2023-2024学年湖南省永州市祁阳市七年级（下）期末数学试卷（含详细答案解析）

这是一份2023-2024学年湖南省永州市祁阳市七年级（下）期末数学试卷（含详细答案解析），共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.计算(a3b)2的结果是( )
A. a5bB. a5b3C. a6bD. a6b2
2.在以下回收、绿色食品、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
3.下面是2024年丽江市某周发布的最高温度：16℃，19℃，22℃，24℃，26℃，24℃，23℃.关于这组数据，下列说法正确的是( )
A. 中位数是24B. 众数是24C. 平均数是20D. 方差是9
4.若方程组4a+b=82a−b=4，则a+b的值为( )
A. 2B. −2C. 1D. −1
5.下列因式分解不正确的是( )
A. a2−ab=a(a−b)B. ab2−a=a(b+1)(b−1)
C. a2−2a+4=(a−2)2D. (a−b)2+4ab=(a+b)2
6.如图，将△ABC绕点C顺时针旋转90∘得到△EDC.若∠ACB=20∘，则∠ACD的度数是( )
A. 55∘
B. 60∘
C. 65∘
D. 70∘
7.如图，下列结论不正确的是( )
A. 若∠2=∠C，则AE//CD
B. 若AD//BC，则∠1=∠B
C. 若AE//CD，则∠1+∠3=180∘
D. 若∠1=∠2，则AD//BC
8.在同一平面内，已知a//b，b//c，若直线a、b之间的距离为7cm，直线b、c之间的距离为3cm，则直线a、c间的距离为( )
A. 4cm或10cmB. 4cmC. 10cmD. 不确定
9.请欣赏我国古典文学名著《西游记》描述孙悟空追妖精的数学诗：悟空顺风探妖踪，千里只行四分钟，归时四分行六百，风速多少才称雄？解释：孙悟空顺风去查妖精的行踪，4分钟就飞跃1000里，逆风返回时4分钟走了600里.若设孙悟空的速度为x里/分钟，风速为y里/分钟，则可列方程组( )
A. 4x+y=6004x−y=1000B. 4(x+y)=6004(x−y)=1000
C. 4x+y=10004x−y=600D. 4(x+y)=10004(x−y)=600
10.如图所示，在边长为a的正方形中，剪去一个边长为b的小正方形(a>b)，将余下部分拼成一个梯形，根据两个图形阴影部分面积的关系，可以得到一个关于a、b的恒等式为( )
A. (a−b)2=a2−2ab+b2B. (a+b)2=a2+2ab+b2
C. a2−b2=(a+b)(a−b)D. a2+ab=a(a+b)
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
11.分解因式：x2−2024x=______.
12.已知3m=1，则3m+2=______.
13.若x=3y=−2是二元一次方程ax+by=2的一个解，则2026−3a+2b的值为______.
14.某市举办了“传诵经典”青少年演讲比赛，其中综合荣誉分占30%，现场演讲分占70%，小明参加并在这两项中分别取得80分(综合荣誉)和90分(现场演讲)的成绩，则小明的最终成绩为______分.
15.如图，直线AB//CD，BC平分∠ABD，若∠1=50∘，则∠2的度数是______.
16.若x2+mx+9是关于x的完全平方式，则m=______.
17.如图：AD//BC，AD=BC=2CE，△DCE的面积为4，则四边形ABCD的面积为______.
18.设a1，a2，⋯，a2022，a2023，a2024是从1，0，−1这三个数取值的一组数，若a1+a2+⋯+a2023+a2024=70，(a1+1)2+(a2+1)2+⋯+(a2023+1)2+(a2024+1)2=4166，则a1，a2，⋯，a2023，a2024中为0的个数是______.
三、解答题：本题共8小题，共66分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题6分)
解方程组：x+y=2y=2x−1.
20.(本小题6分)
分解因式：
(1)2m2−4m；
(2)x2y−6xy2+9y3.
21.(本小题8分)
先化简，再求值：2x(x2−x+1)−x(2x2+2x−3)，其中x=1.
22.(本小题8分)
如图，已知三角形ABC和直线PQ.
(1)画出三角形ABC关于直线PQ成轴对称的三角形；
(2)画出三角形ABC绕它的顶点B按逆时针方向旋转90∘后的图形．
23.(本小题9分)
如图，在△ABC中，CE//AB，F、G是AB、BC上的两点，∠1+∠2=180∘.
(1)求证：FG//AC；
(2)若∠1=110∘，CE平分∠ACD，求∠B的度数.
