2023-2024学年辽宁省辽阳市灯塔市八年级（下）期末数学试卷（含详细答案解析）

这是一份2023-2024学年辽宁省辽阳市灯塔市八年级（下）期末数学试卷（含详细答案解析），共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.若二次根式 a−4有意义，则a的取值范围是( )
A. a≥0B. a>4C. a≥4D. a<4
2.下面的图形是用数学家名字命名的，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
A. 斐波那契螺旋线B. 笛卡尔心形线
C. 赵爽弦图D. 科克曲线
3.下列四组数据中，不能作为直角三角形的三边长的是( )
A. 6，8，10B. 7，24，25C. 2， 3， 7D. 5，12， 13
4.下列命题的逆命题正确的是( )
A. 对顶角相等B. 如果两个实数相等，那么它们的平方相等
C. 两直线平行，同旁内角互补D. 全等三角形的对应角相等
5.已知m2−n2=mn，则nm−mn的值等于( )
A. 1B. 0C. −1D. −14
6.如图，平行四边形ABCD中，AC⊥AB，∠ABD=30∘，AC与BD交于点O，AO=1，那么BC的长是( )
A. 7B. 5C. 3D. 2 2
7.
8.如图，直线y=kx+b(k≠0)经过点A(−3,6)，则不等式kx+b>6的解集为( )
A. x>−3
B. x<−3
C. x<6
D. x>6
9.某班的一节体育课上，老师组织部分男同学进行了投篮比赛，每人投10次，参赛的同学投中的次数如表所示，则他们投中次数的中位数和众数分别是( )
A. 2，3B. 7，4.5C. 7.5，8D. 7，8
10.如图，长方形ABCD中，AB=4，BC=2，G是AD的中点，线段EF在边AB上左右滑动，若EF=1，则GE+CF的最小值为( )
A. 2 3
B. 2 2
C. 3 2
D. 3 3
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.分解因式：a3−9ab2=______.
12.一个多边形的每个外角都等于它相邻的内角，则这个多边形的边数是______.
13.甲、乙两名同学5次立定跳远成绩的平均值都是2.42m，方差分别是：S甲2=0.04，S乙2=0.13，这两名同学成绩比较稳定的是______(填“甲”或“乙”).
14.如图，正方形OABC的对角线OB在直线y=−43x上，点A在第一象限．若正方形OABC的面积是50，则点A的坐标为______.
15.如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，已知AB=15，BC=14，AD=12，则AC的长为______.
三、解答题：本题共8小题，共73分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题10分)
(1)解方程：x+1x−1−4x2−1=1；
(2)先化简，再求值：a+3a⋅6a2+6a+9+2a−6a2−9，其中a= 3−1.
17.(本小题8分)
某单位组织30名员工到一景点集体参观，景点门票价格为80元/人.该景点规定满30人可以购买团体票，票价打八折，这天恰逢母亲节，该景点做活动，女士票价打五折，但不能同时享受两种优惠，请你通过计算帮助他们选择最优惠的购票方案.
18.(本小题8分)
如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点坐标分别是A(−4,1)，B(−1,1)，C(−2,3).
(1)将△ABC向右平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度后得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1；
(2)将△ABC绕原点O顺时针旋转90∘后得到△A2B2C2，请画出△A2B2C2；
(3)直接写出以C1、B1、B2为顶点的三角形的形状是______.
19.(本小题8分)
如图，E，F是四边形ABCD的对角线AC上两点，AF=CE，DF=BE，DF//BE.求证：四边形ABCD是平行四边形.
20.(本小题8分)
海滨公园是珠海市市民放风筝的最佳场所，某校八年级(1)班的小华和小轩学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度CE，他们进行了如下操作：
①测得水平距离BD的长为12米；
②根据手中剩余线的长度计算出风筝线BC的长为20米；
③牵线放风筝的小明的身高为1.62米.
