高中数学压轴题小题专项训练专题4抽象函数问题含解析答案

这是一份高中数学压轴题小题专项训练专题4抽象函数问题含解析答案，共49页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A．B．C．D．
2．若定义在的奇函数f(x)在单调递减，且f(2)=0，则满足的x的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
3．已知函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，则（ ）
A．B．C．D．
4．已知函数的定义域为R，且，则（ ）
A．B．C．0D．1
5．设是定义域为R的奇函数，且.若，则（ ）
A．B．C．D．
6．已知是定义在上的函数，以下说法中正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
7．若定义在上的函数满足：且对任意的，有，则（ ）
A．对任意的正数M，存在，使
B．存在正数M，对任意的，使
C．对任意的，且，有
D．对任意的，且，有
8．已知函数的定义域均为为偶函数，且，，下列说法正确的有（ ）
A．函数的图象关于对称
B．函数的图象关于对称
C．函数是以4为周期的周期函数
D．函数是以6为周期的周期函数
9．已知函数的定义域均为R，且．若的图像关于直线对称，，则（ ）
A．B．C．D．
10．已知的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A．B．
C．D．
11．已知函数的定义域为R，对任意实数x，y都有，当时，，且，则关于x的不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
12．已知函数满足（），当时，且，若当时，有解，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
13．已知定义域为的函数满足，且函数在区间上单调递增，如果，且，则的值（ ）
A．恒小于0B．恒大于0C．可能为0D．可正可负函数
14．已知函数对任意的，总有，若时，，且，则当时，的最大值为（ ）
A．0B．C．1D．2
15．已知定义在区间上，值域为的函数满足：①当时，；②对于定义域内任意的实数a、b均满足：．则（ ）
A．
B．
C．函数在区间上单调递减
D．函数在区间上单调递增
16．已知定义域为的增函数满足对任意的都有，函数满足，且时，．若在上取得最大值时的值从小到大依次为，取得最小值时的值从小到大依次为，则（ ）
A．2800B．2700C．2600D．2500
17．已知函数的定义域为，对于任意的，，都有，当时，都有，且，当时，则的最大值是（ ）
A．5B．6C．8D．12
18．已知函数，的定义域均为，为奇函数，为偶函数，，，则（ ）
A．B．1C．2023D．2024
19．已知函数的定义域均为R，且满足则（ ）
A．3180B．795C．1590D．1590
20．函数的定义域为，若对于任意的，当时，都有，则称函数在上为非减函数.设函数在上为非减函数，且满足以下三个条件：①；②；③，则等于（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
21．已知定义域为的函数满足：，，且，则下列结论成立的是（ ）
A．B．为偶函数C．为奇函数D．
22．已知函数的定义域为，且对任意a，，都有，且当时，恒成立，则（ ）
A．函数是上的增函数B．函数是奇函数
C．若，则的解集为D．函数为偶函数
23．已知函数的定义域为，，则（ ）．
A．B．
C．是偶函数D．为的极小值点
24．已知定义在上的函数在区间上单调递增，且满足，，则（ ）
A．B．
C．D．
25．已知函数的定义域为R，对任意，都有，当时，，且，则（ ）
A．，都有
B．当时，
C．是减函数
D．若，则不等式的解集为
26．已知奇函数的定义域为，，对于任意的正数，都有，且时，都有，则（ ）
A．
B．函数在内单调递增
C．对于任意都有
D．不等式的解集为
27．已知函数的定义域为，函数的图象关于点对称，且满足，则下列结论正确的是（ ）
A．函数是奇函数
B．函数的图象关于轴对称
C．函数是最小正周期为2的周期函数
D．若函数满足，则
28．已知函数的定义域为，且，，则（ ）
A．B．为奇函数
C．3是函数的周期D．
29．已知函数定义域为R，满足，当时， .若函数的图象与函数的图象的交点为，，，(其中表示不超过的最大整数)，则（ ）
A．是偶函数B．C．D．
30．已知函数的定义域与值域均为，且，则（ ）
A．B．函数的周期为4
C．D．
31．已知函数的定义域均为，且,，若的图象关于直线对称，则以下说法正确的是（ ）
A．为奇函数B．
C．，D．若的值域为，则
32．已知定义域为R的函数满足，且函数是奇函数，，则下列说法正确的是（ ）
A．函数的一个周期是8
B．
C．函数是偶函数
D．若，则
三、填空题
33．定义在上的函数满足：（1）；（2）当时，；（3）任意的总有成立．则 ．
34．已知函数为定义在上的函数满足以下两个条件：
（1）对于任意的实数x，y恒有；
（2）在上单调递减.
