2023-2024学年广西梧州市苍梧县七年级（下）期末数学试卷（含详细答案解析）

这是一份2023-2024学年广西梧州市苍梧县七年级（下）期末数学试卷（含详细答案解析），共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.1的立方根是( )
A. 1B. −1C. 0D. ±1
2.下列各数中，最小的数是( )
A. − 2B. 0C. −3D. 2
3.近年来我国芯片技术迅猛发展，麒麟系列芯片突破封锁，采用先进的7纳米工艺.7纳米=0.000007毫米，将数据0.000007用科学记数法表示为( )
A. 7×10−6B. 7×10−5C. 0.7×10−6D. 0.7×10−5
4.下列物体运动中，属于平移的是( )
A. 翻开数学课本B. 升降电梯的上下移动
C. 电扇扇叶转动D. 荡秋千运动
5.下列各数中，能使不等式12x−2<0成立的是( )
A. 6B. 5C. 4D. 3
6.下列四个不等式组中，解集在数轴上表示如图所示的是( )
A. x≤2x>−3B. x≤2x<−3C. x≥2x<−3D. x≥2x>−3
7.下列计算正确的是( )
A. 2m×3m=6mB. 2(m−n)=2m−n
C. (m+2n)2=m2+4n2D. (m+3)(m−3)=m2−9
8.如图，点A为直线BC外一点，且AC⊥BC于点C，AC=3.6，点P是直线BC上的动点，则线段AP长不可能是( )
A. 3.5B. 4C. 4.5D. 5
9.如图，已知a//b，点A，B，C分别在直线a，b上，CA⊥CB，若∠1=43∘，则∠2的度数为( )
A. 37∘B. 47∘C. 43∘D. 57∘
10.化简m2−1m⋅1m+1的结果为( )
A. mm+1B. m−1m+1C. m−1mD. m+1m
11.如图，点E在AB的延长线上，下列条件中不能判定AD//BC的是( )
A. ∠1=∠3B. ∠2=∠4
C. ∠A=∠CBED. ∠C+∠ADC=180∘
12.已知y1=1x−1，且y2=11−y1，y3=11−y2，y4=11−y3⋯yn=11−yn−1，则y2024为( )
A. 1x−1B. 2−xC. x−1x−2D. x−2x−1
二、填空题：本题共6小题，每小题2分，共12分。
13.如果一个数的平方根和立方根相同，那么这个数是______.
14.分解因式：x2−4y2=______.
15.若代数式xx+2有意义，则实数x的取值范围是______.
16.如图，三角形A′B′C′是由三角形ABC沿射线AC方向平移2cm得到的，若AC=3cm，则B′C=______cm.
17.某校举行“学以致用，数你最行”数学知识抢答赛，共有20道题，规定答对一道题得10分，答错或放弃扣4分，在这次抢答赛中，八年级1班代表队被评为优秀(88分或88分以上)，则这个队至少答对______道题.
18.如果a，b是长方形的长和宽，且(a+b)2=16，(a−b)2=4，则长方形面积是______.
三、解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题6分)
计算：|−3|+20240−(14)−1+ 9.
20.(本小题6分)
分解因式：y−6xy+9x2y.
21.(本小题10分)
先化简，再求值：x2−1x2+2x+1÷(1−1x)，其中x=−3.
22.(本小题10分)
解方程：6x−2=4x+3.
23.(本小题10分)
如图，直线AB、CD相交于点O，过点O作OE⊥AB，射线OF平分∠AOC，∠AOF=25∘.
求：(1)∠BOD的度数；
(2)∠COE的度数.
24.(本小题10分)
如图，点O在直线AB上，F是DE上一点，连接OF，OC平分∠AOF，OD平分∠BOF交DE于点D.
(1)试说明OC⊥OD；
(2)若∠D与∠1互余，试说明ED//AB.
25.(本小题10分)
2024年3月14日，某校开展庆祝“国际数学节”竞赛活动，计划用1800元到某书店购买数学经典书籍《九章算术》和《几何原本》奖励获奖同学.已知《九章算术》的单价比《几何原本》的单价高15元，用1080元购买《九章算术》的数量与用720元购买《几何原本》的数量相同.
(1)求两种书籍的单价分别为多少元？
(2)学校实际购买时，恰逢该书店进行促销活动，所有书籍均按原价六折出售.若学校在不超过1800元的前提下，购买了《九章算术》和《几何原本》两种书籍共80本，则学校至少购买了多少本《几何原本》？
26.(本小题10分)
【探究】
(1)如图1，已知直线MN//PQ，点A在MN上，点C在PQ上，点E在两平行线之间，则∠AEC=∠______+∠______；
【应用】如图2，已知直线l1//l2，点A，B在l1上，点C，D在l2上，连接AD，BC；其中AE，CE分别是∠BAD，∠BCD的平分线，∠α=70∘，∠β=34∘.
