高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册4.2 等差数列授课课件ppt

这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册4.2 等差数列授课课件ppt，共37页。PPT课件主要包含了新知探究，等差数列的概念，前一项，同一个常数，a＋b，a1＋n－1d，k＋b，∴an＝n·2n等内容，欢迎下载使用。

观察下列现实生活中的数列，回答后面的问题.我国有用12生肖纪年的习惯，例如，2017年是鸡年，从2017年开始，鸡年的年份为2 017，2 029，2 041，2 053，2 065，2 077，…；①
我国确定鞋号的脚长值以毫米为单位来表示，常用确定鞋号脚长值按从大到小的顺序可排列为275，270，265，260，255，250，…；②2020年1月中，每个星期日的日期为5，12，19，26.③问题　数列①②③有什么共同的特点？提示　从第二项起，每一项与前一项的差都等于同一个常数，都是等差数列.
等差数列的定义中的几个关键词是“从第2项起”，“同一个常数”
2.等差中项由三个数a，A，b组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列，这时____叫做a与b的等差中项，根据等差数列的定义可以知道，2A＝________.
3.等差数列的通项(1)通项公式：首项为a1，公差为d的等差数列{an}的通项公式是an＝_____________.(2)等差数列与一次函数的关系：①公差d≠0的等差数列{an}的图象是点(n，an)组成的集合，这些点均匀分布在直线f(x)＝dx＋(a1－d)上.②任给一次函数f(x)＝kx＋b(k，b为常数)，则f(1)＝k＋b，f(2)＝2k＋b，…，f(n)＝nk＋b，构成一个等差数列{nk＋b}，其首项为________，公差为____.
一般形式：an＝am＋(n－m)d
拓展深化[微判断]1.常数列是等差数列.( )2.若一个数列从第2项起每一项与前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列.( )提示　差都是同一个常数.3.数列{an}满足an＋1－an＝1(n＞1)，则数列{an}是等差数列.( )提示　{an}不一定是等差数列，忽略了第1项.
[微训练]1.已知实数m是1和5的等差中项，则m＝(　　)
解析　由题知：2m＝1＋5＝6，m＝3.答案　C
2.等差数列{1－3n}的公差d等于(　　)A.1 B.3 C.－3 D.n解析　∵an＝1－3n，∴a1＝－2，a2＝－5，∴d＝a2－a1＝－3.答案　C
3.等差数列－3，－1，1，…的通项公式为an＝________.
解析　由题知，a1＝－3，d＝2，an＝－3＋(n－1)×2＝2n－5.答案　2n－5
[微思考]1.如果数列{an}满足an＋1－an＝d(常数)或2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)，那么数列{an}是等差数列吗？提示　是等差数列.2.等差数列{an}的单调性与其公差d有什么关系？提示　当公差d＝0时，{an}是常数列；当公差d>0时，{an}是递增数列；当公差d<0时，{an}是递减数列.
题型一　等差数列的通项公式及相关计算【例1】　在等差数列{an}中，
解　(1)an＝a10＝a1＋(10－1)d＝2＋9×3＝29.(2)由an＝a1＋(n－1)d得3＋2(n－1)＝21，解得n＝10.(3)由a6＝a1＋5d得12＋5d＝27，解得d＝3.(4)由a7＝a1＋6d得a1－2＝8，解得a1＝10，
规律方法　等差数列通项公式中的四个参数及其关系
【训练1】　(1)已知{an}为等差数列，且a7－2a4＝－1，a3＝0，则公差d＝(　　)
答案　(1)B　(2)B
题型二　等差中项及其应用【例2】　在－1与7之间顺次插入三个数a，b，c，使这五个数成等差数列，求此数列.
解　∵－1，a，b，c，7成等差数列，∴b是－1与7的等差中项，
∴该数列为－1，1，3，5，7.
规律方法　(1)由等差数列的定义知an＋1－an＝an－an－1(n≥2，n∈N*)，即2an＝an－1＋an＋1，从而由等差中项的定义可知，等差数列从第2项起的每一项都是它前一项与后一项的等差中项.(2)在设等差数列的项时，可利用上述性质.
