高中数学压轴题小题专项训练专题19解三角形综合问题含解析答案

这是一份高中数学压轴题小题专项训练专题19解三角形综合问题含解析答案，共28页。试卷主要包含了单选题，填空题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．在斜三角形中，角的对边分别为，点满足，且，则的面积为（ ）
A．B．C．D．
2．在非直角中，设角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，是角的内角平分线，且，则等于（ ）
A．B．C．D．
3．已知在中，，若（表示的面积）恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
4．在中，已知分别为角的对边．若，且，则（ ）
A．B．C．D．或
5．已知在中，角的对边分别为．若为的重心，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
6．在中，角的对边分别为，若，且恒成立，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
7．在锐角中，角的对边分别为的面积为，若，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
8．设锐角的内角所对的边分别为，若，则的取值范围为（ ）
A．(1，9]B．(3，9]
C．(5，9]D．(7，9]
9．在中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，，，，则线段CD长度的最小值为（ ）
A．2B．C．3D．
10．在中，，，点与点分别在直线的两侧，且，，则的长度的最大值是（ ）
A．B．C．3D．
11．在中，角所对的边分别为，，若表示的面积，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
12．在等腰中，为上一点，且，记的外心为，若，则（ ）
A．9B．12C．D．27
13．在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，S为的面积，且，则的取值范围为（ ）．
A．B．C．D．
14．内角，，的对边分别为，，．若，，点在边上，并且，为的外心，则之长为（ ）
A．B．C．D．
15．已知中，角A，B，C对应的边分别为a，b，c，D是AB上的四等分点（靠近点A）且，，则的最大值是（ ）
A．B．C．D．
16．费马点是指位于三角形内且到三角形三个顶点距离之和最小的点.当三角形三个内角都小于时，费马点与三角形三个顶点的连线构成的三个角都为.已知在中，，为的费马点，若，，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
17．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，点D在边AB上，，则的外接圆的面积是（ ）
A．B．C．D．
18．在锐角中，角的对边分别为，且的面积，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
19．设中角所对的边分别为，，，为边上的中线；已知且，．则 ．
20．在平面四边形中，，则四边形的面积的最大值为 ．
21．已知锐角三角形中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，的面积为S，且．若，则的取值范围是 ．
22．已知中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，其外接圆半径为为边BC的中点，，为钝角，则的取值范围是 ．
23．在中，已知A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足，若O为的外心，，则实数 ．
参考答案：
1．A
【分析】通过正余弦定理转化得，对变形得，两边同平方得，解出，再利用三角形面积公式和向量中线公式即可得到答案.
【详解】因为，
由余弦定理得，
又因为是斜三角形，所以，所以，
由正弦定理得，因为，
所以，所以，
所以，所以，
所以，
因为，
化简得，解得或（舍去），
所以，
设边的中点为，则，
因为，所以，
即为的中点，所以：.
故选：A.
【点睛】关键点睛：本题的关键是利用正余弦定理进行转化得，再对向量式进行变形处理得，再两边同平方代入数据从而解出，最后再通过三角形面积公式得到答案.
2．B
【分析】利用正弦定理的角边化及余弦定理的推论，利用等面积法及三角形的面积公式，结合正余弦的二倍角公式及同角三角函数的平方关系和商数关系即可求解.
【详解】由及正弦定理，得.
由余弦定理，得，
因为为非直角三角形，
所以，
所以，
因为是角的内角平分线，且，
所以由三角形的面积公式得，
所以，即，
因为，
所以，
所以,
所以，
,
.
故选：B.
【点睛】关键点睛：解决此题的关键是利用正弦定理的角化边和余弦定理的推论，再利用等面积法及正余弦的二倍角公式，结合同角三角函数的平方关系和商数关系即可.
3．A
【分析】根据正弦定理、余弦定理、三角形面积公式，结合换元法，导数的性质进行求解即可.
【详解】记角所对的边分别为.因为，
所以由正弦定理可得..
，
令，则，
令，则，
故当时，，当时，，
故，故，
则实数的取值范围为.
故选：A
【点睛】关键点睛：利用换元法构造新函数，利用导数判断新函数的单调性，求出最值是关键.
4．C
【分析】先利用余弦定理化角为边，可得，再利用正弦定理化边为角可得，再结合二倍角公式及两角和差得余弦公式化简，结合平方关系即可得解，注意检验结果是否符合题意.
