高中数学压轴题小题专项训练专题5指数对数同构问题含解析答案

这是一份高中数学压轴题小题专项训练专题5指数对数同构问题含解析答案，共61页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知，，向量与的夹角为，若对任意，，当时，恒成立，则实数m的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
2．已知函数，若对任意，恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
3．函数，函数，若对恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
4．若，恒成立，则a的最小值为（ ）
A．B．C．D．
5．已知，若方程恰有两个解，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
6．若函数有两个不同的零点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
7．已知函数，，若，，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
8．若，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
9．若，则正实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
10．已知函数，若对任意正数，，都有恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
11．若，则（ ）
A．B．C．D．
12．若，则（ ）
A．B．C．D．
13．已知函数有两个不同的零点，则实数m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
14．已知，当时，，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
15．设，若存在正实数x，使得不等式成立，则k的最大值为（ ）
A．B．C．D．
16．已知函数，若恒成立，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
17．已知函数，，若存在，，使得成立，则的最大值为（ ）
A．B．1C．D．
18．若关于x的不等式对恒成立，则实数a的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
19．已知函数，（其中是自然对数的底数），若在上恒成立，则实数m的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
20．已知函数，，若存在，，使得成立，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．的最大值为D．的最大值为
21．若关于x的不等式在上恒成立，则实数a的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
22．已知不等式对恒成立，则实数a的最小值为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
23．已知函数，则（ ）
A．当时，有极小值B．当时，有极大值
C．若，则D．函数的零点最多有1个
24．若关于x的不等式在上恒成立，则实数a的值可以是（ ）
A．B．C．D．2
25．已知函数．以下说法正确的是（ ）
A．若在处取得极值，则函数在上单调递增
B．若恒成立，则
C．若仅有两个零点，则
D．若仅有1个零点，则
26．已知且，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则
B．若恒成立，则
C．若有两个零点，则
D．若有极值点，则或
27．已知函数的图象与直线有三个交点，记三个交点的横坐标分别为，且，则下列说法正确的是（ ）
A．存在实数，使得
B．
C．
D．为定值
三、填空题
28．已知，不等式对恒成立，则实数的最小值为 .
29．若，则实数a的取值范围为 ．
30．已知函数，若恒成立，则实数的取值范围为 .
31．已知和分别是函数（且）的极小值点和极大值点．若，则a的取值范围是 ．
32．设函数，若，恒成立，则的取值范围是 ．
33．已知不等式对任意恒成立，则实数的最小值是 ．
34．已知函数，若恒成立，则实数的取值范围为 ．
35．已知函数（为自然对数的底数），，且对任意的恒成立，则实数的取值范围为 ．
36．若，设的零点分别为，则 ， .（其中表示a的整数部分，例如：）
37．已知对于任意正数，恒成立，则正数的取值范围为 ．
38．，，当时，，则的范围为 .
39．已知不等式对任意的恒成立，则实数的取值范围是 .
40．已知正实数，满足，则的最小值为 ．
41．关于的不等式恒成立，则的最小值为 ．
42．已知函数，若存在实数使得，则的取值范围是 ；若，则的最大值是 .
43．已知函数，函数，若函数有两个零点，则实数a的取值范围
44．已知函数（），若不等式对恒成立，则实数a的取值范围为 ．
45．函数的最小值是 ．
46．若不等式对任意的恒成立，则实数m的最大值为 .
47．，，则最小值为 .若与无交点，则的取值范围为 .
48．已知正实数x，y满足，则的最大值为 ．
49．设函数，.若在恒成立，则实数的取值范围是 .
50．设，若存在正实数x，使得不等式成立，则k的最大值为 ．
51．已知函数，当时，，则实数的取值范围为 .
52．对任意，函数恒成立，则a的取值范围为 ．
53．设，，则下列说法正确的是 ．
①；
②若在定义域内单调，则；
③若，则恒成立；
④若，则的所有零点之和为0．
参考答案：
1．D
【分析】易得，将对任意，，当时，恒成立，转化为对任意，，当时，恒成立，令，转化为在上递减求解.
【详解】解：因为，，向量与的夹角为，
所以，
因为对任意，，当时，恒成立，
所以对任意，，当时，恒成立，
所以对任意，，当时，恒成立，
令，即成立，
所以在上递减，
又，由，解得，
所以的单调减区间为，
所以，
则实数m的取值范围是，
故选：D
2．D
【分析】导数研究单调性，将题设转化为成立，即上递减，进而有恒成立，导数研究右侧最大值，即可求参数范围.
【详解】当时，，
故，
故，
令，则，
令，故，
令，故，
故当时，，
当时，，
即函数在上单调递增，在上单调递减，
故，解得，
故实数的取值范围为，
故选：D
【点睛】关键点点睛：利用导数研究单调性，将问题最终转化为恒成立.
3．A
【分析】不等式变形为，引入新函数，，利用导数判断函数的单调性，
利用单调性化简不等式可得，取对数，变形为，再引入新函数，x∈（0，+∞），求得它的最大值即可得参数范围．
【详解】因为，对恒成立，
又，
所以，即，
即，
令，，
∴，设，
则，
当时，，函数在上单调递增，
当时，，函数在上单调递减，
可得时，函数取得极小值即最小值，，
∴恒成立，
∴函数在上单调递增，又原不等式等价于，
所以，即，即恒成立，
令，，则，
当时，，函数在上单调递增，
当时，，函数在上单调递减，
可得时，函数取得极大值即最大值.，
所以.
