2023-2024学年北京市延庆区八年级（下）期末数学试卷（含详细答案解析）

这是一份2023-2024学年北京市延庆区八年级（下）期末数学试卷（含详细答案解析），共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.窗花是中国传统民间艺术之一，下列四个窗花作品既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.函数y=xx−2的自变量x的取值范围是( )
A. x≠−2B. x≠2C. x>2D. x<2
3.如图，在菱形ABCD中，E、F分别是AB、AC中点，若EF=2，则菱形ABCD的周长为( )
A. 4
B. 8
C. 16
D. 20
4.关于x的一元二次方程x2−x+a−2=0的一个根是0，则实数a的值为( )
A. 2B. −2C. 3D. −3
5.用配方法解方程x2−4x=1时，原方程应变形为( )
A. (x−2)2=1B. (x+2)2=5C. (x−2)2=5D. (x+2)2=1
6.如图是一个木花窗挂件，它的外周边缘为正八边形，则这个正八边形的每个内角为( )
A. 45∘
B. 100∘
C. 120∘
D. 135∘
7.如图，在▱ABCD中，点E在BA的延长线上，CE⊥BE，如果∠EAD=50∘，那么∠BCE的度数为( )
A. 50∘B. 45∘C. 40∘D. 35∘
8.学习了正方形之后，老师提出问题：要判断一个四边形是正方形，有哪些思路？
甲同学说：先判定四边形是菱形，再确定这个菱形有一个角是直角；
乙同学说：先判定四边形是矩形，再确定这个矩形有一组邻边相等；
丙同学说：先判定四边形的对角线相等，再确定对角线互相垂直；
丁同学说：先判定四边形是平行四边形，再确定这个平行四边形有一个角是直角并且有一组邻边相等.
上述四名同学的说法中，正确的是( )
A. 甲、乙B. 甲、丙C. 乙、丙、丁D. 甲、乙、丁
二、填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分。
9.方程1x2=4的解为______.
10.如图，矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，如果∠ADB=30∘，那么∠AOB的度数为______.
11.一组数据3，2，4，7的方差为s2，则s2=______.
12.若A(2,y1)，B(3,y2)是一次函数y=−3x+1的图象上的两个点，则y1与y2的大小关系是y1______y2.(填“>”，“=”或“<”)
13.如表记录了甲、乙、丙、丁四名同学最近几次数学考试成绩的平均数与方差：
要选择一名成绩好且发挥稳定的同学参加数学比赛，应该选择______.
14.随着生活水平的提高，人们越来越关注健康的生活环境，家庭及办公场所对空气净化器的需求量逐月增多.经调查，某品牌的空气净化器今年三月份的销售量为8万台，五月份的销售量为9.68万台，若销售量的月平均增长率相同，均为x，则可列方程为______.
15.在平面直角坐标系xOy中，点A(0,2)，B(−1,0)，C(2,0)为▱ABCD的顶点，则顶点D的坐标为______.
16.如图，已知正比例函数y1=ax与一次函数y2=−12x+b的图象交于点P.
下面有四个结论：
①a>0；
②b<0；
③当x<0时，y2④b−2a=1.
其中正确的是______(只填写序号).
三、解答题：本题共12小题，共68分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
解方程：
(1)x2−2x−3=0；
(2)2x2+3x−1=0.
18.(本小题5分)
如图，在四边形ABCD中，∠DCB=90∘，AD//BC，过点A作AE⊥BC于点E，连接AC，DE.求证：AC=DE.
19.(本小题5分)
在平面直角坐标系xOy中，函数y=kx+2(k≠0)与函数y=−x+4的图象交点为P(3,m)，与y轴交于点A.
(1)求k的值；
(2)求△PAO的面积.
20.(本小题5分)
如图，在△ACB中，∠ACB=90∘，点E是边AB的中点，过点A，点C分别作CE和AB的平行线，交于点D.