【详解】因为，
由余弦定理得，整理得，
由正弦定理得
，
又因，
所以，
解得或，
而，
且，
所以，所以.
故选：C.
【点睛】方法点睛：在解三角形的问题中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边”，变换原则如下：
（1）若式子中含有正弦的齐次式，优先考虑正弦定理“角化边”；
（2）若式子中含有、、的齐次式，优先考虑正弦定理“边化角”；
（3）若式子中含有余弦的齐次式，优先考虑余弦定理“角化边”；
（4）代数式变形或者三角恒等变换前置；
（5）含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理求解；
（6）同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到三角形的内角和定理.
5．A
【分析】先根据已知条件，利用正弦定理及同角三角函数的基本关系求出角，然后利用余弦定理、基本不等式求出，并且结合得到的表达式，即可求得的表达式，同理可得的表达式，进而得到的最小值.
【详解】由及可得，由正弦定理可得，
又，故,即，而,故；
由余弦定理得，故，
故，当且仅当时，取等号；
设为的中点，连接，则G在上，
则，，
由可得，
则，
同理可得，
故
，当且仅当时，取等号，
故的最小值为，
故选：A
【点睛】方法点睛：求解三角形中有关边、角、面积的最值（范围）问题，常利用正弦定理、余弦定理与三角形的面积公式等建立，（为三角形的边）等之间的等量关系与不等关系，然后利用函数知识或基本不等式求解.
6．A
【分析】由边角关系式可得，再结合余弦定理得到，代入可得，利用基本不等式可得；将恒成立的不等式转化为与有关的不等式，利用二次函数图象特点，求解出的范围.
【详解】由，得，
所以，又，所以，
所以，所以，
又，当且仅当时取等号，
所以，所以，
由，
可得，
所以，
设，即当时，恒成立，
设，
则，所以，
可得.
故选：A.
【点睛】本题考查解三角形中边角关系式化简、基本不等式、二次函数图象问题.利用边角关系式求得的范围是解决问题的关键；难点在于通过二次函数图像来得到关于的不等式，讨论二次函数图象通常从以下三个方面来讨论：①判别式；②对称轴；③区间端点值符号.
7．C
【分析】由面积公式与正余弦定理化简后得出关系后求解
【详解】由题意，而，
所以，由余弦定理得，
故，
又由正弦定理得，
整理得，
故或（舍去），得，
因为是锐角三角形，
故，
解得，故，
.
故选：C.
【点睛】关键点点睛：关键是适当结合正弦定理、余弦定理进行边角转换由此即可顺利得解.
8．D
【分析】由正弦定理求出，再由余弦定理可得，化为，结合角的范围，利用正弦函数的性质可得结论.
【详解】因为，
由正弦定理可得，
则有，
由的内角为锐角，
可得，
，
由余弦定理可得
因此有

故选：D.
【点睛】方法点睛：正弦定理是解三角形的有力工具，其常见用法有以下几种：（1）知道两边和一边的对角，求另一边的对角（一定要注意讨论钝角与锐角）；（2）知道两角与一个角的对边，求另一个角的对边；（3）证明化简过程中边角互化；（4）求三角形外接圆半径.
9．D
【分析】本题通过正弦定理得到，再通过余弦定理得到，对向量式整理得，通过平方，将向量关系转化为数量关系即，利用基本不等式即可求解.
【详解】解：由及正弦定理，
得，即，
由余弦定理得，，∵，∴．
由，，
两边平方，得
即
，
当且仅当，即时取等号，即，
∴线段CD长度的最小值为．
故选：D．
10．B
【分析】根据已知条件可以判断是直角三角形，且随着的变化三条边的长度也会随着发生改变，因此先根据余弦定理和正弦定理确定与边的变化关系，再构造一个关于边的三角形，根据与边的关系在新构造的三角形中解出的表达式，找出最大值.
【详解】由可知， 是，的直角三角形，如图所示：
设，，，则由余弦定理
得，即
由正弦定理得，所以.
连接，在中，由余弦定理，得
当时，的长度取得最大值，为
故选:B
【点睛】思路点睛：
可变动图形与某一变量的变化关系引出的求边求角类问题（以本题为例）：
①确定变动图形的变化规律：如上题的变化是角度不变，边长可等比例变化
②确定图形变化与某个变量的联系：变化发生变化整体变化
③找到有直接联系的两个变量的数学关系，然后推广到整体变化上：此处最为困难，需要学生根据已知条件活用所学的数学知识.
