2023-2024学年广东省湛江市七年级（下）期末数学试卷（含详细答案解析）

这是一份2023-2024学年广东省湛江市七年级（下）期末数学试卷（含详细答案解析），共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列各式计算正确的是( )
A. (a5)2=a7B. 2x−2=12x2C. 3a2⋅2a3=6a6D. a8÷a2=a6
2.下列各式能用平方差公式计算的是( )
A. (−3+x)(3−x)B. (−a−b)(−b+a)
C. (−3x+2)(2−3x)D. (3x+2)(2x−3)
3.体育课上，老师测量跳远成绩的依据是( )
A. 平行线间的距离相等
B. 两点之间，线段最短
C. 垂线段最短
D. 两点确定一条直线
4.弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧的长度y(cm)与所挂的物体的质量x(kg)之间有下面的关系：
下列说法不正确的是( )
A. x与y都是变量，且x是自变量，y是因变量
B. 弹簧不挂重物时的长度为0 cm
C. 物体质量每增加1 kg，弹簧长度y增加0.5cm
D. 所挂物体质量为7 kg时，弹簧长度为13.5cm
5.如图，直线l//m，将含有45∘角的三角板ABC的直角顶点C放在直线m上，若∠1=25∘，则∠2的度数为( )
A. 20∘
B. 25∘
C. 30∘
D. 35∘
6.如图，将一张等边三角形纸片沿任意两边中点的连线剪成4个小三角形，称为第一次操作；然后，将其中的一个三角形按同样方式再剪成4个小三角形，共得到7个小三角形，称为第二次操作；再将其中一个三角形按同样方式再剪成4个小三角形，共得到10个小三角形，称为第三次操作；…根据以上操作，若要得到100个小三角形，则需要操作的次数是( )
A. 25B. 33C. 34D. 50
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
7.若x2+kxy+9y2是一个完全平方式，则k为______.
8.已知一个角的补角为132∘，这个角的余角是 ______.
9.如图，已知AE//BD，∠1=3∠2，∠2=28∘.求∠C=______.
10.如图，△ABC的两边AC和BC的垂直平分线分别交AB于D、E两点，若AB边的长为10cm，则△CDE的周长为____cm.
11.观察下列运算并填空：
1×2×3×4+1=25=52；
2×3×4×5+1=121=112：
3×4×5×6+1=361=192；…
根据以上结果，猜想研究n(n+1)(n+2)(n+3)+1=______.
12.甲、乙两人在直线道路上同起点、同终点、同方向，分别以不同的速度匀速跑步1500米，先到终点的人原地休息，已知甲先出发30秒后，乙才出发，在跑步的整个过程中，甲、乙两人的距离y(米)与甲出发的时间x(秒)之间的关系如图所示，则乙到终点时，甲距终点的距离是__________米．
三、解答题：本题共11小题，共84分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
13.(本小题6分)
计算：
(1)(x+2y)(x−2y)+(x+1)(x−1)；
(2)(2x2y)3⋅(−7xy2)÷(14x4y3).
14.(本小题6分)
先化简再求值：[(xy+3)(xy−3)−(2x2y2−9)]÷xy，其中x=10，y=−125.
15.(本小题6分)
已知：∠α.请你用直尺和圆规画一个∠BAC，使∠BAC=∠α.
(要求：不写作法，但要保留作图痕迹，且写出结论)
16.(本小题6分)
如图，已知AD⊥BC，EF⊥BC，∠1=∠2.求证：DG//BA.
证明：∵AD⊥BC，EF⊥BC(已知 )
∴∠EFB=∠ADB=90∘(垂直的意义 )
∴EF//AD______
∴∠1=∠BAD______
又∵∠1=∠2(已知 )
∴∠2=∠BAD______
∴______.______.
17.(本小题6分)
如图，点E在AB上，AC=AD，∠CAB=∠DAB，那么△BCE和△BDE全等吗？请说明理由．
18.(本小题8分)
一辆汽车油箱内有油48升，从某地出发，每行1km，耗油0.6升，如果设剩油量为y(升)，行驶路程为x(千米).
(1)写出y与x的关系式；
(2)这辆汽车行驶35km时，剩油多少升？汽车剩油12升时，行驶了多千米？
(3)这车辆在中途不加油的情况下最远能行驶多少千米？
19.(本小题8分)
柳市乐华电器厂对一批电容器质量抽检情况如下表：
(1)从这批电容器中任选一个，是正品的概率是多少？
(2)若这批电容器共生产了14000个，其中次品大约有多少个？
20.(本小题8分)
如图，在正方形网格上有一个△ABC.