故选：A.
【点睛】关键点点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．
4．B
【分析】原不等式等价于，当，可得，当时构造，利用导数研究单调性可得，即可得在上恒成立，构造，利用导数求得最大值，即可求解.
【详解】依题意，．
因为，
所以，若，显然成立，此时满足；
若，令，在上恒成立，
∴在上单调递增，而，∴．
综上，在上恒成立，∴．
令，，
所以当时，单调递增；当时，单调递减.
所以，即．所以a的最小值为.
故选：B．
【点睛】不等式恒成立问题常见方法：
①分离参数恒成立(即可)或恒成立（即可）；
②数形结合( 图象在 上方即可)；
③分类讨论参数.
5．C
【分析】变换得到，设，即，构造函数，求导得到单调区间，计算最值得到有两解，设，求导得到单调区间，计算最值得到，再次构造函数，计算最值得到答案.
【详解】，，
故，
设，即，设，则，
当时，，函数单调递减；
当时，，函数单调递增；
，故方程有唯一解，即有两解，
即有两个解，设，，，
当时，，函数单调递增；
当时，，函数单调递减；
当趋近于和趋近于时，趋近于，
故只需满足，设，，
当时，，函数单调递减；
当时，，函数单调递增；
故恒成立，故的解为.
故选：C
【点睛】关键点睛：本题考查了利用导数解决参数范围问题，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中利用同构的思想将方程转化为，再构造函数，将零点问题转化为最值问题是解题的关键.
6．A
【分析】将问题转化为函数与图象有两个不同的交点，根据换元法将函数转化为，利用导数讨论函数的单调性求出函数的值域，进而得出参数的取值范围.
【详解】函数的定义域为，
，
设，则，
令，令，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，且，
所以，所以，
函数有两个不同的零点等价于方程有两个不同的解，
则，
等价于函数与图象有两个不同的交点.
令，，
则函数与图象有一个交点，
则，
所以函数在上单调递增，
所以，
且趋向于正无穷时，趋向于正无穷，
所以，解得.
故选：A.
【点睛】方法点睛：与函数零点有关的参数范围问题，往往利用导数研究函数的单调区间和极值点，并结合特殊点，从而判断函数的大致图象，讨论其图象与x轴的位置关系，进而确定参数的取值范围；或通过对方程等价变形转化为两个函数图象的交点问题．对于不适合分离参数的等式，常常将参数看作常数直接构造函数，常用分类讨论法，利用导数研究单调性、最值，从而得出参数范围.
7．D
【分析】首先由，，再结合函数函数的图象可知，，这样转化，利用导数求函数的最大值.
【详解】由题意得，，，即，
令函数，则，
所以，时，，在上单调递减，
时，，在上单调递增，
又当时，，时，，
作函数的图象如图所示.
由图可知，当时，有唯一解，故，且，

∴.设，，则，
令解得，
所以在上单调递增，在上单调递减，
∴，即的最大值为.
故选：D.
【点睛】关键点点睛：本题考查利用导数求函数的最值，本题的关键是观察与变形， ，并且由函数图象判断，只有一个零点，所以，这样后面的问题迎刃而解.
8．B
【分析】由，设，则，原不等式可化为，转化成求的最小值．
【详解】因为，所以，设，则且原不等式可化为，只需．设，则，所以当时，，单调递减；当时，，单调递增．所以，所以．
故选：B．
【点睛】本题考查用导数研究不等式恒成立问题．解题方法是用分离参数法把不等式进行变形转化为求函数的最值，解题关键是式子的变换，然后用换元法使得函数简单化．
9．B
【分析】不等式可化为，故考虑构造函数，
利用导数研究函数的单调性，结合单调性化简不等式可得，由已知
，再利用导数求函数的最小值，可得的取值范围.
【详解】不等式，可化为，
设，则，
即在上单调递增，而，
因为，所以，
由已知恒成立，
令，则，
当时，即递减；
当时，即递增；
∴，
故只需，即．又，
所以的取值范围为.
故选：B
【点睛】结论点睛：对于恒成立问题，常用到以下两个结论：
(1)恒成立⇔；
(2)恒成立⇔
10．C
【分析】根据条件可变形为，构造函数，利用其为增函数，结合导数可得恒成立，进而结合二次函数的性质即可求解.
【详解】根据，可知，
令
由，知为增函数，
所以恒成立，
分离参数得，
而当时，在时有最大值为，
故，即实数的取值范围为.
故选：C.
【点睛】关键点点睛：本题由条件恒成立，转化为恒成立是解题的关键，再根据此式知函数为增函数，结合导数可得恒成立，进而求解即可.
11．A
【分析】将不等式变为，根据的单调性知，以此去判断各个选项中真数与的大小关系，进而得到结果.
【详解】由得：，
令，
为上的增函数，为上的减函数，为上的增函数，
，
，，，则A正确，B错误；
与的大小不确定，故CD无法确定.
故选：A.
【点睛】本题考查对数式的大小的判断问题，解题关键是能够通过构造函数的方式，利用函数的单调性得到的大小关系，考查了转化与化归的数学思想.