(1)求证：四边形ADCE是菱形；
(2)若CE=6，∠DAE=60∘，求AC的长.
21.(本小题5分)
已知关于x的一元二次方程x2+2x+m−1=0有两个不相等的实数根.
(1)求实数m的取值范围；
(2)若m为满足条件的最大整数，求此时方程的根.
22.(本小题4分)
在数学课上，老师布置以下思考题：
已知：△ABC，点D为AB的中点.
求作：线段DE，使DE//BC.
小智结合所学知识思考后，作法如下：
①分别以点A，C为圆心，大于12AC的同样长为半径作弧，两弧分别交于点M，N；②作直线MN，直线MN交AC于点E；③连接DE.所以DE就是所求作的线段.直线AC即为所求.
(1)请你利用直尺和圆规，依据小智的作法补全图形(保留作图痕迹)；
(2)请回答，小智尺规作图得到DE//BC的依据是______.
23.(本小题5分)
某市为了鼓励居民节约用电，采用分段计费的方法按月计算每户家庭的电费，分两档收费：第一档是当月用电量不超过240度时实行“基础电价”；第二档是当月用电量超过240度时，其中的240度仍按照“基础电价”计费，超过的部分按照“提高电价”收费.设家庭月用电量为x度时，应交电费为y元.具体收费情况如折线图所示，请根据图象回答下列问题：
(1)“基础电价”是______元/度；
(2)当x>240时，求y与x的函数表达式；
(3)若小刚家3月份用电量是80度，则应缴纳电费______元；
(4)若小华家六月份缴纳电费132元，则小华家六月份用电量为______度.
24.(本小题5分)
某公园在绿化时，工作人员想利用如图所示的直角墙角(两边足够长)和长为40米的篱笆围成一个矩形场地，其中边AB，AD为篱笆.如果矩形场地的面积是300平方米，求矩形场地的长AB和宽AD各是多少米？
25.(本小题5分)
长城是中华民族的精神象征.某校为让更多的师生了解长城、保护长城，举办了以“讲好长城故事，传承长城文化，弘扬长城精神”为主题的演讲比赛，共有200名学生参加.为了更好地了解本次比赛成绩的分布情况，随机抽取了部分学生的成绩作为样本，绘制的频数分布表与频数分布直方图的一部分如下(每组分数段中的分数包括最低分，不包括最高分)：
请根据所给信息，解答下列问题：
(1)a=______，b=______，c=______；
(2)补全频数分布直方图；
(3)若成绩在80分及以上为优秀，请你根据抽取的样本数据，估计参加这次比赛的200名学生中成绩优秀的约有多少名？
26.(本小题5分)
在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=kx+b(k≠0)的图象由函数y=12x的图象平移得到，且经过点(0,1).
(1)求该一次函数的表达式；
(2)当x>2时，对于x的每一个值，函数y=x+n的值大于一次函数y=kx+b(k≠0)的值，直接写出n的取值范围.
27.(本小题7分)
如图，点E是正方形ABCD内部一点，BE=BA，连接AE，CE，过点C作CF⊥AE交AE的延长线于点F.
(1)依题意补全图形，求∠CEF的度数；
(2)连接DF，用等式表示线段AF，DF，CF之间的数量关系，并证明.
28.(本小题7分)
在平面直角坐标系xOy中，对于点P与图形W给出如下定义：N为图形W上任意一点，P，N两点间距离的最小值称为点P与图形W的“近点距离”.特别的，当点P在图形W上时，点P与图形W的“近点距离”为零.如图1，点A(3,1)，B(3,5).
(1)点C(4,1)与线段AB的“近点距离”是______；
点D(1,0)与线段AB的“近点距离”是______；
(2)点P在直线y=x+2上，如果点P与线段AB的“近点距离”为2，那么点P的坐标是______；
(3)如图2，将线段AB向右平移3个单位，得到线段EF，连接AE，BF，若直线y=x+b上存在点G，使得点G与四边形ABFE的“近点距离”小于或等于 3，直接写出b的取值范围.
