2023-2024学年江苏省苏州市姑苏区八年级（下）期末数学试卷（含详细答案解析）

这是一份2023-2024学年江苏省苏州市姑苏区八年级（下）期末数学试卷（含详细答案解析），共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.下列图形中，中心对称图形是( )
A. B. C. D.
2.下列方程中是一元二次方程的是( )
A. x2−1=0B. y2+x=1C. 2x+1=0D. x+1x=1
3.如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，下列说法正确的是( )
A. 若AB=AD，则▱ABCD是矩形
B. 若AC=BD，则▱ABCD是菱形
C. 若AB⊥AD，则▱ABCD是菱形
D. 若AC⊥BD，则▱ABCD是菱形
4.如图，点P在反比例函数y=kx(x0)的图象上.
(1)求k1，k2的值；
(2)若P，Q分别为反比例函数y=k1x(x>0)，y=k2x(x>0)图象上一点，且以点O，P，Q，A为顶点的四边形为平行四边形，求点P的坐标.
27.(本小题9分)
如图，在矩形ABCD中，点E为边AB上一点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交边BC于点F.DG//EF，FG//DE.
(1)求证：四边形DEFG为矩形；
(2)若点E为边AB的中点，求证：DE平分∠ADF；
(3)当四边形DEFG为正方形时，记正方形DEFG的面积为S1，矩形ABCD的面积为S2.若S1S2=56，求ADAB的值.
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：A.原图是中心对称图形，故本选项符合题意；
B.原图是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C.原图不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D.原图不是中心对称图形，故本选项不符合题意．
故选：A.
根据“将图形绕着某一点旋转180∘与原图形重合的图形叫做中心对称图形”，逐一进行判断即可．
本题考查了中心对称图形的定义，理解定义，会用定义进行判断是解题的关键．
2.【答案】A
【解析】解：A.该方程是一元二次方程，故本选项符合题意；
B.该方程是二元二次方程，故本选项不符合题意；
C.该方程是一元一次方程，故本选项不符合题意；
D.该方程是分式方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
故选：A.
根据一元二次方程的定义逐个判断即可．
本题考查了一元二次方程的定义，能熟记一元二次方程的定义是解此题的关键，注意：只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2的整式方程，叫一元二次方程．
3.【答案】D
【解析】解：A、∵四边形ABCD是平行四边形，AB=AD，
∴▱ABCD是菱形，故选项A不符合题意；
B、∵四边形ABCD是平行四边形，AC=BD，
∴▱ABCD是矩形，故选项B不符合题意；
C、∵四边形ABCD是平行四边形，AB⊥AD，
∴▱ABCD是矩形，故选项C不符合题意；
D、∵四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD，
∴▱ABCD是菱形，故选项D符合题意；
故选：D.
由矩形的判定和菱形的判定分别对各个选项进行判断即可．
本题考查了菱形的判定、矩形的判定以及平行四边形的性质，熟练掌握菱形的判定和矩形的判定是解题的关键．
4.【答案】B
【解析】解：∵点P(x,y)在反比例函数y=kx的图象上，PA⊥x轴，垂足为A，PB⊥y轴，垂足为B，
∴S矩形OAPB=PB⋅PA=xy=|k|，
∴|k|=8，
∵k454>254>154，
∴抽到“黑桃”的可能性最大．
故选：B.
根据概率公式分别计算出每种情况的概率即可得出答案．
此题考查了概率公式，熟知概率=所求情况数与总情况数之比是解题的关键．
6.【答案】C
【解析】解：∵A(−1,0)，C(4,0)，
∴OA=1，OC=4.
∵将△AOB以原点O为位似中心放大，得到△COD，
∴△AOB与△COD的相似比是OA：OC=1：4.
∴△AOB与△COD的面积比是1：16.
故选：C.
根据信息，找到OA与OC的比值，即求得相似比；然后根据△OAB与△OCD的面积比等于相似比的平方作出判断．
本题考查位似变换、坐标与图形的性质．解答本题的关键在于找到相似比就是对应边的比．
7.【答案】A
【解析】解：设游客人数的年平均增长率为x，
根据题意得9.1(1+x)2=10.4.
故选：A.
