新高考数学一轮复习知识清单+巩固练习专题11 等差数列与等比数列（2份打包，原卷版+解析版）

这是一份新高考数学一轮复习知识清单+巩固练习专题11 等差数列与等比数列（2份打包，原卷版+解析版），文件包含新高考数学一轮复习知识清单+巩固练习专题11等差数列与等比数列原卷版doc、新高考数学一轮复习知识清单+巩固练习专题11等差数列与等比数列解析版doc等2份试卷配套教学资源，其中试卷共45页， 欢迎下载使用。

一、知识速览
二、考点速览
知识点1 数列的有关概念
1、数列的定义及表示
（1）数列的定义：按照一定顺序排列的一列数称为数列．数列中的每一个数叫做这个数列的项．
（2）数列的表示法：数列有三种表示法，它们分别是列表法、图象法和解析式法．
2、数列的分类
3、数列的通项公式：如果数列 SKIPIF 1 < 0 的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表达，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．
4、数列的递推公式：如果已知数列 SKIPIF 1 < 0 的首项(或前几项)，且任一项 SKIPIF 1 < 0 与它的前一项 SKIPIF 1 < 0 (或前几项)间的关系可用一个公式来表示，那么这个公式叫做数列的递推公式．
知识点2 等差数列的概念及公式
1、等差数列的定义
（1）文字语言：一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数；
（2）符号语言： SKIPIF 1 < 0 ( SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为常数)．
2、等差中项：若三个数a，A，b组成等差数列，则A叫做a，b的等差中项．
3、通项公式与前n项和公式
（1）通项公式： SKIPIF 1 < 0 ．
（2）前 SKIPIF 1 < 0 项和公式： SKIPIF 1 < 0 ．
（3）等差数列与函数的关系
= 1 \* GB3 ①通项公式：当公差 SKIPIF 1 < 0 时，等差数列的通项公式 SKIPIF 1 < 0 是关于 SKIPIF 1 < 0 的一次函数，且一次项系数为公差 SKIPIF 1 < 0 .若公差 SKIPIF 1 < 0 ，则为递增数列，若公差 SKIPIF 1 < 0 ，则为递减数列．
= 2 \* GB3 ②前n项和：当公差 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 是关于 SKIPIF 1 < 0 的二次函数且常数项为0.
知识点3 等差数列的性质
已知数列 SKIPIF 1 < 0 是等差数列， SKIPIF 1 < 0 是其前 SKIPIF 1 < 0 项和．
1、等差数列通项公式的性质：
（1）通项公式的推广： SKIPIF 1 < 0 ．
（2）若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ．
（3）若 SKIPIF 1 < 0 的公差为d，则 SKIPIF 1 < 0 也是等差数列，公差为 SKIPIF 1 < 0 ．
（4）若 SKIPIF 1 < 0 是等差数列，则 SKIPIF 1 < 0 也是等差数列．
2、等差数列前 SKIPIF 1 < 0 项和的性质
（1） SKIPIF 1 < 0 ；
（2） SKIPIF 1 < 0 ；
（3）两个等差数列 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的前n项和 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 之间的关系为 SKIPIF 1 < 0 .
（4）数列 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，…构成等差数列．
3、关于等差数列奇数项和与偶数项和的性质
（1）若项数为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；
（2）若项数为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
知识点4 等比数列的概念及公式
1、等比数列的定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个非零常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母 SKIPIF 1 < 0 表示。
数学语言表达式： SKIPIF 1 < 0 ( SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为非零常数)．
2、等比中项性质：如果三个数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 成等比数列，那么 SKIPIF 1 < 0 叫做 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的等比中项，其中 SKIPIF 1 < 0 .
注意：同号的两个数才有等比中项。
3、通项公式及前n项和公式
（1）通项公式：若等比数列 SKIPIF 1 < 0 的首项为 SKIPIF 1 < 0 ，公比是 SKIPIF 1 < 0 ，则其通项公式为 SKIPIF 1 < 0 ；
通项公式的推广： SKIPIF 1 < 0 .
（2）等比数列的前 SKIPIF 1 < 0 项和公式：当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ；当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 .
知识点5 等比数列的性质
已知 SKIPIF 1 < 0 是等比数列， SKIPIF 1 < 0 是数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和．
1、等比数列的基本性质
（1）相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，…仍是等比数列，公比为 SKIPIF 1 < 0 .