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：A.该图是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B.该图是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C.该图是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
D.该图既是中心对称图形也是轴对称图形，故本选项符合题意．
故选：D.
根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解．把一个图形绕某一点旋转180∘，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
本题考查了中心对称图形和轴对称图形，熟练掌握中心对称图形和轴对称图形的概念是解题的关键．
2.【答案】B
【解析】解：根据题意得：x−2≠0
解得：x≠2；
故选：B.
求函数自变量的取值范围，就是求函数解析式有意义的条件，分式有意义的条件是：分母不等于0.
当函数表达式是分式时，要注意考虑分式的分母不能为0.
3.【答案】C
【解析】解：∵E、F分别是AB、AC的中点，
∴EF是△ABC的中位线，
∴BC=2EF=2×2=4，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD=AD=4，
∴菱形ABCD的周长=4×4=16.
故选：C.
根据三角形的中位线定理求出BC，再根据菱形的四条边解答即可．
本题考查了菱形的性质，三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半的性质，熟记各性质是解题的关键．
4.【答案】A
【解析】解：把x=0代入关于x的一元二次方程x2−x+a−2=0得：a−2=0，
解得：a=2，
故选：A.
根据方程解的定义，把x=0代入关于x的一元二次方程x2−x+a−2=0得关于a的方程，解方程即可．
本题主要考查了一元二次方程的解，解题关键是熟练掌握一元二次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值．
5.【答案】C
【解析】解：∵x2−4x=1，
∴x2−4x+4=1+4，即(x−2)2=5，
故选C.
先把常数项移到方程右侧，再把方程两边加上4，然后把方程左边利用完全平方公式表示即可．
本题考查了解一元二次方程-配方法：将一元二次方程配成(x+m)2=n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．
6.【答案】D
【解析】解：正八边形的每一个内角的度数为180∘−360∘8=135∘，
故选：D.
求出正八边形的一个外角的度数，再根据邻补角的定义求出其内角的度数即可．
本题考查多边形的内角与外角，掌握多边形的外角和是360∘以及内角和的计算方法是正确解答的关键．
7.【答案】C
【解析】解：∵CE⊥BE，
∴∠E=90∘，
∵∠EAD=50∘，
∴∠AKE=90∘−50∘=40∘，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，
∴∠BCE=∠AKE=40∘.
故选：C.
由直角三角形的性质求出∠AKE=90∘−50∘=40∘，由平行四边形的性质推出AD//BC，得到∠BCE=∠AKE=40∘.
本题考查平行四边形的性质，关键是由平行四边形的性质推出AD//BC，得到∠BCE=∠AKE.
8.【答案】D
【解析】解：甲同学说：先判定四边形是菱形，再确定这个菱形有一个角是直角，故选项说法正确；
乙同学说：先判定四边形是矩形，再确定这个矩形有一组邻边相等，故选项说法正确；
丙同学说：判定四边形的对角线相等，并且互相垂直平分；故选项说法错误；
丁同学说：先判定四边形是平行四边形，再确定这个平行四边形有一个角是直角并且有一组邻边相等，故选项说法正确；
故选：D.
根据正方形的判定定理即可得到结论．
本题考查了正方形的判定定理，熟练掌握正方形的判定定理是解题的关键．
9.【答案】x=±12
【解析】解：方程的两边同乘x2，得
1=4x2，
解得x=±12.
检验：把x=±12代入x2=14≠0.
∴原方程的解为：x=±12.
故答案为：x=±12.
观察可得最简公分母是x2，方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解．
本题考查了分式方程的解法，(1)解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．
(2)解分式方程一定注意要验根．
10.【答案】60∘
【解析】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴OA=12AC，OD=12BD，AC=BD，
∴OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA=30∘，
∴∠AOB=∠OAD+∠ODA=60∘.