24.(本小题9分)
为了响应“绿色环保，节能减排”的号召，小华家准备购买A，B两种型号的节能灯，已知购买1盏A型和2盏B型节能灯共需要40元，购买2盏A型和3盏B型节能灯共需要70元.
(1)A，B两种型号节能灯的单价分别是多少元？
(2)若要求这两种节能灯都买，且恰好用了50元，则有哪几种购买方案？
25.(本小题10分)
阅读材料：我们知道：若几个非负数相加得零，则这些数都必同时为零.
例如：①(a−1)2+(b+5)2=0，我们可以得：(a−1)2=0，(b+5)2=0，
所以a=1，b=−5.
②若m2−4m+n2+6n+13=0，求m、n的值.
解：因为m2−4m+n2+6n+13=0，
所以(m2−4m+4)+(n2+6n+9)=0(我们将13拆成4和9，等式左边就出现了两个完全平方式)
所以(m−2)2+(n+3)2=0，
所以(m−2)2=0，(n+3)2=0，
所以n=2，m=−3.
根据你的观察，探究下面的问题：
(1)a2−4a+4+b2=0，则a=______，b=______.
(2)已知x2+2xy+2y2−6y+9=0，求xy的值.
(3)已知a，b(a≠b)是长方形的长和宽，且满足a2+2b2−6a−8b+17=0，求长方形的周长.
26.(本小题10分)
综合与实践
综合与实践课上，老师让同学们以“平行中的数量关系”为主题开展数学活动.已知AB//CD，BF为∠ABE的平分线，DF为∠CDE的平分线，BF和DF相交于点F.
探究问题
(1)在图1中，请直接写出∠BFD，∠ABF，∠CDF之间的数量关系，并说明理由.
(2)在图1中，∠BFD，∠ABE，∠CDE之间的数量关系为：______.
知识迁移
(3)如图2，若∠E+8∠M=360∘,∠ABM=14∠EBF，试猜想∠CDM和∠MDF间的数量关系，并说明理由.
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：(a3b)2=a6b2.
故选：D.
根据幂的乘方与积的乘方进行计算即可．
本题考查了幂的乘方和积的乘方，能正确运用幂的乘方和积的乘方进行计算是解此题的关键，注意：(am)n=amn，(ab)n=anbn.
2.【答案】B
【解析】解：A、不是轴对称图形，故本选项错误；
B、是轴对称图形，故本选项正确；
C、不是轴对称图形，故本选项错误；
D、不是轴对称图形，故本选项错误．
故选：B.
根据轴对称图形的概念对各选项分析判断求解即可．
本题考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可完全重合．
3.【答案】B
【解析】解：将数据按从小到大排列为：16、19、22、23、24、24、29，
故中位数为：23，故A选项错误，不符合题意；
众数是24，故B选项正确，符合题意；
平均数为17×(16+19+22+23+24+24+26)=22，故C错误，不符合题意；
方差是：17×[(16−22)2+(19−22)2+(22−22)2+(23−22)2+(24−22)2+(24−22)2+(26−22)2]=10，故D选项错误，不符合题意；
故选：B.
根据中位数、众数、平均数、方差的求法逐项判断即可．
此题主要考查了众数、中位数、极差、平均数的定义，正确掌握相关的定义是解题关键．
4.【答案】A
【解析】解：{4a+b=8①2a−b=4②，
由①-②得：2a+2b=4，
∴2(a+b)=4，
∴a+b=2，
故选：A.
先观察方程组中未知数系数，可以发现方程组两方程相减表示出a+b即可．
本题主要考查了二元一次方程组的解，掌握方程组的解法是解题的关键．
5.【答案】C
【解析】解：A.a2−ab=a(a−b)，因式分解正确，故该选项不符合题意；
B.ab2−a=a(b+1)(b−1)，因式分解正确，故该选项不符合题意；
C.a2−2a+4≠(a−2)2=a2−4a+4，原因式分解错误，故该选项符合题意；
D.(a−b)2+4ab=a2+b2−2ab+4ab=(a+b)2，因式分解正确，故该选项不符合题意；
故选：C.
用提公因式法，综合提公因式以及公式法，公式法等方法一一分析判断即可．
本题主要考查了因式分解，先提取公因式，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解即可．
6.【答案】D
【解析】解：∵△ABC绕点C顺时针旋转90∘得到△EDC.
∴∠BCD=90∘，
∵∠ACB=20∘，
∴∠ACD=∠BCD−∠ACB=90∘−20∘=70∘.
故选：D.