请写出满足条件的一个 .
35．设函数，满足下列条件：
（1），，；
（2）对任意实数都有，则当，时，的最大值为 ．
36．设是定义在上、以1为周期的函数，若在上的值域为，则在区间上的值域为 ．
37．已知函数的定义域为R，若为奇函数，且直线与的图象恰有5个公共点，，，，，则 .
38．已知函数及其导函数的定义域均为，若是奇函数，且对任意的实数都有，，，则= ．
39．函数的定义域为D，若，有，则称在区间D上为非减函数.设在上为非减函数，满足以下三个条件：（1）.（2）.（3）.则 ， .
40．对于任意的实数、，函数满足关系式，则 ．
41．已知函数的定义域为R，且，，请写出满足条件的一个 （答案不唯一）．
42．已知函数的定义域为R，当时满足：①；②对任意有恒成立；③，则不等式的解集为 .（用区间表示）
43．已知函数的定义域为，满足，的图象关于直线对称，且，则 ； ．
44．已知函数及其导函数定义域均为R，记函数，若函数的图象关于点中心对称，为偶函数，且则 .
45．已知定义域为R的函数，对任意实数都有，且，则下列正确的有 .①；②是偶函数；③关于中心对称；④.
46．已知函数的定义域为，且，，请写出满足条件的一个 （答案不唯一）， ．
47．已知函数的定义域是，函数的图象的对称中心是，若对任意的，且，都有成立，，则不等式的解集为 .
48．已知函数的定义域为R，且满足对任意的，，都有，，，给出下列结论：①；②是周期函数；③可能是偶函数；④的图象关于直线对称．其中所有正确结论的序号为 ．
49．已知定义在R上的增函数满足对任意的，都有，且，函数满足，，且当时．若在上取得最大值的x值依次为，，…，，取得最小值的x值依次为，，…，，则 ．
50．已知函数的定义域为．对任意的恒有，且，．则 ．
参考答案：
1．B
【分析】根据抽象函数的定义域,对数型复合函数的性质列不等式组即可求得.
【详解】因为的定义域为，则，解得，则，所以的定义域为.
故选：B
2．D
【分析】首先根据函数奇偶性与单调性，得到函数在相应区间上的符号，再根据两个数的乘积大于等于零，分类转化为对应自变量不等式，最后求并集得结果.
【详解】因为定义在上的奇函数在上单调递减，且，
所以在上也是单调递减，且，，
所以当时，，当时，，
所以由可得：
或或
解得或，
所以满足的的取值范围是，
故选：D.
【点睛】本题考查利用函数奇偶性与单调性解抽象函数不等式，考查分类讨论思想方法，属中档题.
3．B
【分析】推导出函数是以为周期的周期函数，由已知条件得出，结合已知条件可得出结论.
【详解】因为函数为偶函数，则，可得，
因为函数为奇函数，则，所以，，
所以，，即，
故函数是以为周期的周期函数，
因为函数为奇函数，则，
故，其它三个选项未知.
故选：B.
4．A
【分析】法一：根据题意赋值即可知函数的一个周期为，求出函数一个周期中的的值，即可解出．
【详解】[方法一]：赋值加性质
因为，令可得，，所以，令可得，，即，所以函数为偶函数，令得，，即有，从而可知，，故，即，所以函数的一个周期为．因为，，，，，所以
一个周期内的．由于22除以6余4，
所以．故选：A．
[方法二]：【最优解】构造特殊函数
由，联想到余弦函数和差化积公式
，可设，则由方法一中知，解得，取，
所以，则
，所以符合条件，因此的周期，，且，所以，
由于22除以6余4，
所以．故选：A．
【整体点评】法一：利用赋值法求出函数的周期，即可解出，是该题的通性通法；
法二：作为选择题，利用熟悉的函数使抽象问题具体化，简化推理过程，直接使用具体函数的性质解题，简单明了，是该题的最优解.
5．C
【分析】由题意利用函数的奇偶性和函数的递推关系即可求得的值.
【详解】由题意可得：，
而，
故.
故选：C.