(1)求风筝的垂直高度CE；
(2)如果小明想风筝沿CD方向下降11米，则他应该往回收线多少米？
21.(本小题8分)
为了解学生参加户外活动的情况，某中学对学生参加户外活动的时间进行抽样调查，并将调查结果绘制成如图两幅不完整的统计图，根据图示，请回答下列问题：
(1)求户外活动时间为1.5小时的学生有多少人？并补全条形统计图
(2)每天户外活动时间的中位数是小时？
(3)该校共有1800名学生，请估计该校每天户外活动超过1小时的学生人数有多少人？
22.(本小题11分)
如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+b的图象经过点A(6,0)，与y轴交于点B(0,−3)，与正比例函数y=2x的图象相交于点C.
(1)求此一次函数的解析式；
(2)求出△OBC的面积；
(3)点D在此坐标平面内，且知以O、B、C、D为顶点四边形是平行四边形，请直接写出符合条件的点D的坐标．
23.(本小题12分)
在边长为2的正方形ABCD中，点M和点N分别在直线BC和CD上运动，连接AN，DM.
(1)如图1，当点M，N分别是BC和CD的中点时，请直接写出AN与DM之间的关系；
(2)连接AC，点O为AC中点，连接OM，ON，且OM⊥ON.
①如图2，当点M，N分别在边BC和CD上时，(1)中的结论还成立吗？若不成立，请说明理由，若成立，请加以证明；
②连接MN，在点M和点N运动的过程中，若CM=4，请直接写出MN的值.
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：依题意得：a−4≥0，
解得a≥4.
故选：C.
二次根式的被开方数是非负数，即a−4≥0.
此题考查了二次根式的意义和性质．概念：式子 a(a≥0)叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．
2.【答案】D
【解析】解：A.不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B.是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C.不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不合题意；
D.既是轴对称图形又是中心对称图形，故此选项符合题意；
故选：D.
根据把一个图形绕某一点旋转180∘，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
此题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原来的图形重合．
3.【答案】D
【解析】解：A、62+82=102，能构成直角三角形，不符合题意；
B、72+242=252，能构成直角三角形，不符合题意；
C、22+( 3)2=( 7)2，能构成直角三角形，不符合题意；
D、52+( 13)2≠122，不能构成直角三角形，符合题意．
故选：D.
利用勾股定理逆定理，进行求解即可．
本题考查勾股定理的逆定理，熟知如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形是解题的关键．
4.【答案】C
【解析】解：A、逆命题为：相等的角为对顶角，错误，不符合题意；
B、逆命题为如果两个数的平方相等，那么这两个数也相等，错误，不符合题意；
C、逆命题为同旁内角互补，两直线平行，正确，符合题意；
D、逆命题为对应角相等的三角形全等，错误，不符合题意．
故选：C.
写出原命题的逆命题后判断正误即可．
考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解如何写出一个命题的逆命题，难度不大．
5.【答案】C
【解析】解：∵m2−n2=mn，且mn≠0，
∴mn−nm=m2−n2mn=mnmn=1，
∴nm−mn=−1，
故选：C.
根据分式的运算法则即可求出答案．
本题考查分式的运算和化简求值，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型．
6.【答案】A
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形
∴∠ABD=∠DBC，AC=2AO=2
∴∠ABC=60∘
∵AC⊥AB
∵AO=1
∴AB= 3
∴在Rt△ABC中：BC2=AC2+AB2，
即BC= ( 3)2+22= 7.
故选：A.
根据平行四边形的性质，对角线互相平分，所以OC=OA=1，则AC=2，在Rt△AOB中，∠ABD=30∘，AB= 3，所以在Rt△ABC中，BC= ( 3)2+22= 7.
本题主要考查了平行四边形的性质，解题关键是利用平行四边形的性质结合直角三角形来解决有关的计算和证明．
7.【答案】

【解析】
8.【答案】A
【解析】解：观察图象知：当x>−3时，kx+b>6，故选：A.
结合函数的图象利用数形结合的方法确定不等式的解集即可．
本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y=ax+b的值大于(或小于)0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y=kx+b在x轴上(或下)方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
9.【答案】C
【解析】解：把投中的次数按从小到大排列6，6，7，7，8，8，8，9，处于中间的两个数是7与8，7与8的平均数为7.5，所以投中次数的中位数为7.5；
因为众数是出现频数最高的数据，投中次数是8次的人数有3人，最多，故投中次数的众数是8.