(2)由m和2n的等差中项为4，得m＋2n＝8.又由2m和n的等差中项为5，得2m＋n＝10.两式相加，得3m＋3n＝18，即m＋n＝6.
答案　(1)A　(2)B
题型三　等差数列的判定角度1　等差数列的证明【例3－1】　(1)已知数列{an}是等差数列，设bn＝2an＋3，求证：数列{bn}也是等差数列.
证明　因为数列{an}是等差数列，可设其公差为d，则an＋1－an＝d.从而bn＋1－bn＝(2an＋1＋3)－(2an＋3)＝2(an＋1－an)＝2d，它是一个与n无关的常数，所以数列{bn}是等差数列.
角度2　等差数列的探究【例3－2】　数列{an}满足a1＝2，an＋1＝(λ－3)an＋2n(n∈N*).(1)当a2＝－1时，求λ及a3的值；(2)是否存在λ，使数列{an}为等差数列？若存在，求其通项公式；若不存在，说明理由.
(2)不存在.∵a1＝2，an＋1＝(λ－3)an＋2n，∴a2＝(λ－3)a1＋2＝2λ－4，a3＝(λ－3)a2＋4＝2λ2－10λ＋16.若数列{an}为等差数列，则a1＋a3＝2a2，即2＋2λ2－10λ＋16＝2(2λ－4)，∴λ2－7λ＋13＝0.∵Δ＝49－4×13<0，∴方程无实数解，∴λ不存在，即不存在λ使{an}为等差数列.
规律方法　(1)证明一个数列是等差数列的方法：①定义法：an＋1－an＝d(常数)(n∈N*)⇔{an}是等差数列；an－an－1＝d(常数)(n≥2，n∈N*)⇔{an}是等差数列.②等差中项法：2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)⇔{an}是等差数列.(2)若证明一个数列不是等差数列，则只要证明其中特定三项(如前三项a1，a2，a3)不是等差数列即可.
一、素养落地1.通过学习等差数列的概念，提升数学抽象素养，通过学习等差数列的证明及相关计算，提升逻辑推理及数学运算素养.2.判断一个数列是不是等差数列的常用方法：(1)an＋1－an＝d(d为常数，n∈N*)⇔{an}是等差数列；(2)2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)⇔{an}是等差数列；(3)an＝kn＋b(k，b为常数，n∈N*)⇔{an}是等差数列.但若要说明一个数列不是等差数列，则只需举出一个反例即可.
3.由等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)d可以看出，只要知道首项a1和公差d，就可以求出通项公式，反过来，在a1，d，n，an四个量中，只要知道其中任意三个量，就可以求出另一个量.
二、素养训练1.给出下列数列：(1)0，0，0，0，0，…；(2)1，11，111，1 111，…；(3)2，22，23，24，…；(4)－5，－3，－1，1，3，…；(5)1，2，3，5，8，….其中是等差数列的有(　　)A.1个 B.2个 C.3个 D.4个解析　数列(1)，(4)是等差数列，故选B.答案　B
2.若数列{an}的通项公式是an＝2(n＋1)＋3，则此数列(　　)A.是公差为2的等差数列B.是公差为3的等差数列C.是公差为5的等差数列D.不是等差解析　an＋1－an＝[2(n＋2)＋3]－[2(n＋1)＋3]＝2，故{an}是公差为2的等差数列.答案　A
3.在等差数列{an}中，a1＋a9＝10，则a5＝(　　)A.5 B.6 C.8 D.9解析　因为a5是a1和a9的等差中项，所以2a5＝a1＋a9，即2a5＝10，a5＝5.答案　A
4.已知等差数列1，－1，－3，－5，…，－89，则它的项数是________.解析　d＝－1－1＝－2，设an＝－89，则－89＝a1＋(n－1)d＝1－2(n－1)，解得n＝46.答案　46
5.在等差数列{an}中，已知a6＝12，a18＝36，求通项公式an.
∴an＝2＋(n－1)×2＝2n.