增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量×(1+增长率)，即可得出方程．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解此类题一般是根据题意分别列出不同时间按增长率所得游客人数与预计游客人数相等的方程．
8.【答案】C
【解析】解：∵四边形ABCD是菱形，∠BAD=60∘，
∴AB=AD，AC⊥BD，BO=OD，
∴△ABD是等边三角形，
∴AB=BD=4 3，∠ABD=60∘，
∴BO=DO=2 3，∠BAO=30∘，
∵将BE绕点B按逆时针方向旋转60∘，得到BF，
∴BE=BF，∠EBF=60∘=∠ABD，
∴∠ABE=∠DBF，
∴△ABE≌△DBF(SAS)，
∴∠BAO=∠BDF=30∘，
∴点F在过点D与BD成30∘的射线上移动，
∴当OF⊥DF时，OF有最小值，
∴OF的最小值为12OD= 3，
故选：C.
由菱形的性质可得AB=AD，AC⊥BD，BO=OD，可证△ABD是等边三角形，可得AB=BD=4 3，∠ABD=60∘，由旋转的性质可得BE=BF，∠EBF=60∘=∠ABD，由“SAS”可证△ABE≌△DBF，可得∠BAO=∠BDF=30∘，则点F在过点D与BD成30∘的射线上移动，由垂线段最短和直角三角形的性质可求解．
本题考查了旋转的性质，菱形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质等知识，确定点F的运动轨迹是解题的关键．
9.【答案】78
【解析】解：∵xy=34，
∴设x=3k，y=4k，
∴x+y2y=3k+4k4k⋅2=78，
故答案为：78.
根据xy=34，设x=3k，y=4k，代入求出即可．
本题考查了比例的性质的应用，能选择适当的方法进行计算是解此题的关键．
10.【答案】4
【解析】解：由题意得：
40×0.1=4，
∴这一组的频数是4，
故答案为：4.
根据频率=频数÷总次数，进行计算即可解答．
本题考查了频数与频率，熟练掌握频率=频数÷总次数是解题的关键．
11.【答案】2024
【解析】解：由题意得：
把x=m代入x2−2x−1=0中得：
m2−2m−1=0，
∴m2−2m=1，
∴3m2−6m=3，
∴3m2−6m+2021
=3+2021
=2024，
故答案为：2024.
根据题意可得：把x=m代入x2−2x−1=0中得：m2−2m−1=0，从而可得m2−2m=1，然后代入式子中进行计算即可解答．
本题考查了一元二次方程的解，熟练掌握求代数式值中的整体思想是解题的关键．
12.【答案】30
【解析】解：∵AD=5，∠ADE=∠AED，
∴AE=AD=5，
∵点E是AB的中点，
∴AE=BE=5，
∴AB=2AE=10，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD=AB=10，BC=AD=5，
∴AB+CD+AD+BC=10+10+5+5=30，
∴▱ABCD的周长为30，
故答案为：30.
由∠ADE=∠AED，得AE=AD=5，则AB=2AE=10，由平行四边形的性质得CD=AB=10，BC=AD=5，求得▱ABCD的周长为30，于是得到问题的答案．
此题重点考查平行四边形的性质、等腰三角形的判定等知识，求得AE=AD=5是解题的关键．
13.【答案】6.6
【解析】解：由题意可知，∠ABC=∠EDC=90∘，∠ACF=∠ECF，∠BCF=∠DCF=90∘，
∴∠ACB=∠ECD，
∴△ABC∽△EDC，
∴ABED=BCDC，
∵ED=1.65m，BC=8m，DC=2m，
∴AB1.65=82，
解得：AB=6.6，
答：建筑物AB的高度为6.6m.
故答案为：6.6.
证△ABC∽△EDC，根据相似三角形的性质求出AB的长即可．
此题主要考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
14.【答案】v≥0.6
【解析】解：设气球内气体的压强p(Pa)与气球体积V(m3)之间的函数解析式为P=24000v.
∵气球内的气压大于40000Pa时，气球将爆炸，
∴p≤40000时，气球不爆炸，
∴24000V≤40000，
解得：V≥0.6，
∴为确保气球不爆炸，气球的体积应不小于0.6m3.
故答案为：v≥0.6.