由已知得旋转角∠BCD=90∘，再根据∠ACB=20∘，即可求∠ACD的度数．
本题考查了旋转的性质，根据题意找出与已知和问题相关的旋转角是解题的关键，题目较简单．
7.【答案】B
【解析】解：A：∵∠2=∠C，
由同位角相等两直线平行，
可得AE//CD，
故A正确，
B：∵AD//BC，
∴∠1=∠2，
而∠2和∠B不一定相等，
故B错误，
C：∵AE//CD，
由两直线平行同旁内角互补，
可得：∠1+∠3=180∘，
故C正确，
D：∵∠1=∠2，
由内错角相等两直线平行，
可得：AD//BC，
故D正确．
故选：B.
由两条直线平的判定和性质定理逐项判定即可．
此题考查两条直线平行的判定和性质，关键是对性质和判定定理的掌握和运用．
8.【答案】A
【解析】解：当直线c在直线a、b之间时，如图(1)，
直线a、c间的距离为7−3=4(cm)；
当直线c在直线a、b外部时，如图(2)，
直线a、c间的距离为7+3=10(cm)，
∴直线a、c间的距离是4或10cm.
故选：A.
分两种情况，当直线c在直线a、b之间时，当直线c在直线a、b外部时，即可解决问题．
本题考查平行线的距离，解题时注意分类讨论．
9.【答案】D
【解析】解：设孙悟空的速度为x里/分钟，风速为y里/分钟，
则可列方程组为：4(x+y)=10004(x−y)=600；
故选：D.
根据顺风去查妖精的行踪，4分钟就飞跃1000里，逆风返回时4分钟走了600里，列出方程组即可．
本题考查有实际问题抽象出二元一次方程组，找到等量关系是关键．
10.【答案】C
【解析】解：正方形中，S阴影=a2−b2；
梯形中，S阴影=12(2a+2b)(a−b)=(a+b)(a−b)；
故所得恒等式为：a2−b2=(a+b)(a−b).
故选：C.
可分别在正方形和梯形中表示出阴影部分的面积，两式联立即可得到关于a、b的恒等式．
此题主要考查的是平方差公式的几何表示，运用不同方法表示阴影部分面积是解题的关键．
11.【答案】x(x−2024)
【解析】解：x2−2024x式子中含有公因数x，
∴x2−2024x=x(x−2024)，
故答案为：x(x−2024).
根据式子的特点将公因数提取出来即可得到结果．
本题考查了提公因式法分解因式，用适当的方法分解因式是解题的关键．
12.【答案】9
【解析】解：∵3m=1，
∴3m+2=3m×32=1×9=9，
故答案为：9.
由3m+2=3m×32，再代入计算即可．
本题考查的是同底数幂的乘法的逆运算，掌握运算法则是解本题的关键．
13.【答案】2024
【解析】解：∵x=3y=−2是二元一次方程ax+by=2的一个解，
∴把x=3y=−2代入ax+by=2，得3a−2b=2，
∴2026−3a+2b=2026−(3a−2b)=2026−2=2024，
故答案为：2024.
由题意知，3a−2b=2，根据2026−3a+2b=2026−(3a−2b)，代值求解即可．
本题考查了二元一次方程的解，代数式求值．熟练掌握二元一次方程的解，代数式求值是解题的关键．
14.【答案】87
【解析】解：小明的最终比赛成绩为：80×30%+90×70%=24+63=87(分)，
故答案为：87.
根据加权平均数的公式计算，即可求解．
本题考查了加权平均数，根据加权平均数的公式列出算式是本题的关键．
15.【答案】80∘
【解析】解：∵AB//CD
∴∠ABC=∠1=50∘，∠ABD+∠BDC=180∘，
∵BC平分∠ABD，
∴∠ABD=2∠ABC=100∘，
∴∠BDC=180∘−∠ABD=80∘，
∴∠2=∠BDC=80∘.
故答案为：80∘.
先根据平行线的性质求出∠ABD的度数，再由角平分线的定义即可得出结论．
本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，同旁内角互补．
16.【答案】±6.
【解析】解：根据完全平方公式，得
(m2)2=9，
解得m=±6，
故答案为：±6.
当二次项系数为1时，完全平方式满足：一次项系数一半的平方等于常数项，即(m2)2=9，由此可求m的值．
本题是完全平方公式的应用，两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式，注意积的2倍的符号，避免漏解，难度适中．
17.【答案】16
【解析】解：过D作DF⊥BC于F，
∵△DCE的面积为4，
∴12×CE×DF=4，
∴CE×DF=8，
∵AD//BC，AD=BC=2CE，
∴四边形ABCD的面积S=12(AD+BC)×DF
=12×(2CE+2CE)×DF
=2CE×DF
=2×8
=16，
故答案为：16.