(1)画△ABC关于直线MN的对称图形(不写画法)；
(2)若网格上的每个小正方形的边长为1，求△ABC的面积．
(3)在直线MN上求作一点P，使PA+PB最小．
21.(本小题9分)
两个边长分别为a和b的正方形如图放置(图①)，其未叠合部分(阴影)面积为S1；若再在大正方形中的右下角摆放一个边长为b的小正方形(如图②)，两个小正方形叠合部分(阴影)面积为S2.
(1)用含a、b的代数式分别表示S1、S2；
(2)若a−b=8，ab=13，求S1+S2的值；
(3)用a、b的代数式表示S3；并当S1+S2=34时，求出图③中阴影部分的面积S3.
22.(本小题9分)
如图①，点B、C在∠MAN的边AM、AN上，点E，F在∠MAN内部的射线AD上，∠1、∠2分别是△ABE、△CAF的外角．已知AB=AC，∠1=∠2=∠BAC.求证：△ABE≌△CAF.
应用：如图②，在△ABC中，AB=AC，AB>BC，点D在边BC上，且CD=2BD，点E，F在线段AD上．∠1=∠2=∠BAC，若△ABC的面积为15，求△ABE与△CDF的面积之和．
23.(本小题12分)
已知AB//CD，点M、N分别是AB、CD上两点，点G在AB、CD之间，连接MG、NG.
(1)如图1，若GM⊥GN，求∠AMG+∠CNG的度数.
(2)如图2，若点P是CD下方一点，MG平分∠BMP，ND平分∠GNP，已知∠BMG=30∘，求∠MGN+∠MPN的度数.
(3)如图3，若点E是AB上方一点，连接EM、EN，且GM的延长线MF平分∠AME，NE平分∠CNG，2∠MEN+∠MGN=120∘，求∠AME的度数.
答案和解析
1.【答案】D
【解析】【分析】
根据负整数指数幂、同底数乘除法、幂的乘方与积的乘方和单项式乘单项式的知识进行解答．
幂的乘方，单项式与单项式相乘，同底数幂的乘法和除法，需熟练掌握且区分清楚，才不容易出错．
【解答】
解：A、选项属于幂的乘方，法则为：底数不变，指数相乘．(a5)2=a5×2=a10，错误；
B、2x−2中2是系数，只能在分子，错误；
C、选项是两个单项式相乘，法则为：系数，相同字母分别相乘．3a2⋅2a3=(3×2)⋅(a2⋅a3)=6a5，错误；
D、选项属于同底数幂的除法，法则为：底数不变，指数相减a8÷a2=a8−2=a6.
故选：D.
2.【答案】B
【解析】解：能用平方差公式计算的是(−a−b)(−b+a).
其他选项不符合平方差公式的特点，不能使用平方差公式计算；
故选B.
利用平方差公式的结果特征判断即可得到结果．
此题考查了平方差公式，熟练掌握公式是解本题的关键．
3.【答案】C
【解析】解：体育课上，老师测量跳远成绩的依据是垂线段最短．
故选：C.
垂线段最短指的是从直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短．根据垂线段的性质，可得答案．
此题考查了垂线段最短的应用，实际问题中涉及线路最短问题时，其理论依据应从“两点之间，线段最短”和“垂线段最短”这两个中去选择．
4.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了变量之间的关系.由表中的数据进行分析发现：物体质量每增加1kg，弹簧长度y增加0.5cm；当不挂重物时，弹簧的长度为10cm，然后逐个分析四个选项，得出正确答案.
【解答】
解：A.x与y都是变量，且x是自变量，y是因变量，正确；
B.弹簧不挂重物时的长度为10cm，B错误；
C.物体重量每增加1kg，弹簧长度y增加0.5cm，正确；
D.所挂物体重量为7kg时，弹簧长度是：10+0.5×7=13.5cm，正确．
5.【答案】A
【解析】解：过点B作BD//l，
∵直线l//m，
∴BD//l//m，
∴∠4=∠1=25∘，
∵∠ABC=45∘，
∴∠3=∠ABC−∠4=45∘−25∘=20∘，
∴∠2=∠3=20∘.
故选A.
首先过点B作BD//l，由直线l//m，可得BD//l//m，由两直线平行，内错角相等，即可求得答案∠4的度数，又由△ABC是含有45∘角的三角板，即可求得∠3的度数，继而求得∠2的度数．
此题考查了平行线的性质．此题难度不大，注意辅助线的作法，注意掌握两直线平行，内错角相等定理的应用．
6.【答案】B
【解析】解：∵第一次操作后，三角形共有4个；
第二次操作后，三角形共有4+3=7个；
第三次操作后，三角形共有4+3+3=10个；
…
∴第n次操作后，三角形共有4+3(n−1)=3n+1个；
当3n+1=100时，解得：n=33，
故选：B.
