2023-2024学年北京市大兴区八年级下学期期末数学试题（含详细答案解析）

这是一份2023-2024学年北京市大兴区八年级下学期期末数学试题（含详细答案解析），共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列各式中，最简二次根式是( )
A. 116B. m2+1C. 1.5D. a2
2. m2m<0等于( ).
A. m2B. ±mC. mD. −m
3.下列各式中，从左向右变形正确的是( )
A. −52=5B. 16=±4
C. 6= −2× −3D. 8+ 2= 10
4.下列各组数据中能作为直角三角形的三边长的是( )
A. 1，3，3B. 1， 2， 3C. 4，5，7D. 2， 3，5
5.如图，在▱ABCD中，AE平分∠BAD，交CD边于E，AD=3，EC=2，则AB的长为( )
A. 5B. 3C. 2D. 1
6.为迎接2024年5月28日北京大兴西瓜节，某西瓜交易市场准备在空地处建造一个菱形花坛，若菱形花坛的两条对角线的长分别为6米和10米，则菱形花坛的面积(单位：平方米)为( )
A. 15B. 24C. 30D. 60
7.如图，矩形纸片ABCD中，AB=8，AD=6，折叠纸片使AD边落在对角线BD上，点A落在点A′处，折痕为DG，则AG的长为( )
A. 3B. 4C. 5D. 6
8.如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的顶点A，C的坐标分别是(4,−2)，(1,2)，点B在x轴上，则点B的横坐标是( )
A. 4B. 2 5C. 5D. 4 2
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
9.式子 x−3在实数范围内有意义，则 x 的取值范围是__________.
10.计算： 32=__________.
11.化简：1 3=__________.
12.已知n是正整数，且 19−n也是正整数，写出一个满足条件的n的值，这个n的值为__________.
13.如图，A，B两点被池塘隔开，在AB外选一点C，连接AC和BC，分别取AC，BC的中点D，E，测得D，E两点间的距离为20m，则A，B两点间的距离为__________m.
14.如图，已知菱形ABCD的一个内角∠BAD=80∘，对角线AC，BD相交于点O，点E在AB上，且BE=BO，则∠EOA=__________ ∘.
15.在平面直角坐标系xOy中，已知点A1,1，B−1,1，请确定点C的坐标，使得以A，B，C，O为顶点的四边形是平行四边形，则满足条件的所有点C的坐标是__________.
16.“赵爽弦图”通过对图形的切割、拼接，巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，它表现了我国古人对数学的钻研精神和聪明才智．如图所示的“赵爽弦图”是由4个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．若大正方形的面积是29，小正方形的面积是9；设直角三角形较长直角边的长为b，较短直角边的长为a，则a+b的值是__________.
三、计算题：本大题共1小题，共6分。
17.计算：( 8+ 3)× 6−4 12.
四、解答题：本题共11小题，共88分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
18.(本小题8分)
计算：1− 30+− 2− 8+14−1.
19.(本小题8分)
计算： 12+ 15÷ 5.
20.(本小题8分)
已知直角三角形的一条直角边的长是7cm，斜边的长是9cm，求另一条直角边的长．
21.(本小题8分)
已知：Rt△ABC，∠ABG=90∘.
求作：矩形ABCD.作法：如图，
①作线段AC的中点O；
②连接BO并延长，在延长线上截取OD=OB；
③连接AD，CD.
四边形ABCD即为所求作的矩形．

完成下面的证明．
证明：∵OA=，OD=OB，
∴四边形ABCD是平行四边形( )(填推理的依据).
∵∠ABC=90∘，
∴四边形ABCD是矩形( )(填推理的依据).
22.(本小题8分)
在▱ABCD中，DE⊥AB，BF⊥CD，垂足分别是E、F.求证：AE=CF.
23.(本小题8分)
如图，在▱ABCD中，∠BAC=90∘，点E为BC边中点，AD=8，求AE的长度．
24.(本小题8分)
如图，在▱ABCD中，BD=AD，延长CB到点E，使BE=BD，连接AE.求证：四边形AEBD是菱形．
25.(本小题8分)
已知：如图，在△ABC中，AB=10，∠BAC的角平分线交BC边于点D，且AD=8，BD=6.求证：△ABC是等腰三角形．
26.(本小题8分)
阅读材料，解答下列问题：
材料：已知 10−x− 4−x=1，求 10−x+ 4−x的值．
小云同学是这样解答的：
10−x− 4−x 10−x+ 4−x
= 10−x2− 4−x2
=10−x−4+x=6
∵ 10−x− 4−x=1，∴ 10−x+ 4−x=6.
问题：已知 25−x+ 22−x=3.
(1)求 25−x− 22−x的值；
(2)求 25−x的值．
27.(本小题8分)
已知：如图，正方形ACBD的边BC上有一动点P(与点B，C不重合)，连接AP，延长BC至点Q，使得CQ=CP，过点Q作QH⊥AP于点H，交正方形的对角线AB于点M.若∠PAC=α.