（2）若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 （项数相同）是等比数列，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 仍是等比数列．
（3）若 SKIPIF 1 < 0 ，则有 SKIPIF 1 < 0
口诀：下标和相等，项的积也相等
推广： SKIPIF 1 < 0
（4）若 SKIPIF 1 < 0 是等比数列，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ）是以 SKIPIF 1 < 0 为首项， SKIPIF 1 < 0 为公差的等差数列。
（5）若 SKIPIF 1 < 0 是等比数列， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 构成公比为 SKIPIF 1 < 0 的等比数列。
2、等比数列前 SKIPIF 1 < 0 项和的性质
（1）在公比 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 为奇数时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，……仍成等比数列，其公比为 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）对 SKIPIF 1 < 0 ，有 SKIPIF 1 < 0 ；
（3）若等比数列 SKIPIF 1 < 0 共有 SKIPIF 1 < 0 项，则 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别是数列 SKIPIF 1 < 0 的偶数项和与奇数项和；
（4）等比数列的前 SKIPIF 1 < 0 项和 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 为常数，且 SKIPIF 1 < 0 ）
一、由前几项归纳数列通项的常用方法及具体策略
1、常用方法：观察(观察规律)、比较(比较已知数列)、归纳、转化(转化为特殊数列)、联想(联想常见的数列)等方法.
2、具体策略：①分式中分子、分母的特征；②相邻项的变化特征；③拆项后的特征；④各项的符号特征和绝对值特征；⑤化异为同，对于分式还可以考虑对分子、分母各个击破，或寻找分子、分母之间的关系；⑥对于符号交替出现的情况，可用 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 处理.
【典例1】（2023·全国·高三专题练习）已知数列 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，…则该数列的第211项为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【解析】由题意，该数列可表示为 SKIPIF 1 < 0 ，
该数列的通项公式为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，故选：A.
【典例2】（2023·全国·高三专题练习）若数列 SKIPIF 1 < 0 的前四项依次是2，0，2，0，则 SKIPIF 1 < 0 的通项公式不可能是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【解析】由题意知， SKIPIF 1 < 0 .
对于A，由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 符合条件，故A正确；
对于B，由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 符合条件，故B正确；
对于C，由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0
符合条件，故C正确；
对于D，由 SKIPIF 1 < 0 得， SKIPIF 1 < 0 ，
不符合条件，故D错误.故选：D.
【典例3】（2023·全国·高三专题练习）根据数列的前4项，写出它的一个通项公式：
（1）9，99，999，9999，…； （2） SKIPIF 1 < 0
（3） SKIPIF 1 < 0 ； （4） SKIPIF 1 < 0
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 ；（2） SKIPIF 1 < 0 ；（3） SKIPIF 1 < 0 ；（4） SKIPIF 1 < 0 .
【解析】（1）数列 SKIPIF 1 < 0 为：9，99，999，9999，…，
分析可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，…，
故 SKIPIF 1 < 0 .
（2）数列 SKIPIF 1 < 0 为： SKIPIF 1 < 0 ，
分析可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，…，
故 SKIPIF 1 < 0 .
（3）数列 SKIPIF 1 < 0 为： SKIPIF 1 < 0 ，
分析可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，…，
故 SKIPIF 1 < 0 .
（4）数列 SKIPIF 1 < 0 为： SKIPIF 1 < 0 ，
分析可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，…，
故 SKIPIF 1 < 0 .
二、数列周期性解题策略
1、周期数列的常见形式
（1）利用三角函数的周期性，即所给递推关系中含有三角函数；
（2）相邻多项之间的递推关系，如后一项是前两项的差；
（3）相邻两项的递推关系，等式中一侧含有分式，又较难变形构造出特殊数列．
2、解决此类题目的一般方法：根据给出的关系式求出数列的若干项，通过观察归纳出数列的周期，进而求有关项的值或者前 SKIPIF 1 < 0 项的和．
【典例1】（2023·全国·高三专题练习）（多选）已知数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】ACD
【解析】由题意 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，故A正确，
SKIPIF 1 < 0 ，故C正确；
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，∴数列 SKIPIF 1 < 0 是周期数列，周期为3．
SKIPIF 1 < 0 ，故B错误；
SKIPIF 1 < 0 ，故D正确．故选：ACD．
【典例2】（2023·全国·高三专题练习）已知数列 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 .
