高中数学压轴题小题专项训练专题31与图表有关的数列问题含解析答案

这是一份高中数学压轴题小题专项训练专题31与图表有关的数列问题含解析答案，共29页。试卷主要包含了单选题，填空题等内容，欢迎下载使用。


一、单选题
1．如图，瑞典数学家科赫在年通过构造图形描述雪花形状．其作法是：从一个正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边．反复进行这一过程，就得到一条“雪花”状的曲线．设原正三角形（图①）的边长为，则图④中图形的面积为（ ）
A．B．C．D．
2．已知数列满足，现将该数列按如图规律排成一个数阵（如图所示第行有个数），设为该数阵的前项和，则满足时，的最小值为（ ）

A．20B．21C．26D．27
3．2022年第二十四届北京冬奥会开幕式上由96片小雪花组成的大雪花惊艳了全世界，数学中也有一朵美丽的雪花一“科赫雪花”．它可以这样画，任意画一个正三角形，并把每一边三等分：取三等分后的一边中间一段为边向外作正三角形，并把这“中间一段”擦掉，形成雪花曲线；重复上述两步，画出更小的三角形．一直重复，直到无穷，形成雪花曲线，．
设雪花曲线的边长为，边数为，周长为，面积为，若，则下列说法正确的是（ ）
A．B．
C．均构成等比数列D．
4．在如图所示的三角形数阵中，用，且当时，每行中的其他个数均等于其“肩膀”上的两个数之和，若，则正整数的最小值为（ ）
A．B．C．D．
5．黄金螺旋线又名鹦鹉螺曲线，是自然界最美的鬼斧神工．就是在一个黄金矩形（宽除以长约等于0.6的矩形）先以宽为边长做一个正方形，然后再在剩下的矩形里面再以其中的宽为边长做一个正方形，以此循环做下去，最后在所形成的每个正方形里面画出1/4圆，把圆弧线顺序连接，得到的这条弧线就是“黄金螺旋曲线了．著名的“蒙娜丽莎”便是符合这个比例，现把每一段黄金螺旋线与其每段所在的正方形所围成的扇形面积设为，每扇形的半径设为满足，若将的每一项按照上图方法放进格子里，每一小格子的边长为1，记前项所占的对应正方形格子的面积之和为，则下列结论错误的是
A．B．
C．D．
6．2022年第二十四届北京冬奥会开幕式上由96片小雪花组成的大雪花惊艳了全世界，数学中也有一朵美丽的雪花——“科赫雪花”．它的绘制规则是：任意画一个正三角形（图1），并把每一条边三等分，再以中间一段为边向外作正三角形，并把这“中间一段”擦掉，形成雪花曲线（图2），如此继续下去形成雪花曲线（图3），直到无穷，形成雪花曲线．设雪花曲线的边长为，边数为，周长为，面积为，若，则（ ）

A．B．C．D．
7．已知数列的通项公式为，将这个数列中的项摆放成如图所示的数阵.记为数阵从左至右的列，从上到下的行共个数的和，则数列的前2020项和为（ ）
A．B．C．D．
8．在一个正三角形的三边上，分别取一个距顶点最近的十等分点，连接形成的三角形也为正三角形（如图1所示，图中共有个正三角形）．然后在较小的正三角形中，以同样的方式形成一个更小的正三角形，如此重复多次，可得到如图2所示的优美图形（图中共有个正三角形），这个过程称之为迭代．在边长为的正三角形三边上，分别取一个三等分点，连接成一个较小的正三角形，然后迭代得到如图3所示的图形（图中共有个正三角形），其中最小的正三角形面积为（ ）
A．B．C．D．
9．如图，是由一系列直角三角形拼接而成的几何图形，已知，记，，…，的长度构成的数列为，则的整数部分是（ ）