(1)求∠AMQ的大小(用含α的式子表示)；
(2)用等式表示线段MB与PQ之间的数量关系，并证明．
28.(本小题8分)
我们知道：有一个角是直角的三角形叫做直角三角形．类似地，我们定义：至少有一组对角是直角的四边形叫做对角直角四边形．
(1)下列图形：①有一个内角为45∘的平行四边形；②矩形；③菱形；
④直角梯形，其中对角直角四边形是(只填序号)；
(2)如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点M，在菱形ABCD的外部以CD为斜边作等腰直角△CDN，连接MN.
①求证：四边形DMCN是对角直角四边形；
②若点N到BD的距离是2，求四边形DMCN的面积．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】【分析】本题主要考查了最简二次根式的定义，掌握最简二次根式需同时满足两个条件“一是被开方数中不含能开的尽方的因数或因式，二是被开方数中不含分母成为解题的关键．
根据最简二次根式的条件逐项判断即得可解答．
【详解】解：A、 116=14，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
B、 m2+1是最简二次根式，故本选项符合题意；
C、 1.5不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
D、 a2=a不是最简二次根式，故本选项不符合题意．
故选：B.
2.【答案】D
【解析】【分析】本题主要考查了二次根式的性质，掌握 a2=a是解题的关键.
根据二次根式的性质可得 a2=a，再化简绝对值即可解答.
【详解】解：∵ m2=m，m<0，
∴m=−m，即 m2=−m.
故选：D.
3.【答案】A
【解析】【分析】本题考查了二次根式的性质，二次根式的运算，算术平方根的性质，根据二次根式的性质，二次根式的运算逐项判断即可，正确计算是解题的关键．
【详解】A、 −52=5，原选项左向右变形正确，符合题意；
B、 16=4，原选项左向右变形错误，不符合题意；
C、 6= −2× −3，原选项左向右变形错误，不符合题意；
D、 8+ 2=2 2+ 2=3 2，原选项左向右变形错误，不符合题意；
故选：A.
4.【答案】B
【解析】【分析】本题考查了勾股逆定理的应用，最大边的平方等于两个较小的边的平方之和，即为直角三角形，据此进行作答即可．
【详解】解：A、32≠32+12，不能作为直角三角形的三边长，故该选项是错误的；
B、 32= 22+12，能作为直角三角形的三边长，故该选项是正确的；
C、72=49≠42+52=41，不能作为直角三角形的三边长，故该选项是错误的；
D、2， 3，5，不能作为三角形的三边长，故该选项是错误的；
故选：B.
5.【答案】A
【解析】【分析】首先证明DA=DE，再根据平行四边形的性质即可解决问题．
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BA//CD，AB=CD，
∴∠DEA=∠EAB，
∵AE平分∠DAB，
∴∠DAE=∠EAB，
∴∠DAE=∠DEA，
∴DE=AD=3，
∴CD=CE+DE=2+3=5，
∴AB=5.
故选：A.
【点睛】本题考查平行四边形的性质，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活应用这些知识解决问题．
6.【答案】C
【解析】【分析】本题主要考查了菱形的性质，掌握菱形的面积等于对角线积的一半是解题的关键．
由菱形的面积等于对角线乘积的一半列式计算即可．
【详解】解：菱形的面积=12×6×10=30，
故选：C.
7.【答案】A
【解析】【分析】利用勾股定理求出BD=10，由翻折得A′B=4，设AG=A′G=x，则BG=8−x，在Rt△A′BG中，利用勾股定理得出方程．本题主要考查了翻折的性质，矩形的性质，以及勾股定理等知识，运用方程思想是解题的关键．
【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=90∘，
在△ABD中，由勾股定理得：
BD= AD2+AB2= 62+82=10，
∵折叠纸片使边AD落在对角线BD上，
∴AD=A′D，AG=A′G，
∴A′B=4，
设AG=A′G=x，则BG=8−x，
在Rt△A′BG中，由勾股定理得：
x2+42=(8−x)2，
解得x=3，
∴AG=3，
故选：A.
