高中数学人教A版 (2019)必修 第一册5.7 三角函数的应用教课内容ppt课件

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5.7 三角函数的应用
课时1 三角函数模型在物理中的应用
1. 了解“简谐运动”的函数模型y=Asin(ωt+φ)(t≥0,A,ω>0)中参数A,ω,φ的物理意义,进一步理解函数y=Asin(ωx+φ)的图象特征和性质.2. 能根据已知条件求出三角函数模型y=Asin(ωt+φ)的解析式,进一步体会函数y=Asin(ωx+φ)是描述日常生活中的周期现象的重要的数学模型.3. 会构造三角函数模型y=Asin(ωx+φ)刻画和描述物理中的相关运动,能够将物理中的实际问题抽象为与三角函数y=Asin(ωx+φ)有关的函数模型.
现实生活中存在着大量的具有周而复始、循环往复特点的周期运动变化现象，这些现象一般都具有周期性，例如弹簧振子、单摆、交变电流等．这些周期现象的运动规律常常可以考虑借助三角函数来描述，而相关问题也可以运用三角函数的图象和性质加以解决．
现有某个弹簧振子在完成一次全振动的过程中，时间t(单位：s)与位移y(单位：mm)之间的对应数据如下表所示，结合表1数据，可以利用什么函数模型刻画弹簧振子的运动过程？
【问题1】情境导学中，我们给出了弹簧振子一次全振动过程中时间与位移的对应数据，如何把已知的数据更直观地表达出来？
【活动1】探究振子运动规律的数学模型
【问题2】观察散点图，位移y随时间t的变化规律可以用怎样的函数模型刻画？【问题3】如何求解振子的位移y(单位：mm)关于时间t(单位：s)的函数解析式(或近似解析式)？【问题4】你能说出简谐运动中的振幅、周期、频率、相位、初相的含义吗?
【问题5】如图①是某次实验测得的交变电流i(A)随时间t(s)变化的图象，将图象放大，可以发现交变电流的变化具有周而复始、循环往复的特点，如图②.那么可以利用怎样的函数模型刻画交变电流的周期性变化呢？
【活动2】探究交变电流关于时间变化规律的数学模型
【知识梳理】1. 在适当的直角坐标系下,简谐运动可以用函数y=A sin(ω x+φ),x∈[0,+∞)表示,其中A是这个简谐运动的振幅,它是做简谐运动的物体离开平衡位置的最大距离;这个简谐运动的周期是T=2π/ω,它是做简谐运动的物体往复运动一次所需要的时间;这个简谐运动的频率由公式f=1/T=ω/2π给出,它是做简谐运动的物体在单位时间内往复运动的次数;ωx+φ称为相位;x=0时的相位φ称为初相.2. 由交变电流的产生原理可知,电流i随时间t的变化规律可用i=Asin(ω t+φ)来刻画.其中A是交变电流的振幅,它是最大电流;周期是T=2π/ω,它是交变电流完整变化一次所需要的时间;这个交变电流的频率由公式f=1/T=ω/2π给出;ωt+φ称为相位;x=0时的相位φ称为初相.
典例精析
【例1】 [教材改编题]某简谐运动的图象如图所示，试根据图象回答下列问题： (1) 这个简谐运动的振幅、周期与频率各是多少？(2) 写出这个简谐运动的函数解析式．
【方法规律】已知三角函数图象求三角函数解析式，一般情况下，可直接观察图象得出周期、振幅，进一步求出角速度，最后利用最大值点(或最小值点)求出初相．
【变式训练1】如图是弹簧振子做简谐振动的图象，横轴表示振动的时间，纵轴表示振动的位移，则这个振子振动的函数解析式是____________________.
思路点拨：(1) 把t＝0代入已知函数，求得h值即可得初始位置．(2) 由解析式可得振幅，然后求出最高点、最低点对应t值，即可得．(3) 求函数周期可得．(4) 由频率的意义可得．
【方法规律】已知三角函数解析式，一般情况下，可直接得出角速度、振幅，进一步求出周期、频率，以及最值．注意具体问题中几何刻画与代数刻画的联系与区别，例如本例题的最高点、最低点是几何刻画，最大值、最小值是代数刻画．
【变式训练2】 弹簧振子以点O为平衡位置在A，B间做简谐运动，A，B相距50 cm.某时刻振子位于点A，经1 s振子首次到达点B.求：(1) 振子振动的周期和频率；(2) 振子在1 min内通过的路程及此时的位移大小；(3) 振子与点A的位移y与时间t的函数解析式．
【方法规律】交变电流I与时间t的关系可以用三角函数模型I=Asin(ωt+φ)(A>0,ω>0),应用这一模型解决相关问题时,要注意结合其图象分析:在一个完整的周期上必然能取到最大值与最小值;三角函数相邻的最值点之间的距离为最小正周期的一半.
思路点拨： (1) 最大偏角θ0满足sinθ0=s/l,其中,s=3,l=25,从而sinθ0=3/25,由计算器,可得θ0≈0.120 3.　(2) 由函数f(x)=Acs(ωx+φ)的性质与T=1 s,可得l=g/(4π2 ),代入g=9.8 m/s2=980 cm/s2,可求得l=980/(4×3.142 )≈24.82.
【方法规律】在现实生活中,许多变化的现象都具有周期性,因此,可以用三角函数模型来描述.如:气象方面有温度的变化,天文学方面有白昼时间的变化,物理学方面有各种各样的振动波,生理方面有人的情绪、智力、体力变化等.研究这些应用问题,主要有以下三种模式.(1) 给定呈周期变化规律的三角函数模型,根据所给模型,结合三角函数的性质,解决一些实际问题.(2) 给定呈周期变化的图象,利用待定系数法求出函数,再解决其他问题.(3) 搜集一个实际问题的调查数据,根据数据作出散点图,通过拟合函数图象,求出可以近似表示变化规律的函数式,进一步用函数性质来解决相应的实际问题.
通过本节课的学习，你学到了哪些知识？2.你认为本节课的重点和难点是什么？
2. 一个弹簧振子做简谐振动的周期为0.4 s，振幅为5 cm，则该振子在2 s内通过的路程为(　　)A. 0.2 m B. 0.5 m C. 1 m D. 2 m