11．D
【分析】由条件利用正弦定理得的关系，由余弦定理可得，结合三角形面积公式求得的表达式，根据二次函数的性质可求得最大值，进而得解.
【详解】因为，
由正弦定理得，所以，
由余弦定理得，
所以，
令，则，当且仅当，即时取等号，
所以，
故选：D.
【点睛】关键点点睛：本题考查的知识并不算困难，但计算量较大，解决的关键是熟练掌握数学的计算，做到不出错即可得解.
12．C
【分析】由等腰三角形及外心的性质得到平分，利用正弦定理得到，从而得到，再利用余弦定理求出与，最后利用数量积的定义计算可得.
【详解】因为，所以在上，
又因为等腰的外心为，，所以在的中垂线上，
又的中垂线和的角平分线重合，
所以平分，即，
因为，所以，所以，
在与中，由正弦定理可得①，
②，
因为，所以，
又，
两式相除可得，由，所以，
设，则，
在与中，由余弦定理可得，
即，解得（负值舍去），
则，
在中，
所以.
故选：C
13．D
【分析】利用，三角形面积公式和余弦定理可得，故可得到，，然后利用正弦定理可得，利用换元法即可求解
【详解】中，由余弦定理得，，
且的面积为，由，得，
化简得；又，，所以，
化简得，解得或（不合题意，舍去）；
因为，所以，
所以，
由，且，，
解得，
所以，所以，所以；
设，其中，
所以，
又，所以时，y取得最大值为，
时，；时，，且．
所以，即的取值范围是，
故选：D
【点睛】方法点睛：解三角形中最值或范围问题，通常涉及与边长，周长有关的范围问题，与面积有关的范围问题，或与角度有关的范围问题，
常用处理思路：①余弦定理结合基本不等式构造不等关系求出答案；
②采用正弦定理边化角，利用三角函数的范围求出最值或范围，如果三角形为锐角三角形，或其他的限制，通常采用这种方法；
③巧妙利用三角换元，实现边化角，进而转化为正弦或余弦函数求出最值
14．C
【分析】先由正弦定理得到，求出的外接圆半径为R，作出辅助线利用余弦定理求出，求出的长.
【详解】由正弦定理得：，
因为，所以，故，即，
因为，所以，
设的外接圆半径为R，
则由正弦定理得：，故，
如图，，且，
因为，所以，，
过点C作CH∥OB交OP的延长线于点H，则，
因为，所以，，
在三角形OCH中，由余弦定理得：，
则，
所以
故选：C
15．B
【分析】根据题意，由正弦定理化简得到，求得，设，得到，再结合正弦定理，化简得到，结合三角函数的性质，即可求解.
【详解】因为，
由正弦定理得，可得，即，
所以，，则，
设，则，且，
在中，且，则，
在中，由，则，
由，即，
又由正弦定理知（为的外接圆半径），
所以，
则，即，
又因为，故当，即时，所以.
故选：B.

16．D
【分析】根据题意作出图形，设，利用正弦定理将表示为关于的式子，然后利用三角恒等变形与三角函数的值域求的取值范围即可.
【详解】设，
则，，
由得，
解得，满足，，

在中，，
可得，
同理可得，
所以
，
因为
，
所以当，即时，最大值为，
结合，可得的最小值为，
所以当时，由最小值，
即的取值范围是.
故选：D.
【点睛】方法点睛：对于三角中有关边的最值问题，我们通常利用正弦定理将边转化为角，然后利用三角公式变形求最值.
17．B
【分析】利用正弦定理将统一成角的形式，化简后可求出，在中利用正弦定理可求出，则可求出，然后在中利用余弦定理求出，再利用正弦定理可求出外接圆的半径，从而可求出圆的面积.
【详解】因为，所以由正弦定理得，
所以，
所以，所以，
所以，因为，所以，
因为，所以，所以，
在中，由正弦定理得，，
所以，
因为，
所以，得，
所以
在中，由余弦定理得，
，
所以，
设外接圆半径为，则由正弦定理得，
所以，
所以的外接圆的面积是，
故选：B
18．B
【分析】先由三角形面积公式求出，然后引入参数，将所求表示为的函数，再根据正弦定理边化角、诱导公式、两角和差得，注意到在锐角中，有，从而可以求出的范围，由此即可得解
【详解】由三角形面积公式结合，可知，即，
又由平方关系，所以，即，
解得或（舍去），
由余弦定理有，所以，
令，所以 ，故只需求出的范围即可，
由正弦定理边化角得，
注意到在锐角中，有，简单说明如下：
若，则，即不是锐角，但这与是锐角三角形矛盾，
所以在锐角中，有，
所以在锐角中，有，
因为正切函数在上单调递增，
所以，
从而，
而函数在单调递减，在单调递增，
所以.