故答案为：60∘.
只要证明OA=OD，根据三角形的外角的性质即可解决问题．
本题考查矩形的性质、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
11.【答案】3.5
【解析】解：这组数据的平均数为3+2+4+74=4，
所以这组数据的方差为14×[(2−4)2+(3−4)2+(4−4)2+(7−4)2]=3.5，
故答案为：3.5.
根据方差的定义列式计算即可．
本题主要考查方差，解题的关键是掌握平均数和方差的定义．
12.【答案】>
【解析】【分析】
本题考查的是一次函数的性质，熟知一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．
先根据一次函数的解析式判断出函数的增减性，再根据2<3即可得出结论．
【解答】
解：∵一次函数y=−3x+1中，k=−3<0，
∴y随着x的增大而减小．
∵A(2,y1)，B(3,y2)是一次函数y=−3x+1的图象上的两个点，2<3，
∴y1>y2.
故答案为：>.
13.【答案】乙
【解析】解：∵95>92，
∴乙、丙同学最近几次数学考试成绩的平均数高，
∵3.6<7.4，
∴乙的最近几次数学考试成绩的方差小，发挥稳定，
∴要选择一名成绩好且发挥稳定的同学参加数学比赛，应该选择乙．
故答案为：乙．
方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．选出方差最小，而且平均数较大的同学参加数学比赛．
此题主要考查了方差的含义和求法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．
14.【答案】8(1+x)2=9.68
【解析】解：根据题意得：8(1+x)2=9.68.
故答案为：8(1+x)2=9.68.
设月平均增长率为x，根据三月及五月的销售量，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，一元二次方程中增长率的知识，增长前的量×(1+年平均增长率)年数=增长后的量．
15.【答案】(3,2)
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//CD，AD//BC，AD=BC，
∵B(−1,0)，C(2,0)
∴BC=3=AD，
∵点A(0,2)，
∴点D(3,2)，
故答案为：(3,2).
由平行四边形的性质可得AB//CD，AD//BC，AD=BC，即可求解．
本题考查了平行四边形的性质，掌握平行四边形的性质是解题的关键．
16.【答案】①④
【解析】解：由正比例函数的图象经过第一、三象限得：a>0；由一次函数图象与y轴交点在y轴的正半轴得：b>0，
当x<0时，y2>y1，
当x=2时，y2=y1，即2a=−12×2+b，
化简为：b−2a=1，
故答案为：①④．
根据数形结合思想求解．
本题考查了两条直线相交的问题，掌握一次函数的性质及函数与不等式的关系是解题的关键．
17.【答案】解：(1)x2−2x−3=0，
(x−3)(x+1)=0，
∴x−3=0或x+1=0，
∴x1=3，x2=−1；
(2)2x2+3x−1=0，
∵a=2，b=3，c=−1，b2−4ac=32−4×2×(−1)=17，
∴x=−3± 172×2，
∴x1=−3+ 174，x2=−3− 174.
【解析】(1)分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可；
(2)求出b2−4ac的值，再代入公式求出即可．
本题考查了解一元二次方程的应用，能选择适当的方法解一元二次方程是解此题的关键，难度适中．
18.【答案】证明：∵AD//BC，
∴∠ADC+∠DCB=180∘，
∵∠DCB=90∘，
∴∠ADC=90∘，
∵AE⊥BC，
∴∠AEC=90∘，
∴∠ADC=∠DCB=∠AEC=90∘，
∴四边形AECD是矩形，
∴AC=DE.
【解析】先根据三个角都为直角的四边形是矩形得出四边形AECD是矩形，再根据矩形的对角线相等即可证得AC=DE.
本题考查了矩形的判定与性质，熟知三个角都为直角的四边形是矩形，矩形的对角线相等是解题的关键．
19.【答案】解：(1)∵P(3,m)在y=−x+4上，
∴m=−3+4=1.
∵y=kx+2过点P(3,1)，
∴3k+2=1.