【答案】4047
【解析】由 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，得当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
两式相减并整理得 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
显然 SKIPIF 1 < 0 ，于是 SKIPIF 1 < 0 ，则有 SKIPIF 1 < 0 ，即当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
因此数列 SKIPIF 1 < 0 是以3为周期的周期数列，而 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为：4047
【典例3】（2023·全国·高三专题练习）设数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则数列的前2009项之和为 .
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
∴数列 SKIPIF 1 < 0 是以4为周期的数列， SKIPIF 1 < 0 .
由 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
三、求数列最大项或最小项的方法
（1）将数列视为函数 SKIPIF 1 < 0 当x∈N*时所对应的一列函数值，根据 SKIPIF 1 < 0 的类型作出相应的函数图象，或利用求函数最值的方法，求出 SKIPIF 1 < 0 的最值，进而求出数列的最大(小)项．
（2）通过通项公式 SKIPIF 1 < 0 研究数列的单调性，
利用 SKIPIF 1 < 0 确定最大项，利用 SKIPIF 1 < 0 确定最小项．
（3）比较法：
①若有 SKIPIF 1 < 0 （或 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ），
则 SKIPIF 1 < 0 ，即数列 SKIPIF 1 < 0 是递增数列，所以数列 SKIPIF 1 < 0 的最小项为 SKIPIF 1 < 0 ；
②若有 SKIPIF 1 < 0 （或 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ），
则 SKIPIF 1 < 0 ，即数列 SKIPIF 1 < 0 是递减数列，所以数列 SKIPIF 1 < 0 的最大项为 SKIPIF 1 < 0 ．
【典例1】（2023秋·河北张家口·高三统考开学考试）已知数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项的积为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则数列 SKIPIF 1 < 0 （ ）．
A．有最大项，有最小项 B．有最大项，无最小项
C．无最大项，有最小项 D．无最大项，无最小项
【答案】A
【解析】当 SKIPIF 1 < 0 时 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 为最小项， SKIPIF 1 < 0 为最大项．故选：A
【典例2】（2023·全国·高三专题练习）若数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项积 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最大值与最小值的和为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C．2 D．3
【答案】C
【解析】∵数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项积 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 时也适合上式，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴当 SKIPIF 1 < 0 时，数列 SKIPIF 1 < 0 单调递减，且 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时，数列 SKIPIF 1 < 0 单调递减，且 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 的最大值为 SKIPIF 1 < 0 ，最小值为 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 的最大值与最小值之和为2.故选：C.
【典例3】（2023秋·湖北·高三校联考阶段练习）（多选）已知数列 SKIPIF 1 < 0 的通项为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则（ ）
A．数列 SKIPIF 1 < 0 的最小项为 SKIPIF 1 < 0 B．数列 SKIPIF 1 < 0 的最大项为 SKIPIF 1 < 0
C．数列 SKIPIF 1 < 0 的最小值为－0.8 D．数列 SKIPIF 1 < 0 的最大值为2.4
【答案】BCD
【解析】 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 单调递增；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 单调递减，
又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以数列 SKIPIF 1 < 0 的最大项为 SKIPIF 1 < 0 ，无最小项，故A错误，B正确；
SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 单调递减， SKIPIF 1 < 0 ；
当 SKIPIF 1 < 0 时，各项为正且 SKIPIF 1 < 0 单调递减， SKIPIF 1 < 0
所以数列 SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 ，
数列 SKIPIF 1 < 0 的最大值为 SKIPIF 1 < 0 ，故CD正确，故选：BCD
四、等差数列的基本运算的解题策略
1、等差数列的通项公式及前n项和公式共涉及五个量a1，an，d，n，Sn，知其中三个就能求另外两个，体现了方程思想．
2、数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换的作用，而a1和d是等差数列的两个基本量，用它们表示已知量和未知量是常用方法．
【典例1】（2023秋·江西吉安·高三校考开学考试）已知 SKIPIF 1 < 0 为等差数列， SKIPIF 1 < 0 为其前 SKIPIF 1 < 0 项和， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．36 B．45 C．54 D．63
【答案】B
【解析】设公差为 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .故选：B.