由第一次操作后三角形共有4个、第二次操作后三角形共有(4+3)个、第三次操作后三角形共有(4+3+3)个，可得第n次操作后三角形共有4+3(n−1)=3n+1个，根据题意得3n+1=100，求得n的值即可.
此题主要考查了图形的变化类，根据已知得出第n次操作后，三角形的个数为3n+1是解题关键.
7.【答案】±6
【解析】解：∵x2+kxy+9y2是一个完全平方式，
∴kxy=±2x⋅3y，
∴k=±6，
故答案为：±6.
根据完全平方式得出kxy=±2x⋅3y，求出即可．
本题考查了对完全平方式的应用，注意：完全平方式有a2+2ab+b2和a2−2ab+b2两个．
8.【答案】42∘
【解析】解：设这个角为x，则补角为(180∘−x)，余角为(90∘−x)，
由题意得，180∘−x=132∘，
解得：x=48∘，
90∘−48∘=42∘；
故答案为：42∘.
设这个角为x，由互补的两角之和为180∘得出补角、根据题意得出方程，解方程求出这个角的度数，即可求出这个角的余角．
本题考查了余角和补角的知识，属于基础题，关键是掌握互余的两角之和为90∘，互补的两角之和为180∘.
9.【答案】56∘
【解析】解：∵AE//DB，
∴∠1=∠3=3∠2，
∵∠2+∠C=∠3，
∴∠2+∠C=3∠2，
∴∠C=2∠2，
∵∠2=28∘.
∴∠C=56∘，
故答案为：56∘.
根据内错角相等，两直线平行可得∠1=∠3=3∠2，再根据内角与外角的关系可得∠C=2∠2，然后可得答案．
此题主要考查了平行线的性质，三角形的外角性质，关键是掌握两直线平行，内错角相等．
10.【答案】10
【解析】【分析】
本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．根据线段垂直平分线的性质得到DA=DC，EC=EB，根据三角形的周长公式计算即可．
【解答】解：∵边AC和BC的垂直平分线分别交AB于D、E两点，
∴DA=DC，EC=EB，
∴△CDE的周长=CD+DE+EC
=AD+DE+EB
=AB
=10cm，
故答案为：10.
11.【答案】(n2+3n+1)2
【解析】解：等号右边的底数分别为
5=1+3+1
11=22+2×3+1
19=32+3×3+1
下一个为等号左边为：4×5×6×7+1
等号右边为：42+3×4+1=29，
…
则第n个式子为：n(n+1)(n+2)(n+3)+1=(n2+3n+1)2.
等号左边是4个连续的整数的积加1即n(n+1)(n+2)(n+3)+1，等号右边对应的规律为(n2+3n+1)2.
本题考查了数式规律问题，是一道找规律的题目，要求学生通过观察，分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题．解决本题的难点在于找到等式右边的规律(n2+3n+1)2.
12.【答案】175
【解析】【分析】本题考查了一次函数的应用，读懂题目信息，理解并得到乙先到达终点，然后求出甲、乙两人所用的时间是解题的关键．根据图象先求出甲、乙的速度，再求出乙到达终点时所用的时间，然后求出乙到达终点时甲所走的路程，最后用总路程-甲所走的路程即可得出答案．
【解答】
解：由题图得，甲的速度为75÷30=2.5米/秒，
设乙的速度为m米/秒，则(m−2.5)×(180−30)=75，解得m=3，
故乙从起点跑到终点所用的时间为15003=500(秒)，
所以乙到终点时，甲跑的路程是2.5×(500+30)=1325(米)，
甲距终点的距离是1500−1325=175(米).
13.【答案】解：(1)(x+2y)(x−2y)+(x+1)(x−1)
=(x2−4y2)+(x2−1)
=x2−4y2+x2−1
=2x2−4y2−1；
(2)(2x2y)3⋅(−7xy2)÷(14x4y3)
=(8x6y3)⋅(−7xy2)÷(14x4y3)
=(−56x7y5)÷(14x4y3)
=−4x3y2.
【解析】本题考查了整式的混合运算，熟练掌握整式的混合运算法则是解题的关键．
(1)根据整式的混合运算法则计算即可；
(2)根据整式的混合运算法则计算即可．
14.【答案】解：原式=(x2y2−9−2x2y2+9)÷xy=−x2y2÷xy=−xy，
当x=10，y=−125时，原式=−1×10×(−125)=25.