【点睛】关键点点睛：本题主要考查了函数的奇偶性和函数的递推关系式，灵活利用所给的条件进行转化是解决本题的关键.
6．C
【分析】通过反例可说明ABD错误，根据抽象函数关系式可直接说明C正确.
【详解】对于A，取函数（表示不超过的最大整数），
①当时，；
②当时，；
此时满足；
令，则，，
不满足，A错误；
对于B，取函数，
①当时，；
②当时，；
③当且时，，
若，即时，，
若，即时，，
若且，；
综上：此时满足；
令，则，
不满足，B错误；
对于C，，，C正确；
对于D，取函数，
①当时，；
②当时，，
i.若，即，则，
ii.若，即，则，
当，即时，，
当，即时，；
综上：此时满足；
令，，
不满足，D错误.
故选：C.
【点睛】思路点睛：本题考查抽象函数的性质，本题解题的基本思路是通过构造反例的方式，采用排除法确定正确选项；而对于正确选项，则根据抽象函数关系式直接推导即可.
7．A
【分析】运用导数研究在上的单调性及值域，构造数列，，结合函数迭代可得，研究当趋近于时，的趋近即可判断A项、B项，取可判断D项，进而取且可判断C项.
【详解】对于A项、B项，当时，令，
设，，则，，
所以在上单调递减，
所以当时，，
所以当时，，即当时，.
构造数列：，．
设，
则，，…，．
当趋近于时，趋近于，
所以对任意的正数M，存在正整数，使．取，则，故A项正确；
所以不存在正数M，对任意的，使，故B项不成立；
对于D项，取，
令，，
由复合函数单调性可知，在上单调递增，则，
所以在上单调递增，且值域为，故D项不成立.
对于C项，取函数且，故C项不成立.
故选：A.
【点睛】研究抽象函数性质方法点睛：直接研究函数性质或构造函数通过举反例判断.
8．C
【分析】根据题中所给条件可判断关于和对称，进而得的周期性，结合的周期性和的奇偶性即可判断的周期性，结合选项即可逐一求解.
【详解】由得，又 为偶函数，所以
，进而可得；因此可得的图象关于对称,
又可得，结合 为偶函数，所以，故的图象关于对称，
因此 ，所以是以4为周期的周期，故D错误，
由于，所以且，
因此的图象关于对称，函数是以4为周期的周期函数，故C正确，B错误，
根据是以4为周期的周期函数，由，得，所以数的图象关于对称，故A错误，
故选：C
9．D
【分析】根据对称性和已知条件得到，从而得到，，然后根据条件得到的值，再由题意得到从而得到的值即可求解.
【详解】因为的图像关于直线对称，
所以，
因为，所以，即，
因为，所以，
代入得，即，
所以，
.
因为，所以，即，所以.
因为，所以，又因为，
联立得，，
所以的图像关于点中心对称，因为函数的定义域为R，
所以
因为，所以.
所以.
故选：D
【点睛】含有对称轴或对称中心的问题往往条件比较隐蔽，考生需要根据已知条件进行恰当的转化，然后得到所需的一些数值或关系式从而解题.
10．A
【分析】根据已知函数定义域、对数、分数的性质列不等式性质求定义域.
【详解】由题设，则，可得，
所以函数定义域为.
故选：A
11．A
【分析】根据题意利用定义证明函数在R上单调递增，继而转化不等式，求解即可.
【详解】任取，
从而
,
因为，所以，
所以，
则在R上单调递增．
不等式等价于不等式
，
即．
因为在R上单调递增，
所以，解得．
故选：A.
12．B
【分析】证明函数单调递增，变换得到，根据单调性得到，计算函数最值得到答案.
【详解】设，故，
则，函数单调递增，
，即，即，
即在有解，即，
，故.
故选：B.
13．B
【分析】根据条件判断出函数的对称性和单调性，然后根据得到函数值之间的关系，利用条件将其转化为可判断出正负的形式即可.
【详解】因为，所以，所以关于点成中心对称，且
又因为在上单调递增，所以在上也单调递增，所以是上的增函数，
因为，所以，所以，
又因为，所以，
所以，所以.
故选：B.
【点睛】本题考查函数的对称性与函数的单调性的综合应用，难度较难.已知或，则可知的函数图象关于点成中心对称.
14．D
【分析】先令，求出，再判断函数的奇偶性，然后利用函数的单调性的定义结合已知条件判断其单调性，再利用单调性可求出函数的最大值.