8.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了矩形的性质，坐标与图形的性质，掌握矩形的对角线相等是解题的关键．
由两点距离公式可求AC的长，由矩形的性质可求OB=AC=5，即可求解．
【解答】
解：连接AC，
∵点A(4,−2)，点C(1,2)，
∴AC= (4−1)2+(−2−2)2=5，
∵四边形ABCO是矩形，
∴OB=AC=5，
∴点B的横坐标为5，
故选：C.
9.【答案】x≥3
【解析】【分析】
此题主要考查了二次根式有意义的条件．直接利用二次根式的有意义的条件得出x的取值范围，进而得出答案．
【解答】
解：由题意可得：x−3≥0，
解得：x≥3.
故答案为：x≥3.
10.【答案】3
【解析】【详解】分析： 32=3.
11.【答案】 33
【解析】【分析】利用二次根式的性质，进行分母有理化即可．
【详解】解：1 3=1× 3 3× 3= 33，
故答案为： 33.
【点睛】本题考查二次根式化简，熟练掌握二次根式的性质，确定分母的有理化因式是解题的关键．
12.【答案】3(答案不唯一)
【解析】【分析】
先根据被开方数不小于零的条件求出n的取值范围，再根据题意求取n的值即可．
本题考查二次根式有意义的条件，掌握被开方数不小于零的条件是解题的关键．
【解答】
解：由题可知，
19−n≥0，
则n≤19.
要使 19−n也是一个正整数，
则n可取3.
故答案为：3(答案不唯一).
13.【答案】40
【解析】【分析】本题考查了三角形中位线的判定与性质，先判断出DE是△ABC的中位线，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得DE=12AB即可解答，掌握三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半是解题的关键．
【详解】解：∵D，E两点分别是AC，BC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE=12AB，
∵DE=20m，
∴AB=40m，
故答案为：40.
14.【答案】25
【解析】【分析】根据∠BAD和菱形邻角和为180∘的性质可以求∠ABC的值，根据菱形对角线即角平分线的性质可以求得∠ABO的值，又由BE=BO可得∠BEO=∠BOE，根据∠BOE和菱形对角线互相垂直的性质可以求得∠EOA的大小．
【详解】解：∵∠BAD=80∘，菱形邻角和为180∘
∴∠ABC=100∘，
∵菱形对角线即角平分线
∴∠ABO=50∘，
∵BE=BO
∴∠BEO=∠BOE=180∘−50∘2=65∘，
∵菱形对角线互相垂直
∴∠AOB=90∘，
∴∠AOE=90∘−65∘=25∘，
故答案为25.
【点睛】本题考查了菱形对角线互相垂直平分且平分一组对角的性质，考查了等腰三角形底角相等的性质，本题中正确的计算∠BEO=∠BOE=65∘是解题的关键．
15.【答案】−2,0或2,0或0,2
【解析】【分析】分两种情况：①当AB为平行四边形的边时，②当AB为平行四边形的对角线时，讨论可得点C的坐标．
【详解】解：①当AB为平行四边形的边时，AB=OC，
∵A1,1，B−1,1，O0,0，
∴点C坐标为−2,0或2,0；
②当AB为平行四边形的对角线时，C0,2，
故答案为：−2,0或2,0或0,2.
【点睛】此题考查了平行四边形的性质和坐标与图形性质，解答本题的关键是要注意分两种情况进行求解．
16.【答案】7
【解析】【分析】本题主要考查勾股定理、完全平方公式等知识点，熟练运用勾股定理以及完全平方公式是解题的关键．
由题意可知，中间小正方形的边长为b−a，根据勾股定理以及题目给出的已知数据可知大正方形的面积为a2+b2=29，然后求得a+b2=49，最后求其算术平方根即可．
【详解】解：由题意可知，中间小正方形的边长为b−a，
∴b−a2=9，即a2+b2−2ab=9①，
根据勾股定理可知：大正方形的面积为a2+b2=29②，
由①②可得ab=10，
∴a+b2=a2+b2+2ab=29+20=49，
∵a>0,b>0，
∴a+b>0，
∴a+b= a+b2= 49=7.
故答案为：7.
17.【答案】解：原式=(2 2+ 3)× 6−2 2
=2 2× 6+ 3× 6−2 2
=4 3+3 2−2 2
=4 3+ 2.
【解析】本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．
18.【答案】1− 30+− 2− 8+14−1
=1+ 2−2 2+4
=5− 2.