过D作DF⊥BC于F，根据△DCE的面积为4求出CE×DF=8，求出四边形ABCD的面积S=12(AD+BC)×DF=2CE×DF，再代入求出答案即可．
本题考查了平行线的性质，三角形的面积和梯形的面积等知识点，能求出四边形ABCD的面积=2CE×DF是解此题的关键．
18.【答案】22
【解析】解：∵(a1+1)2+(a2+1)2+⋅⋅⋅+(a2023+1)2+(a2024+1)2=4166，
∴(a12+a22+⋯+a20232+a 22024)+2(a1+a2+⋯+a2023+a2024)+2024=4166，
∵a1+a2+⋅⋅⋅+a2023+a2024=70，
∴a12+a22+⋯+a20232+a 22024=2002，
设有x个1，n个0，y个−1，
∴x+y=2002，
∵2024−2002=22，
∴a1，a2，⋅⋅⋅，a2023，a2024中为0的个数为22个，
故答案为：22.
由题意结合完全平方公式得出a_1，设有x个1，n个0，y个−1，则x+y=2002，由此即可得出答案．
本题考查了数字类变化规律，熟练掌握完全平方公式进行计算是关键．
19.【答案】解：{x+y=2①y=2x−1②，
把②式代入①可得出：x+2x−1=2，
解得：x=1，
把x=1代入①可得出1+y=2，
解得：y=1，
∴方程组的解集为：x=1y=1.
【解析】把②式代入①式求出x，再把x=1代入①式求出y即可．
本题主要考查了解二元一次方程组，解题的关键是掌握代入消元法解方程组．
20.【答案】解：(1)2m2−4m
=2m(m−2)；
(2)x2y−6xy2+9y3
=y(x2−6xy+9y2)
=y(x−3y)2.
【解析】(1)用提公因式法分解因式即可．
(2)综合运用提公因式法以及公式法分解因式即可．
本题考查提公因式法与公式法的综合运算，熟练掌握相关的知识点是解题的关键．
21.【答案】解：2x(x2−x+1)−x(2x2+2x−3)
=2x3−2x2+2x−2x3−2x2+3x
=−4x2+5x，
当x=1时，原式=−4+5=1
【解析】先计算单项式乘以多项式，再合并同类项，最后代入数值求解即可．
本题主要考查了整式的化简求值，熟练掌握整式的运算法则是关键．
22.【答案】解：(1)如图△DEF即为所求．
(2)如图，△BA′C′即为所求．

【解析】(1)分别作出A，B，C的对应点D，E，F即可．
(2)分别作出，A，C的对应点A′，C′即可．
本题考查作图-旋转变换，轴对称变换等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于常考题型．
23.【答案】(1)证明：∵CE//AB，
∴∠2=∠A，
∵∠1+∠2=180∘，
∴∠1+∠A=180∘，
∴FG//AC.
(2)解：∵∠1+∠2=180∘，∠1=110∘，
∴∠2=70∘，
∵CE平分∠ACD，
∴∠2=∠ECD=70∘，
∵CE//AB，
∴∠B=∠ECD=70∘.
【解析】(1)首先由CE//AB得∠2=∠A，再根据∠1+∠2=180∘，由此得∠1+∠A=180∘，据此可得出结论；
(2)先由∠1+∠2=180∘，∠1=110∘得∠2=70∘，再由CE平分∠ACD，得∠2=∠ECD=70∘，最后再根据CE//AB可得∠B的度数．
此题主要考查了平行线的判定和性质，解答此题的关键是准确识图，熟练掌握平行线的判定及性质．
24.【答案】解：(1)设A种型号节能灯的单价为x元，B种型号节能灯的单价为y元，
由题意得，x+2y=402x+3y=70，
解得x=20y=10，
答：A种型号节能灯的单价为20元，B种型号节能灯的单价为10元；
(2)设购买A种型号节能灯m盏，B种型号节能灯n盏，
∴20m+10n=50，即2m+n=5，
∵m、n均为正整数，
∴m=1n=3或m=2n=1，
∴共有两种购买方案，分别是：方案①：购买A种型号节能灯1盏，B种型号节能灯2盏；方案②：购买A种型号节能灯2盏，B种型号节能灯1盏．
【解析】(1)设A种型号节能灯的单价为x元，B种型号节能灯的单价为y元，根据购买1盏A型和2盏B型节能灯共需要40元，购买2盏A型和3盏B型节能灯共需要70元列出方程组求解即可；
(2)设购买A种型号节能灯m盏，B种型号节能灯n盏，根据恰好用了50列出方程求解即可．
本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，二元一次方程的实际应用，关键是根据题意找到等量关系式．
25.【答案】2 0
【解析】解：(1)∵a2−4a+4+b2=0，
∴(a−2)2+b2=0，
∴a−2=0，b=0，
∴a=2，b=0.