【详解】令，则，得，
令，则，
所以，
所以为奇函数，
任取，且，则，，
所以
，
所以，
所以在上递减，
所以当时，的最大值为，
因为，所以，
所以，
故选：D
15．D
【分析】赋值：令代入可得，令代入可得函数为奇函数，再根据函数单调性定义可以证明函数在的单调性.
【详解】对A，令，则，
，即，
故，所以A不正确；
对B，取代入：，
即，即在上为奇函数，
设，
所以，且，
故：
即：，故B错误；
对C，由B知函数在上单调递增，故C错误；
对D，由C结合函数为奇函数且，
所以在上单调递增，故D正确.
故选：D.
16．C
【分析】利用特值法得到，再根据已知条件判断出的周期及其在一个周期内的单调性和最值，然后得到当时取得最小值0，当时取得最大值4，最后计算求解即可．
【详解】由，得，
因为，所以．
因为，所以的图象关于点对称，
当时，，
则在上单调递增，且，
所以在上单调递增，且．
因为，所以的图象关于直线对称，
所以在上单调递减，且最大值为4，最小值为0．
由得，则，
所以，得，
故是以4为周期的周期函数，且在时取得最小值0，
在时取得最大值4，
所以
．
故选：C
【点睛】本题以抽象函数为载体综合考查函数的性质，关键是根据已知条件判断出的周期及其在一个周期内的单调性和最值.以下是抽象函数周期性质的一些总结，可以适当总结记忆：
设函数．
（1）若，则函数的周期为；
（2）若，则函数的周期为；
（3）若，则函数的周期为；
（4）若，则函数的周期为；
（5）若，则函数的周期为；
（6）若函数的图象关于直线与对称，则函数的周期为；
（7）若函数的图象既关于点对称，又关于点对称，则函数的周期为；
（8）若函数的图象既关于直线对称，又关于点对称，则函数的周期为．
17．A
【分析】找到函数值特殊的点，得到部分特殊函数值，利用给定的抽象函数定义求出端点值后，判断函数单调性即可求出最大值即可.
【详解】令，则，且
故，，故
且令，，可得
设，则，
则，故在上单调递增
的最大值是
故选：A
【点睛】本题需要考生先求出特殊值，后判断抽象函数的单调性，再求出端点值即可. 判断抽象函数的单调性时需要记忆或推理常见的抽象函数模型.
18．A
【分析】借助赋值法结合题意可得函数的对称性与周期性，结合题目中所给条件可得，即可得解.
【详解】因为为偶函数，所以①，
因为，所以，
结合①有②，
因为为奇函数，所以，所以，
结合②有，所以，所以，
所以的周期为8．因为，所以，
同理，由，得，
所以，，
因为，所以，即，
因为，所以，
所以，所以，
所以的周期为8，所以，
由，得，
由，得，所以，
所以．
故选：A.
【点睛】结论点睛：解决抽象函数的求值、性质判断等问题，常见结论：
（1）关于对称：若函数关于直线轴对称，则，若函数关于点中心对称，则，反之也成立；
（2）关于周期：若，或，或，可知函数的周期为.
19．D
【分析】根据递推关系可得且，进而有，构造易知是周期为2，分别求得、，再求、，根据周期性求，最后求和.
【详解】由，则，即，
由，则，即，
又，
即，
所以，故，
综上，，则，故关于对称，
且有，
令，则，即的周期为2，
由知：关于对称且，
所以，即，则，
由，可得，则，
所以则；则，
依次类推：，，……，，
所以.
故选：D
【点睛】关键点点睛：根据递推式得且，构造并确定其周期，依据周期性求.
20．A
【分析】结合题意，结合赋值法得到、、直到得到，结合函数在上为非减函数，即可得.
【详解】令，由，可得，
又，故，
由，故，
令，则，即，
令，有，令，有，
令，有，令，有，
令，有，令，有，
令，有，令，有，
令，有，
令，有，
由，且，
又函数在上为非减函数，
故.
故选：A.
【点睛】关键点睛：本题关键在于结合非减函数的性质，通过赋值法逐步得到，从而得到.
21．ABD
【分析】根据已知条件利用赋值法分析判断即可.
