高中数学压轴题小题专项训练专题16三角函数的范围（最值）问题含解析答案

这是一份高中数学压轴题小题专项训练专题16三角函数的范围（最值）问题含解析答案，共22页。试卷主要包含了单选题，填空题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知三个锐角满足，则的最大值是（ ）
A．B．
C．D．
2．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a=5sin（B），c=5且O为△ABC的外心，G为△ABC的重心，则OG的最小值为
A．1B．C．1D．
3．已知正方形的边长为2，点P在以A为圆心，1为半径的圆上，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
4．已知函数，其导函数为且，在区间上恰有4个不同的实数，使得对任意都满足，且对任意角在区间上均不是单调函数，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
5．函数的值域为
A．B．C．D．
6．函数的最大值为（ ）
A．B．C．D．
7．函数的值域是（ ）
A．B．C．D．
8．函数的最大值为（ ）
A．2B．C．0D．
9．若，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
10．定义运算则函数的值域为（ ）
A．B．C．D．
11．关于的不等式在区间上恒成立，的最大值为，则实数的取值范围（ ）
A．B．C．D．
12．把函数的图象向右平移个单位长度，可以得到函数的图象，则在上的最小值为（ ）
A．B．C．D．
13．已知函数，若在上单调递增，则的范围是（ ）
A．B．C．D．
14．若函数在区间上的值域分别为，则下列命题错误的是（ ）
A．若，则的最小值为
B．若，则的最小值为
C．若，则的取值范围为
D．若，则的取值范围为
二、填空题
15．函数在区间上的值域为 .
16． 的周长为18，若，则的内切圆半径的最大值为
17．函数的值域是 ．
18．已知函数及其导函数的图象如下图所示，若函数在上恰有3个不同的零点，，，则的取值范围是 ．
19．已知，若，则的最大值为 ．
20．已知函数的图象关于点对称，若，则的最小值为 ．
21．设是一个三角形的三个内角，则的最小值为 .
22．已知是函数的两个零点，且，若将函数的图象向左平移个单位后得到的图象关于轴对称，且函数在内恰有2个最值点，则实数的取值范围为 ．
23．已知，均为锐角，且满足，则的最大值为 .
参考答案：
1．D
【分析】先根据题意分别求出，再根据平方关系求出的关系，再利用基本不等式即可得解.
【详解】因为三个锐角满足，
所以，
则，
所以，
整理得，
又，
于是解得，
当且仅当时取等号，
所以的最大值为.
故选：D.
【点睛】关键点点睛：根据求出，再根据平方关系求出的关系是解决本题的关键.
2．D
【分析】首先根据条件解△ABC可得：C和△ABC外接圆的半径R，由此建立直角坐标系，可得：.A（，0），B（，0），外心O为（0，），重心G.从而求得|OG|2sinθ，即可得解.
【详解】A=5sin（B），c=5，
∴acsin（B），
由正弦定理可得：sinAsinC （sinB+csB），
∴sin（B+C）=sinBcsC+csBsinC=sinCsinB+sinCcsB，
化为：sinBcsC=sinCsinB，sinB0，
∴csC=sinC，即tanC=1，C∈（0，π）.
∴C.
∴△ABC外接圆的半径R .
如图所示，建立直角坐标系.A（，0），B（，0），O（0，）.
△ABC外接圆的方程为：x2.
设C（csθ，sinθ）.θ∈（0，π）
则G.
|OG|2sinθ，
∴|OG|的最小值为：.
故选：D.
【点睛】本题考查了解三角形，考查了外心和重心的概念，考查了较强的计算能力，解决该类问题常用如下方法：
（1）根据条件，利用正、余弦定理直接解三角形；
（2）利用向量，结合向量的数量积进行求解；
（3）建立直角坐标系，利用坐标进行求解.
3．D
【分析】不妨设，，根据两点间距离公式结合正弦函数的最值分析求解.
【详解】不妨设，
因为，设，
则
，
因为，则，
可知当，即时，取得最小值，
所以的最小值为.
故选：D.
【点睛】结论点睛：以为圆心，半径为的圆上的任一点可设为
4．B
【分析】根据导数满足的条件可得的解析式，根据对称性及正弦函数的零点、单调性可得的取值范围.
【详解】因为，故，
故，而，故，
故，故.
由可得的图象关于点对称，
，即，其中.
当时，，
因函数在上的前5个零点依次为，
可得，解得，
又在上不是单调函数，，解得，
综上.
故选：B.
【点睛】方法点睛：正弦型函数的零点问题，应该利用整体法先求出整体的范围，再结合正弦函数的性质可得整体的性质.
5．D
【分析】先利用同角三角函数的基本关系式化简函数解析式，利用配方法，结合二次函数的性质以及的取值范围，求得函数的值域.