(2)求∠AEC的度数；
(3)将线段AD沿CD方向平移，如图3所示，其他条件不变，求∠AEC的度数.
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：∵13=1，
∴1的立方根是1，
故选：A.
根据立方根的定义即可求得答案．
本题考查立方根，熟练掌握其定义是解题的关键．
2.【答案】C
【解析】解：∵负数小于正数，
∴最小的数在− 2和−3中，
∵|− 2|= 2，|−3|=3， 2<3，
∴− 2>−3
∴四个数中最小的数是−3，
故选：C.
根据负数小于正数，两个负数，绝对值大的反而小，即可判断求解．
本题考查了实数的比较大小，掌握负数小于正数，两个负数，绝对值大的反而小是解题的关键．
3.【答案】A
【解析】解：将数据0.000007用科学记数法表示为7×10−6.
故选：A.
将原数化为a×10−n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，n的值等于把原数变为a时小数点移动的位数．
本题主要考查了用科学记数法表示绝对值小于1的数，掌握用科学记数法表示绝对值小于1的数的方法：将原数化为a×10−n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数是关键．
4.【答案】B
【解析】解：A、翻开数学课本为旋转，故本选项不符合题意；
B、升降电梯的上下移动是平移，故本选项符合题意；
C、电扇扇叶转动为旋转，故本选项不符合题意；
D、荡秋千运动为旋转，故本选项不符合题意；
故选：B.
根据平移的定义，旋转的定义对各选项分析判断即可得解．
本题考查了生活中的平移现象，把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同，图形的这种移动叫做平移．注意平移是图形整体沿某一直线方向移动．
5.【答案】D
【解析】解：解不等式12x−2<0，
得x<4.
故选：D.
先求解不等式，再确定满足不等式的选项．
本题考查了一元一次不等式的解法．会求解一元一次不等式是解决本题的关键．
6.【答案】A
【解析】解：由解集在数轴上的表示可知，该不等式组为x≤2x>3，
故选：A.
根据不等式组的表示方法，可得答案．
本题考查了在数轴上表示不等式的解集，利用不等式组的解集的表示方法：大小小大中间找是解题关键．
7.【答案】D
【解析】解：A、2m×3m=6m2，故此选项不符合题意；
B、2(m−n)=2m−2n，故此选项不符合题意；
C、(m+2n)2=m2+4mn+4n2，故此选项不符合题意；
D、(m+3)(m−3)=m2−9，故此选项符合题意；
故选：D.
根据单项式乘单项式、单项式乘多项式、完全平方公式、平方差公式分别计算判断即可．
本题考查了整式的混合运算，熟练掌握单项式乘单项式、单项式乘多项式、完全平方公式、平方差公式是解题的关键．
8.【答案】A
【解析】解：∵点A为直线BC外一点，且AC⊥BC于点C，
∴AP≥AC=3.6，
∴线段AP长不可能是3.5.
故选：A.
根据垂线段最短得到AP≥AC进行解答．
本题考查点到直线距离，掌握垂线段最短是关键．
9.【答案】B
【解析】解：∵CA⊥CB，
∴∠ACB=90∘，
∵∠1=43∘，
∴∠BAC=90∘−43∘=47∘，
∵a//b，
∴∠2=∠BAC=47∘.
故选：B.
由直角三角形的性质得到∠BAC=90∘−43∘=47∘，由平行线的性质推出∠2=∠BAC=47∘.
本题考查平行线的性质，关键是由平行线的性质推出∠2=∠BAC=47∘.
10.【答案】C
【解析】解：m2−1m⋅1m+1
=(m+1)(m−1)m⋅1m+1
=m−1m，
故选：C.
先进行因式分解，再运用分式的基本性质进行约分、化简．
此题考查了对分式进行约分化简的能力，关键是能准确理解并运用因式分解和分式基本性质进行求解．
11.【答案】A
【解析】解：A、∵∠1=∠3，
∴AB//DC，选项A符合题意；
B、∵∠2=∠4，
∴AD//BC，选项B不合题意，
C、∵∠A=∠CBE，
∴AD//BC，选项C不合题意，
D、∵∠C+∠ADC=180∘，
∴AD//BC，选项D不合题意，
故选：A.
