2023-2024学年北京市东城区北京二中教育集团八年级下学期期末数学试题（含详细答案解析）

这是一份2023-2024学年北京市东城区北京二中教育集团八年级下学期期末数学试题（含详细答案解析），共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.若代数式 x+2在实数范围内有意义，则x的取值范围是( )
A. x≥0B. x≥−2C. x≥2D. x≤−2
2.下列运算中错误的是( )
A. 2+ 3= 5B. 12÷ 2= 6C. 2⋅ 3= 6D. (− 3)2=3
3.已知点k,b为第一象限内的点，则一次函数y=kx+b的图象大致是( )
A. B. C. D.
4.下列条件中，不能判断△ABC是直角三角形的是( ).
A. AB2+BC2=AC2B. ∠A:∠B:∠C=3:4:5
C. ∠A+∠B=∠CD. AB=1,BC= 2,AC= 3
5.某商店销售5种领口大小分别为38，39，40，41，42(单位：cm)的衬衫，一个月内的销量如下表：
你认为商店最感兴趣的是这组数据的( )
A. 平均数B. 中位数C. 众数D. 方差
6.如图，一根木棍斜靠在与地面OM垂直的墙ON上，设木棍中点为P，若木棍A端沿墙下滑，且B端沿地面向右滑行．在此滑动过程中，点P到点O的距离( )
A. 变小B. 不变C. 变大D. 无法判断
7.下列命题正确的是( )
A. 一组对边平行的四边形是平行四边形
B. 对角线相等的四边形是矩形
C. 有一组邻边相等的四边形是菱形
D. 有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形
8.某公司新产品上市30天全部售完．图1表示产品的市场日销售量与上市时间之间的关系，图2表示单件产品的销售利润与上市时间之间的关系，下列四个结论中错误的是( )
A. 第30天该产品的市场日销售量最大
B. 第20天至30天该产品的单件产品的销售利润最大
C. 第20天该产品的日销售总利润最大
D. 第20天至30天该产品的日销售总利润逐日增多
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
9.计算： −52=__________.
10.如图，直线y=kx+b分别交坐标轴于(−5,0)，(0,3)两点，则关于x的不等式kx+b>0的解集是__________.
11.如图是一张直角三角形的纸片，两直角边AC=6cm，BC=8cm，现将△ABC折叠，使点B与点A重合，折痕为DE，则CD的长为__________.
12.如图，△ABC中，点D，E分别是边AB，AC的中点，∠ABC的角平分线交DE于点F，AB=8，BC=12，则EF的长为__________.
13.在平面直角坐标系xOy中，将直线l1:y=−x+m向左平移1个单位长度，得到直线l2:y=−x+1，则m=__________.
14.甲、乙两名射击爱好者5次射击测试成绩(单位：环)的统计图如图所示．记甲、乙两人这5次测试成绩数据的平均数分别为x甲，x乙，方差分别为s甲2，s乙2，则x甲__________x乙，s甲2__________s乙2(填“>”，“<”或“=”).
15.如图，在平面直角坐标系xOy中，若直线y=x+b与直线y=−2x+4的交点在第一象限，则b的取值范围是__________.
16.如图，在矩形ABCD中，AB=2，∠BAC=60∘，则对角线AC=__________，点P是AC上的动点，连接PD，则12PA+PD的最小值是__________.
三、解答题：本题共12小题，共96分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
计算：( 2− 6)× 2+3 3.
18.(本小题8分)
计算：|− 3|−15−1+4× 32− 27
19.(本小题8分)
已知a=2+ 5，b=2− 5，求a2−ab+b2的值．
20.(本小题8分)
如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数的图象经过点A−1,6，B1,2，且与x轴交于点C.
(1)求这个一次函数的解析式；
(2)连接OA，求△AOC的面积．
21.(本小题8分)
如图，E、F是平行四边形ABCD的对角线BD上的点，若BE=DF，求证：AE=CF.
22.(本小题8分)
据研究，高空抛物下落的时间t(单位：s)和高度h(单位：m)近似满足公式t= h5(不考虑风速的影响).
(1)求从45m高空抛物到落地时间；
(2)已知高空坠物动能W(单位：J)=10×物体质量(单位：kg)×高度(单位：m)，某质量为0.1kg的玩具被抛出后经过4s后落在地上，这个玩具产生的动能会伤害到楼下的行人吗？请说明理由(注：伤害无防护人体只需要65J的动能).
23.(本小题8分)
如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点B作BE//AC，过点C作CE//DB，BE与CE相交于点E.
(1)求证：四边形BECO是矩形；
(2)连接DE，若AB=3，AC=4，求DE的长．
24.(本小题8分)
在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=kx+bk≠0的图象由函数y=12x的图象平移得到，且经过点−2,0.
(1)求这个一次函数的解析式；
(2)当x<2时，对于x的每一个值，一次函数y=nx−1n≠0的值小于一次函数y=kx+bk≠0的值，直接写出n的取值范围．
25.(本小题8分)
某校举办中华传统文化知识大赛，该校七年级共240名学生和八年级共260名学生都参加了比赛．为了解答题情况，进行了抽样调查，从这两个年级各随机抽取20名学生，获取了他们的成绩(百分制)，并对数据(成绩)进行了整理、描述和分析．下面给出了部分信息．
a.七、八两个年级学生成绩的频数分布直方图如下(数据分成4组：60≤x<70，70≤x<80，80≤x<90，90≤x≤100)：
b.七年级学生的成绩在80≤x<90这一组的是：
80 82 84 85 86 87 87 87 87 87 89
c.七、八年级成绩的平均数、中位数、众数如下：
根据以上信息，回答下列问题：
(1)写出表中m，n的值；
(2)估计七、八两个年级成绩在90≤x≤100的人数一共为______；
(3)把七年级抽取的20名学生的成绩由高到低排列，记排名第5的学生的成绩为p1，把八年级抽取的20名学生的成绩由高到低排列，记排名第5的学生的成绩为p2，比较p1，p2的大小，并说明理由．
26.(本小题8分)
学习“一次函数”时，我们从“数”和“形”两方面研究一次函数的性质，并积累了一些经验和方法．请运用积累的经验和方法，对函数y=2 (x−3)2−1的图像与性质进行探究，并解决相关问题．
(1)列表：
表格中：m=__________；
(2)在乎面直角坐标系中画出该函数图象；
(3)观察图象：
①方程2 (x−3)2−1=0有__________个解；
②当2(4)进一步研究：若点Mx1,y1，Nx2,y2是函数y=2 (x−t)2−1图像上任意两点，若对于127.(本小题8分)
如图，在正方形ABCD中，点P在边AD上，连接CP，过点D作DE⊥CP于点E，延长ED至点F，使EF=EC，连接BF，CF.
(1)依题意补全图形；
(2)∠EFC的度数为__________；
(3)用等式表示线段BF，DF，EF之间的数量关系，并证明．
28.(本小题8分)
在平面直角坐标系xOy中，对于点A和线段MN，如果点A，O，M，N按逆时针方向排列构成菱形AOMN，则称线段MN是点A的“菱线段”，点M是点A的“菱点”．例如，图1中线段MN是点A的“菱线段”．