【详解】.
由的定义域：，故，故函数的值域是.故选D.
【点睛】本小题主要考查同角三角函数的基本关系式，考查二次函数的性质，考查正切型函数的定义域的求法，属于中档题.
6．D
【分析】利用导数可求最大值，也可以利用万能公式统一三角函数名，再利用换元法结合四元基本不等式求解即可.
【详解】法一：不妨设，则，
整理得到: ,
当时，；当时，，
故在上为增函数，在为减函数，
而，，故的最大值为.
法二：由万能公式得，，
代入原式并化简得，
令，因为题设中欲求最大值，故可设,
故原式转化为，
当且仅当时取等，显然最大值为.
故选：D
【点睛】关键点点睛：本题考查求三角函数的最大值，解题关键是利用万能公式统一三角函数名，然后再用四元基本不等式求解，本题也可以直接利用导数计算.
7．B
【分析】首先化解函数，再利用换元，结合导数判断函数的单调性，求函数的值域.
【详解】
．
设，
则，从而，
由，得；由，得或；
则在和上单调递减，在上单调递增．
因为，所以，
即的值域为．
故选：B
【点睛】关键点点睛：本题的关键是化解函数的解析式，从而可以利用换元，转化为三次函数求函数的值域问题.
8．A
【分析】先利用二倍角的正弦公式和两角和的余弦公式化简，再令，利用换元法求解即可.
【详解】，
令，则，
故，
则，
所以当时，，
所以函数的最大值为.
故选：A.
9．D
【分析】依题意可得，利用乘“1”法及基本不等式计算可得.
【详解】因为，，则，，
所以
，
当且仅当，即时取等号，
所以的最小值为.
故选：D
10．B
【分析】依据定义写出的解析式，再由周期性转化为研究一个周期上的值域，先分段求出每段上函数的值域，再求并集即可.
【详解】由题：，
因为都是以为周期的函数，所以也是以为周期的函数，
取研究：
当时，；
当时，；
所以函数的值域为.
故选：B.
11．D
【分析】根据题中条件，得到，求出，根据特殊值验证，分别取，，，结合正弦函数的性质，即可得出结果.
【详解】由得，
即，则，
为使不等式有解，必有；
所以，即，
若，则，即，则，
又显然恒成立，所以，
解得，；
由题意可得，是的子集，此时的最大值为，不满足题意，故排除AB选项；
若，则，即，显然对任意恒成立，此时无最大值；故C错；
若，则，即，
因为显然恒成立，所以，
解得，；
由题意可得，是的子集，此时的最大值为，满足题意，故D正确；
故选：D.
【点睛】本题主要考查由三角不等式恒成立求参数的问题，考查正弦函数的性质，二倍角公式的应用等，属于常考题型.
12．B
【分析】法一：将函数化为“一角一函数”的形式，利用三角函数图象的平移变换法则得到的表达式，写出的表达式并将其化为“一角一函数”的形式，借助正切函数的图象与性质、两角和的正切公式等即可得解.
法二：由三角函数图象的平移可得的表达式，利用弦化切可得的表达式，根据x的范围，结合正切函数的性质以及两角差的正切公式，即可求得答案.
【详解】法一：由题意知，则，
则，
由，可得，而在上单调递增，
故在上的最小值为，
故在上的最小值为，
法二：由可得,
当时，；
当时，，
可得，则的最小值为，
故在上的最小值为，
故选：B
13．D
【分析】首先求得,则问题转化为在恒成立,
令可将问题转化为不等式在上恒成立.构造函数, ,只需满足,即可求得的范围.
【详解】,

若在上单调递增
则在恒成立,
令则,又故, ,所以问题转化为不等式在上恒成立，即不等式在上恒成立.令, ,则有,解得.
故选:.
【点睛】本题的求解过程自始至终贯穿着转化与化归的数学思想,求函数的导数是第一个转化过程,换元是第二个转化过程;构造二次函数是第三个转化过程,也就是说为达到求出参数的取值范围,求解过程中大手笔地进行三次等价的转化与化归,从而使得问题的求解化难为易、化陌生为熟悉、化繁为简,彰显了数学思想的威力,难度困难.
14．C
【分析】将整合为，再针对选项逐项分析即可.
【详解】由题知，图像在轴右侧的第一条对称轴为，
轴右侧的第二条对称轴为.
对于A，令，，
若，则，
取时，则，此时必有，
此时满足，A正确；
对于B，因为，若，则，
此时，因为，
故，故，矛盾，故，
当时，，，
故在上的值域为，在的值域为，
符合题意，故的最小值为，B正确；
对于C，当时，，此时，与条件不符，
当时，，故，
因为，故即.
所以当时，不成立.