【详解】因为，，
取可得，
又，所以，A对；
取可得，
因为，所以，
所以为偶函数，C错，B对；
取可得，
又，
所以，D对．
故选：ABD
22．ABC
【分析】利用单调性定义结合可判断A；
利用特殊值求出，从而证明可判断B；
根据条件并利用单调性解不等式可判断C；
利用奇偶性的定义可判断D.
【详解】设，且，，则，
而
，
又当时，恒成立，即，，
函数是R上的增函数，A正确；
由，
令可得，解得，
令可得，即，而，
，而函数的定义域为R，
故函数是奇函数，B正确；
令可得，解得，所以
因为函数是上的增函数，
由，可得，所以，C正确；
令，易知定义域为R，
因为，显然不恒成立，所以不是偶函数，D错误.
故选：ABC
【点睛】关键点点睛：本题考查抽象函数的综合应用.关键点在于赋值法的运用，通过对题意得理解，巧妙的赋予特殊值，进而求解选项答案.本题考查转化与化归能力，重在数据的分析与推理，属于中档题.
23．ABC
【分析】方法一：利用赋值法，结合函数奇偶性的判断方法可判断选项ABC，举反例即可排除选项D.
方法二：选项ABC的判断与方法一同，对于D，可构造特殊函数进行判断即可.
【详解】方法一：
因为，
对于A，令，，故正确.
对于B，令，，则，故B正确.
对于C，令，，则，
令，
又函数的定义域为，所以为偶函数，故正确，
对于D，不妨令，显然符合题设条件，此时无极值，故错误.
方法二：
因为，
对于A，令，，故正确.
对于B，令，，则，故B正确.
对于C，令，，则，
令，
又函数的定义域为，所以为偶函数，故正确，
对于D，当时，对两边同时除以，得到，
故可以设，则，
当肘，，则，
令，得；令，得；
故在上单调递减，在上单调递增，
因为为偶函数，所以在上单调递增，在上单调递减，

显然，此时是的极大值，故D错误.
故选：.
24．BCD
【分析】根据抽象函数性质可确定关于直线对称，关于点对称，从而可确定其周期性，再结合单调性可得函数的大致图象，结合周期性、对称性、对数函数性质、三角函数性质逐项判断即可得结论.
【详解】对于函数有，，则函数关于直线对称，
由，则函数关于点对称，
所以，所以得，
则，故函数的周期为，且，故函数为偶函数，
因为函数在区间上单调递增，则函数的大致图象如下图：
由对称性可得，
所以，故A不正确；
由于，，所以，故B正确；
又，，所以，故C正确；
，且，
因为，所以，故，
所以，故D正确.
故选：BCD.
【点睛】关键点点睛：抽象函数的性质主要是函数的奇偶性、单调性、周期性、对称性，解决本题的关键是结合函数的性质确定函数的图象，从而可确定函数值的大小关系、对称关系.考查学生的基本分析能力与计算能力，属于中等难度的题型.
25．BCD
【分析】令，即可求出；根据题意，当时，，所以，再结合即可得到，进而得可判断A、B；利用单调性定义结合题意证明即可判断C；由，结合题意可得，再借助函数单调性解不等式即可判断D.
【详解】令，则，又，所以.
当时，，所以，
又，
所以，即.A错误，B正确.
设，则，
又，所以，所以，
又当时，，当时，，，
所以，即，所以在上单调递减.C正确.
因为，所以，
所以，即，
又在上单调递减，所以，
解得，所以不等式的解集为,D正确.
故选：BCD
26．ACD
【分析】根据已知应用赋值法判断A选项，结合奇函数判断C选项，根据单调性定义判断B选项，结合单调性解不等式判断D选项.
【详解】已知,令可得,
令可得,得,,A选项正确;
奇函数的定义域为,，所以,又知,
所以函数在内不是单调递增,B选项错误;
对于任意的正数，都有，
对于任意都有,,,
又因为函数为奇函数，可得,C选项正确;
对于任意的正数，都有，
,又因为,所以,
所以,
又因为所以,所以,
所以函数在内是单调递增, 又因为函数为奇函数，所以函数在内是单调递增,
不等式,,
已知,
令, 因为可得，
函数在内是单调递增, 所以,
已知,令, 因为,
可得，同理，,
又因为函数为奇函数，,,
又因为函数在内是单调递增, 所以
不等式的解集为, D选项正确；
故选:ACD.