12．B
【分析】设，利用作差法结合的单调性即可得到答案.
【详解】设，则为增函数，因为
所以，
所以，所以.
，
当时，，此时，有
当时，，此时，有，所以C、D错误.
故选：B.
【点晴】本题主要考查函数与方程的综合应用，涉及到构造函数，利用函数的单调性比较大小，是一道中档题.
13．C
【分析】将函数的零点转化成方程的根，构造函数，再通过同构，构造函数，利用单调性求出的值域，进而得出的值域，从而求出结果.
【详解】因为，由，得到，所以，
令，令，则在区间上恒成立，
即函数在区间上单调递增，又时，，时，，即，
所以，所以，当时，，当时，，
即在区间上单调递减，在区间上单调递增，所以，且当时，，当时，，
又因函数有两个不同的零点，所以，即.
故选：.C
14．B
【分析】设，利用同构得到，结合的单调性得到，构造，求导得到其单调性和最值，得到最大值为，故，求出答案.
【详解】由题意得，当时，，
即，，
令，则，
因为恒成立，故在R上单调递增，
故，
即，
令，则，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
故在处取得极大值，也是最大值，最大值为，
故，解得.
故选：B
【点睛】导函数求解参数取值范围，当函数中同时出现与，通常使用同构来进行求解，本题难点是将变形得到，从而构造进行求解.
15．A
【分析】根据题给不等式构造函数，再根据函数的性质求解参数的最值.
【详解】根据题意，，题中不等式两边同乘得，，
令，则不等式可化为
又在上为单调增函数，
，即
令，则由导函数可知，在上单调递减，在上单调递增
所以
所以，即的最大值为.
故选：.
16．A
【分析】，则，，即，等价于，等价于，构造函数，再根据函数的单调性进而可得出答案.
【详解】
，
则，即，
即，即，
则，
等价于，
令，
因为都是增函数，
所以函数是增函数，
则，即为，
所以，
所以，
令，则，
当时，，当时，，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
所以，
所以，所以，
所以的取值范围是.
故选：A.
【点睛】方法点睛：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：
（1）通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；
（2）利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．
（3）根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．
17．A
【分析】先得到，再由的单调性得，进而得到，由导数求出的最大值，即可求解.
【详解】，，易得在上，则在上单调递增，
又，所以即，，所以，则，令，则，
当时，，单调递增，当时，，单调递减，则，即时，取得最大值．
故选：A
18．C
【分析】利用同构得到，当时，满足要求，当时，令，则在上恒成立，求导后得到函数单调性，从而得到，构造，求导得到单调性，进而得到，得到答案.
【详解】由可得，即，
当时，，不等式在上显然成立；
当时，令，则在上恒成立，
由，在上，所以在上单调递增，
又时，，，所以只需在上恒成立，
即恒成立．
令，则，即在上单调递增，
其中，
故，
所以此时有．
综上，．
故选：C．
【点睛】导函数求解参数取值范围，当函数中同时出现与，通常使用同构来进行求解，本题难点是不等式变形为，从而构造进行求解.
19．D
【分析】解法一，利用利用导数求得的最小值，由此列不等式来求得的取值范围.解法二，利用分离常数法，结合导数求得的取值范围.解法三、四，利用切线放缩来求得的取值范围.
【详解】解法1：要使在上恒成立，只需即可．
，又，易知：在上递增．
因为当趋向于0时，趋向负无穷，当趋向正无穷时，趋向正无穷，
所以，在上存在唯一的零点，满足，
所以，且在上单调递减，在上单调递增，
于是．
由得：，必有，，
两边同时取自然对数，则有，即．
构造函数，则，
所以函数在上单调递增，又，
所以，即，故，
于是实数m的取值范围是．
解法2：要使在上恒成立，等价于在上恒成立．
令，则只需即可．
，令，则，
所以在上单调递增，又，，
所以有唯一的零点，且，在上单调递减，在上单调递增．
因为，两边同时取自然对数，则有，即．
构造函数，则，
所以函数在上单调递增，又，即，即．
即．
于是实数m的取值范围是
解法3：（切线放缩，避开零点）要使在上恒成立，等价于在上恒成立．
先证明，令，则，
于是，当时，，单调递减；
当时，，单调递增，所以，故（当且仅当时取等号），
所以，当时，有，所以，
即，当且仅当时取等号，于是实数m的取值范围是．
解法4：（切线放缩，避开零点）
先证明，令，
所以在区间上单调递减；在区间上单调递增，
所以，所以.
∵
∴，当时，等号成立；
而在上单调递增，且，
所以存在，使得成立.
【点睛】方法点睛：利用导数研究不等式恒成立问题，解决方法有很多，可以考虑直接法，也可以考虑分离参数法，还可以考虑利用放缩法来进行求解.在利用导数研究函数的单调性、最值的过程中，如果一次求导无法求得，可以考虑多次求导来进行求解.
20．C
【分析】由，得，结合函数的单调性可得，进而可得，构造函数，应用导数求其最值即可.
【详解】由，得，
所以，则，A错误；
则，
两边同时取对数可得：，
又函数在单调递增，，即，故B错误；
所以，故，
设，则，
由，可得，故在单调递增，
由，可得，故在单调递减，
故，因此的最大值为，故C正确，D错误.