【典例2】（2023秋·湖南益阳·高三统考阶段练习）（多选）设等差数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0 最大
【答案】AB
【解析】设等差数列的公差为 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
化简得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 正确；
SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 正确；
SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 错误；故选： SKIPIF 1 < 0
【典例3】（2023·全国·高三专题练习）已知等差数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则实数m的值是 ．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】依题意 SKIPIF 1 < 0 ，
设等差数列 SKIPIF 1 < 0 的公差为 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
两式相减得 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 .故答案为： SKIPIF 1 < 0
五、等差数列的判定与证明的方法：
1、定义法： SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 是等差数列；
2、定义变形法：验证是否满足 SKIPIF 1 < 0 ；
3、等差中项法： SKIPIF 1 < 0 为等差数列；
4、通项公式法：通项公式形如 SKIPIF 1 < 0 为常数 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 为等差数列；
5、前n项和公式法： SKIPIF 1 < 0 为常数 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 为等差数列．
注意：（1）若判断一个数列不是等差数列，只需找出三项 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 即可；
（2）如果要证明一个数列是等差数列，则必须用定义法或等差中项法．
【典例1】（2023·福建·校联考模拟预测）已知数列 SKIPIF 1 < 0 的首项不为零，满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 .
【答案】2023
【解析】因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0
两式相加得 SKIPIF 1 < 0 .
故数列 SKIPIF 1 < 0 的奇数项成等差数列，公差为 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
【典例2】（2023·全国·高三专题练习）在数列 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 是1与 SKIPIF 1 < 0 的等差中项，求证：数列 SKIPIF 1 < 0 是等差数列.
【答案】证明见解析
【解析】证明：因为 SKIPIF 1 < 0 是1与 SKIPIF 1 < 0 的等差中项，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，是常数，
故数列 SKIPIF 1 < 0 是等差数列.
【典例3】（2023·全国·高三专题练习）记 SKIPIF 1 < 0 为数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和．已知 SKIPIF 1 < 0 ．证明： SKIPIF 1 < 0 是等差数列；
【答案】证明见解析
【解析】证明：因为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ①，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ②，
① SKIPIF 1 < 0 ②得， SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 是以 SKIPIF 1 < 0 为公差的等差数列．
【典例4】（2023秋·江苏南京·高三统考开学考试）已知公比大于1的等比数列 SKIPIF 1 < 0 满足： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
（1）求 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
（2）记数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和为 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，证明： SKIPIF 1 < 0 是等差数列．
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 ；（2）证明见解析
【解析】（1）方法1：设公比为 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 是等比数列，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ．
又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
因此 SKIPIF 1 < 0 ；
方法2：设公比为 SKIPIF 1 < 0 ，
由等比数列性质得出 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因此 SKIPIF 1 < 0 ．
（2）由（1）得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
两式作差可得 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，整理得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
方程同除以 SKIPIF 1 < 0 得， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ）．
所以数列 SKIPIF 1 < 0 是公差为 SKIPIF 1 < 0 的等差数列．
六、等差数列性质的应用
1、在等差数列{an}中，当m≠n时，d＝eq \f(am－an,m－n)为公差公式，利用这个公式很容易求出公差，
还可变形为am＝an＋(m－n)d.
2、等差数列{an}中，每隔相同的项抽出来的项按照原来的顺序排列，构成的新数列仍然是等差数列．
3、等差数列{an}中，若m＋n＝p＋q，则an＋am＝ap＋aq(n，m，p，q∈N*)，
特别地，若m＋n＝2p，则an＋am＝2ap.
【典例1】（2023·河南·统考模拟预测）设 SKIPIF 1 < 0 是等差数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．15 B．30 C．45 D．60
【答案】C
【解析】由题意得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .故选：C.
【典例2】（2022秋·四川遂宁·高三校考阶段练习）设等差数列 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
【答案】B
【解析】由 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，两式相减可得 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 .故选：B
七、等差数列的前n项和常用的性质应用
1、等差数列的依次k项之和，Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…组成公差为k2d的等差数列．
2、数列{an}是等差数列⇔Sn＝an2＋bn(a，b为常数)⇔数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(Sn,n)))为等差数列．
3、若S奇表示奇数项的和，S偶表示偶数项的和，公差为d，
①当项数为偶数2n时，S偶－S奇＝nd，eq \f(S奇,S偶)＝eq \f(an,an＋1)；
②当项数为奇数2n－1时，S奇－S偶＝an，eq \f(S奇,S偶)＝eq \f(n,n－1).