根据平行线的判定方法一一判断即可．
此题考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定方法是解本题的关键．
12.【答案】C
【解析】解：∵y1=1x−1，
∴y2=11−y1=11−1x−1=x−1x−2，
y3=11−y2=11−x−1x−2=2−x，
y4=11−y3=11−(2−x)=1x−1=y1，
y5=11−y4=11−y1=y2，
y6=11−y5=11−y2=y3，
由此类推，2024=674×3+2，
得y2024=y2=x−1x−2，
故选：C.
分别用式子表示出y1、y2、y3、y4、y5、y6……的结果，再根据规律得到结果．
本题考查了分式的混合运算，解题的关键是根据式子的变化规律来解答．
13.【答案】0
【解析】解：∵一个数的平方根与立方根相同，
∴这个数为0.
故答案为：0.
由于一个数的平方根与立方根相同，根据平方根的定义这个数只能是非负数，然后根据立方根和平方根相等即可确定这个数．
此题主要考查了立方根、平方根的定义和性质，其中分别利用了：求一个数的立方根，应先找出所要求的这个数是哪一个数的立方；求一个数的平方根，应先找出所要求的这个数是哪一个数的平方．
14.【答案】(x+2y)(x−2y)
【解析】解：x2−4y2=(x+2y)(x−2y).
故答案为：(x+2y)(x−2y).
直接利用平方差公式分解因式得出答案．
此题主要考查了公式法分解因式，熟练应用平方差公式是解题关键．
15.【答案】x≠−2
【解析】解：根据题意得x+2≠0，
解得x≠−2，
故答案为：x≠−2.
根据分式有意义的条件：分母不等于0即可得出答案．
本题考查了分式有意义的条件，掌握分式有意义的条件：分母不等于0是解题的关键．
16.【答案】1
【解析】解：∵将△ABC沿射线AC方向平移2cm得到△A′B′C′，
∴AA′=2cm，
又∵AC=3cm，
∴A′C=AC−AA′=1cm.
故答案为：1.
先根据平移的性质得出AA′=2cm，再利用AC=3cm，即可求出A′C的长．
本题主要考查对平移的性质的理解和掌握，能熟练地运用平移的性质进行推理是解此题的关键．
17.【答案】12
【解析】解：设这个队答对了x道题，则答错或放弃(20−x)道题，
根据题意得：10x−4(20−x)≥88，
解得：x≥12，
∴x的最小值为12，即这个队至少答对12道题．
故答案为：12.
设这个队答对了x道题，则答错或放弃(20−x)道题，利用得分=10×答对题目数−4×答错或放弃题目数，结合得分不低于88分，可列出关于x的一元一次不等式，解之取其中的最小值，即可得出结论．
本题考查了一元一次不等式的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键．
18.【答案】3
【解析】解：∵(a+b)2=16，(a−b)2=4，
∴(a+b)2−(a−b)2=4ab=12，
∴ab=3，
∴长方形面积为3，
故答案为：3.
将所给两个式子作差可得(a+b)2−(a−b)2=4ab=12，即可求长方形面积．
本题考查完全平方公式，理解题意，能灵活运用公式是解题的关键．
19.【答案】解：|−3|+20240−(14)−1+ 9
=3+1−4+3
=3.
【解析】根据绝对值、零指数幂、负整数指数幂、算术平方根的运算法则分别计算即可．
本题考查了实数的运算，熟练掌握绝对值、零指数幂、负整数指数幂、算术平方根的运算法则是解题的关键．
20.【答案】解：y−6xy+9x2y
=y(1−6x+9x2)
=y(1−3x)2.
【解析】先提取公因式，然后利用完全平方公式分解因式即可．
本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握提取公因式法、公式法分解因式是解题的关键．
21.【答案】解：x2−1x2+2x+1÷(1−1x)，
=(x+1)(x−1)(x+1)2÷(x−1x)，
=(x−1)(x+1)⋅xx−1，
=xx+1，
把x=−3代入xx+1中得：xx+1=−3−3+1=32.