(1)如图2，已知点A的坐标是0,2.
①点M11,−1，M2 3,1，M32,0，M4−2,1，其中点A的“菱点”有__________；
②若线段MN是点A的“菱线段”，且菱形AOMN的面积是2，求点N的坐标；
(2)记OA=t，若线段MN与线段M′N′都是点A的“菱线段”，且线段MN与线段M′N′都经过点2,0，直接写出t的取值范围．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】【分析】本题考查了二次根式，一元一次不等式，掌握二次根式有意义的条件是解题的关键．
根据二次根式被开方数大于等于零列式求解即可．
【详解】∵代数式 x+2在实数范围内有意义，
∴x+2≥0，
解得x≥−2，
故选B.
2.【答案】A
【解析】【分析】本题考查二次根式的乘除除法，幂的乘方，和合并同类根式，熟练掌握各项运算法则并正确计算是解题的关键．根据二次根式的乘除法法则，幂的乘方，合并同类根式法则逐一计算，即可作出判断．
【详解】解： 2与 3不是同类二次根式，不能合并，故A选项运算错误，符合题意；
12÷ 2= 6，故B选项运算正确，不符合题意；
2⋅ 3= 6，故C选项运算正确，不符合题意；
(− 3)2=3，故D选项运算正确，不符合题意；
故选A.
3.【答案】A
【解析】【分析】本题考查了一次函数的性质，根据点k,b为第一象限内的点，得到k>0,b>0，即可得到一次函数y=kx+b的图象经过一、二、三象限，问题得解．
【详解】解：∵点k,b为第一象限内的点，
∴k>0,b>0，
∴一次函数y=kx+b的图象经过一、二、三象限．
故选：A.
4.【答案】B
【解析】【分析】本题考查了勾股定理的逆定理、三角形的内角和定理，熟练掌握勾股定理的逆定理、三角形的内角和定理是解题的关键．
根据勾股定理的逆定理，三角形的内角和为180∘进行判定即可．
【详解】A.AB2+BC2=AC2，符合勾股定理，故△ABC是直角三角形，不合题意；
B.∠A:∠B:∠C=3:4:5，∠A+∠B+∠C=180∘，最大角∠C=180∘×512=75∘，故△ABC不是直角三角形，符合题意；
C.∠A+∠B=∠C，∠A+∠B+∠C=180∘，则有∠C=90∘，故△ABC是直角三角形，不合题意；
D.AB=1,BC= 2,AC= 3，则AB2+BC2=AC2，符合勾股定理，故△ABC是直角三角形，不合题意；
故选B.
5.【答案】C
【解析】【分析】本题主要考查众数，解题的关键是掌握众数的概念：一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．根据众数的意义求解可得．
【详解】解：商店最感兴趣的是这组数据的众数，众数是这组数据中出现次数最多的，即销量最大的就是众数．
所以商店最感兴趣的是这组数据的众数．
故选：C.
6.【答案】B
【解析】【分析】根据直角三角形斜边上中线等于斜边的一半得出OP=12AB=a，即可得出答案．
【详解】解：在木棍滑动的过程中，点P到点O的距离不发生变化，