根据气球内的气体压强大于40000Pa得到关于V的不等式，从而确定正确的答案．
本题考查了反比例函数的实际应用，关键是建立函数关系式，并会运用函数关系式解答题目的问题．
15.【答案】53
【解析】解：过A点作AF//CD，过E点作EN⊥CD于N点，交AF于M点，如图，则MN⊥AF，
∵AB//EC，
∴∠ABE=∠BEC，
∵CD//BE，
∴∠BEC=∠ECD，∠AEB=∠EDC，
∴∠ABE=∠ECD，
∴△ABE∽△ECD，
∴S1S3=(AEDE)2=32=9，
即S3=19S1，
∵AM//DN，
∴EMEN=AEDE=3，
∴S△ABE=3S△BCE，
即S2=13S1，
∴S1+S32S2=S1+19S12×13S1=53.
故答案为：53.
过A点作AF//CD，过E点作EN⊥CD于N点，交AF于M点，如图，则MN⊥AF，先证明△ABE∽△ECD得到S1S3=(AEDE)2=9，即S3=19S1，再根据平行线分线段成比例定理，由AM//DN得到EMEN=AEDE=3，根据三角形的面积公式得到S△ABE=3S△BCE，即S2=13S1，然后利用分式的化简计算求解．
本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用；灵活运用相似三角形的性质计算相应线段的长或表示线段之间的关系是解决问题的关键．
16.【答案】143
【解析】解：过点A作AH⊥x轴于H，过点D作DN⊥CE于N，再过点A作AM⊥ND的延长线于M，
则∠AHB=∠HAM=∠M=∠DNC=90∘，
∴∠DAM+∠DAH=90∘，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠DAB=∠ADC=90∘，AB=DC，
∴∠BAH+∠DAH=90∘，
∴∠BAH=∠DAM，
∴△BAH−△DAM，
∴AHAM=ABAD=43，
∵A(−2,4)，
∴AH=4，OH=2，
∴4AM=43，
∴AM=3，
∴点M的横坐标为−(3+2)=−5，
∴点D的横坐标为−5，
把x=−5代入y=10x得，y=10−5=−2，
∴点D的纵坐标为−2，
∴DM=4−(−2)=6，
同理可得△CND∽△DMA，
∴DNAM=CNDM=CDDA=ABDA=43，
∴DN3=CN6=43，
∴DN=4，CN=8，
∴点N的纵坐标为−6，
把y=−6代入y=10x得，−6=10x，
∴x=−53，
∴点E的横坐标为−53，
∴NE=−53−(−5)=103，
∴CE=CN−NE=8−103=143，
故答案为：143.
过点A作AH⊥x轴于F，过点D作DN⊥CE于N，再过点A作AM⊥ND的延长线于M，可证△BAH−△DAM，得到AHAM=ABAD=43，进而由(−2,4)可得AM=3，即可得点D的横坐标为−5，得到点D的纵坐标为−2，即得DM=4−(−2)=6，同理可得△CND−△DMA，得到DN=4，CN=8，即得点N的纵坐标为−6，进而得点E的横坐标为−53，得到NE=−53−(−5)=103，再根据线段的和差关系即可求解．
本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，坐标与图形，反比例函数图象上点的坐标特征，正确作出辅助线是解题的关键．
17.【答案】解：(x−4)(x+2)=0，
x−4=0或x+2=0，
∴x1=4，x2=−2.
【解析】利用因式分解法解方程．
本题考查了解一元二次方程，因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法，还可以使用公式法，配方法，等等．
18.【答案】证明：连接AC，交BD于点O，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO=CO，BO=DO，
∵DE=BF，
∴BO−BF=DO−DE，
即EO=FO，
∴四边形AECF是平行四边形．
【解析】由平行四边形的性质可求AO=CO，BO=DO，可得EO=FO，即可得结论．
本题考查了平行四边形的判定和性质，掌握平行四边形的性质是本题的关键．
19.【答案】解(1)把x=3代入x2−2x+k=0得9−6+k=0，
∴k=−3；
(2)∵方程有两个不相等的实数根，
∴Δ=(−2)2−4k>0，
∴k0时，方程有两个不相等的两个实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的两个实数根；当Δ0)的图象交于A(1,6)，B(3,n)两点，
∴m=6×1=3×n，
∴m=6，n=2，
∵k+b=6 3k+b=2 ，
解得：k=−2 b=8 ，
∴一次函数解析式y=−2x+8，
反比例函数的解析式y=6x.
(2)∵一次函数解析式y=−2x+8图象交x轴为点C，
∴C(4,0)，
∵△AOB面积=△AOC面积−△COB面积=12×4×6−12×4×2=12−4=8.