故选：C
【点睛】关键点睛：解题的关键是将转化为，结合的单调性求解，需构造函数，结合导数分析即可.
21．B
【分析】变形得到，当时，利用放缩得到证明，当时，利用隐零点可证明出不合要求，得到答案.
【详解】，
当时，，
令，则，
当时，，当时，，
故在上单调递减，在上单调递增，
故，
故恒成立，不等式成立，
当时，令，，
当时，，当时，，
故在上单调递减，在上单调递增，
且，，
由零点存在性定理得，存在，使得，即，
此时，
故不合题意，舍去，
综上，，实数a的取值范围为.
故选：B
【点睛】方法点睛：对于求不等式成立时的参数范围问题，一般有三个方法，一是分离参数法, 使不等式一端是含有参数的式子，另一端是一个区间上具体的函数，通过对具体函数的研究确定含参式子满足的条件.二是讨论分析法，根据参数取值情况分类讨论，三是数形结合法，将不等式转化为两个函数，通过两个函数图像确定条件.
22．C
【分析】先利用同构变形得到，构造函数，，
结合其单调性和求解的是a的最小值，考虑两种情况，进行求解，最终求得实数a的最小值.
【详解】因为，
所以，
即，
构造函数，
所以
，
令，解得：，令，解得：，
故在上单调递减，在上单调递增，
当时，与1的大小不定，但当实数a最小时，只需考虑其为负数的情况，此时
因为当时，单调递减，
故，
两边取对数得：
，
令，则，
令得：，令得：，
所以在单调递增，在单调递减，
所以
故a的最小值是．
故选：C
【点睛】同构法针对与不等式或者等式中同时出现指数函数与对数函数时，要将两边变形得到结构相同，再构造函数进行求解.
23．AC
【分析】对于AB：代入，求导，求单调性即可判断；对于C：设，将不等式转化为成立，求导，研究其单调性，极值来判断；对于D：求导，分，，讨论研究零点个数.
【详解】对于AB：当时，，
令，即，所以，即，
结合函数图象可知，存在，使得，

令，则，得，
所以当时，，函数单调递减，
当时，，函数单调递增，故A项正确，B项错误．
若，即，则．
设，则．
设，可知，则，．
若，则，为减函数，注意到，可知当时，，不合题意．
若，则，
当时，，为减函数，当时，，为增函数，
所以．设，，
则，．
当时，，为减函数，当时，，为增函数，
则，所以只有当时，才能成立．
综上所述，，故C项正确．
由C项可知，，，则，所以为增函数．
当时，，
当t无限趋近于0时，无限趋近于，且，
即此时有两个零点，因为为增函数，且，
所以此时有两个零点．
同理可得，当时，有两个零点．
当时，，此时有一个零点1，所以有一个零点．
当时，为减函数，，此时有一个零点1，即只有一个零点．
综上，函数最多有两个零点，故D项错误．
故选：AC.
【点睛】关键点点睛：本题D选项的关键是利用导数研究函数的性质，
24．AB
【分析】根据题意分和两种情况讨论， 当时，有，通过求导，判断函数的单调性，确定函数的最值得出结论验证；当时，令，求导判断出函数存在零点设为，即可判断，最后综合得出的取值范围.
【详解】依题意，在上恒成立，当时，，
令，则，，
故当时，，当时，，
故，故，则不等式成立；
当时，令，因为，
，故在内必有零点，设为，则，
则，故，不合题意，舍去；
综上所述，.
故选：AB.
【点睛】恒成立问题求参数注意分类讨论；
适当的构造函数通过函数的最值分析参数的取值.
25．AB
【分析】求出函数的导数，求出a值，再探讨单调性判断A；变形给定不等式，利用同构思想等价转化，分离参数再构造函数，利用导数求出最大值判断B；利用选项B中构造的函数，探讨函数的值域，进而求出a值或范围判断CD作答.
【详解】函数的定义域为，
对于A，，因为在处取得极值，则，解得，
，因为函数在上都单调递增，则在上单调递增，
当时，，当时，，因此是函数的极小值点，且在上单调递增，A正确；
对于B，，
成立，令，显然函数在R上都是增函数，
于是在R上单调递增，即有，成立，
因此，成立，
令，求导得，
当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，
则当时，，从而，解得，
所以当恒成立时，，B正确；
对于C，函数仅有两个零点，等价于方程有两个不等根，
由选项B知，方程有两个不等根，
由选项B知，函数的图象与直线有两个公共点，
而函数在上单调递增，在上单调递减，，
而当时，函数的取值集合是，函数的取值集合是，
因此函数在的取值集合是，
当时，令，，即函数在上单调递减，
，即当时，，因此，
而函数在上单调递减，其取值集合是，无最小值，
因此函数在上的取值集合是，
从而函数在的值域是，在上的值域是，
于是要有两个不等根，当且仅当，解得，C错误；
对于D，函数仅有1个零点，由选项C知，当且仅当，解得，D错误.
故选：AB
【点睛】思路点睛：不等式恒成立或存在型问题，可构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题.
26．ABD
【分析】对于A，根据直接计算求解即可；
对于B，根据反函数相关知识转化为恒成立，进而得到，转化为函数最值问题求解即可；
对于C，通过同构转化为与有两个公共点，结合函数图象求解即可；
对于D，通过转化为函数与有公共点，且不在极值处取得进行求解即可.
