新高考数学一轮复习课件 第7章　必刷大题14　空间向量与立体几何（含详解）

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(1)求A到平面A1BC的距离；
设点A到平面A1BC的距离为h，因为直三棱柱ABC－A1B1C1的体积为4，
，
(2)设D为A1C的中点，AA1＝AB，平面A1BC⊥平面ABB1A1，求平面ABD与平面BCD夹角的正弦值.
取A1B的中点E，连接AE，则AE⊥A1B.因为平面A1BC⊥平面ABB1A1，平面A1BC∩平面ABB1A1＝A1B，AE⊂平面ABB1A1，所以AE⊥平面A1BC，又BC⊂平面A1BC，所以AE⊥BC.又AA1⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，所以AA1⊥BC.
因为AA1∩AE＝A，AA1，AE⊂平面ABB1A1，所以BC⊥平面ABB1A1，又AB⊂平面ABB1A1，所以BC⊥AB.
所以A(0,2,0)，B(0,0,0)，C(2,0,0)，A1(0，2,2)，D(1,1,1)，E(0,1,1)，
设平面ABD的法向量为n＝(x，y，z)，
令x＝1，得n＝(1,0，－1).
设平面ABD与平面BCD的夹角为θ，
2.如图，四棱锥P－ABCD的底面为正方形，PA⊥平面ABCD，M是PC的中点，PA＝AB.
(1)求证：AM⊥平面PBD；
(2)设直线AM与平面PBD交于O，求证：AO＝2OM.
3.如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB∥CD，PA＝AB＝2CD＝2，∠ADC＝90°，E，F分别为PB，AB的中点.
(1)求证：CE∥平面PAD；
(2)求点B到平面PCF的距离.
∵∠ADC＝90°，AB∥CD，∴AB⊥AD，CF⊥AB，又PA⊥平面ABCD，∴PA⊥CF，又PA∩AB＝A，∴CF⊥平面PAB，∴CF⊥PF.
设点A到平面PCF的距离为h，由VP－AFC＝VA－PFC，
4.(2022·全国乙卷)如图，四面体ABCD中，AD⊥CD，AD＝CD，∠ADB＝∠BDC，E为AC的中点.
(1)证明：平面BED⊥平面ACD；
(2)设AB＝BD＝2，∠ACB＝60°，点F在BD上，当△AFC的面积最小时，求CF与平面ABD所成的角的正弦值.
由(1)可知AB＝BC，又∠ACB＝60°，AB＝2，所以△ABC是边长为2的正三角形，
因为AD＝CD，AD⊥CD，所以△ADC为等腰直角三角形，所以DE＝1.所以DE2＋BE2＝BD2，则DE⊥BE.
由(1)可知，AC⊥平面BED.连接EF，因为EF⊂平面BED，所以AC⊥EF，当△AFC的面积最小时，点F到直线AC的距离最小，即EF的长度最小.在Rt△BED中，当EF的长度最小时，
方法一　由(1)可知，DE⊥AC，BE⊥AC，所以EA，EB，ED两两垂直，
设平面ABD的法向量为n＝(x1，y1，z1)，
记CF与平面ABD所成的角为α，
方法二　因为E为AC的中点，所以点C到平面ABD的距离等于点E到平面ABD的距离的2倍.因为DE⊥AC，DE⊥BE，AC∩BE＝E，AC，BE⊂平面ABC，所以DE⊥平面ABC.因为VD－AEB＝VE－ADB，
由(1)知AC⊥平面BED，EF⊂平面BED，所以AC⊥EF，
方法三　如图，过点E作EM⊥AB交AB于点M，连接DM，过点E作EG⊥DM交DM于点G.因为DE⊥AC，DE⊥BE，AC∩BE＝E，AC，BE⊂平面ABC，所以DE⊥平面ABC，又AB⊂平面ABC，所以DE⊥AB，又EM∩DE＝E，EM，DE⊂平面DEM，所以AB⊥平面DEM，又EG⊂平面DEM，所以AB⊥EG，又AB∩DM＝M，AB，DM⊂平面ABD，
所以EG⊥平面ABD，则EG的长度等于点E到平面ABD的距离.
5.(2023·青岛模拟)如图①，在梯形ABCD中，AB∥DC，AD＝BC＝CD＝2，AB＝4，E为AB的中点，以DE为折痕把△ADE折起，连接AB，AC，得到如图②的几何体，在图②的几何体中解答下列问题.
(1)证明：AC⊥DE；
(2)请从以下两个条件中选择一个作为已知条件，求平面DAE与平面AEC夹角的余弦值.①四棱锥A－BCDE的体积为2；
若选择①：由(1)知DE⊥平面AOC，DE⊂平面BCDE，所以平面AOC⊥平面BCDE，且交线为OC，
设平面AEC的法向量为n＝(x，y，z)，
设平面DAE与平面AEC的夹角为θ，
若选择②：因为DC∥EB，所以∠ACD即为异面直线AC与EB所成的角，
因为DE⊥平面AOC，DE⊂平面BCDE，所以平面AOC⊥平面BCDE，且交线为OC，又OA⊂平面AOC，所以AO⊥平面BCDE，
6.(2022·连云港模拟)如图，在三棱锥A－BCD中，△ABC是正三角形，平面ABC⊥平面BCD，BD⊥CD，点E，F分别是BC，DC的中点.
(1)证明：平面ACD⊥平面AEF；
(2)若∠BCD＝60°，点G是线段BD上的动点，问：点G运动到何处时，平面AEG与平面ACD的夹角最小.
在平面BCD中，过点E作EH⊥BD，垂足为H，此时EH∥CD，即H为BD的中点，
以E为原点，以EH，EF，EA所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
设平面ACD的法向量为n2＝(x2，y2，z2)，