【典例1】（2023秋·天津河东·高三校考阶段练习）在等差数列 SKIPIF 1 < 0 中，已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．90 B．40 C．50 D．60
【答案】D
【解析】因为 SKIPIF 1 < 0 为等差数列，所以 SKIPIF 1 < 0 成等差数列，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 .故选：D
【典例2】（2023·全国·高三专题练习）已知 SKIPIF 1 < 0 是等差数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 .
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】设等差数列 SKIPIF 1 < 0 的公差为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
故对任意的 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
因此，数列 SKIPIF 1 < 0 为等差数列，且其公差为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以， SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以， SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
【典例3】（2022秋·陕西榆林·高三校考阶段练习）若等差数列 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的前n项和分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 .
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】因为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，
由等差数列前 SKIPIF 1 < 0 项和的性质得 SKIPIF 1 < 0 ，故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
【典例4】（2022·浙江·高三专题练习）在项数为2n＋1的等差数列中，所有奇数项的和为165，所有偶数项的和为150，则n等于（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
【答案】B
【解析】分别设该数列奇数项和与偶数项和分别为 SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴n＝10，故选:B.
八、等差数列前n项和最值求法
1、二次函数法： 将Sn＝na1＋eq \f(nn－1,2)d＝eq \f(d,2)n2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a1－\f(d,2)))n配方．转化为求二次函数的最值问题，但要注意n∈N*，结合二次函数图象的对称性来确定n的值，更加直观．
2、邻项变号法：当a1>0，d<0，eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(an≥0，,an＋1≤0))时，Sn取得最大值；当a1<0，d>0，eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(an≤0，,an＋1≥0))时，Sn取得最小值．
特别地，若a1>0，d>0，则S1是{Sn}的最小值；若a1<0，d<0，则S1是{Sn}的最大值．
【典例1】（2023秋·天津武清·高三天津市武清区城关中学校考阶段练习）设等差数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则当 SKIPIF 1 < 0 取得最大值时， SKIPIF 1 < 0 .
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】因为 SKIPIF 1 < 0 是等差数列，
所以由 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因此该数列是递减数列，显然当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 取得最大值，故答案为： SKIPIF 1 < 0
【典例2】（2023·四川南充·模拟预测）等差数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最大值为（ ）
A．60 B．50 C． SKIPIF 1 < 0 D．30
【答案】D
【解析】由 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ，
由于 SKIPIF 1 < 0 为等差数列，且 SKIPIF 1 < 0 ，所以当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ,
故 SKIPIF 1 < 0 的最大值为 SKIPIF 1 < 0 ，故选：D
【典例3】（2023秋·江苏·高三校联考阶段练习）（多选）设等差数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和为 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则下列结论正确的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 最大 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】AD
【解析】因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，则A正确.
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 最小，故B错误.
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
对称轴为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，则C错误.
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以D正确.故选：AD
【典例4】（2023·全国·高三专题练习）设等差数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ．
（1）求 SKIPIF 1 < 0 及数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
（2）求 SKIPIF 1 < 0 的最小值及对应的n的值．
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；（2） SKIPIF 1 < 0 ，n＝8或n＝9
【解析】（1）由等差数列的前n项和公式可知 SKIPIF 1 < 0 ，所以k＝0，
即 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ．
当n＝1时也符合上式，故 SKIPIF 1 < 0 ．
（2）由（1）可得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 是关于n的二次函数，
又 SKIPIF 1 < 0 ，所以当n＝8或n＝9时， SKIPIF 1 < 0 取得最小值，
故 SKIPIF 1 < 0 ．
九、已知{an}为等差数列，求数列{|an|}的前n项和的步骤
第一步，解不等式an≥0(或an≤0)寻找{an}的正负项分界点．
第二步，求和：①若an各项均为正数(或均为负数)，则{|an|}各项的和等于{an}的各项的和(或其相反数)；②若a1>0，d<0(或a1<0，d>0)，这时数列{an}只有前面有限项为正数(或负数)，可分段求和再相加．
【典例1】（2023秋·广东·高三校联考阶段练习）已知等差数列 SKIPIF 1 < 0 前三项的和为 SKIPIF 1 < 0 ，前三项的积为8.
（1）求等差数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
（2）若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 成等比数列，求数列 SKIPIF 1 < 0 的前10项和 SKIPIF 1 < 0 .