A．87B．88C．89D．90
10．几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案.如图是一个数表，第1行依次写着从小到大的正整数，然后把每行相邻的两个数的和写在这两数正中间的下方，得到下一行，数表从上到下与从左到右均为无限项，求满足如下条件的最小四位整数：第2017行的第项为2的正整数幂.已知，那么该款软件的激活码是( )
A．1040B．1045C．1060D．1065
11．如图所示是毕达哥拉斯的生长程序：正方形上连接着等腰直角三角形，等腰直角三角形边上再连接正方形，如此继续.设初始正方形的边长为，依次构造出的小正方形（含初始正方形）的边长构成数列，若的前n项和为，令，其中表示x，y中的较大值.若恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
12．雪花曲线是在1906年由瑞典数学家科赫第一次作出.如图所示，由等边三角形ABC开始，然后把三角形的每条边三等分，并在每条边三等分后的中段向外作新的等边三角形（并去掉与原三角形叠合的边）；接着对新图形的每条边再继续上述操作，即在每条边三等分后的中段，向外画新的尖形.不断重复这样的过程，便产生了雪花曲线.雪花曲线的周长可以无限长，然而围成的面积却是有限的.设初始三角形ABC的边长为a，不断重复上述操作，雪花曲线围成的面积趋于定值为（ ）
A．B．C．D．
13．如图所示，点列满足：，，均在坐标轴上，则向量（ ）
A．B．
C．D．
二、填空题
14．侏罗纪蜘蛛网是一种非常有规律的蜘蛛网，如图是由无数个正方形环绕而成的，且每一个正方形的四个顶点都恰好在它的外边最近一个正方形四条边的三等分点上．设外围第一个正方形的边长为1，往里第二个正方形为，…，往里第个正方形为．那么第7个正方形的周长是 ，至少需要前 个正方形的面积之和超过2．（参考数据：，）．
15．九连环是中国一种古老的智力游戏，其结构如图，玩九连环就是要把这九个环全部从框架上解下或套上.研究发现，要解下第个环，则必须先解下前面第个环.用表示解下个环所需最少移动次数，用表示前个环都已经解下后，再解下第个环所需次数，显然，，，且.若要将第个环解下，则必须先将第个环套回框架，这个过程需要移动次，这时再移动1次，就可以解下第个环；然后再将第个环解下，又需要移动次.由此可得，.据此计算 .
16．某数学兴趣小组模仿“杨辉三角”构造了类似的数阵，将一行数列中相邻两项的乘积插入这两项之间，形成下一行数列，以此类推不断得到新的数列.如图，第一行构造数列1，2：第二行得到数列：第三行得到数列，则第5行从左数起第8个数的值为 ；表示第行所有项的乘积，设，则 .
17．若数列满足，则称该数列为斐波那契数列.如图1所示的“黄金螺旋线”是根据斐波那契数列画出来的曲线.图中的长方形由以斐波那契数为边长的正方形拼接而成，在每个正方形中作圆心角为的扇形，连接起来的曲线就是“黄金螺旋线”.记以为边长的正方形中的扇形面积为，数列的前项和为，则 .
18．若数列满足：，，（，），则称数列为斐波那契数列斐波那契螺旋线是根据斐波那契数列画出来的螺旋曲线，如图1中的实线部分（正方形内的数字为所在正方形的边长，每个正方形中的曲线与正方形的两边构成圆心角为的扇形），自然界中存在许多这样的图案，比如向日葵种子的排列、芦荟叶子的排列等（如图2），若一母线长为16的圆锥的底面周长恰好等于图1的螺旋曲线的长度，则该圆锥的侧面积为 .