故选：C.
根据中位数和众数的定义判断即可．
此题考查了中位数和众数，熟练掌握找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数或两个数的平均数为中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数据是解题的关键．
10.【答案】C
【解析】解：如图，作G关于AB的对称点G′，在CD上截取CH=1，然后连接HG′交AB于E，在EB上截取EF=1，此时GE+CF的值最小，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB//CD、AD=BC=2、DC=AB=4，
∵CH=EF=1，CH//EF，
∴四边形EFCH是平行四边形，
∴EH=CF，
∵G关于AB的对称点是G′、G为边AD的中点，
∴AB垂直平分GG′，
∴GE=G′E，AG=AG′=12AD=1，
∴G′H=EG′+EH=EG+CF，
∵DC=4，AD=2，
∴DG′=AD+AG′=2+1=3，DH=DC−CH=4−1=3，
由勾股定理得：HG′= 32+32=3 2，
即GE+CF的最小值为3 2.
故选：C.
作G关于AB的对称点G′，在CD上截取CH=1，然后连接HG′交AB于E，在EB上截取EF=1，此时GE+CF的值最小，结合平行四边形的判定和性质和勾股定理的运用解答即可．
本题考查了轴对称-最短路径问题，矩形的性质、平行四边形的判定和性质和勾股定理的运用，解决本题的关键是正确的作出辅助线．
11.【答案】aa+3ba−3b
【解析】解：a3−9ab2=aa2−9b2=aa+3ba−3b.
故答案为：aa+3ba−3b.
先提取公因式a，再根据平方差公式进行二次分解即可．
本题考查了提公因式法，公式法分解因式．注意提取公因式后利用平方差公式进行二次分解，分解要彻底．
12.【答案】4
【解析】解：∵一个多边形的每个外角都等于它相邻的内角，
∴每个外角的度数是：180∘÷2=90∘，
则边数是：360∘÷90∘=4.
故答案为：4.
首先求得外角的度数，根据正多边形外角和=360∘，利用360∘除以外角的度数即可解决问题．
本题主要考查了多边形的外角和，熟练掌握多边形的外角和等于360度是解题关键．
13.【答案】甲
【解析】解：∵S甲2∴甲同学成绩更稳定，
故答案为：甲．
根据方差的定义判断即可，方差越大，数据波动越大；方差越小，数据波动越小．
本题考查方差，掌握方差的性质即表示的意义是解题的关键．
14.【答案】(1,7)
【解析】解：如图作OF⊥OB，交BA的延长线于F，作BM⊥x轴于M，FN⊥x轴于N.
∵四边形ABCO是正方形，
∴∠OBA=45∘，
∵∠BOF=90∘，
∴△BOF是等腰直角三角形，
∴OB=OF，
由△BOM≌△OFN，可得BM=ON，OM=FN，
∵正方形OABC的面积是50，
∴OB=10，
∵点B在直线y=−43x上，
∴B(−6,8)，F(8,6)，
∵BA=AF，
∴A(1,7)，
故答案为(1,7)
如图作OF⊥OB，交BA的延长线于F，作BM⊥x轴于M，FN⊥x轴于N.首先证明△BOF是等腰直角三角形，可得AB=AF，求出B、F的坐标即可解决问题；
主要考查了一次函数的应用、正方形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于填空题中的压轴题．
15.【答案】13
【解析】解：∵AD是BC边上的高，
∴AD⊥BD，
在Rt△ABD中，由勾股定理得，
BD= AB2−AD2= 152−122=9，
∴CD=BC−BD=5，
∴AC= AD2+CD2= 122+52=13，
故答案为：13.
根据勾股定理求出BD的长，再在Rt△ADC中由勾股定理求出AC的长即可．
本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
16.【答案】解：(1)方程两边同乘(x+1)(x−1)，
得(x+1)2−4=(x+1)(x−1)，
整理得2x−2=0，
解得x=1，
检验：当x=1时，(x+1)(x−1)=0，
所以原方程无解；
(2)a+3a⋅6a2+6a+9+2a−6a2−9
=a+3a⋅6(a+3)2+2(a−3)(a+3)(a−3)
=6a(a+3)+2aa(a+3)
=2(a+3)a(a+3)
=2a，
当a= 3−1时，
原式=2 3−1=2( 3+1)( 3−1)( 3+1)= 3+1.