理由是：连接OP，设AB=2a
∵∠AOB=90∘，P为AB中点，AB=2a，
∴OP=12AB=a，
即在木棍滑动的过程中，点P到点O的距离不发生变化，永远是a；
故选：B.
【点睛】此题考查了解直角三角形，掌握在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．
7.【答案】D
【解析】【分析】根据平行四边形的判定方法对A进行判断；根据矩形的判定方法对B进行判断；根据菱形的判定方法对C进行判断；根据正方形的判定方法对D进行判断．
【详解】A、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，所以A选项错误；
B、对角线相等的平行四边形是矩形，所以B选项错误；
C、有一组邻边相等的平行四边形是菱形，所以C选项错误；
D、有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形，所以D选项正确．
故选：D.
【点睛】本题考查了平行四边形、菱形、矩形和正方形的判定，熟练掌握特殊四边形的判定定理是关键．
8.【答案】C
【解析】解：A.从图1中可知，第30天日销售量为60件，日销售量最大，故该选项正确，不符合题意；
B.从图2中可知，单件产品的销售利润最大的是第20天至30天，单件销售利润为30元，故该选项正确，不符合题意；
C.应该是第30天，因为第30天的单件销售利润最大，日销售量最大，故该选项错误，符合题意；
D.第20天至30天，单件销售利润都是30元，日销售量在增大，所以销售总利润逐日增多，故该选项正确，不符合题意．
故选：C.
从图1中看日销售量，日销售量随上市时间的增大而增大；从图2中看单件销售利润，前20天单件销售利润在增大，到了第20天至第30天，单件销售利润达到最大．
本题考查了一次函数的图象，解题的关键是看懂这两幅图的自变量和因变量．
9.【答案】5
【解析】【分析】本题考查了二次根式的性质与化简，掌握二次根式的性质 a2=a=aa≥0−aa<0是解题的关键．
先将被开方数化为52，然后按照二次根式的性质化简即可．
【详解】解： (−5)2= 52=5，
故答案为：5.
10.【答案】x>−5
【解析】【分析】在x轴上方的函数图象所对应的自变量的取值即可．
【详解】解：由图象可知，在x轴上方的函数图象所对应的自变量的取值为x>−5，
则不等式kx+b>0的解集是x>−5，
故答案为：x>−5.
【点睛】本题考查一次函数与一元一次不等式解集的关系，理解函数值大于0的解集是x轴上方的函数图象所对应的自变量的取值是解决本题的关键．
11.【答案】74cm
【解析】【分析】根据折叠的性质，则DB=DA，设CD=x，则DB=DA=8−x，再根据勾股定理，即可．
【详解】由题意得，DB=DA，
设CD=x，
∵BC=8cm，
∴DB=DA=8−x，
∵∠ACD=90∘，AC=6cm，
∴62+x2=8−x2，
∴x=74，
∴CD=74cm.
故答案为：74cm.
【点睛】本题考查勾股定理，折叠的知识，解题的关键是掌握勾股定理的运用，折叠的性质．
12.【答案】2
【解析】【分析】根据三角形中位线定理得到DE//BC，DE=12BC=6，根据角平分线，平行线的性质可得DB=DF=4，由EF=DE−DF即可求解．
本题主要考查三角形的中位线，平行线，角平分线的性质，掌握中位线定理是解题的关键．
【详解】解：∵点D、E分别为边AB、AC的中点，
∴DE//BC，DE=12BC=6，AD=BD=12AB=4，
∴∠DFB=∠FBC，
∵BF平分∠ABC，
∴∠DBF=∠FBC=∠BFD，
∴BD=DF=AD=4，
∴EF=DE−DF=6−4=2，
故答案为：2.
13.【答案】2
【解析】【分析】本题考查了一次函数图象与几何变换，关键是掌握直线y=kx+b向左平移a个单位，则解析式为y=kx+a+b，向右平移a个单位，则解析式为y=kx−a+b.根据平移的规律得到平移后的直线为y=−x−1+m，即可得出−1+m=1，解得即可．
【详解】解：∵将直线l1:y=−x+m向左平移1个单位长度，得到直线l2:y=−x+1，
∴y=−x+1+m=−x−1+m=−x+1，
∴−1+m=1
解得m=2，
故答案为：2.
14.【答案】>
=