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ；（2）105
【解析】（1）设等差数列 SKIPIF 1 < 0 的公差为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
由题意得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 .
故 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 分别为 SKIPIF 1 < 0 ，不成等比数列；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 分别为 SKIPIF 1 < 0 成等比数列，满足条件.
故 SKIPIF 1 < 0 ，
记数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 .
故数列 SKIPIF 1 < 0 的前10项和为 SKIPIF 1 < 0 .
【典例2】（2023秋·广东·高三校联考阶段练习）记 SKIPIF 1 < 0 为等差数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和，已知 SKIPIF 1 < 0 ．
（1）求 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
（2）求数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和 SKIPIF 1 < 0 ．
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 ；（2） SKIPIF 1 < 0
【解析】（1）设等差数列的公差为 SKIPIF 1 < 0 ，
由题意可得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
（2）因为 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时，则 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ；
当 SKIPIF 1 < 0 时，则 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ；
综上所述： SKIPIF 1 < 0 .
【典例3】（2023·全国·高三专题练习）已知等差数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和为 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
（1）求数列 SKIPIF 1 < 0 的通项；
（2）求数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和为 SKIPIF 1 < 0 ．
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 ；（2） SKIPIF 1 < 0
【解析】（1）设 SKIPIF 1 < 0 的公差为 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，此时 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，此时 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
综上所述： SKIPIF 1 < 0 .
十、求解等比数列的基本量常用的思想方法
1、方程的思想：等比数列的通项公式、前n项和公式中联系着五个量： SKIPIF 1 < 0 ，已知其中三个量，可以通过解方程(组)求出另外两个量；其中基本量是a1与q，在解题中根据已知条件建立关于a1与q的方程或者方程组，是解题的关键．
2、分类讨论思想：在应用等比数列前n项和公式时，必须分类求和，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ；当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ；在判断等比数列单调性时，也必须对 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 分类讨论．
【典例1】（2023秋·湖南岳阳·高三校考开学考试）设等比数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D．3
【答案】A
【解析】设等比数列的公比为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 .
所以 SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .故选：A
【典例2】（2023秋·江西·高三校联考阶段练习）设 SKIPIF 1 < 0 为等比数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【解析】设公比为 SKIPIF 1 < 0 ，由题意可得 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 .故选：C.
【典例3】（2023秋·山东济南·高三统考开学考试）记 SKIPIF 1 < 0 为等比数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C．85 D．120
【答案】C
【解析】根据题意，设等比数列 SKIPIF 1 < 0 的公比为 SKIPIF 1 < 0 ，
若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
则有 SKIPIF 1 < 0 ，变形可得 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
又由 SKIPIF 1 < 0 ，则有 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .故选：C.
十一、等比数列的性质及应用
1、等比数列性质应用问题的解题突破口
等比数列的性质可以分为三类：一是通项公式的变形，二是等比中项公式的变形，三是前n项和公式的变形．根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口．
2、应用等比数列性质解题时的2个注意点
（1）在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，利用性质，
特别是性质“若 SKIPIF 1 < 0 ，则有 SKIPIF 1 < 0 ”，可以减少运算量，提高解题速度．
（2）在应用相应性质解题时，要注意性质成立的前提条件，有时需要进行适当变形．此外，解题时注意设而不求思想的运用．
【典例1】（2023·全国·高三专题练习）在等比数列 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．3 B．6 C．9 D．18
【答案】B
【解析】因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ．故选：B
【典例2】（2023·福建泉州·统考模拟预测）记等比数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 .若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【解析】设等比数列 SKIPIF 1 < 0 的公比为 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ），
则 SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，故选：C.
【典例3】（2022秋·黑龙江哈尔滨·高三校考期中）在正项等比数列 SKIPIF 1 < 0 中，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】在正项等比数列 SKIPIF 1 < 0 中，因为 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
【典例4】（2023秋·云南·高三校考阶段练习）已知等比数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．90 B．135 C．150 D．180
【答案】C
【解析】由题意，
在等比数列 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，
由等比数列前n项和的性质可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 成等比数列，
∴有 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
整理可得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 （舍）或 SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴有 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，故选：C.
【典例5】（2022秋·广东佛山·高三校考阶段练习）已知等比数列 SKIPIF 1 < 0 的公比 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 .
