精品解析：河北省邢台市第一中学2023-2024学年高一上学期10月月考数学试题（原卷版+解析版）

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考试范围：集合与常用逻辑用语，一元二次函数、方程和不等式
命题人：张伟 一审：胡巧云 二审：李振生
说明：
1．本试卷共4页，满分150分.
2．请将所有答案填写在答题卡上，答在试卷上无效.
第I卷（选择题共80分）
一、单项选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 设集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用并集运算即可得到答案
【详解】解：因为，
所以，
故选：D
2. 已知，函数，若满足关于的方程，则下列选项的命题中为假命题的是
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【详解】试题分析：因为，满足关于的方程，所以，，使取得最小值，因此，是假命题，选C．
考点：方程的根，二次函数的图象和性质，全称命题、存在性命题．
点评：小综合题，二次函数，当a>0时，使函数取得最小值．
3. 若，则下列正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由不等式性质及取特例判断即可.
【详解】由 ，两边同时减去c，有 ，故选项A正确；
， 时， 不成立，排除B选项；
当 时，由 得 ，排除C选项；
， 时， 不成立，排除D选项.
故选：A.
4. 若，且，则的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用基本不等式及不等式的解法可得答案.
【详解】因为，，
所以即，当且仅当时，等号成立；
解得或（舍）.
故选：B.
5. 已知全集,集合和关系的韦恩图如图所示，则阴影部分所表示集合中的元素共有
A. 3个B. 4个C. 5个D. 无数个
【答案】A
【解析】
【分析】由图可知，阴影部分表示集合，根据题意，求出集合,利用集合的交运算求出集合，再利用补集的定义求出集合即可判断.
【详解】由题意知，集合0，1，2，3，，
因为集合，
由集合的交运算可得，2，3，，
故阴影部分所表示集合为，
其中的元素共有三个.
故选：A
【点睛】本题考查韦恩图和集合的交补运算；考查识图能力和运算求解能力；属于基础题.
6. 已知，则“成立”是“成立”的（ ）条件．
A. 充分不必要B. 必要不充分C. 充分必要D. 既不充分也不必要
【答案】C
【解析】
【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合不等式的解法、绝对值的性质进行判断即可．
【详解】充分性：若，则，所以；
必要性：根据绝对值的性质：若，则，
若，且，则有．
所以“成立”是“成立”的充要条件．
故选：C．
7. 已知，，不等式恒成立，则的取值范围为
A. ，，B. ，，
C. ，，D.
【答案】C
【解析】
【分析】把不等式看作是关于的一元一次不等式，然后构造函数，由不等式在，上恒成立，得到，求解关于的不等式组得得取值范围．
【详解】解：令，
则不等式恒成立转化为在上恒成立．
有，即，
整理得：，
解得：或．
的取值范围为．
故选：C．
8. 下列结论中正确的个数是（ ）
①命题“有些平行四边形是矩形”是存在量词命题；
②命题“是无理数，是有理数”是真命题；
③命题“是的必要不充分条件”是真命题；
④命题“，使”否定为“，都有”；
⑤若，则函数的最小值为2.
A. 3B. 2C. 1D. 0
【答案】A
【解析】
【分析】对于①:含有量词“有些”的命题为存在量词命题；
对于②:举例说明成立;
对于③:根据与的推出关系判断;
对于④:命题的否定只能改变量词与结论,而变量的范围不能变;
对于⑤:验证使用基本不等式时“=”是否成立.
【详解】对于①: 含有存在量词的命题 ，叫做特称命题（存在性命题）, ”有些”为存在量词,故①正确；
对于②:当时满足结论;
对于③:若成立,当时不成立,若成立,则,所以成立,
故是的必要不充分条件,所以③成立;
对于④: 命题“，使”的否定为“，都有”,故④错误;
对于⑤: 但,故其最小值取不到2,故⑤错误.
综上只有①②③正确;
故选:A
9. 某次全程为S的长跑比赛中，选手甲总共用时为T，前一半时间以速度a匀速跑，后一半时间以速度b匀速跑；选手乙前半程以速度a匀速跑，后半程以速度b匀速跑；若，则（ ）
A. 甲先到达终点B. 乙先到达终点
C. 甲乙同时到达终点D. 无法确定谁先到达终点
【答案】A
【解析】
【分析】设乙选手总共用时，根据题意表示出，然后与作差，比较大小，即可得到结果.