【解析】【分析】根据平均数和方差的计算公式分别进行解答即可；
【详解】解：甲的平均数是：x甲=(9+9+8+10+8)÷5=8.8；
乙的平均数是：x乙=(8+8+7+9+7)÷5=7.8；
∴x甲>x乙
甲的方差是：S2=15[(9−8.8)2+(9−8.8)2+(8−8.8)2+(10−8.8)2+(8−8.8)2]=0.56；
乙的方差是：S2=15[(8−7.8)2+(8−7.8)2+(7−7.8)2+(9−7.8)2+(7−7.8)2]=0.56；
∵S甲2=0.56，S乙2=0.56，
∴S甲2=S乙2，
故答案为：>,=
【点睛】本题考查了平均数和方差，一般地设n个数据，x1，x2，…xn的平均数为x，则方差S2=1n[(x1−x)2+(x2−x)2+…+(xn−x)2]，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．
15.【答案】bv+av≥s(bc+ac)
【解析】【分析】本题考查了一次函数的交点问题，联立解析式，求解对应的二元一次方程组即可求解．
【详解】解：由y=x+by=−2x+4可得：x=4−b3y=4+2b3
∴直线y=x+b与直线y=−2x+4的交点为4−b3,4+2b3
∵直线y=x+b与直线y=−2x+4的交点在第一象限，
∴4−b3>04+2b3>0
解得：bv+av≥s(bc+ac)
故答案为：bv+av≥s(bc+ac)
16.【答案】4
3

【解析】【分析】此题是胡不归问题，主要考查了矩形的性质，勾股定理，直角三角形的性质等知识点，正确作出辅助线是解题关键．
过点A作∠CAN=30∘，过点D作DM⊥AN于点M，交AC于点P，在矩形ABCD中，AB=2，∠BAC=60∘，则∠BCA=30∘，∠DAC=30∘，根据直角三角形的性质得出AC=4，根据勾股定理得出BC=2 3，根据∠CAN=30∘，得出12PA=PM，再根据直角三角形的性质和勾股定理算出AM= 3,DM=3，根据12PA+PD=PM+PD，得出当点D,P,M三点共线时，PM+PD=DM=3，此时12PA+PD最小，即可求解；
【详解】解：过点A作∠CAN=30∘，过点D作DM⊥AN于点M，交AC于点P，
∵在矩形ABCD中，AB=2，∠BAC=60∘，AD=BC，
则∠BCA=30∘，∠DAC=30∘，
∴AC=4，
∴BC= AB2+BC2=2 3，
∵∠CAN=30∘，
∴12PA=PM，
∵∠CAN=30∘，∠DAC=30∘，
∴∠DAM=60∘,∠ADM=30∘，
∴AM=12AD= 3,DM= AD2−AM2=3，
∵12PA+PD=PM+PD，
∴当点D,P,M三点共线时，PM+PD=DM=3，
此时12PA+PD最小，
∴12PA+PD的最小值是3.
故答案为：4；3.
17.【答案】解：( 2− 6)× 2+3 3
= 2× 2− 6× 2+ 3
=2−2 3+ 3
=2− 3.