27．ABD
【分析】根据抽象函数的对称性，以及条件的变形，即可判断ABC；首先判断函数的周期性，再利用周期性和函数的性质，即可求解.
【详解】因为函数的图象关于点对称，所以，所以函数是奇函数，故A正确；
因为，所以，又，
所以，所以，所以，所以为偶函数.故B正确；
因为，所以是最小正周期为4的周期函数，故C错误；
因为，所以，那么，
所以也是周期为4的函数，
，
因为，所以，，
所以，
所以，故D正确.
故选：ABD.
【点睛】思路点睛：本题考查抽象函数的性质和应用，理解抽象函数，理解自变量的任意性，从而学会变形，达到判断性质的目的.
28．BCD
【分析】令求，再令可求得，可判断A；令可判断B；令求，分别令，，整理化简可得周期，可判断C；利用周期性求解即可判断D.
【详解】令，则，解得．
令，则，即．
又，所以，所以A错误．
令，则，
即，所以，
所以为奇函数，B正确．
令，则．
又，
所以，所以．
又，所以．
由，得，
则．
由，得．
又因为，所以．
又因为，
所以，
即．
用代替上式中的，得．
又，
所以，即，
所以3是函数的周期，所以C正确．
由，函数为奇函数，得，
所以．
又，所以，
所以，所以D正确．
故选：BCD．
【点睛】关键点睛：本题的两个关键点：（1）根据函数方程合理赋值，找出；（2）建立与的相等关系，从而挖掘出函数的周期性．
29．BC
【分析】举例说明判断A；分析函数与的性质，作出部分函数图象，结合图象与性质推理、计算判断BCD.
【详解】函数，显然，而，即，因此不是偶函数，A错误；
函数定义域为，满足，当时，，
当时，，，
当时，，，
当时，，，
当时，，，
因此当时，函数在上递减，
在上递增，当时，取得最大值，
当时，，，
当时，，，
当时，，，
因此当时，函数，
在同一坐标平面内作出函数的部分图象，如图，

当时，函数的图象有唯一公共点，
因为，因此，，而满足的整数有个，即，B正确；
显然，
所以，C正确；
，数列是首项为，公比为的等比数列，
所以，D错误.
故选：BC
【点睛】关键点睛：求两个分段函数的公共点的坐标，确定要求值的自变量属于哪一段区间，再代入该段的解析式求值是关键.
30．ACD
【分析】根据抽象函数的性质，巧妙利用赋值法解决.
【详解】令得，即①，
令，得②，
联立①②，故A正确；
令，得③，
由①，，，
将它们代入③整理可得，所以由，故D对；
由可知为一元二次函数，设，
则有，
整理得，又由，
所以，经验证满足题设要求，故B错C对，
故选：ACD.
【点睛】方法点睛：求两个变量的抽象函数解析式要巧妙用赋值法.
31．BCD
【分析】由得，与联立得，再结合的图象关于直线对称，可得的周期、奇偶性、对称中心，可依次验证各选项正误.
【详解】，，
，，
关于对称，，
，，，
，故C正确；
关于对称，，，为偶函数，
，，，，，为偶函数，故A错误；
，图象关于点中心对称，
存在一对最小值点与最大值点也关于对称 ，
，故D正确；
由得，又，所以，
由得，所以，故B正确；
故选：BCD
【点睛】关键点点睛：对含有混合关系的抽象函数，要探求性质首先要消去一个函数只剩下另一下函数，消去其中一个函数的方法就是对进行合理的赋值，组成方程组消去一个函数，再考查剩余函数的性质. 对抽象函数的周期性、奇偶性、单调性以及图象的对称性的综合应用，解决该问题应该注意的事项：
（1）赋值法使用，注意和题目条件作联系；
（2）转化过程要以相关定义为目的，不断转变.
32．ACD
【分析】本题要从前两个抽象表达式入手，判断函数的轴对称和中心对称两个特征，从而得出函数的周期性，接着通过赋值代入求出一个周期内的函数值或者项的特征，可相继判断B,D两项，利用偶函数的定义可判断C项.
【详解】由可知函数的图象关于直线对称．
因为函数是奇函数，所以函数的图象关于点对称，
（根据是奇函数，得，即得到）因此函数的一个周期为8，
（若函数的图象既关于直线对称，又关于点对称，则函数的周期为），故选项A正确；
对于选项B：由函数的图象关于点对称，得，
，又，所以，故，
因此，因此选项B错误；
对于选项C：，故函数是偶函数，故选项C正确；
对于选项D：令，则，因此函数的一个周期是2，
因，所以，又，故，
所以当x为奇数时，当x为偶数时，
所以
，故选项D正确．
故选：ACD.