【解析】根据题意先计算括号内的，再计算除法即可得到结果，再将x=−3代入结果中即可求得本题答案．
本题考查分式化简求值．根据题意先计算括号内的，再计算除法即可得到结果，再将x=−3代入结果中即可求得本题答案．
22.【答案】解：6x−2=4x+3，
去分母得：6(x+3)=4(x−2)，
解得：x=−13，
经检验：x=−13是原方程的解．
【解析】方程两边都乘以最简公分母(x−2)(x+3)，把分式方程化为整式方程，然后求解即可，最后进行检验．
本题考查了解分式方程，掌握解分式方程的一般步骤是解决本题的关键．
23.【答案】解：(1)∵射线OF平分∠AOC，∠AOF=25∘，
∴∠AOC=2∠AOF=50∘，
∴∠BOD=∠AOC=50∘；
(2)∵OE⊥AB，
∴∠AOE=90∘，
∵∠AOC=50∘，
∴∠COE=90∘−∠AOC=90∘−50∘=40∘.
【解析】(1)根据角平分的定义和对顶角相等可得答案；
(2)根据垂直的定义得∠AOE=90∘，然后由角的和差关系可得答案．
此题考查的是垂线的定义，掌握其概念是解决此题关键．
24.【答案】证明：(1)因为OC平分∠AOF，OD平分∠BOF，
所以∠COF=12∠AOF，∠DOF=12∠BOF.
因为∠AOF+∠BOF=180∘，
所以∠COD=∠COF+∠DOF=12(∠AOF+∠BOF)=90∘，
所以OC⊥OD；
(2)由(1)知∠COD=90∘，
所以∠1+∠DOB=90∘，
因为∠D与∠1互余，
所以∠D+∠1=90∘，
所以∠D=∠DOB，
所以ED//AB.
【解析】(1)利用角平分线的定义结合平角的性质即可证明；
(2)利用∠COD=90∘结合已知求得∠D=∠DOB，根据“内错角相等，两直线平行”即可证明结论．
本题主要考查了余角和补角，垂线的定义，平行线的判定等知识点，掌握平行线的常见判定方法成为解题的关键．
25.【答案】解：(1)设《几何原本》的单价为x元，则《九章算术》的单价为(x+15)元，
由题意得：1080x+15=720x，
解得：x=30，
经检验，x=30是原方程的解，且符合题意，
∴x+15=45，
答：《几何原本》的单价为30元，《九章算术》的单价为45元；
(2)设学校购买了m本《几何原本》，则购买了(80−m)本《九章算术》，
由题意得：30×0.6m+45×0.6×(80−m)≤1800，
解得：m≥40，
答：学校至少购买了40本《几何原本》．
【解析】(1)设《几何原本》的单价为x元，则《九章算术》的单价为(x+15)元，根据用1080元购买《九章算术》的数量与用720元购买《几何原本》的数量相同．列出分式方程，解方程即可；
(2)设学校购买了m本《几何原本》，则购买了(80−m)本《九章算术》，根据学校在不超过预算1800元，列出一元一次不等式，解不等式即可．
本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出分式方程；(2)找出数量关系，正确列出一元一次不等式．
26.【答案】NAE ECQ
【解析】解：(1)如图1中，作EH//MN，
∵MN//PQ，EH//MN，
∴MN//EH//PQ，
∴∠NAE=∠AEH，∠ECQ=∠CEH，
∴∠AEC=∠AEH+∠CEH=∠EAN+∠ECQ.
故答案为：NAE，ECQ；
(2)如下图，过点E作EF//l1.
∵l1//l2，
∴EF//l2.
∵l1//l2，
∴∠BCD=∠α=70∘，∠BAD=∠β=34∘.
∵CE是∠BCD的平分线，AE是∠BAD的平分线，
∴∠ECD=12×70∘=35∘，∠BAE=12×34∘=17∘.
∵EF//l2，EF//l1，
∴∠FEC=∠ECD=35∘，∠AEF=∠BAE=17∘，
∴∠AEC=∠AEF+∠FEC=52∘；
(3)如图2，过点E作EH//l1，
∴EH//l2.
∵l1//l2，
∴∠BCD=∠α=70∘，∠BAD=180∘−∠β=146∘.
∵CE是∠BCD的平分线，AE是∠BAD的平分线，
∴∠ECD=12×70∘=35∘，∠BAE=12×146∘=73∘.
∵EH//l2，EH//l1，
∴∠HEC=∠ECD=35∘，∠AEH=180∘−∠BAE=107∘，
∴∠AEC=∠AEH+∠HEC=142∘.
(1)如图1中，作EH//MN，利用平行线的性质求解即可．
(2)利用平行线的定义结合角平分线的定义得出∠ECD以及∠AEF的度数即可得出答案；
(3)利用平行线的性质结合角平分线的定义得出∠BAE以及∠AEH的度数即可得出答案．
此题主要考查了平移的性质以及角平分线的定义、平行线的性质等知识，正确应用平行线的性质得出各角之间关系是解题关键．