【解析】【分析】本题考查二次根式的加减运算，零指数幂和负整数指数幂，根据a0=1a≠0，a−1=1a1，二次根式的加减运算求解即可．
19.【答案】解： 12+ 15÷ 5
=2 3+ 3
=3 3.

【解析】【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，掌握相关运算法则成为解题的关键．
先运用二次根式除法法则计算，然后运用二次根式的性质化简，最后合并同类二次根式即可解答．
20.【答案】解：∵直角三角形的一条直角边的长是7cm，斜边的长是9cm，
∴另一条直角边的长为 92−72=4 2cm.

【解析】【分析】本题主要考查了勾股定理，直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方，据此求解即可．
21.【答案】证明：∵OA=OC，OD=OB，
∴四边形ABCD是平行四边形(对角线互相平分的四边形是平行四边形).
∵∠ABC=90∘，
∴四边形ABCD是矩形(有一个角是直角的平行四边形是矩形).
故答案为：OC；对角线互相平分的四边形是平行四边形；有一个角是直角的平行四边形是矩形．

【解析】【分析】根据平行四边形的判定、矩形的判定填空即可．本题考查平行四边形的判定、矩形的判定，熟练掌握平行四边形的判定、矩形的判定是解答本题的关键．
22.【答案】证明：∵DE⊥AB，BF⊥CD，
∴∠AED=∠CFB=90∘，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD=BC，∠A=∠C，
在△ADE和△CBF中，
∠AED=∠CFB∠A=∠CAD=BC，
∴△ADE≌△CBF(AAS)；
∴AE=CF

【解析】【分析】由DE与AB垂直，BF与CD垂直，得到一对直角相等，再由ABCD为平行四边形得到AD=BC，对角相等，利用AAS即可得到全等三角形，再得出结论；
【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质，以及平行四边形的性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解本题的关键．
23.【答案】解：∵在▱ABCD中，AD=8，
∴BC=AD=8，
∵∠BAC=90∘，点E为BC边中点，
∴AE=12BC=4.

【解析】【分析】本题主要考查了平行四边形的性质、直角三角形的性质等知识点，掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半成为解题的关键．
由平行四边形的性质可得BC=AD=8，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可解答．
24.【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，即AD//BE，
∵BD=AD，BE=BD，
∴AD=BE，
∴四边形AEBD是平行四边形，
又∵BE=BD，
∴四边形AEBD是菱形．

【解析】【分析】本题主要考查了菱形的判定，平行四边形的性质与判定，先由平行四边形的性质得到AD//BE，再证明AD=BE结合BE=BD即可证明四边形AEBD是菱形．
25.【答案】证明：∵AB=10，AD=8，BD=6，
∴AB2=100=AD2+BD2，
∴∠ADC=∠ADB=90∘，
∵∠BAC的角平分线交BC边于点D，
∴∠BAD=∠DAC，
∵AD=AD，
∴△ADB≌△ADCASA，
∴AB=AC，即△ABC是等腰三角形．

【解析】【分析】本题主要考查了勾股定理逆定理、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定等知识点，证得△ADB≌△ADCASA成为解题的关键．
根据勾股定理逆定理可得∠ADC=∠ADB=90∘，再根据角平分线的定义可得∠BAD=∠DAC，然后结合公共边可证△ADB≌△ADCASA，进而得到AB=AC即可证明结论．
26.【答案】(1)解：( 25−x+ 22−x)( 25−x− 22−x)
=( 25−x)2−( 22−x)2
=25−x−22+x
=3，
∵ 25−x+ 22−x=3，
∴ 25−x− 22−x=1；
(2)解：设 25−x=a， 22−x=b，
由(1)得：a−b=1a+b=3，
解得：a=2b=1，
∴ 25−x=2.