【解析】【分析】此题主要考查了二次根式的混合运算，正确化简二次根式是解题关键．
直接利用二次根式的乘法运算法则和二次根式的性质化简二次根式进而计算得出答案；
18.【答案】解：原式= 3−5+2 3−3 3
=−5

【解析】【分析】本题考查了负整数指数幂、二次根式的运算，注意计算的准确性即可．
19.【答案】解：∵a=2+ 5，b=2− 5，
∴a+b=4，ab=−1，
∴a2−ab+b2
=a2+2ab+b2−3ab
=a+b2−3ab
=42−3×−1
=16+3
=19.

【解析】【分析】本题主要考查了整式的化简求值，二次根式的混合运算，完全平方公式，熟练掌握完全平方式的应用是解决本题的关键，同时需要注意实数的运算法则的熟练运用．根据题意，利用完全平方式将原式进行化简，从而整体代入求解即可．
20.【答案】(1)解：设一次函数为y=kx+b，
把点A−1,6，B1,2，代入解析式y=kx+b得：
6=−k+b2=k+b，解得b=4k=−2，
所以这个一次函数的解析式是y=−2x+4；
(2)解：令y=0，则0=−2x+4，解得x=2，
∴点C坐标为2,0，
∴△AOC的面积为S△AOC=12×2×6=6.

【解析】【分析】本题主要考查待定系数法求一次函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答．
(1)根据待定系数法可以求得该函数的解析式；
(2)根据(1)中的函数解析式可以求得点C的坐标，从而可以求得△AOC的面积．
21.【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AB//CD，
∴∠ABE=∠CDF.
∵BE=DF，
∴△ABE≌△CDF，
∴AE=CF.

【解析】【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的性质和判定，先根据平行四边形的性质得AB=CD，AB//CD，可得∠ABE=∠CDF，结合BE=DF，进而证明△ABE≌△CDF，最后根据“全等三角形的对应边相等”得出答案．
22.【答案】(1)解：由题意知h=45m，
∴t= 455=3s，
故从45m高空抛物到落地时间为3s；
(2)解：这个玩具产生的动能会伤害到楼下的行人，
理由：当t=4s时，4= h5，
∴h=80m，
这个玩具产生的动能=10×0.1×80=80J>65J，
∴这个玩具产生的动能会伤害到楼下的行人．

【解析】【分析】本题考查二次根式的应用，通过具体情境考查二次根式，理解公式，正确运算代入求值是解决本题的关键．
(1)把45m代入公式即可；
(2)求出h，代入动能计算公式即可求出．
23.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∵BE//AC，CE//DB
∴四边形BECO是平行四边形，
∵OC⊥BO，
∴平行四边形BECO是矩形；
(2)解：如图，
∵四边形ABCD是菱形，AC=4，
∴OA=OC=2，AC⊥BD，OB=OD，
∴OD=OB= AB2−OA2= 32−22= 5,
∴BD=2 5
∵四边形BECO是矩形，
∴BE=OC=2，∠EBD=90∘，
在Rt△BED中，ED= BE2+BD2= 22+2 52=2 6.