∴k=−13；
(2)∵直线y=kx+2(k≠0)与y轴交于点A，
∴A(0,2)，
∴S△PAO=12×2×3=3.
【解析】(1)根据待定系数法求解；
(2)根据三角形的面积公式求解．
本题考查了两条直线相交的问题，掌握待定系数法和三角形的面积公式是解题的关键．
20.【答案】(1)证明：∵AD//EC，CD//AE，
∴四边形ADCE为平行四边形．
∵∠ACB=90∘，点E是边AB的中点，
∴CE=AE=EB.
∴▱ADCE是菱形；
(2)解：∵▱ADCE为菱形，CE=6，∠DAE=60∘，
∴∠CAB=12∠DAE=30∘.AE=EC=6.
∵点E是边AB的中点，
∴AB=12.
∵∠ACB=90∘，∠CAB=30∘，
∴BC=6.
在Rt△ABC中，∠ACB=90∘，
∴AC= AB2−BC2= 122−62=6 3.
∴AC的长为6 3.
【解析】(1)根据平行四边形的性质得到四边形ADCE为平行四边形．求得CE=AE=EB.根据菱形的判定定理得到▱ADCE是菱形；
(2)根据菱形的性质得到∠CAB=12∠DAE=30∘.AE=EC=6.得到AB=12.求得BC=6.根据勾股定理即可得到结论．
本题考查了菱形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握菱形的判定和性质定理是解题的关键．
21.【答案】解：(1)∵关于x的一元二次方程x2+2x+m−1=0有两个不相等的实数根，
∴Δ=b2−4ac>0，
22−4(m−1)>0，
4−4m+4>0，
8−4m>0，
−4m>−8，
m<2；
(2)∵m为满足条件的最大整数，m<2，
∴m=1，
∴原方程为：x2+2x=0，
x(x+2)=0，
∴x1=0，x2=−2.
【解析】(1)根据一元二次方程有两个不相等的实数根可知根的判别式大于0，从而列出关于m的不等式，解不等式即可；
(2)根据(1)中所求m的取值范围，求出m，再代入方程，然后用分解因式法求出方程的根即可．
本题主要考查了一元二次方程根的判别式，解题关键是熟练掌握利用根的判别式判断方程解的情况和解一元二次方程的一般步骤．
22.【答案】三角形的中位线平行于第三边
【解析】解：(1)图形如图所示：
(2)∵AD=DB，AE=EC，
∴DE//BC(三角形的中位线平行于第三边).
故答案为：三角形的中位线平行于第三边．
(1)根据要求作出图形；
(2)利用三角形的中位线的性质证明．
本题考查作图-复杂作图，平行线的判定，三角形的中位线等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
23.【答案】0.540260
【解析】解：(1)由图象可得，
“基础电价”是：120÷240=0.5(元/度)，
故答案为：0.5；
(2)当x>240时，设y与x的函数表达式为y=kx+b，
则240k+b=120400k+b=216，
解得k=0.6b=−24，
即当x>240时，y与x的函数表达式是y=0.6x−24；
(3)当x=80时，应缴纳电费为0.5×80=40(元)，
故答案为：40；
(4)∵132>120，
∴小华家六月份用电量超过240度，
将y=132代入y=0.6x−24，得132=0.6x−24，
解得x=260，
答：小华家六月份用电量260度，
故答案为：260.
(1)根据图象中的数据，可以计算出“基础电价”；
(2)先设当x>240时，y与x的函数表达式，然后根据图象中的数据，可以计算出y与x的函数表达式；
(3)根据80<1240，将x=80与单价0.5相乘即可；
(4)根据132>120，将y=132代入(2)中的函数解析式，求出相应的y的值即可．
本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
24.【答案】解：设矩形场地的长AB为x米，则宽AD为(40−x)米，
根据题意得：x(40−x)=300，
整理得：x2−40x+300=0，
解得：x1=30，x2=10，
当AB=30时，AD=40−x=40−30=10<30，符合题意；
当AB=10时，AD=40−x=40−10=30(不符合题意，舍去).