【解析】(1)将A，B代入解析式可求解析式
(2)求一次函数解析式y=−2x+8图象交x轴交点C的坐标，由∵△AOB面积=△AOC面积−△COB面积，可求△AOB面积．
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、待定系数法求一次函数解析式，关键是运用面积的和差表示所求面积．
22.【答案】0.2246+n30+n
【解析】解：(1)由题图可以看出，随着摸球次数的增多，摸到白球的频率在0.20左右摆动．
根据频率与概率的关系，可知摸到白球的概率为0.2.
∴黑球的个数=6÷0.2×(1−0.2)=24(个)，
故答案为：0.2，24.
(2).∵将n个相同的白球放进了这个不透明的袋子里．
∴袋中白球的个数为6+n，袋中球的总个数为30+n.
∴摸到白球的频率为6+n30+n，
根据频率与概率的关系可得，
摸到白球的概率为6+n30+n.
故答案为：6+n30+n.
(1)根据图象可以看出，摸到白球的频率在0.2左右附近摆动．根据频率与概率的关系，可知摸到白球的概率约为0.2.
(2)根据摸出白球的频率=白球的个数÷球的总个数，然后根据频率与概率的关系，估计出摸出白球的概率．
本题主要考查了模拟实验，折线统计图，用频率估计概率，熟练掌握频率与概率的关系是解题的关键．
23.【答案】(1)证明：∵DE垂直平分AC，
∴AD=CD，CE=12AC，
∴∠ECF=∠A，
∵BC=BE，
∴∠CEF=∠ACB，
∴△CFE∽△ABC；
(2)解：点F为线段BE的中点，理由如下：
∵△CFE∽△ABC，
∴FEBC=CEAC，
∵CE=12AC，
∴CEAC=12，
∴FEBC=12，
∵BC=BE，
∴FEBE=12，
∴点F为线段BE的中点．
【解析】(1)由线段垂直平分线的性质可得AD=CD，进而得∠ECF=∠A，由等腰三角形的性质得∠CEF=∠ACB，即可得到△CFE∽△ABC；
(2)由△CFE∽△ABC可得FEBC=CEAC，进而可得FEBC=12，即可得到FEBE=12，故得到点F为线段BE的中点．
本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
24.【答案】解：(1)解方程x2+8x+15=0得x1=−3，x2=−5，
∵|−3−(−5)|=2，
∴方程是“伴根方程”；
(2)∵x2−(m−1)x−m=0，
∴(x−m)(x+1)=0，
∴x−m=0或x+1=0，
∴x1=m，x2=−1，
∵方程x2−(m−1)x−m=0(m是常数)是“伴根方程”，
∴|m+1|=2，
∴m=1或m=−3.
【解析】(1)先利用因式分解法解一元二次方程，然后根据“伴根方程”的定义进行判断；
(2)先利用因式分解法解一元二次方程得到x1=m，x2=−1，再根据“伴根方程”的定义得到|m+1|=2，然后解关于m的方程即可．
本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根，则x1+x2=−ba，x1x2=ca.也考查了解一元二次方程．
25.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC，∠ABF=∠CBF.
∵BF=BF，
∴△ABF≌△CBF(SAS)，
∴AF=CF；
(2)解：∵四边形ABCD是菱形，
∴∠BAD=∠BCD，AD//BE，
∴∠DAF=∠FEC，
∵△ABF≌△CBF，
∴∠BAF=∠BCF，AF=CF，
∴∠BAD−∠BAF=∠BCD−∠BCF，
∴∠DAF=∠DCF，
∴∠GCF=∠CEF，
∵∠CFG=∠EFC，
∴△CFG∽△EFC，
∴CFEF=FGCF，
∵AF=6=CF，FG=4，
∴64+GE=46，
解得GE=5.
