右支交于A，B两点，在x轴上是否存在点N，使得 SKIPIF 1 < 0 为定值？如果存在，求出点N的坐标及该定值；如果不存在，请说明理由．
【解析】（1）由双曲线得渐近线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
∴双曲线C方程为 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）依题意，直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率不为0，设其方程为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
代入 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
若要上式为定值，则必须有 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
故存在点 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0

七、最值与范围问题
18. （2023届重庆市南开中学校高三下学期质量检测）已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 的左右焦点为 SKIPIF 1 < 0 为椭圆 SKIPIF 1 < 0 上异于长轴端点的一个动点， SKIPIF 1 < 0 为坐标原点，直线 SKIPIF 1 < 0 分别与椭圆 SKIPIF 1 < 0 交于另外三点 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 为椭圆上顶点时，有 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求椭圆 SKIPIF 1 < 0 的标准方程；
(2)求 SKIPIF 1 < 0 的最大值．
【解析】（1）由题知 SKIPIF 1 < 0 ，代入椭圆 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴椭圆 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）
设 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
代入椭圆 SKIPIF 1 < 0 的方程得 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，同理可得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
由题知 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 为短轴端点时取得最大值 SKIPIF 1 < 0 ．
19．（2024届四川省南充高级中学高三上学期月考）已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为椭圆 SKIPIF 1 < 0 的两个焦点．且 SKIPIF 1 < 0 ，P为椭圆上一点， SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求椭圆 SKIPIF 1 < 0 的标准方程；
(2)过右焦点 SKIPIF 1 < 0 的直线 SKIPIF 1 < 0 交椭圆于 SKIPIF 1 < 0 两点，若 SKIPIF 1 < 0 的中点为 SKIPIF 1 < 0 为坐标原点，直线 SKIPIF 1 < 0 交直线 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ．求 SKIPIF 1 < 0 的最大值．
【解析】（1）依题意 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以椭圆 SKIPIF 1 < 0 的标准方程为 SKIPIF 1 < 0 .
（2）依题意可知直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 轴不重合，设直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 .
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 .
SKIPIF 1 < 0 的中点为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
而 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时等号成立.
所以 SKIPIF 1 < 0 的最大值为 SKIPIF 1 < 0 .

20．（2024届湖南省长沙市第一中学高三上学期月考）已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 过 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 两点.

(1)求椭圆C的方程；
(2)如图所示，记椭圆的左、右顶点分别为A，B，当动点M在定直线 SKIPIF 1 < 0 上运动时，直线 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别交椭圆于两点P和Q.
（i）证明：点B在以 SKIPIF 1 < 0 为直径的圆内；
（ii）求四边形 SKIPIF 1 < 0 面积的最大值.
【解析】（1）依题意将 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 两点代入椭圆 SKIPIF 1 < 0 可得
SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ；
所以椭圆方程为 SKIPIF 1 < 0
（2）（i）易知 SKIPIF 1 < 0 ，由椭圆对称性可知，不妨设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；
根据题意可知直线 SKIPIF 1 < 0 斜率均存在，且 SKIPIF 1 < 0 ；
所以直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ；
联立直线 SKIPIF 1 < 0 和椭圆方程 SKIPIF 1 < 0 ，消去 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ；
由韦达定理可得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ；
联立直线 SKIPIF 1 < 0 和椭圆方程 SKIPIF 1 < 0 ，消去 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ；
由韦达定理可得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ；
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；
所以 SKIPIF 1 < 0 ；
即可知 SKIPIF 1 < 0 为钝角，
所以点B在以 SKIPIF 1 < 0 为直径的圆内；
（ii）易知四边形 SKIPIF 1 < 0 的面积为 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时等号成立；
由对勾函数性质可知 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
由对称性可知，即当点 SKIPIF 1 < 0 的坐标为 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 时，
四边形 SKIPIF 1 < 0 的面积最大，最大值为6.
八、与向量交汇问题
21. （2023届广东省揭阳市惠来县第一中学高三最后一模）如图，矩形 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 分别是 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的中点，以某动直线 SKIPIF 1 < 0 为折痕将矩形在其下方的部分翻折，使得每次翻折后点 SKIPIF 1 < 0 都落在 SKIPIF 1 < 0 上，记为 SKIPIF 1 < 0 ，过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 ，与直线 SKIPIF 1 < 0 交于点 SKIPIF 1 < 0 ，设点 SKIPIF 1 < 0 的轨迹是曲线 SKIPIF 1 < 0 .

(1)建立恰当的直角坐标系，求曲线 SKIPIF 1 < 0 的方程；
(2) SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 上一点， SKIPIF 1 < 0 ，过点 SKIPIF 1 < 0 的直线交曲线 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 两点， SKIPIF 1 < 0 ，求实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围.
【解析】（1）以 SKIPIF 1 < 0 为原点，以 SKIPIF 1 < 0 所在直线为 SKIPIF 1 < 0 轴，以线段 SKIPIF 1 < 0 的垂直平分线为 SKIPIF 1 < 0 轴，建立直角坐标系，如图所示，
设 SKIPIF 1 < 0 ，则直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的中点坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，
直线 SKIPIF 1 < 0 是线段 SKIPIF 1 < 0 的垂直平分线为 SKIPIF 1 < 0 ，
将 SKIPIF 1 < 0 代入上式，可得 SKIPIF 1 < 0 ，所以点 SKIPIF 1 < 0 的坐标是 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，整理得 SKIPIF 1 < 0 ，所以点 SKIPIF 1 < 0 的轨迹方程为 SKIPIF 1 < 0 .
（2）解：因为 SKIPIF 1 < 0 ，可得点 SKIPIF 1 < 0 的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，设直线 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 是方程组 SKIPIF 1 < 0 的解，
整理得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因为方程 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上有两个不同的实根，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
代入 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
消去 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
即实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是 SKIPIF 1 < 0 .

22．（2023届四川省南充高级中学高三下学期第三次模拟 ）已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 的左、右焦点为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，离心率为 SKIPIF 1 < 0 ．点P是椭圆C上不同于顶点的任意一点，射线 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 分别与椭圆C交于点A、B， SKIPIF 1 < 0 的周长为8．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，求证： SKIPIF 1 < 0 为定值．
【解析】（1）∵ SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
由离心率为 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，从而 SKIPIF 1 < 0 ，
所以椭圆C的标准方程为 SKIPIF 1 < 0 ．
（2）
设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
可设直线PA的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 ，
联立 SKIPIF 1 < 0 ，化简得 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，同理可得， SKIPIF 1 < 0 ．
因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
所以 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 是定值 SKIPIF 1 < 0 .