当时，，不满足条件，C错误；
对于D，当时，，故，
因为，故即时，满足条件，
当时，，不满足条件，D正确.
故选：C.
15．
【分析】根据条件，利用和差角公式、二倍角公式及辅助角公式，得到，再根据条件及的性质，即可求出结果.
【详解】因为，
所以，
又，所以，令，
因为，所以，
故答案为：.
16．
【分析】利用三角恒等变换得到，，作出图形，设出边长，的内切圆半径为，得到等量关系，利用基本不等式求出答案.
【详解】由题意得，因为，
所以，
即，
即，故，
又，
分子分母同除以可得，
，
如下图，的内切圆圆心为，且圆与相切于点，与相切于点，
设的内切圆半径为，，
显然，，故，即，
，整理可得，，
将代入中得，，
因为，即，
所以，故，解得，，
则，当且仅当时，等号成立，
故的内切圆半径的最大值为.
故答案为：
【点睛】解三角形中最值或范围问题，通常涉及与边长，周长有关的范围问题，与面积有关的范围问题，或与角度有关的范围问题，
常用处理思路：①余弦定理结合基本不等式构造不等关系求出答案；
②采用正弦定理边化角，利用三角函数的范围求出最值或范围，如果三角形为锐角三角形，或其他的限制，通常采用这种方法；
③巧妙利用三角换元，实现边化角，进而转化为正弦或余弦函数求出最值.
17．
【分析】将化为，利用余弦函数的有界性，即，解不等式即可得答案.
【详解】由，可得，
当时等式不成立，∴，则有，
∵，∴，，或，
∴函数的值域是，
故答案为：
18．
【分析】根据三角函数的图象以及导数，依次求得，画出在区间的大致图象，结合对称性求得的取值范围.
【详解】因为在区间上，两个函数图象均为正值，所以原函数在区间上单调递增，
所以最大值为的函数图象为原函数图象，
∵，∴，
∴，，
由，得，，∵，得．
∴，作出在的大致图象，
如图，不妨设，
由图可知，而，∴．
故答案为：
【点睛】思路点睛：根据导数判断函数的单调区间，当时，函数单调递增，当时，函数单调递减，所以导函数图象需要关注的是函数值的符号.根据图象求三角函数的解析式，可以根据最大值或最小值求，根据特殊点求.
19．
【分析】，分别求与的最大值得的最大值.
【详解】将视为的函数，故，其中，，
所以当时的最大值为1，
设，当时，取得最大值，所以的最大值为.
故答案为：
【点睛】关键点点睛：此题求解关键是将视为的函数，使用辅助角公式转化，再分别求与的最大值.
20．19
【分析】根据辅助角公式和对称性得到函数的解析式，要使得取得最小，则让取最值，结合图象即可求解.
【详解】由的图象关于点对称可得，得，即，
所以，且，
所以的最大值为2b，最小值为－2b．
如图所示，作出的大致图象，令，，
则的对称轴方程为，，
则由可得，
当最小时，，，
且是在轴右侧连续的最值点，
故的最小值为．

【点睛】关键点点睛：本题解决的关键在于，分析出当最小时， 的取值情况，从而结合三角函数的性质即可得解.
21．
【分析】根据三角形内角和定理，两角和的正弦公式、辅助角公式、结合换元法得到，再运用导数的性质进行求解即可.
【详解】
，
令，
所以，
要想有最小值，显然为钝角，即，
于是有，
设，
因为，
所以
令，即，
当时，，函数单调递增，
当时，，函数单调递减，
因此当时，函数有最大值，
所以的最小值为，
此时，，
即存在，显然存在，使得，
即的最小值为，
故答案为：
【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用三角形内角和定理把三个变量变成二个变量问题，最后利用辅助角公式就成一个变量，利用导数的性质求最值.
22．
【分析】根据函数零点的最小距离可得，再利用平移规则和函数奇偶性可求得，根据函数在内恰有2个最值点可限定出，即可解得实数的取值范围.
【详解】由可得或；
根据正弦函数图象性质可知，解得；
将函数的图象向左平移个单位后可得为偶函数，
则，又可得；
因此；
当时，可知，
若函数在内恰有2个最值点，可知，
解得，
所以实数的取值范围为.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用正弦函数图象性质根据两零点的最小距离求得，再由平移后的函数为偶函数求得，得出函数的解析式后问题便迎刃而解.
23．/
【分析】根据已知等式利用两角差的正弦公式和同角三角函数的商数关系化简得，结合基本不等式可得，由正切函数的单调性可得的最大值.
【详解】由，均为锐角，，得，
即，化简得，
则，
所以，
由为锐角，，则有，
当且仅当，即时等号成立，
则，
由，函数在上单调递增，
所以的最大值为.
故答案为：