【解析】(1)方程两边都乘(x+1)(x−1)得出(x+1)2−4=(x+1)(x−1)，求出方程的解，再进行检验即可；
(2)先根据分式的除法法则把除法变成乘法，算乘法，再根据分式的减法法则进行计算，最后代入求出答案即可．
本题考查了解分式方程，分式的化简求值等知识点，能把分式方程转化成整式方程是解(1)的关键，能正确根据分式的运算法则进行化简是解(2)的关键．
17.【答案】解：设该公司参观者中有女士x人，选择购买女士五折票时所需费用为y1元，选择购买团体票时所需费用为y2元，
y1=80×0.5x+80×(30−x)=−40x+2400，y2=30×80×0.8即y2=1920.
由y1=y2，得−40x+2400=1920，解得x=12；
由y1>y2，得−40x+2400>1920，解得x<12；
由y112.
所以当女士恰好是12人时，两种方案所需费用相同；当女士人数少于12人时，购买团体票合算；当女士人数多于12人不超过30人时，购买女士五折票合算．
【解析】设该公司参观者中有女士x人，选择购买女士五折票时所需费用为y1元，选择购买团体票时所需费用为y2元，根据题意求得y1、y2，分三种情况求得相应的x的取值范围：y1=y2，y1>y2，y1此题考查一元一次不等式和一元一次方程的实际运用，找出题目蕴含的不等关系是解决问题的关键．
18.【答案】解：(1)如图，△A1B1C1为所作；
(2)如图，△A2B2C2为所作．
(3)等腰直角三角形．
【解析】本题考查了作图-旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．也考查了勾股定理逆定理和平移变换．
(1)利用点平移的坐标特征找出点A1，B1，C1的坐标，然后描点即可；
(2)利用网格特点和旋转的性质画出点A、B、C的对应点A2、B2、C2得到△A2B2C2；
(3)利用勾股定理的逆定理进行判断．
解：(1)见答案；
(2)见答案；
(3)∵C1B12=5，C1B22=5，B1B22=10，
∴C1B12+C1B22=B1B22，C1B1=C1B2，
∴以C1、B1、B2为顶点的三角形的形状是等腰直角三角形．
故答案为等腰直角三角形．
19.【答案】证明：∵DF//BE，
∴∠DFE=∠BEC，
∴在△ADF和△CBE中，
DF=BE∠DFA=∠BECAF=CE，
∴△ADF≌△CBE(SAS)，
∴AD=CB，∠DAF=∠BCE，
∴AD//CB，
∴四边形ABCD是平行四边形．
【解析】根据平行线的性质得到∠DFE=∠BEF，再利用全等三角形的判定与性质得到AD=CB，∠DAF=∠BCE即可解答．
本题考查了平行线的判定与性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
20.【答案】解：(1)在Rt△CDB中，
由勾股定理得，CD2=BC2−BD2=202−122=256，
所以，CD=16(负值舍去)，
所以，CE=CD+DE=16+1.62=17.62(米)，
答：风筝的高度CE为17.62米；
(2)由题意得，CM=11米，
∴DM=5米，
∴BM= DM2+BD2= 52+122=13(米)，
∴BC−BM=20−13=7(米)，
∴他应该往回收线7米．
【解析】(1)利用勾股定理求出CD的长，再加上DE的长度，即可求出CE的高度；
(2)根据勾股定理即可得到结论．
本题考查了勾股定理的应用，熟悉勾股定理，能从实际问题中抽象出勾股定理是解题的关键．
21.【答案】解：(1)∵0.5小时的有100人占被调查总人数的20%，
∴被调查的人数有：100÷20%=500，
1.5小时的人数有：500−100−200−80=120，
补全的条形统计图如下图所示，
故答案为：500；
(2)由(1)可知被调查学生500人，由条形统计图可得，中位数是1小时，
故答案为：1；
(3)由题意可得，
该校每天户外活动时间超过1小时的学生数为：120+80500×1800=720人，
即该校每天户外活动时间超过1小时的学生有720人．