【详解】由题意可知对于选手甲，，则
设选手乙总共用时，则对于选手乙，，则
即，即甲先到达终点
故选:A.
10. 若集合满足，必有，则称集合为自倒关系集合.在集合的所有非空子集中，具有自倒关系的集合的个数为
A. 7B. 8
C. 16D. 15
【答案】D
【解析】
【详解】试题分析：根据自倒关系集合的定义可知，当时，；当时，无意义；当时，；当时，；当时，；当时，不存在；所以必须分别在一起，可以把它们看作一个元素，所以自倒关系集合的个数为.故选D.
考点：1、新定义；2、集合间的基本关系.
二、多项选择题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分.
11. 设集合，若,则满足条件的实数的值是 （ ）
A. B. C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】由得，根据子集的概念分类求解．
【详解】因为，所以，
若，则，满足题意，
若，则或，不合题意，满足题意．
故选：ACD．
12. 下列命题正确的是（ ）
A. 若，，则；
B. 若正数a、b满足，则；
C. 若，则的最大值是；
D. 若，，，则的最小值是9；
【答案】BC
【解析】
【分析】A选项用作差法即可，B，C，D选项都是利用基本不等式判断.
【详解】对于选项A，，
因为，，所以，
,即，故，所以A错误；
对于选项B，因为，所以，

当且仅当，即时，等号成立，故B正确；
对于选项C，因为，，当且仅当即 时，等号成立，所以，故C正确；
对于选项D，因为，所以，
所以，当且仅当即时，等号成立，所以的最小值是8，故D错误.
故选：BC.
13. 已知函数，则下列叙述正确的是（ ）
A. 若对都有成立，则
B. 若使得有解，则
C. 若且使得，则
D. 若解集是，则
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据不等式恒成立以及不等式在区间上有解，转化为求判别式的符号以及函数的最值问题，即可判断A、B；根据方程或不等式解（集）的情况，结合一元二次不等式与一元二次方程的关系，列出关系式，求解即可判断C、D.
【详解】对于A项，由已知可得，，即，解得，故A项正确；
对于B项，由已知可得使得有解，
即在上有解，只需即可.
设，
，且，
则.
因为，且，
所以，且，
所以，，.
所以，在上单调递减，
所以，，所以，故B错误；
对于C项，由已知可得，有两个不相等正实根，
则，所以，故C项正确；
对于D项，由已知可得，1和4是方程的两个根，
则，解得，故D项正确.
故选：ACD.
14. 设集合，，，则下列说法中正确的是（ ）
A. ÜB. Ü
C. D.
【答案】CD
【解析】
【分析】
求出集合以及，可判断出各选项的正误.
【详解】，
，
当时，为奇数，为偶数，
则，，，.
故选：CD.
【点睛】关键点点睛：解本题的关键在于将集合、分别变形为，，结合两个集合中元素的表示形式来进行判断.
15. 若，，且，则下列说法正确的是（ ）
A. ab有最大值B. 有最大值
C. 有最小值4D. 有最小值
【答案】ABC
【解析】
【分析】利用基本不等式求最值判断各选项．
【详解】，当且仅当，即，时等号成立，故ab有最大值，故A正确；
，当且仅当，时等号成立，所以有最大值，故B正确；
，当且仅当，即时等号成立，即有最小值4，故C正确；
，当且仅当，时等号成立，所以的最小值为，故D错误．
故选：ABC．
16. 若，使得成立是假命题，则实数可能取值是（ ）
A. B. C. 3D.
【答案】AB
【解析】
【分析】
首先由条件可知命题的否定是真命题，参变分离后，转化为最值问题求的取值范围.
【详解】由条件可知，是真命题，
即，即，
设
等号成立的条件是，所以的最小值是，
即，满足条件的有AB.
故选：AB
【点睛】关键点点睛：本题的关键首先是写出特称命题的否定，第二个关键是参变分离，转化为函数的最值求参数的取值范围.
第Ⅱ卷（非选择题，共70分）
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
17. 不等式的解集为__________.