【解析】【分析】(1)根据菱形的性质可得AC⊥BD，再根据BE//AC，CN//DB可得四边形BECO是平行四边形，进而证明四边形BECO是矩形；
(2)根据题意可得OA=OC=2，AC⊥BD，OB=OD，勾股定理求得BO的长，进而求得BD的长，在Rt△BED中，勾股定理即可求解．
【点睛】本题考查了菱形的性质，矩形的性质与判定，勾股定理，掌握菱形的性质是解题的关键．
24.【答案】(1)解：∵一次函数y=kx+bk≠0的图象由函数y=12x的图象平移得到，
∴k=12，
∵一次函数y=12x+b的图象经过−2,0，
∴0=12×−2+b，
解得b=1，
∴一次函数解析式为y=12x+1；
(2)解：如图，在同一坐标系中作出y=12x+1，y=12x−1以及y=nx−1n<0和y=nx−10∵当x<2时，对于x的每一个值，一次函数y=nx−1n≠0的值小于一次函数y=kx+bk≠0的值，
∴当x<2时，一次函数y=nx−1n≠0的图像在y=12x+1的下方，
∴0
【解析】【分析】(1)根据一次函数平移的性质可得k=12，再利用待定系数法求解即可；
(2)在同一坐标系中作出y=12x+1，y=12x−1以及y=nx−1n<0和y=nx−10【点睛】本题主要考查了一次函数与作一次函数的图像，求一次函数解析式，一次函数图象的平移，熟知一次函数的相关知识是解题的关键．
25.【答案】解：(1)∵一共抽取20名学生，
∴中位数为第10名学生和第11名学生成绩的平均数，
∴第10名学生和第11名学生成绩分别为86，87，
∴m=86+872=86.5；
抽取的20名七年级学生的成绩中87出现的次数最多，
∴众数n=87；
(2)240×420+260×620=126(人)，
∴估计七、八两个年级成绩在90≤x≤100的人数一共为126人；
(3)∵七年级抽取的20名学生的成绩在90≤x≤100的有4人，
∴排名第5的学生的成绩80≤x<90中最高成绩，
∴p1=89，
∵八年级抽取的20名学生的成绩在90≤x≤100的有6人，
∴排名第5的学生的成绩p2≥90，
∴p1
【解析】【分析】本题考查频数分布直方图，平均数，中位数众数的意义和用样本估计总体，准确理解这些概念是解题的关键．
(1)根据中位数和众数的概念求解即可；
(2)根据样本估计总体的方法求解即可；
(3)根据两个年级抽取的20名学生的成绩在90≤x≤100的人数判断出p1，p2的大小，进而比较即可．
26.【答案】(1)解：当x=1时，y=2 (1−3)2−1=3，
∴m=3，
故答案为：3；
(2)画出函数图像如下：
(3)①由(2)中的图像可知，函数y=2 (x−3)2−1的图像与x轴有两个交点，即方程2 (x−3)2−1=0有2个解，
故答案为：2；
②由(2)中的图像可知，当2故答案为：−1(4)点Mx1,y1，Nx2,y2是函数y=2 (x−t)2−1图像上任意两点，若对于1故答案为：t≤1.

【解析】【分析】本题考查了一次函数的图像与性质，解题的关键是数形结合．
(1)把x=1代入y=2 (x−3)2−1中，即可求解；
(2)根据表格画出图像即可；
(3)①根据函数与x轴的交点个数即可求解；②根据函数图像即可求解；
(4)根据对于127.【答案】(1)解：如图所示，
(2)解：∵DE⊥CP，
∴∠EFC+∠ECF=90∘，
∵EF=EC，
∴∠EFC=∠ECF=90∘2=45∘，
故答案为：45∘；
(3)解：BF2=4EF2+DF2，理由如下：
过点C作CH⊥EF，交FE的延长线于点H，连接BH，
∵四边形ABCD是正方形，CH⊥EF，
∴∠BCD=∠HCF=90∘，BC=CD，
∴BCH=∠DCH，
∵∠ECF=∠EFC=45∘，∠HCF=90∘，
∴∠HCE=∠FCE=45∘，
∵HE⊥CE，
∴∠EHC=90∘−45∘=45∘=∠ECH，
∴HE=CE=EF，
∴HF=2EF，
∵CE⊥HF，
∴CH=CF，
∴△CBH≌△CDF(SAS)
∴BH=DF，∠BHC=∠DFC=45∘，
∴∠BHF=∠BHC+∠CHE=90∘，
∴BF2=BH2+HF2=4EF2+DF2.