【解析】(1)根据条形统计图和扇形统计图可以求得被调查学生总数和1.5小时的学生数，从而可以将条形统计图补充完整；
(2)根据条形统计图可以得到这组数据的中位数；
(3)根据条形统计图可以求得校共有1800名学生，该校每天户外活动时间超过1小时的学生有多少人．
本题考查中位数、用样本估计总体、扇形统计图、条形统计图，解题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答问题．
22.【答案】解：(1)∵一次函数y=kx+b的图象经过点A(6,0)，与y轴交于点B(0,−3)，
∴6k+b=0b=−3，解得k=12b=−3，
∴一次函数的解析式为y=12x−3；
(2)解y=12x−3y=2x得x=−2y=−4，
∴C(−2,−4)，
∵B(0,−3)，
∴OB=3，
∴S△OBC=12×3×2=3；
(3)以O、B、C、D为顶点四边形是平行四边形，
①当OD平行且等于BC时，点D的坐标为(−2,−1)或(2,1)，
②BD平行且等于OC时，点D的坐标为(2,1)或(−2,−6)，
③CD平行且等于OB时，点D的坐标为(−2,−1)或(−2,−6)，
∴点D的坐标为(−2,−1)、(2,1)、(−2,−6).
【解析】(1)根据待定系数法即可求得；
(2)解析式联立，解方程组求得C的坐标，然后根据三角形面积公式求得即可；
(3)利用OD平行且等于BC，或BD平行且等于OC，或CD平行且等于OB，进而求解．
本题主要考查了两直线相交平行问题及平行四边形的判定，解题的关键是求出一次函数的解析式．
23.【答案】解：(1)AN=DM，AN⊥DM，理由如下：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=BC=CD，∠ADC=∠BCD=90∘，
∵点M，N分别是BC和CD的中点，
∴DN=CM，
∴△ADN≌△DCM(SAS)，
∴AN=DM，∠DAN=∠CDM，
∵∠DAN+∠AND=90∘，
∴∠CDM+∠AND=90∘，
∴AN⊥DM；
(2)①(1)中的结论还成立，理由如下：
如图2，连接BD，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ACB=∠ACD=45∘，
∵AD=DC，∠ADC=90∘，点O为AC中点，
∴AO=CO=DO，∠ADO=∠CDO=45∘，OD⊥AC，
∴∠ODN=∠OCM=45∘，∠DOC=∠MON=90∘，
∴∠DON=∠COM，
∴△ODN≌△OCM(ASA)，
∴DN=CM，
又∵AD=CD，∠ADN=∠DCM=90∘，
∴△ADN≌△DCM(SAS)，
∴AN=CM，∠DAN=∠CDM，
∵∠DAN+∠AND=90∘，
∴∠CDM+∠AND=90∘，
∴AN⊥DM；
②如图3，当点M在线段CB的延长线上时，
∵CM=4，BC=2，
∴BM=2，
∵AB=BC，∠ABC=90∘，点O为AC中点，
∴AO=CO=BO，∠ABO=∠ACB=45∘，OB⊥AC，
∴∠OCN=∠OBM=135∘，∠BOC=∠MON=90∘，
∴∠CON=∠BOM，
∴△OCN≌△OBM(ASA)，
∴BM=CN=2，
∴MN= CM2+CN2= 16+4=2 5；
如图4，当点M在线段BC的延长线上时，
同理可得：MN= CM2+CN2= 16+36=2 13，
综上所述：MN的长为2 5或2 13.
【解析】(1)由“SAS”可证△ADN≌△DCM，可得AN=DM，∠DAN=∠CDM，由余角的性质可证AN⊥DM；
(2)①由“ASA”可证△ODN≌△OCM，可得DN=CM，由由“SAS”可证△ADN≌△DCM，可得AN=DM，∠DAN=∠CDM，由余角的性质可证AN⊥DM；②分两种情况讨论，由全等三角形的性质求出CN的长，由勾股定理可求解．
本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质等知识，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键．投中次数
6
7
8
9
人数(人)
2
2
3
1