【解析】原式中括号中利用平方差公式化简，去括号合并后利用多项式除以单项式法则计算得到最简结果，把x与y的值代入计算即可求出值．
此题考查了整式的混合运算-化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
15.【答案】解：如图所示：
，
∠BAC即为所求．
【解析】此题主要考查了基本作图，关键是掌握作一个角等于已知角的方法．
根据作一个角等于已知角的方法作图即可．
16.【答案】证明：∵AD⊥BC，EF⊥BC，
∴∠EFB=∠ADB=90∘，
∴EF//AD(同位角相等，两直线平行)，
∴∠1=∠BAD(两直线平行，同位角相等)，
∵∠1=∠2，
∴∠2=∠BAD(等量代换)，
∴DG//BA(内错角相等，两直线平行)，
故答案为：同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等；等量代换；DG//BA；内错角相等，两直线平行．
【解析】本题考查了平行线的性质和判定的应用，注意：平行线的性质是：①两直线平行，同位角相等，②两直线平行，内错角相等，③两直线平行，同旁内角互补，反之亦然．
根据平行线的判定推出EF//AD，根据平行线的性质得出∠1=∠BAD，推出∠BAD=∠2，根据平行线的判定推出即可．
17.【答案】解：△BCE≌△BDE，理由如下：
在△ACB与△ADB中AC=AD∠CAB=∠DABAB=AB，
∴△ACB≌△ADB(SAS)，
∴BC=BD，∠ABC=∠ABD，
在△BCE与△BDE中
BC=BD∠ABC=∠ABDBE=BE，
∴△BCE≌△BDE(SAS).
【解析】本题考查了全等三角形的判定与性质；关键是根据全等三角形的判定定理证明．根据全等三角形的判定定理，观察图形上的已知条件，已知告诉的条件是一角一边分别对应相等，加上公共边就可证两对三角形全等．
18.【答案】解：(1)y=−0.6x+48；
(2)当x=35时，y=48−0.6×35=27，
∴这辆车行驶35千米时，剩油27升；
当y=12时，48−0.6x=12，
解得x=60，
∴汽车剩油12升时，行驶了60千米．
(3)令y=0时，则
0=−0.6x+48，
解得x=80(千米).
故这车辆在中途不加油的情况下最远能行驶80千米．
【解析】(1)根据总油量减去用油量等于剩余油量，可得y与x的关系式；
(2)将x=35代入关系式可得这辆车行驶35千米时，剩油27升；将y=12代入关系式可得汽车剩油12升时，行驶的路程；
(3)把y=0代入(1)中的关系式即可得到相应的x的值．
本题考查了变量之间的关系，利用总油量减去用油量等于剩余油量是解题关键．
19.【答案】解：(1)六次抽查正品频率分别为：180÷200=0.9，390÷400=0.975，
576÷600=0.96，768÷800=0.96，960÷1000=0.96，1176÷1200=0.98，
∴正品概率估计为0.96；
或(180+390+576+768+960+1176)÷(200+400+600+800+1000+1200)=2728；
(2)其中次品大约有14000×128=500个．
【解析】(1)先计算出6次抽检的正品的频率，再估算其概率即可；
(2)总数×次品的概率即为所求的次品数．
考查利用频率估计概率．大量反复试验下频率稳定值即概率．部分数目=总体数目乘以相应概率．
20.【答案】解：(1)如图，△A′B′C′即为所求；
(2)△ABC的面积=4×5−12×1×4−12×1×4−12×3×5=20−2−2−7.5=8.5.
(3)如图，点P即为所求．

【解析】(1)根据轴对称的性质即可画△ABC关于直线MN的对称图形；
(2)根据网格上的每个小正方形的边长为1，即可求△ABC的面积；
(3)根据两点之间线段最短即可在直线MN上求作一点P，使PA+PB最小．
本题考查了作图-轴对称变换，轴对称-最短路线问题，解决本题的关键是掌握轴对称的性质．
21.【答案】解：(1)根据题意，可知：
图①中阴影部分的面积是边长为a、b的正方形的面积差，
∴S1=a2−b2；
图②中阴影部分是长为b，宽为2b−a的长方形，
因此面积为：S2=b(2b−a)=2b2−ab；
(2)∵a−b=8，ab=13，
∴S1+S2=a2−b2+2b2−ab
=a2+b2−ab
=(a−b)2+ab
=64+13
=77；
(3)S3=a2+b2−12a2−12b(a+b)
=12(a2+b2−ab)，
由(2)知：S1+S2=a2+b2−ab，
则当S1+S2=34时，a2+b2−ab=34，
∴S3=12(a2+b2−ab)=17.