综上所述：的取值范围为.
故选：B.
【点睛】关键点睛：本题考查了正余弦定理综合应用，以及诱导公式、两角和差的正弦公式等来化简表达式，关键就是将所求化繁为简，化未知为已知，并且注意锐角三角形的特殊性，即注意到在锐角中，有，结合以上关键点即可顺利求解.
19．/
【分析】根据题意利用正、余弦定理分析可得，由结合数量积相关运算整理得关于的方程，运算求解即可.
【详解】因为，且，
由正弦定理可得：，
由余弦定理可得：，整理得，
又因为D为中点，所以，设的夹角为θ，
则
，
即，
且，
因为，则为锐角，可知，
可得，解得或（舍去）
所以，
整理得，解得或，
且，即，所以，
所以.
故答案为：.

【点睛】关键点睛：对于等分点问题，常利用向量的线性运算以及数量积建立关系，运算求解即可.
20．6
【分析】在中，利用正弦定理可得，进而可求得的面积，在中，由余弦定理可得，进而可得的面积，即可得结果.
【详解】在中，由正弦定理，可得，
所以的面积；
在中，由余弦定理，
当且仅当时，等号成立，
即，且，则，
所以的面积；
显然当B、D位于直线AC的两侧时，四边形ABCD的面积较大，
此时四边形的面积.
所以四边形的面积的最大值为.
故答案为：6.
【点睛】方法点睛：与解三角形有关的交汇问题的关注点
（1）根据条件恰当选择正弦、余弦定理完成边角互化；
（2）结合三角恒等变换、三角函数以及基本不等式分析运算．
21．
【分析】根据面积公式，余弦定理和题干条件得到，结合正弦定理得到，由为锐角三角形，求出，从而求出，求出的取值范围.
【详解】因为，所以，
因为，所以，
所以，
整理得：，
因为，
所以，
由正弦定理得，
又因为，
所以，
因为为锐角三角形，所以为锐角，
所以，即，
由，解得：，
因为，
所以，
解得
故答案为：
22．
【分析】解法一：利用正弦定理求得，延长AD到点E，使得，连接BE，CE，设，利用正弦定理将b，c用角的三角函数表示出来，即得关于的表达式，利用三角恒等变换及三角函数的有界性即可求解.解法二：运用三角形中线的性质可得，令，结合二次方程分析求解；解法三：运用余弦定理可得，令，结合二次方程分析求解.
【详解】如图，
解法一： 根据正弦定理得，，所以，
因为为钝角，所以；
延长AD到点E，使得，连接BE，CE，易知四边ABEC为平行四边形，
则，
设，则，
在中，
，所以，，
故，
因为，所以，所以，
，所以的取值范围是．
解法二:根据正弦定理得， ，所以，
因为为钝角，所以．
因为D为边BC的中点，所以，
两边平方，，得①．
设，则，将其代入①得， ②，
所以关于b的方程至少有1个正实数根．
当，即时，经检验，不符合题意；
所以或，解得，
故的取值范围是；
解法三：根据正弦定理得，，
所以，因为为钝角，所以．
则根据余弦定理得，，
又，，
所以，即，
将代入，得 ①．
设，则，将其代入①得， ②，
所以关于b的方程至少有1个正实数根．
当，即时，经检验，不符合题意；
所以或，解得，
故的取值范围是；
故答案为：
【点睛】方法点睛： 解三角形中的最值或范围问题主要有两种解决方法：
一是将所求量表示为与边有关的形式，利用基本不等式求得最值或范围；
二是将所求量用三角形的某一个角的三角函数表示，结合角的范围确定最值或范围．
23．
【分析】结合余弦定理可从得到，再借助，结合向量的数量积公式、二倍角公式与正弦定理，可得，即可得解.
【详解】，
又，故有，
化简得，故有，
由，则有，
即有，
有
，
，
由，故，
故.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：本题关键点在对所给条件的变形转化上，对，结合降幂公式与余弦定理，可得，对，左右同乘，可借助数量积公式将左边化为，借助向量的线性运算与正弦定理及二倍角公式可将右边化为，即可得解.