故答案是：2；0；
(2)∵x2+2xy+2y2−6y+9=0，
∴x2+2xy+y2+y2−6y+9=0.
∴(x+y)2+(y−3)2=0.
∴x+y=0，y−3=0.
∴y=3，x=−y=−3.
∴xy=(−3)3=−27；
(3)∵2a2+b2−8a−6b+17=0，
∴2a2−8a+8+b2−6b+9=0，
∴2(a2−4a+4)+b2−6b+9=0，
∴2(a−2)2+(b−3)2=0，
∴a−2=0，b−3=0，
∴a=2，b=3，
∴长方形的周长为：2(a+b)=2×(2+3)=10.
(1)利用完全平方公式变形把等式化成几个非负数相加得零的形式即可；
(2)利用完全平方公式变形把等式化成几个非负数相加得零的形式即可求出x、y的值，然后代入求值．
(3)同(2)根据完全平方公式求出a，b的值，然后根据长方形的周长公式计算即可．
此题考查完全平方公式的应用，以及偶次方的非负性质的应用，正确记忆修改知识点是解题关键．
26.【答案】∠ABE+∠CDE=2∠BFD
【解析】解：(1)如图所示，过点F作FG//AB，
∵AB//CD，
∴AB//FG//CD，
∴∠ABF=∠BFG，∠CDF=∠DFG，
∵∠BFG+∠DFG=∠BFD，
∴∠BFD=∠ABF+∠CDF；
(2)由(1)证明可知，∠BFD=∠ABF+∠CDF，
∵BF为∠ABE的平分线，DF为∠CDE的平分线，
∴∠ABF=∠FBE=12∠ABE，∠CDF=∠FDE=12∠CDE，
∴∠BFD=12∠ABE+12∠CDE，
∴∠ABE+∠CDE=2∠BFD；
故答案为：∠ABE+∠CDE=2∠BFD.
(3)∠MDF=3∠CDM，理由如下：
如图所示，过点E作EQ//AB，过点M作MP//AB，
设∠CDM=x，∠ABM=y，
∵CD//AB，
∴EQ//MP//AB//CD，
∴∠CDM=∠PMD=x，∠ABM=∠PMB=y，
∵∠ABE+∠QEB=180∘，∠CDE+∠QED=180∘，
∴∠ABE+∠QEB+∠CDE+∠QED=360∘，
∴∠ABE+∠CDE+∠BED=360∘，
∴∠BDE=360−(∠ABE+∠CDE)，
∵∠E+8∠M=360∘，即∠BED+8∠BMD=360∘，
∴360∘−(∠ABE+∠CDE)+8∠BMD=360∘，
∴8∠BMD=∠ABE+∠CDE，
∵∠BMD=∠PMD+∠PMB=x+y，
∴8∠BMD=8x+8y=∠ABE+∠CDE，
∵∠ABM=14∠EBF=y，
∴∠EBF=4y，
∵BF为∠ABE的平分线，DF为∠CDE的平分线，
∴∠EBF=∠ABF=4y，∠CDF=∠EDF，
∴∠ABE=8y，
∵∠ABE+∠CDE=8x+8y，
∴∠CDE=8x，
∴∠CDF=∠EDF=4x，
∵∠CDM=x，
∴∠MDF=3x，
∴∠MDF=3∠CDM.
(1)如图所示，过点F作FG//AB，根据两直线平行内错角相等即可求解∠BFD，∠ABF，∠CDF之间的数量的关系；
(2)根据角平分线的定义可求出∠BFD，∠ABE，∠CDE之间的数量关系；
(3)如图所示，过点E作EQ//AB，过点M作MP//AB，设∠CDM=x，∠ABM=y，根据平行线的性质，角平分线的定义可得∠ABE=8y，∠ABE+∠CDE=8x+8y，∠CDE=8x，由此可得∠CDF=∠EDF=4x，所以根据∠CDM=x，∠MDF=3x即可求解．
本题主要考查角平分线的定义，平行线的性质的综合，理解图示，作辅助线，掌握平行线的性质的综合运用是解题的关键．