【答案】120
【解析】因为在等比数列中，若项数为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为：120
十二、等比数列的判定与证明常用的方法：
1、定义法： SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 为常数且 SKIPIF 1 < 0 数列 SKIPIF 1 < 0 是等比数列．
2、等比中项法： SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 数列 SKIPIF 1 < 0 是等比数列．
3、通项公式法： SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 数列 SKIPIF 1 < 0 是等比数列．
4、前 SKIPIF 1 < 0 项和公式法：若数列的前 SKIPIF 1 < 0 项和 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，则该数列是等比数列．
其中前两种方法是证明等比数列的常用方法，而后两种方法一般用于选择题、填空题中．
注意：（1）若要判定一个数列不是等比数列，则只需判定存在连续三项不成等比数列即可．
（2）只满足 SKIPIF 1 < 0 的数列未必是等比数列，要使其成为等比数列还需要 SKIPIF 1 < 0 .
【典例1】（2023·全国·高三专题练习）已知数列 SKIPIF 1 < 0 的首项为1，向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 .证明： SKIPIF 1 < 0 为等比数列.
【答案】证明见解析.
【解析】由题可知：若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
故可得 SKIPIF 1 < 0 ，
故数列 SKIPIF 1 < 0 是首项为 SKIPIF 1 < 0 ，公比为 SKIPIF 1 < 0 的等比数列，即证.
【典例2】（2023·全国·高三专题练习）已知数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和为 SKIPIF 1 < 0 ，数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ），再从下面的条件①与②中任选一个作为已知条件，证明： SKIPIF 1 < 0 是等比数列. ① SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ）；② SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ）.
【答案】证明见解析
【解析】选条件①：当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，于是 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，即有 SKIPIF 1 < 0 ，两式相减得 SKIPIF 1 < 0 ，
因此 SKIPIF 1 < 0 ，即当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，显然 SKIPIF 1 < 0 满足上式，则当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以数列 SKIPIF 1 < 0 是首项、公比均为3的等比数列.
选条件②：由 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
而 SKIPIF 1 < 0 ，因此 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，于是数列 SKIPIF 1 < 0 是常数列，
由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以数列 SKIPIF 1 < 0 是首项、公比均为3的等比数列.
易错点1 混淆数列与函数的区别
点拨：数列是一种特殊的函数，在求解数列问题时有时可以利用函数的性质，但是在利用函数单调性求解数列问题，要注意 SKIPIF 1 < 0 的取值不是连续实数，忽略这一点很容易出错。
【典例1】（2023秋·重庆沙坪坝·高三重庆一中校考阶段练习）在数列 SKIPIF 1 < 0 中，若 SKIPIF 1 < 0 ，前 SKIPIF 1 < 0 项和 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最大值为 .
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】由数列 SKIPIF 1 < 0 中，因为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，
可得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的二次函数，对称轴为 SKIPIF 1 < 0 ，故当 SKIPIF 1 < 0 或6时取得最大值，
又由 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 的最大值为 SKIPIF 1 < 0 .故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
【典例2】（2023秋·江苏淮安·高三统考开学考试）已知等差数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
（1）求数列 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
（2）设 SKIPIF 1 < 0 ，求数列 SKIPIF 1 < 0 的最大项．
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0 ；（2） SKIPIF 1 < 0
【解析】（1）设等差数列 SKIPIF 1 < 0 的首项为 SKIPIF 1 < 0 ，公差为d，
则 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ．
因为 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 构成首项为1，公比为2的等比数列，所以 SKIPIF 1 < 0 ．
（2）因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 时单调递减，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以数列 SKIPIF 1 < 0 的最大项为 SKIPIF 1 < 0 ．
易错点2 忽视两个“中项”的区别
点拨：若 SKIPIF 1 < 0 成等比数列，则 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的等比中项。由定义可知只有同号的两数才有等比中项， “ SKIPIF 1 < 0 ”仅是“ SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的等比中项”的必要不充分条件，在解题时务必要注意此点。
【典例1】（2022·全国·高三专题练习）若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 成等比数列， SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的等比中项， SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的等比中项，则（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 同号 D． SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 同号
【答案】C
【解析】当 SKIPIF 1 < 0 时，满足题目条件，所以A，B错误；
若 SKIPIF 1 < 0 ，则由 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，再由 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 .
同理，当 SKIPIF 1 < 0 ，可推出 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，C正确；
当 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 时，满足题目条件，但是 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 不同号，D错误.故选：C.