【答案】
【解析】
【分析】将分式不等式转化成整式不等式求解即可得出答案.
【详解】根据不等式整理可得，
即，等价于，
解得；
所以不等式的解集为
故答案为：
18. 某班级共有50名学生做物理、化学两种实验，已知物理实验做得正确的有40人，化学实验做得正确的有31人，两种实验都做错的有4人，则这两种实验都做正确的有_______人．
【答案】25
【解析】
【分析】设两种实验都做对的学生记为人,利用文氏图表示出各类学生的人数，可求解出答案.
【详解】试题分析：根据题意可设：全班的学生组成的集合为
做对物理实验的学生组成的集合为
做对化学实验的学生组成的集合为
并将两种实验都做对的学生记为人,则可用文氏图将其关系表示如下:
结合文氏图及题意知: ,解之得:
故两种实验都做对的学生为25人.
故答案为：25
19. 一元二次不等式对一切实数x都成立，则实数k的取值范围为__________．
【答案】
【解析】
【分析】根据一元二次不等式，在时，结合二次函数的图象与性质，即可求解.
详解】由不等式对一切实数都成立，
可得即.
故答案为：.
20. 已知实数a，b，c满足，则的最大值为____________．
【答案】##4.75
【解析】
【分析】利用基本不等式结合条件转化为关于c的二次函数，进而求得最值.
【详解】因为，当且仅当时取到等号，
所以，
由可知可以取到等号，故.
故答案为：.
四、解答题：其中21、22题，每题12分；23、24题，每题13分，共50分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
21. 已知，，关于x的不等式的解集为
（1）求m，n的值；
（2）正实数a，b满足，求的最小值．
【答案】（1），；（2）9．
【解析】
【分析】（1）利用不等式解集的端点为方程的根，由韦达定理即求；
（2）代入，可得，再利用基本不等式的乘“”法求得最值即可.
【详解】（1）根据题意，不等式的解集为，
即方程的两根为和n，
则有
解可得，
正实数a，b满足，即，变形有，
则，
当且仅当，时，取等号．
∴的最小值为9．
22. 已知，.
（1）若是的子集，求实数的值；
（2）若是的子集，求实数的取值范围.
【答案】（1）
（2）或
【解析】
【分析】（1）首先求出集合，依题意可得，则和为方程的两根；
（2）分、为单元素集合、为双元素集合三种情况讨论，分别求出参数的取值范围.
【小问1详解】
因为，
若是的子集，则，
所以，解得.
【小问2详解】
若是的子集，则.
①若空集，则，解得；
②若为单元素集合，则，解得.
将代入方程，得，解得，所以，符合要求；
③若为双元素集合，，则.
综上所述，或.
23. 如图所示，设矩形的周长为24，把它沿翻折，翻折后交于点，设.

（1）用表示，并求出的取值范围;
（2）求面积的最大值及此时的值.
【答案】（1）
（2）最大值为，此时.
【解析】
【分析】（1）根据题意，在中，利用勾股定理即可用表示出，结合可求得的取值范围；
（2）由（1）中结合三角形的面积公式即可直接写出面积表达式，再利用基本不等式可求出最大值.
【小问1详解】
由矩形的周长为24，且，可得，
在中，易知，所以可得，因此；
所以，
在中，由勾股定理可得，整理可得，
又，即，依题意解得，
即可得
【小问2详解】
在中，；
又，所以，
当且仅当，即时取等号，
所以，
即当时，面积的最大值为.
24. 已知函数．
（1）设，解不等式；
（2）设，若当时的最小值为，求m的值．
【答案】（1）答案见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）根据一元二次不等式的解法分类讨论求解；
（2）利用二次函数的图像性质，结合函数的单调性和最值求解.
【小问1详解】
不等式即，即
当时，即，解得,
当时，由得，，
（i）若，则开口向下，，原不等式解得或，
（ii）若，则开口向上，，原不等式解得，
综上，当时，解集为或；
当时，解集为；
当时，解集为.
【小问2详解】
由知开口向上，对称轴
当，即时，
函数在上单调递增，最小值为，解得;
当，即时，
函数在单调递减，在上单调递增，
最小值为，解得（舍）,
所以m的值为．