【详解】对于A，，则，则，则，故正确.
对于B，若，则，
由于互为反函数，它们图象关于对称，
所以只须保证恒成立即可，又因为，
所以，故，
设，则，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减
所以，所以，故，故B正确.
对于C， 若，则与有且只有一个公共点，
此时有奇数个零点，不符合题意，
若，若有两个零点，则有两不等根，
即，即有两个不等根，
设，则，
由于，且在时满足且单调递增，
则等价于与有两个公共点，
即有两实数根，故有两实数根，
即与有两个公共点，
因为当时，，当时，且，
且，作图象如下：

故，则，故C错误．
对于D，若有极值点，等价于有变号零点．
即有实根，
即函数与有公共点，且不在极值处取得，
因为
若，则在单调递增，
显然，值域为，与有交点；
若，则令，
当，单调递增，
当，单调递减，
．
，，，
则，因为，所以，
则，故或，故D正确．
故选：ABD
【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解
27．BCD
【分析】化简方程，令，得，构造，则，利用函数的单调性，结合函数的图象，要使关于x的方程三个不相等的实数解，且，结合图象可得关于的方程一定有两个实根， ，结合韦达定理，推出所求表达式的关系式，然后对选项一一判断即可得出答案．
【详解】由方程，可得．
令，则有，即．
令函数，则，
令，解得，令，解得，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，作出图象如图所示，
要使关于的方程有三个不相等的实数解，且，
结合图象可得关于的方程一定有两个实根，，
且，或，，
令，若，，
则故．
若，，则，无解，
综上：，故C正确；
由图结合单调性可知，故B正确；
若，则，又，故A不正确；，
故D正确，
故选：BCD．
【点睛】关键点点睛：构造，判断出函数的单调性，结合图象将，转化成关于t的函数即可求解.
28．
【分析】将不等式等价变形为，构造函数，进而问题转化成，构造，利用导数求解单调性进而得最值.
【详解】，构造函数，，故在上单调递增，故等价于，即任意的实数恒成立．
令，则，故在上单调递减，在上单调递增，，得．
故答案为：
【点睛】对于利用导数研究函数的综合问题的求解策略：
1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；
2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．
3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别
29．
【分析】利用同构法，构造函数，将问题转化为，从而得到恒成立问题，再构造，利用导数求得其最小值，由此得解.
【详解】因为，
，
令，则原式等价于，
恒成立，所以在定义域内单调递增，
所以，
令，
则时，，在单调递增，
时，，在单调递减，
所以，则又a为正数，
故答案为：.
【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：
一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；
二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极（最）值问题处理．
30．
【分析】根据恒成立，可得到含有的不等式，再进行分离变量，将“恒成立”转化为求函数的最大值或最小值，最后得出的范围.
【详解】已知函数，若恒成立，则实数的取值范围为
令，，所以单调递增，
因为，所以，
可得，所以，所以恒成立，
即求，令，，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
所以，可得.
故答案为：.
【点睛】对于“恒成立问题”，关键点为：对于任意的，使得恒成立，可得出；对于任意的，使得恒成立，可得出.
31．
【分析】法一：依题可知，方程的两个根为，即函数与函数的图象有两个不同的交点，构造函数，利用指数函数的图象和图象变换得到的图象，利用导数的几何意义求得过原点的切线的斜率，根据几何意义可得出答案.
【详解】[方法一]：【最优解】转化法，零点的问题转为函数图象的交点
因为，所以方程的两个根为，
即方程的两个根为，
即函数与函数的图象有两个不同的交点，
因为分别是函数的极小值点和极大值点，
所以函数在和上递减，在上递增，
所以当时，，即图象在上方
当时，，即图象在下方
，图象显然不符合题意，所以．
令，则，
设过原点且与函数的图象相切的直线的切点为，
则切线的斜率为，故切线方程为，
则有，解得，则切线的斜率为，
因为函数与函数的图象有两个不同的交点，
所以，解得，又，所以，
综上所述，的取值范围为．
[方法二]：【通性通法】构造新函数，二次求导
=0的两个根为
因为分别是函数的极小值点和极大值点，
所以函数在和上递减，在上递增，
设函数，则，
若，则在上单调递增，此时若，
则在上单调递减，在上单调递增，此时若有和分别是函数
且的极小值点和极大值点，则，不符合题意；
若，则在上单调递减，此时若，则在上单调递增，在上单调递减，令，则，此时若有和分别是函数且的极小值点和极大值点，且，则需满足，，即故，所以.
【整体点评】法一：利用函数的零点与两函数图象交点的关系，由数形结合解出，突出“小题小做”，是该题的最优解；
法二：通过构造新函数，多次求导判断单调性，根据极值点的大小关系得出不等式，解出即可，该法属于通性通法．
32．
【分析】当时，符合题意；当，构造函数，可得，再构造，利用，可得答案.
【详解】当时，若，则，恒成立，符合题意；
当，，所以，
构造函数，，时，，
所以在上单调递增，
因为，所以，则时，，
所以，
，令，
所以在上递增，上递减，
所以，
所以，又，所以，
综上可得，
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：解答本题的关键有两点：（1）分类讨论思想的应用；（2）两次构造函数，利用导数研究函数的单调性、最值，并加以应用.