∴AB=30，AD=10.
答：矩形场地的长为30米，则宽为10米．
【解析】设矩形场地的长AB为x米，则宽AD为(40−x)米，根据矩形场地的面积是300平方米，可列出关于x的一元二次方程，解之可得出x的值，再结合长不短于宽，即可确定结论．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
25.【答案】
【解析】解：(1)∵d=4÷0.1=40，
∴a=2÷40=0.05，b=40×0.35=14、c=12÷40=0.30，
故答案为：0.05、14、0.30；
(2)补全直方图如下：
(3)200×2640=130(名).
答：成绩优秀的约有130名．
(1)先由60∼70的频数与频率求得总数d，再根据频率=频数÷总数可分别求得a、b、c的值；
(2)根据(1)中所求结果即可补全直方图；
(3)用总人数乘以样本中80分及以上人数占总人数的比例即可得．
本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力；利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．
26.【答案】解：(1)∵一次函数y=kx+b(k≠0)的图象由函数y=12x的图象平移得到，
∴k=12，
∵一次函数y=kx+b(k≠0)过点(0,1)，
∴b=1，
∴该一次函数的表达式为y=12x+1.
(2)由(1)得y=12x+1，
解不等式x+n>12x+1得x>2−2n，
由题意得2−2n≥2，即n≥0.
故n的取值范围为n≥0.
【解析】(1)据一次函数平移时k不变可知k=12，再把点(0,1)代入求出b的值，进而可得出结论．
(2)解关于x的不等式x+n>12x+1得到x>2−2n，根据题意2−2n≥2，解得n≥0.
本题考查的是待定系数法求一次函数的解析式，一次函数的图象与几何变换及一次函数和不等式的关系，熟知一次函数平移的性质是解答此题的关键．
27.【答案】解：(1)如图，
∵正方形ABCD，
∴AB=BC，∠ABC=90∘，
∵BE=BA，
∴AB=BE=BC.
∴设∠BAE=∠BEA=x，∠BEC=∠BCE=y，
∵四边形ABCE的内角和为360∘，
∴2x+2y+90=360.
∴x+y=135.
∴∠AEC=135∘，
∴∠CEF=45∘；
(2)数量关系是AF= 2DF+CF，如图，作DH⊥DF，交AF于点H.
∴∠ADH=∠CDF=90∘−∠HDC，
∵∠EFC=90∘，
又∵∠CEF=45∘，
∴∠CEF=∠CFE=45∘，
∴△EFC是等腰直角三角形．
∴EF=FC.
∵∠DAB=90∘，
设∠BAE=∠BEA=m，∠BEC=∠BCE=n.
∴∠DAH=90∘−m，
∵∠DCE=90∘−n，
∴∠FCD=45∘−(90∘−n)=n−45∘，
又∵m+n=135，
∴n=135−m.
∴∠FCD=90∘−m.
∴∠DAH=∠DCF.正方形ABCD，
∴AD=DC，
在△DAH和△DCF中，
∠DAH=∠DCFAD=DC∠ADH=∠FDC，
∴△DAH≌△DCF(AAS).
∴AH=CF，DH=DF.
∴△DHF是等腰直角三角形．
∴HF= 2DF，
∵AF=HF+AH，AF= 2DF+CF.