【解析】【分析】(1)利用例题的解题思路进行计算，即可解答；
(2)设 25−x=a， 22−x=b，然后利用(1)的结论可得：a−b=1a+b=3，从而进行计算即可解答．
本题考查了二次根式的化简求值，加减消元法，平方差公式，准确熟练地进行计算是解题的关键．
27.【答案】(1)解：∠AMQ=45∘+α.理由如下：
∵QH⊥AP，
∴∠AMQ=90∘−∠PAM，
∵正方形ACBD的对角线AB，
∴∠CAB=45∘，即：∠PAM=∠CAB−∠PAC=45∘−α，
∴∠AMQ=90∘−∠PAM=90∘−45∘−α=45∘+α.
(2)解：线段MB与PQ之间的数量关系：PQ= 2MB，证明如下：
如图：连接AQ，过点M作ME⊥QB，

∵AC⊥QP,CQ=CP，
∴∠QAC=∠PAC=α，
∴∠QAM=α+45∘=∠AMQ，
∴AP=AQ=QM，
∵QH⊥AP，AC⊥BC，
∴∠MQE+∠APC=90∘,∠PAC+∠APC=90∘,
∴∠MQE=∠PAC，
在Rt△APC和Rt△QME中，∠MQE=∠PAC,∠ACP=∠QEM,AP=QM，
∴Rt△APC≌Rt△QME，
∴PC=ME，
∵ME⊥BC，∠ABC=45∘，
∴△MEB是等腰直角三角形，
∴ME=BE
∴BM= 2ME，即ME= 22BM，
∵CQ=CP，
∴PQ=2PC=2ME，即ME=12QP，
∴ 22BM=12QP，即PQ= 2MB.

【解析】【分析】本题主要考查了正方形的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质等知识点，灵活运用相关判定和性质定理成为解题的关键．
(1)由直角三角形性质两锐角互余可得∠AMQ=90∘−∠PAM，根据正方形的性质可得∠CAB=45∘，则∠PAM=∠CAB−∠PAC=45∘−α，然后代入∠AMQ=90∘−∠PAM即可解答；
(2)先说明AP=AQ=QM，再证Rt△APC≌Rt△QME，再根据全等三角形对应边相等得出PC=ME，由题意可得△MEB为等腰直角三角形，然后用ME表示出MB与PQ，然后化简即可解答．
28.【答案】(1)解：①有一个内角为45∘的平行四边形，没有90∘的内角，不是对角直角四边形；②矩形的对角为90∘，是对角直角四边形；③菱形的对角不一定为90∘，不是对角直角四边形；④直角梯形，的邻角为90∘，但对角不一定为90∘，不是对角直角四边形．
故答案为：②．
(2)①证明：∵.四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，即∠CMD=90∘，
∵△CDN是等腰直角三角形，
∴∠CND=90∘，
∴∠CMD=∠CND=90∘，
∴四边形DMCN是对角直角四边形；
②如图：过N作NH⊥BD于H，NG⊥AC于G，
∴∠HMG=∠MGN=∠MHN=90∘，
∴四边形MHNG是矩形，
∴∠HNG=90∘，
∵∠DNC=90∘，
∴∠HND=∠CNG，
∵∠NHD=∠NGC=90∘，DN=CN，
∴△DNH≌△CNGAAS，
∴HN=GN=2，
∴四边形MHNG是正方形，
∴四边形DMCN的面积=正方形MHNG的面积=2×2=4.

【解析】【分析】(1)根据对角直角四边形的定义逐个判断即可；
(2)①根据菱形的性质得到AC⊥BD，即∠CMD=90∘，根据等腰直角三角形的性质可得∠CND=90∘，进而得到∠CMD=∠CND=90∘，然后根据对角直角四边形的定义即可证明结论；②如图：过N作NH⊥BD于H，NG⊥AC于G，证明四边形MHNG是矩形可得∠HNG=90∘，进而证明△DNH≌△CNGAAS，根据全等三角形的性质得到HN=GN=2，根据正方形的判定定理得到四边形MHNG是正方形，最后四边形DMCN的面积=正方形MHNG的面积．
【点睛】本题主要考查了菱形的性质、矩形的判定和性质、正方形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质等知识点，正确地找出辅助线是解题的关键．