【点睛】方法点睛：本题考查了抽象函数图像的对称性和周期性,属于难度较大知识点.关于函数的对称性和周期性主要有以下结论.
设函数．
（1）若，则函数的周期为2a；
（2）若，则函数的周期为2a；
（3）若，则函数的周期为2a；
（4）若，则函数的周期为2a；
（5）若，则函数的周期为；
（6）若函数的图象关于直线与对称，则函数的周期为；
（7）若函数的图象既关于点对称，又关于点对称，则函数的周期为；
（8）若函数的图象既关于直线对称，又关于点对称，则函数的周期为；
（9）若函数是偶函数，且其图象关于直线对称，则函数的周期为2a；
（10）若函数是奇函数，且其图象关于直线对称，则函数的周期为4a．
33．
【解析】先令，求得，再令，可得，结合已知条件可得，从而可得答案
【详解】解：令，则由得，
因为，所以，
令，则，
因为，当时，；
所以，
所以，所以，
所以
故答案为：
【点睛】关键点点睛：此题考查抽象函数求值问题，解题的关键是结合已知条件正确赋值，令，则，由，当时，，可得，从而得
34．（答案不唯一）
【分析】由（1）（2）可设,由可求，从而可求解.
【详解】由（1）（2）可设,
由，
可得，
化简可得.
故的解析式可为.
取可得满足条件的一个.
故答案为:.
35．1
【分析】利用赋值法求得，令可得，可得的范围，然后可得.
【详解】由条件（2），令，得，所以或．
若，令，，得．
再令，得，矛盾，所以．
令，．
所以，
所以
当，时，．
故的最大值为1．
故答案为：1
36．
【分析】可根据是定义在上，以1为周期的函数，研究函数的性质，得，由此关系求出函数在在区间，上的值域即可．
【详解】由题意 在上成立，
故，
因为为上周期为1的函数，
所以
由此知自变量增大1，函数值也增大1
由在上的值域为，
可得在上的值域为，
在上的值域为，
……
在上的值域为，
在上的值域为，
……
在上的值域为，
故在，上的值域为，
故答案为：，
37．
【分析】由的图象与直线有相同的对称中心，可求的值.
【详解】为奇函数，则有，
即，可得，
，所以函数的图象关于点对称.
直线，即，
由，解得，所以直线过定点，
即直线关于点对称.
直线与的图象恰有5个公共点，，，，，
则有，，.
故答案为：
38．1
【分析】判断的奇偶性，赋值，并根据和的奇偶性得到，，的表达式，根据求得，再次进行赋值，得到函数的周期性即可得到结果.
【详解】因为是奇函数，所以是偶函数．
令，，则．
令，，则．
令，，则．
因为，所以，所以．
令，则，
所以，所以，
所以，，
所以．
故答案为：1.
【点睛】本题是一道抽象函数试题，考查函数的奇偶性、函数求值、赋值法的应用等，考查考生对函数基础知识的掌握情况，体现理性思维和数学探索学科素养．
求解本题的关键：（1）根据的奇偶性判断的奇偶性；（2）根据已知等式对灵活赋值；（3）根据赋值结果得到相关函数值，即可得解．
39．
【分析】根据题意，由的值，及，可得的值，进而求出的值，再由求出、的值，结合“非减函数”的定义分析可得答案．
【详解】根据题意，（1），，
令可得：（1），
又由，则，则，
又由，则，
又，
且，
又由在，上为非减函数，且，则有；
故，
故答案为：，．
40．
【分析】先令，可得恒成立，再用赋值法即可得答案.
【详解】依题意，取，有，则恒成立，
取，则.
故答案为：.
41．1,（答案不唯一）
【分析】根据所给条件分析函数为偶函数，取特殊函数可得答案.
【详解】令，则，
又，
所以，即，
所以函数为偶函数，
不妨取偶函数，则，
也可取，则，满足题意.
故答案为：,（答案不唯一）
42．/
【分析】根据③和①，求得，，由②可知函数在（0，+∞）上为增函数，结合题意，可以判断出在上为减函数，将不等式转化为不等式组或，从而确定出结果.