33．
【分析】将已知不等式变形为，构造函数，利用导数分析函数的单调性，考虑为负数的情形，可得出，分参后可得，利用导数求出在上的最大值，即可得出实数的最小值.
【详解】由可得，即，
构造函数，其中，则.
当时，，此时函数单调递减，
当时，，此时函数单调递增，
因为，则，则，
要求实数的最小值，考虑，则，
由可得，
因为函数在上单调递减，则，
不等式两边取自然对数可得，
因为，则，可得，
令，其中，则，
当时，，此时函数单调递增，
当时，，此时函数单调递减，
所以，函数在上的最大值为，所以，.
因此，实数的最小值为.
故答案为：.
【点睛】结论点睛：利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解：
（1），；
（2），；
（3），；
（4），.
34．
【分析】不等式可化为，令，可得恒成立，其中，构造函数，，利用导数求其最大值可得的取值范围.
【详解】由已知不等式，可化为，
两边同时除以得．
令，则，
当时，，函数在上单调递减，
当时，，函数在上单调递增，
所以当时，函数取最小值，最小值为，
当时，，当时，，
所以的范围是，即．
所以不等式可化为，其中，
所以在上恒成立，
构造函数，，
则，令，可得，
当时，，函数在上单调递增，
当时，，函数在上单调递减，
所以时，取最大值，最大值为，
所以，
所以的取值范围为.
故答案为：.
【点睛】对于恒成立问题，常用到以下两个结论：
（1）恒成立⇔；
（2）恒成立⇔.
35．
【分析】将问题转化为对一切恒成立，令，求导，研究单调性，求出其最值即可得结果.
【详解】原命题等价于对一切恒成立，
等价于对一切恒成立，
令，可知，
且
令，，则
可知在上单调递增，且，，
所以，使，即①
当时，，当时，，
即在内单调递减，在内单调递增，
可知，
由①知，可得
且函数在单调递增，
由可得
所以，可得，
所以实数的取值范围为.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：在解决有关指数、对数不等式时，要注意两个母不等式：（当且仅当时，等号成立），（当且仅当时，等号成立）的灵活应用．
36．
【分析】先利用对数恒等式的等价转化，使得变成的形式，结合的性质，讨论，的关系.
【详解】令，则，利用对数恒等式，原式等价变为：，
下令，于是，由可知在上递减，
上递增，在取到极小值，，且，，
可作出大致图像如下：
结合图像，可能有如下情形：
由的单调性可知，若均在中的一种时，则有.
记，，即在上递增，由，则，故，使得；
显然在上递增，由，故时，，故时，；
又，故，使得，故时；
不可能均满足，事实上，由，得到，这与矛盾.
于是时，由可以推出：.
设，，由在上单调递增，故在上单调递增，又，，即，故，使得，且时，，递减，时，，递增，故，由，可得，由，根据基本不等式，（等号取不到），故，又，，故存在，使得；
，显然，故，即；
，显然，故，即.
由，故，使得.
注意到，故.
综上讨论，当时原方程有两个根：，；
虽说，，根据上述讨论，在上无实根.即时，有两个零点：，.
当时，，而时，，，而在处无定义，不可能有，即时，无零点；
当时，注意到且时，，又，故时，存在零点，即，使得，若，且，不妨设，由于均在上单调递增，故，，在上递减，在递增，故，于是是唯一实根.
综上所述，原函数有，，三个零点，.
故答案为：
【点睛】本题难点在于利用对数恒等式将方程等价转化，用同构的观点把方程构造出具有的形式，然后利用的性质解题.
37．
【分析】将不等式同构为：，即，构造函数分析单调性，只需比较与的大小即可.
【详解】不等式，由于，两边同乘，
可得：，即，
构造函数，其导函数为，
所以函数在上单调递增，由，得，
因此，即，则恒成立，令函数，求导得，
当时，，单调递减；当时，，单调递增，，
因此，则，所以正数的取值范围为.
故答案是：
38．
【分析】将题设条件转化为，从而构造函数，得到在上单调递减，进而利用导数即可得解.
【详解】因为，，
两边取对数，得，
则，
令，则在上单调递减，
所以在上恒成立，
而，即在上恒成立，即在上恒成立，
所以.
故答案为：.
【点睛】关键点睛：本题解决的关键是对题设条件进行变形，从而利用函数单调性的定义判断得单调递减，进而利用导数即可得解.
39．
【分析】根据已知条件构造函数，将原问题转化为在上的单调性求解即可.
【详解】因为，
所以，
即，
令，所以，
令，所以，
所以当时，，
所以函数在上单调递增，
所以，即，
又，所以在上单调递增，
即在上恒成立，
即在上恒成立，
所以有，
故答案为：.
【点睛】方法点睛：
对于导数求参数取值范围问题，一般情况有以下几步：
① 分离参数
② 构造新函数
③对函数求导，分析单调性
④通过函数单调性分析即可解决问题
特别难的时候往往还需要进行二次求导进行分析.
40．
【分析】由不等式变形为，通过换元根据不等式恒成立得出和之间的关系，从而把表示为关于的函数，通过构造函数，考查函数单调性即可求得.
【详解】,
即，令
则有，
设，则，
令得
当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以又
所以，当且仅当时，等号成立.