【解析】(1)首先根据题意做出图形，然后得到AB=BE=BC，设∠BAE=∠BEA=x，∠BEC=∠BCE=y，根据四边形ABCE的内角和为360∘得到2x+2y+90=360，进而求解即可；
(2)作DH⊥DF，交AF于点H，得到△EFC是等腰直角三角形，表示出∠FCD=45∘−(90∘−n)=n−45∘，然后证明出△DAH≌△DCF(AAS)，得到△DHF是等腰直角三角形，进而求解即可．
此题考查了正方形的性质，等腰直角三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．
28.【答案】1 5 (1,3)或(3+ 2,5+ 2)
【解析】解：(1)如图，
∵C(4,1)，A(3,1)，
∴点C(4,1)与线段AB的“近点距离”是1；
∵D(1,0)，A(3,1)，
∴AD= (3−1)2+(1−0)2= 5，
∴点D(1,0)与线段AB的“近点距离”是 5；
故答案为：1； 5；
(2)如图，当P在AB左边时，
当PN⊥AB时，P，N两点间距离最小，
∵点P与线段AB的“近点距离”为2，
∴PN=2，
∵xN=3，
∴xP=1，
∴yP=1+2=3，
∴P(1,3)，
当P在AB的右边时，如图中的P，
∴AP′=2，
过B作x轴的平行线，过P′作x轴的垂线，交点为Q，
∵直线P′B为y=x+2，
∴△BQP′为等腰直角三角形，
∴BQ=P′Q=2× 22= 2，
∴P′(3+ 2,5+ 2)；
故答案为：(1,3)或(3+ 2,5+ 2)；
(3)如图，过B作BG⊥直线y=x+b，则线段GB的长度为点G与四边形ABFE的“近点距离”，
∵一次函数y=x+b，
∴∠GMT=45∘=∠GTM，
∴∠OWT=∠OTW=45∘，
∴设OT=OW=n，
∴W(0,n)，T(n,0)，
设直线GT为y=ex+f，
∴3e+f=5f=nne+f=0，
解得e=−1f=8，
∴直线GT为y=−x+8，
∴T(8,0)，
∴TB= (8−3)2+(0−5)2=5 2，
当BG= 3时，GT=5 2+ 3，
过G作GV⊥x轴于V，
∴GV=MV=TV= 22(5 2+ 3)=5+ 62，
∴5+ 62=−xG+8，
∴xG=3− 62，
∴G(3− 62,5+ 62)，
∴5+ 62=3− 62+b，
∴b=2+ 6；
如图，过E作EG⊥直线y=x+b，则线段EG的长度为点G与四边形ABFE的“近点距离”，
∵由平移可得E(6,1)，
同理可得直线GE为y=−x+7，
∴K(0,7)，
∴KE=6 2，
当EG= 3时，则KG=6 2+ 3，
过G作GV⊥y轴于V，
∴GV=KV=MV= 22(6 2+ 3)=6+ 62，
∴xG=6+ 62，
∴yG=−6− 62+7=1− 62，
∴G(6+ 62,1− 62)，
.1− 62=6+ 62+b，
解得b=−5− 6；
∴直线y=x+b上存在点G，使得点G与四边形ABFE的“近点距离”小于或等于 3，b的取值范围为−5− 6≤b≤2+ 6.
(1)画出图形，直接利用新定义结合勾股定理可得答案；
(2)画出图形，分两种情况利用数形结合的方法，一次函数的性质与勾股定理解答即可；
(3)如图，过B作BG⊥直线y=x+b，则线段GB的长度为点G与四边形ABFE的“近点距离”，求解直线GT为y=−x+8，过G作GV⊥x轴于V，如图，过E作EG⊥直线y=x+b，则线段EG的长度为点G与四边形ABFE的“近点距离”由平移可得E(6,1)，同理可得直线GE为y=−x+7，再进一步解答即可．
本题考查的是一次函数的综合应用，主要考查新定义的含义，一次函数的几何应用，勾股定理的应用，等腰直角三角形的判定与性质，二次根式的运算，平移的性质，理解题意是解本题的关键．甲
乙
丙
丁
平均数(分)
92
95
95
92
方差
3.6
3.6
7.4
8.1
分组/分
频数
频率
50∼60
2
a
60∼70
4
0.10
70∼80
8
0.20
80∼90
b
0.35
90∼100
12
c
合计
d
1.00