【解析】(1)由菱形的性质得到AB=BC，∠ABF=∠CBF，然后结合BF=BF，即可证明△ABF≌△CBF，进而得到AF=CF；
(2)先由菱形得到∠BAD=∠BCD，AD//BE，从而得到∠DAF=∠FEC，再结合∠BAF=∠BCF，得到∠GCF=∠CEF，证明△CFG∽△EFC得到CFEF=FGCF，代入数据，计算即可得到结论．
本题考查了菱形的性质、三角形全等的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识，熟练掌握以上知识点是解此题的关键．
26.【答案】解：(1)过B作BE⊥OA于E，
∵A的坐标为(5,0)，点B(2,a)，
∴OA=AB=5，OE=2，BE=n，
∴AE=5−2=3，
∴n= AB2−AE2=4，
∴B(2,4)，
∴k1=2×4=8；
过C作CF⊥x轴于F，
∴∠AEB=∠AFC=90∘，
∵将线段AB绕点A按顺时针方向旋转90∘，得到线段AC，
∴AB=AC，∠BAC=90∘，
∴∠ABE+∠BAE=∠BAE+∠CAF=90∘，
∴∠ABE=∠CAF，
∴△ABE≌△CAF(AAS)，
∴CF=AE=3，AF=BE=4，
∴OF=9，
∴C(9,3)，
∵点C恰好在反比例函数y=k2x(x>0)的图象上，
∴k2=9×3=27；
(2)由(1)知y=8x，y=27x，
∵P，Q分别为反比例函数y=k1x(x>0)，y=k2x(x>0)图象上一点，
∴设P(a,8a)，Q(b,27b)，
∵以点O，P，Q，A为顶点的四边形为平行四边形，
∴当AO为平行四边形的对角线时，由图象得这种情况不存在；
当AP为平行四边形的对角线时，
5+a=0+b0+8a=0+27b，
解得a=4018，
∴P(4019,195)；
当AQ为平行四边形的对角线时，
5+b=0+a0+27b=0+8a，
解得a=−4019(不合题意)，
综上所述，P(4019,195).
【解析】(1)过B作BE⊥OA于E，得到OA=AB=5，OE=2，BE=n，根据勾股定理得到B(2,4)，求得k1=2×4=8；过C作CF⊥x轴于F，根据全等三角形的性质得到CF=AE=3，AF=BE=4，得到C(9,3)，求得k2=9×3=27；
(2)由(1)知y=8x，y=27x，设P(a,8a)，Q(b,27b)，根据平行四边形的性质列方程组即可得到结论．
本题是反比例函数的综合题，考查了待定系数法求函数的解析式，平行四边形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，正确地求出函数的解析式是解题的关键．
27.【答案】(1)证明：∵DG//EF，FG//DE，
∴四边形DEFG为平行四边形，
∵EF⊥DE，
∴∠DEF=90∘，
∴四边形DEFG为矩形；
(2)证明：如图，连接EG，交DF于点O，
∵四边形DEFG为矩形，
∴DO=FO=EO，
∴∠ODE=∠OED，
∵点E为边AB的中点，
∴OE为梯形ABFD的中位线，
∴OE//AD，
∴∠ADE=∠OED，
∴∠ADE=∠ODE，
∴DE平分∠ADF；
(2)解：∵四边形DEFG为正方形，
∴DE=EF，∠DEF=90∘，
∴∠AED+∠BEF=90∘，
∵∠A=∠B=90∘，
∴ADE+∠AED=90∘，
∴ADE=∠BEF，
∴△ADE≌△BEF(AAS)，
∴AD=BE，
设AD=BE=a，AE=b，则AB=a+b，
∴DE2=AD2+AE2=a2+b2，S2=a(a+b)，
∴S1=a2+b2，
∵S1S2=56，
∴a2+b2a(a+b)=56，
∴a2−5ab+6b2=0，
∴(a−2b)(a−3b)=0，
∴a−2b=0或a−3b=0，
∴a=2b或a=3b，
当a=2b时，AB=a+b=2b+b=3b，
∴ADAB=aa+b=2b3b=23，
当a=3b时，AB=a+b=3b+b=4b，
∴ADAB=aa+b=3b4b=34，
∴ADAB的值为23或34.

【解析】(1)由DG//EF，FG//DE可得四边形DEFG为平行四边形，再由∠DEF=90∘即可求证；
(2)连接EG，交DF于点O，由矩形的性质可得DO=FO=EO，得到∠ODE=∠OED，又由E为边AB的中点可得OE为梯形ABFD的中位线，得到OE//AD，即得∠ADE=∠OED，得到∠ADE=∠ODE，即可求证；
(3)证明△ADE≌△BEF(AAS)，得到AD=BE，设AD=BE=a，AE=b，则AB=a+b，可得S2=a(a+b)S1=a2+b2，由S1S2=56得a2+b2a(a+b)=56，即得a2−5ab+6b2=0，得到(a−2b)(a−3b)=0，进而得到a−2b=0或a−3b=0，据此即可求解；
本题考查了相似型的综合应用，主要考查矩形的判定和性质，梯形的中位线性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键．