所以可得，
设
则令得
所以当时，单调递减，
当时，单调递增，
所以
故的最小值为
故答案为：
【点睛】函数的单调性是函数的重要性质之一，它的应用贯穿于整个高中数学的教学之中.某些数学问题从表面上看似乎与函数的单调性无关，但如果我们能挖掘其内在联系，抓住其本质，那么运用函数的单调性解题，能起到化难为易、化繁为简的作用.因此对函数的单调性进行全面、准确的认识，并掌握好使用的技巧和方法，这是非常必要的.根据题目的特点，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.
41．
【分析】由，得，利用导数证明，则问题转化为恒成立，即可得解.
【详解】令，则，
当时，，当时，，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
所以，所以，
由，得，
而，
令，
则，所以，
若，
如图作出函数的图象，

由函数图象可知，方程有唯一实数根，
即，
由，得，
即，
当时，，即，
又，，所以，
所以不成立，
即当时，不恒成立，
综上所述，的最小值为.
故答案为：.
【点睛】方法点睛：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：
（1）通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；
（2）利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．
（3）根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．
42．
【分析】对分别求导，求出求出函数单调区间，画出大致图象，结合共同值域可求的取值范围；对变形得，即得，即，可等价处理为，令，构造，结合可求，进而得解.
【详解】，，当时，，单减；当时，单增；当时，，当时，，当时，，，画出大致图象，如图：
，故当时，，单减，当时，，单增，当时，，当时，，当时，，故将画出，如图所示：
由图可知，若，则；
若，，，因为，所以，即，即，
，令，因为，所以，构造，
，当时，，单增，当时，，单减，故，故的最大值是.
故答案为：；
43．．
【分析】变形为有两个实根，变形得到，设，则，求导得到单调性，进而求出，只需使有两个根，设，求导得到在处取得极大值，，结合函数的走势，得到，求出a的取值范围.
【详解】要使函数有两个零点，即有两个实根，
即有两个实根．
即．整理为，
设函数，则上式为，
因为恒成立，所以单调递增，所以．
所以只需使有两个根，设．
易知，函数的单调递增区间为，单调递减区间为，
故函数在处取得极大值，．
当时，；当时，，
要想有两个根，只需，解得：．
所以a的取值范围是．
故答案为：
44．
【分析】不等式变形为，令，，求导得到其单调性，结合特殊函数值，得到若，则或，即或，再对求导，得到其单调性和最值，得到，求出答案.
【详解】不等式对恒成立，
等价于，即，
所以,
设，其中，
则，令得，
所以当时，，单调递减，当时，，单调递增，
所以，又，，
所以存在使得，
所以若，则或，即或，
，，
所以在上，，单调递增，
在上，，单调递减，
所以，所以只有才能满足要求，
即，又，解得，
所以实数a的取值范围为．
故答案为：
【点睛】思路点睛：隐零点的处理思路：
第一步：用零点存在性定理判定导函数零点的存在性，其中难点是通过合理赋值，敏锐捕捉零点存在的区间，有时还需结合函数单调性明确零点的个数；
第二步：虚设零点并确定取范围，抓住零点方程实施代换，如指数与对数互换，超越函数与简单函数的替换，利用同构思想等解决，需要注意的是，代换可能不止一次.
45．3
【分析】解法一：求函数的导函数，再利用导数研究的零点及零点两侧函数值的正负，由此确定函数的单调性，再求其最值可得.
解法二：利用切线放缩可得
【详解】解法一：，
令，
则，
当时，，
所以在上单调递增,，
设，
因为在上单调递增，
因为，
存在，使，
且，
故当时，，即，所以在区间单调递减，
当时，，即，所以在区间单调增，
所以．
解法二（最优解）：设，则，
所以当时，，单调递减；当时，，单调递增；所以，即，当且仅当时，等号成立；
所以，
当且仅当时等号成立，
设，可得单调递增，又，
所以有解，所以.
故答案为：.
【点睛】方法点睛：解法一：导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系． (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题． (4)考查数形结合思想的应用．
解法二：常见的切线放缩有.
46．/
【分析】根据题意整理得，令，可知，构建，利用导数分析可得，进一步整理得对任意的恒成立，构建，利用导数求其最值结合恒成立问题分析求解.
【详解】因为，则，整理得，
令，可得，即，
令，则，
令，解得；令，解得；
则在上单调递减，在上单调递增，
则，且，
可知有且仅有两个零点，
若，则或，
对于可知，当x趋近于时，趋近于0，故不合题意；
所以，即，整理得对任意的恒成立，
令，则，
且，令，解得；令，解得；
则在上单调递增，在上单调递减，
可得，结合解得，
所以实数m的最大值为.
故答案为：.
【点睛】关键点睛：第一步同构将原式整理得，把看成整体处理求其取值范围；
第二步根据题意分析可得，整理得对任意的恒成立，结合恒成立问题分析求解.
47． 0或
【分析】当时，的最小值为0，当时，利用导数可求出最小值，由于，所以将问题转化为在上无解， 构造函数，利用导数求出其最大值，从而可求出的取值范围.