【解析】本题考查完全平方公式的几何背景及其应用，正确用代数式表示各个部分的面积是关键．
(1)根据题意可知，图①中阴影部分的面积是边长为a、b的正方形的面积差，图②中阴影部分的面积是长为b，宽为2b−a的长方形的面积，由此列式表示即可；
(2)根据题意得S1+S2=(a−b)2+ab，再将a−b=8，ab=13整体代入计算即可；
(3)由图形中面积之间的关系可以含有a、b的代数式表示S3，然后再代入计算即可．
22.【答案】证明：(1)∵∠1=∠2=∠BAC，且∠1=∠BAE+∠ABE，∠2=∠FAC+∠FCA，∠BAC=∠BAE+∠FAC，
∴∠BAE=∠FCA，∠ABE=∠FAC，且AB=AC，
∴△ABE≌△CAF(ASA)
(2)∵∠1=∠2=∠BAC，且∠1=∠BAE+∠ABE，∠2=∠FAC+∠FCA，∠BAC=∠BAE+∠FAC，
∴∠BAE=∠FCA，∠ABE=∠FAC，且AB=AC，
∴△ABE≌△CAF(ASA)
∴S△ABE=S△CAF，
∵CD=2BD，△ABC的面积为15，
∴S△ACD=10=S△ABE+S△CDF.
【解析】本题考查了全等三角形的判定和性质，证明△ABE≌△CAF是本题的关键．
(1)由“ASA”可证△ABE≌△CAF；
(2)由“ASA”可证△ABE≌△CAF，由全等三角形的性质可得S△ABE=S△CAF，由三角形的面积关系可求解．
23.【答案】解：(1)如图1，过点G作GE//AB，
∵AB//CD，
∴AB//GE//CD，
∴∠AMG=∠MGE，∠CNG=∠NGE，
∴∠AMG+∠CNG=∠MGE+∠NGE=∠MGN，
∵GM⊥GN，
∴∠AMG+∠CNG=∠MGN=90∘；
(2)如图2，过G作GE//AB，过P作PF//AB，
∵AB//CD，
∴AB//EG//CD//FP，
∴∠BMG=∠MGE，∠DNG=∠NGE，∠BMP=∠FPM，∠FPN=∠DNP，
∵MG平分∠BMP，ND平分∠PNG，
∴∠BMP=2∠BMG=2∠PMG，∠PND=∠DNG=12∠PNG，
∴∠MGN+∠MPN=∠MGE+∠NGE+∠FPM−∠FPN=∠BMG+∠PND+2∠BMG−∠PND=3∠BMG，
∵∠BMG=30∘，
∴∠MGN+∠MPN=90∘；
(3)∠AME=40∘.理由如下：
如图3，过E作EK//AB，过G作GH//AB，
∵AB//CD，
∴EK//GH//AB//CD，
∴∠KEM=∠AME，∠KEN=∠CNE，∠AMF=∠BMG=∠MGH，∠DNG=∠NGH，
∵MF平分∠AME，NE平分∠CNG，
∴∠AME=2∠AMF，∠CNE=∠ENG，
∴∠DNG=180∘−2∠CNE，
∴∠MEN=∠KEN−∠KEM=∠CNE−2∠AMF，
∠MGN=∠MGH+∠NGH=∠AMF+180∘−2∠CNE，
∵2∠MEN+∠MGN=120∘，
∴2(∠CNE−2∠AMF)+(∠AMF+180∘−2∠CNE)=120∘，
即−3∠AMF+180∘=120∘，
∴∠AMF=20∘，
∴∠AME=2∠AMF=40∘.
【解析】本题主要考查了平行公理的推论，角平分线定义，平行线的性质与判定的综合运用，解决问题的关键是作辅助线构造内错角，利用平行线的性质以及角的和差关系进行推算．
(1)过点G作GE//AB，根据平行线的性质得∠AMG+∠CNG=∠MGN，再由垂直的定义得答案；
(2)过G作GE//AB，过P作PF//AB，通过平行线的性质，和角平分的定义及角的和差得∠MGN+∠MPN=3∠BMG，便可求得结果；
(3)过E作EK//AB，过G作GH//AB，通过平行线的性质，和角平分的定义及角的和差，由2∠MEN+∠MGN=120∘，得∠AMF的方程，求得∠AMF，便可求得结果．x/kg
0
1
2
3
4
5
y/cm
10
10.5
11
11.5
12
12.5
抽检个数
200
400
600
800
1000
1200
正品个数
180
390
576
768
960
1176