【解析】【分析】(1)根据题意补全即可；
(2)由∠EFC+∠ECF=90∘，得EF=EC，再根据等边对等角即可得解；
(3)过点C作CH⊥EF，交FE的延长线于点H，连接BH，先证HE=CE=EF，得HF=2EF，再证明△CBH≌△CDF(SAS)，得BH=DF，∠BHC=∠DFC=45∘，从而∠BHF=∠BHC+∠CHE=90∘，利用勾股定理即可BF2=BH2+HF2=4EF2+DF2.
【点睛】本题考查了勾股定理，正方形的性质，全等三角形的判定及性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，熟练掌握正方形的性质及全等三角形的判定及性质是解题的关键．
28.【答案】(1)解：①∵A的坐标是0,2
∴AO=2
∵四边形AOMN是菱形
∴OM=AO=2
∵点M11,−1，M2 3,1，M32,0，M4−2,1
∴OM1= 12+12= 2，OM2= ( 3)2+12=2，OM3=2，OM4= (−2)2+12= 5
∴点M2，M3点A的“菱点”
故答案为：M2，M3.
②根据题意，N点有两种情况，
∵四边形AOMN是菱形
∴NM//OA，AN=AO=2
如图所示，作NF⊥y轴交y轴于F，则∠AFN=90∘
∵菱形AOMN的面积是2
∴OA⋅NF=2，即NF=2OA=22=1
∴AF= AN2−NF2= 22−12= 3
∴当点F在点A的正上方，OF=OA+AF=2+ 3
当点F在点A的正下方，OF=OA−AF=2− 3
∴点N的坐标为1,2+ 3或1,2− 3.
(2)如图1，过点2,0作OA的平行线l，以A、O为圆心，OA长为半径作⊙A，⊙O，当⊙A，⊙O分别与直线l有两个交点，且线段MN、线段M′N′经过点2,0时，满足条件．

图1中，四边形AOMN、AOM′N′是菱形，
∴AN//OM，AN′//OM′，OM=OM′，AN=AN′
∴∠OMM′=∠ANN′，∠OM′M=∠AN′N，∠OMM′=∠OM′M，∠ANN′=∠AN′N
∴∠OMM′=∠OM′M=∠ANN′=∠AN′N
∵∠MOM′=180∘−2∠OMM′，∠NAN′=180∘−2∠ANN′
∴∠MOM′=∠NAN′
∵OA//l
∴∠AOM′=∠OM′M，∠OAN=∠ANN′
∴∠AOM′+∠MOM′=∠OAN+∠NAN′
∴∠AOM=∠OAN′
当线段MN与M′N′线段完全重叠时，点A只有一条“菱线段”，
此时t取得最小值，如图2所示，
∵四边形AOMN是菱形，
∴AN//OM，OA=AN
∴∠AOM+∠OAN=180∘
又∠AOM=∠OAN
∴∠AOM=∠OAN=180∘2=90∘，
此时ON=2
∴ON2=OA2+AN2，解得：OA= 2
当线段MN与M′N′线段的点N与点M′重叠时，点A有两条“菱线段”，此时t取得最大值，如图3所示，
此时点N、M′在2,0
∴OA=OM′=2
∴当 2故答案为： 2
【解析】【分析】(1)①根据菱形的性质可知OM=2，利用勾股定理逐一计算即可得到答案；②根据题意，N点由两种情况，作NF⊥y轴，根据菱形的性质和面积可知NF=1，AN=2，利用勾股定理求得AF= 3的长度，当点F在点A的上方，得到OF=OA+AF，当点F在点A的上方，得到OF=OA−AF，即可得到N点坐标；
(2)过点2,0作OA的平行线l，以A、O为圆心，OA长为半径作⊙A，⊙O，当⊙A，⊙O分别与直线l有两个交点，且线段MN、线段M′N′经过点2,0时，满足条件．根据菱形的性质、等腰三角形性质和三角形内角和可证明∠AOM=∠OAN′，当线段MN与M′N′线段完全重叠时，点A只有一条“菱线段”符合题意，此时t取得最小值，可根据∠AOM=∠OAN计算得到OA；当线段MN与M′N′线段的点N与点M′重叠时，此时t取得最大值，根据点N、M′在2,0可得到OA，即可得到答案．
【点睛】本题考查了理解“菱点”和“菱线段”的定义，菱形的性质，勾股定理，平行线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，正确理解“菱线段”的定义和熟练掌握菱形的性质是解题的关键．
领口大小/cm
38
39
40
41
42
销量/件
64
199
180
110
47

平均数
中位数
众数
七年级
84.2
m
n
八年级
84.6
87.5
88
x
…
0
1
2
3
4
5
6
7
…
y
…
5
m
1
−1
1
3
5
7
…