【详解】若，则，则的最小值为0，
若，则由，则，
当时，，当时，，
所以在上递减，在上递增，
所以的最小值为，
综上，的最小值为0或，
，
因为与无交点，
所以在上无解，
由，得（），
令，则，
当时，，当时，，
所以在上递增，在上递减，
所以的最大值为，
所以当时，直线与的图象无交点，
即当时，方程在上无解，
所以的取值范围为，
故答案为：0或，
【点睛】关键点睛：此题解题的关键是变形得，与的形式相同，然后将问题转化为在上无解，再通过构造函数，利用导数求函数的最值即可得解.
48．/
【分析】先变形同构，令，利用导数讨论单调性，由单调性可得，然后可得，令，利用导数求最值即可.
【详解】由得，所以，则，
因为，，，所以，
令，则，
所以在上单调递增，
所以由，即，得，
所以，所以．
令，所以，
当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以．
故答案为：
【点睛】难点点睛：本题难点主要有二：一是根据已知进行同构函数，二是利用单调性得到，进而可得，利用导数即可求解.
49．
【分析】在恒成立等价于对任意恒成立，就和结合的单调性分类讨论可得对任意恒成立，参变分离后再次利用导数可求的取值范围.
【详解】在恒成立等价于，
所以，即对任意恒成立，
设，则
所以，当时，，函数单调递增，
且当时，，当时，，
若，则，
若，因为，且在上单调递增，所以，
综上可知，对任意恒成立，即对任意恒成立.
设，，则，所以在单调递增，
所以，即a的取值范围为．
故答案为：
【点睛】思路点睛：本题考查函数的单调性以及含参数的不等式的恒成立，前者利用导数的符号来讨论，后者需等价变形把原不等式转化简单不等式的恒成立，再根据不等式的结构特征构建新函数来讨论.
50．
【分析】由题意可得，可令，则成立，通过取对数和构造函数法，求得导数，单调性和最值，即可得到的最大值．
【详解】法一：（同构法）
令，不等式化为，
令，
由，在上单调递增，
∴有解，
由，导数为，
可得时，函数递减，时，函数递增，
则时，取得最大值，
，
∴，即．
法二：
令，化为不等式有解，
∵与互为反函数，关于对称，
要使有解，则与有公共点，即有解，，
，
由，导数为，
可得时，函数递减，时，函数递增，
则时，取得最大值，
可得即有，
∴，
∴，解得，．
故答案为：.
51．
【分析】将不等式等价变形成在上恒成立，构造函数，利用放缩可得，化简后可得，即可求出实数的取值范围.
【详解】根据题意可知，由可得，两边同时取对数可得，
即在上恒成立，
令，则只需即可；
又，
因为，当且仅当时等号成立，
利用可得，当且仅当时等号成立，
所以，当有解时等号成立；
令，则，即在上单调递增，
由可得使得，
所以可得，
即，所以实数的取值范围为.
故答案为：
【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用分离参数和放缩法，借助导数研究函数单调性和最值，从而解决恒成立问题求解参数范围.
52．
【分析】变形为，构造，求导得到单调性进而恒成立，故，分当和两种情况，结合单调性和最值，得到，得到答案.
【详解】由题意得，
因为，所以，
即，
令，则恒成立，
因为，
令得，，单调递增，
令得，，单调递减，
且当时，恒成立，当时，恒成立，
因为，所以恒成立，故，
当时，，此时满足恒成立，
当，即时，由于在上单调递增，
由得，
令，，
则，当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
故在处取得极大值，也是最大值，，
故，即，所以，a的取值范围是.
故答案为：
【点睛】导函数求解参数取值范围，当函数中同时出现指数函数与对数函数，通常使用同构来进行求解，本题难点是两边同时乘以，变形得到，从而构造进行求解.
53．①②④
【分析】对于①，计算出；对于②，二次求导，得到导函数的单调性结合时，，时，，只需，求出答案；对于③，变形得到，构造和，结合其单调性，得到，③错误；对于④，先得到，当时，令，参变分离，得到，构造函数，求导得到其单调性，并得到其奇偶性，从而判断出时，的零点个数和零点之和.
【详解】对于①，，①正确；
对于②，定义域为R，
，令，则，
令得，，令得，，
故在上单调递减，在上单调递增，
则在处取得极小值，也是最小值，
又时，，时，，
要想在定义域内单调，故只能单调递增，故只需恒成立，
其中，令，解得，
若在定义域内单调，则，②正确；
对于③，若，则，
令，
令，，
则恒成立，故在上单调递增，
当时，，当时，，
故值域为R，
令，则，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
故在上单调递减，在上单调递增，
故在处取得极小值，也是最小值，
，则恒成立，③错误；
对于④，由①得，
当时，令，得，即，
令，，，
令得，，令得，，
故在上单调递减，在上单调递增，
故时，由①可知，不单调，故除0外，还有两个零点，
又，故为偶函数，
故除0外，另外两个零点和为0，
综上，的所有零点之和为0，④正确.
故答案为：①②④
【点睛】函数零点问题：将函数零点问题或方程解的问题转化为两函数的图象交点问题，将代数问题几何化，借助图象分析，大大简化了思维难度，首先要熟悉常见的函数图象，包括指数函数，对数函数，幂函数，三角函数等，还要熟练掌握函数图象的变换，包括平移，伸缩，对称和翻折等，涉及零点之和问题，通常考虑图象的对称性进行解决.