【详解】根据题意，当x＞0时满足，即，
又由，则，；
若对任意有恒成立，则在（0，+∞）上为增函数，
设，则，有，
即，所以，即，
则在上为减函数，
∵，
∴或，
∴或，即不等式的解集为，
故答案为：.
43．
【分析】在中令，即可得第一空答案；由题意可知的图象关于轴对称，从而得，运用到算式即可得第二空答案．
【详解】在中，令，则有；
的图象关于直线对称，则的图象关于轴对称，有，
又，则，得，
可得，，
所以，，，
所以
．
故答案为：；．
【点睛】结论点睛：函数的对称性：
（1）若，则函数关于中心对称；
（2）若，则函数关于对称.
44．678
【分析】由的图象关于点中心对称结合导数可知，再结合为偶函数可知的一个周期为3，.又注意到即可得答案.
【详解】因的图象关于点中心对称，则
.
因为偶函数，根据函数的伸缩变化可知也是偶函数，
所以.
则，即的一个周期为3.令，由可得.
注意到，则.
故答案为：678
45．②③④
【分析】令可求出，①错误；令，并化简可得函数为偶函数，②正确；令，结合题中条件，可得③正确；令，结合题中条件，可得④正确.
【详解】定义域为R的函数，对任意实数都有，
令则
又，所以，故①错误；
令得，
由得，，所以函数为偶函数，
故②正确；
令，则，
因为，所以，
故函数关于中心对称，③正确；
因为
令，则，
又函数为偶函数，则，则④正确，
故答案为：②③④.
46． （答案不唯一）；
【分析】应用赋值法可得为偶函数及以6为周期，进而可求.
【详解】令，则，解得或，
若，令，，则，即与已知矛盾,
∴，令，则，
则，∴为偶函数；
令，则，
则，
则，
所以以6为周期，
结合以上特征，找到满足条件的一个函数为，
结合以6为周期，则．
故答案为：（答案不唯一）；
47．
【分析】利用函数的图象的对称中心是可得是上的奇函数，由可得，故可得在上单调递增，然后分，和三种情况进行求范围即可.
【详解】因为的图象是的图象向左平移1个单位长度得到，且函数的图象的对称中心是，
所以的图象的对称中心是，故是上的奇函数，所以，
对任意的，，且，都有成立，
所以，
令，所以根据单调性的定义可得在上单调递增，
由是上的奇函数可得是上的偶函数，
所以在上单调递减，
当时，不等式得到，矛盾；
当时，转化成即，所以；
当时，转化成，，所以，
综上所述，不等式的解集为.
故答案为：.
48．①②④
【分析】借助赋值法，分别令，；，；；，；结合函数的周期性、对称性计算即可得.
【详解】对于①：对于，
令，，得，
又，所以，故①正确．
对于②：对于，
取，，得，
所以，，
则为的一个周期，故②正确．
对于③：对于，令，
得，，故不可能是偶函数，故③错误．
对于④：对于，
取，，得，
所以，所以的图象关于直线对称，故④正确．
故答案为：①②④.
49．2600
【分析】对可得，，由题意分析可知的一个周期为4，关于点对称，关于直线对称，进而结合函数性质分析求解.
【详解】因为，
令，可得，
令，可得，
因为，所以，．
因为，可知的图象关于点对称，
又因为当时，，则在上单调递增，且，
所以在上单调递增，且．
因为，则的图象关于直线对称，
所以在上单调递减，且，
故在上的最大值为4，最小值为0．
由得，则，
所以，得，
故的一个周期为4，且在处取得最小值0，在处取得最大值4，
所以．
故答案为：2600.
【点睛】方法点睛：函数的性质主要是函数的奇偶性、单调性和周期性以及函数图象的对称性，在解题中根据问题的条件通过变换函数的解析式或者已知的函数关系，推证函数的性质，根据函数的性质解决问题．
50．
【分析】依题意可得，利用特殊值推出，，即可得解.
【详解】由，
得，
因为，，
令，，得，得；
令，，得，得；
令，，得，得，
在中，
令，得，
令，得，得；
令，得，得，
．
在中，
令，，得；
令，，得，
．
依此类推，可得，，
因此，，
综上可知．
故答案为：．
【点睛】关键点点睛：本题解答的关键是利用赋值法推出一般性的规律，.