【典例2】（2022秋·河南三门峡·高三统考期中）设等差数列 SKIPIF 1 < 0 的公差 SKIPIF 1 < 0 不为0， SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的等比中项，则k等于 .
【答案】5
【解析】因为 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的等比中项，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 （舍去）.故答案为：5
【典例3】（2023·全国·高三专题练习）已知 SKIPIF 1 < 0 是公差为3的等差数列，其前 SKIPIF 1 < 0 项的和为 SKIPIF 1 < 0 ，设甲： SKIPIF 1 < 0 的首项为零；乙： SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的等比中项，则（ ）
A．甲是乙的充分不必要条件
B．甲是乙的必要不充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
【答案】C
【解析】由 SKIPIF 1 < 0 是公差为3的等差数列，可知 SKIPIF 1 < 0 .
若 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的等比中项，则 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 （舍去，因为此时 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的等比中项能推出 SKIPIF 1 < 0 的首项为零，
若 SKIPIF 1 < 0 的首项为零，即 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 是公差为3的等差数列，
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 的首项为零可推出 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的等比中项，
可见“ SKIPIF 1 < 0 ”是“ SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的等比中项”的充要条件.故选：C.
易错点3 等比数列求和时忽视对 SKIPIF 1 < 0 讨论
点拨： 注意等比数列的求和公式是分段表示的： SKIPIF 1 < 0 ，所以在利用等比数列求和公式求和时要先判断公比是否可能为1，，若公比未知，则要注意分两种情况q＝1和q≠1讨论.
【典例1】（2023秋·江苏·高三校联考阶段练习）记 SKIPIF 1 < 0 为等比数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．6 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D．18
【答案】D
【解析】设等比数列 SKIPIF 1 < 0 的公比为 SKIPIF 1 < 0 ，
若 SKIPIF 1 < 0 ，则由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，不合题意；
故 SKIPIF 1 < 0 ，则由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，故选：D
【典例2】（2023秋·江西宜春·高三江西省宜丰中学校考阶段练习）记 SKIPIF 1 < 0 为等比数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）．
A．120 B．85 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【解析】方法一：设等比数列 SKIPIF 1 < 0 的公比为 SKIPIF 1 < 0 ，首项为 SKIPIF 1 < 0 ，
若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，与题意不符，所以 SKIPIF 1 < 0 ；
若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，与题意不符，所以 SKIPIF 1 < 0 ；
由 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 可得， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ①，
由①可得， SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ．故选：C．
方法二：设等比数列 SKIPIF 1 < 0 的公比为 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，否则 SKIPIF 1 < 0 ，
从而， SKIPIF 1 < 0 成等比数列，
所以有， SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，即为 SKIPIF 1 < 0 ，
易知， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
与 SKIPIF 1 < 0 矛盾，舍去．故选：C．
【典例3】（2023·江苏淮安·统考模拟预测）设数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 .记命题 SKIPIF 1 < 0 ：“数列 SKIPIF 1 < 0 为等比数列”，命题 SKIPIF 1 < 0 ：“ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 成等比数列”，则 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】D
【解析】若数列 SKIPIF 1 < 0 为等比数列，设公比为 SKIPIF 1 < 0 ，
则当 SKIPIF 1 < 0 时 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
显然 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 成等比数列，
当 SKIPIF 1 < 0 时 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
但是当 SKIPIF 1 < 0 且当 SKIPIF 1 < 0 为正偶数时，此时 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 不成等比数列，故充分性不成立，
若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 成等比数列，
当 SKIPIF 1 < 0 时 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 成等比数列，
当 SKIPIF 1 < 0 时 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 成等比数列，
不妨令 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
显然满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 成等比数列，但是 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 不成等比数列，
故必要性不成立，所以 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的既不充分也不必要条件.故选：D分类标准
类型
满足条件
按项数
分类
有穷数列
项数有限
无穷数列
项数无限
按项与项间的大小关系分类
递增数列
SKIPIF 1 < 0
其中n∈N*
递减数列
SKIPIF 1 < 0
常数列
SKIPIF 1 < 0
按其他标准分类
有界数列
存在正数M，使 SKIPIF 1 < 0
摆动数列
从第二项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列
周期数列
对n∈N*，存在正整数常数k，使 SKIPIF 1 < 0