图1 图2
19．九连环是我国从古至今广为流传的一种益智玩具，它用九个圆环相连成串，以解开为胜，《红楼梦》中有林黛玉巧解九连环的记载．九连环一般是用金属丝制成圆形小环九枚，九环相连，套在条形横板或各式框架上，并贯以环柄．玩时，按照一定的程序反复操作，可使9个环分别解开，或合二为一．假设环的数量为，解开连环所需总步数为，解下每个环的步数为，则数列满足：则 ，
20．我国古代名著《庄子•天下篇》中有一句名言“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，其意思为：一尺的木棍，每天截取一半，永远都截不完.已知长度为的线段，取的中点，以为边作等边三角形（如图1），该等边三角形的面积为，再取的中点，以为边作等边三角形（如图2），图2中所有的等边三角形的面积之和为，以此类推，则 ， .
21．如图，在中，是边上一点，且，为直线上一点列，满足：，且，则 ，设数列，则的通项公式为 .
22．某高中图书馆为毕业生提供网上阅读服务，其中电子阅览系统的登录码由学生的届别+班级+学号+特别码构成.这个特别码与如图数表有关，数表构成规律是：第一行数由正整数从小到大排列得到，下一行数由前一行每两个相邻数的和写在这两个数正中间下方得到.以此类推特别码是学生届别数对应表中相应行的自左向右第一个数的个位数字，如：1997届3班21号学生的登陆码为1997321*.（*为表中第1997行第一个数的个位数字）.若已知某毕业生的登录码为201*2138，则可以推断该毕业生是 届2班13号学生.
23．螺旋线这个名词来源于希腊文，它的原意是“旋卷”或“缠卷”，平面螺旋便是以一个固定点开始向外逐圈旋烧而形成的曲线，如图甲所示．如图乙所示阴影部分也是一个美丽的螺旋线型的图案，它的画法是这样的：正方形ABCD的边长为4，取正方形ABCD各边的四等分点E，F、G，H，作第2个正方形EFGH，然后再取正方形EFGH各边的四等分点M，N，P，Q，作第3个正方形MNPQ，依此方法一直继续下去，就可以得到阴影部分的图案，设正方形ABCD的边长为，后续各正方形的边长依次为；如图乙阴影部分，直角三角形AEH的面积为，后续各直角三角形的面积依次为，则 ；记数列的前n项和为，若对于恒成立，则的最大值为 ．
参考答案：
1．A
【分析】设图①、②、③、④中正三角形的边长分别为、、、，图形面积依次记为、、、，图形分别记为、、、，图形的边数分别记为、、、，易得，，，利用累加法可求得的值.
【详解】设图①、②、③、④中正三角形的边长分别为、、、，
图形面积依次记为、、、，图形分别记为、、、，
图形的边数分别记为、、、，
观察图形可知，且，，且，
由题意可知，数列是首项为，公比为的等比数列，则，
数列是首项为公比为的等比数列，，
由图可知，图形是在图形的每条边上生成一个小三角形（去掉底边），
共增加了个边长为的正三角形，
所以，，
由累加法可得
.
故选：A.
2．B
【解析】根据等比数列求和公式可得第行的和，分析前六行所有项之和及第六行第6个数即可得解.
【详解】由题可知第行的和，
前5行共个数，
前5行所有项的和为，不满足题意，
前6行共个数，
前6行所有项的和为，满足题意，
而第6行第6个数为，，
所以满足时，的最小值为21.
故选：B
【点睛】此题考查数列新定义问题，关键在于熟练掌握等比数列求和公式的应用，根据题意分析临界情况求解.
3．B
【分析】根据已知写出、、的通项公式且时，应用累加法求通项，进而判断各选项的正误.
【详解】据题意知：，
∴，A错误；
，
当时，，D错误；
∴，
由也满足上式，则，
所以不构成等比数列，C错误；
由上，，则，B正确.
故选：B．
4．D
【分析】由每行中的其他个数均等于其“肩膀”上的两个数之和，可得这个数列的递推公式，即且，可利用累加法求出这个数列的通项公式，即可解不等式.
【详解】由题意知，则，
因为每行中的其他个数均等于其“肩膀”上的两个数之和，
即，
所以，
则

因为是递增数列，而 ，
所以的最小值为103.
故选：D.
【点睛】本题考查了用累加法求数列的通项公式，数列的单调性，综合性较强，有一定的难度.
5．D
【分析】根据定义求数列和，利用化简求解，利用特殊值否定结论.
【详解】由题意得为以为长和宽矩形的面积，
即；
；
又
，故正确；
因为，所以D错误,选D.
【点睛】本题考查数列求和以及利用递推关系化简，考查综合分析求解能力，属较难题.
6．B
【分析】根据题意分别写出，，的通项公式，且当时用累加法可求出通项，然后对选项进行逐一判断求解.
【详解】由题意知，边长，边数，周长，面积，
所以得：，，
所以得： ，，
因为：，
当时，，
所以得：
，
当时，，也适用，
所以：，
所以得：，故A项错误；所以得：，故B项正确；
所以得：，故C项错误；所以得：，故D项错误；
故选：B.
7．D
【解析】由题意，设每一行的和为，可得，继而可求解，表示，裂项相消即可求解.
【详解】由题意，设每一行的和为
故
因此：
故
故选：D
【点睛】本题考查了等差数列型数阵的求和，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.
8．A
【分析】记第个正三角形的边长为，第个正三角形的边长为，根据与的关系判断出为等比数列，由此求解出最小的正三角形的边长，从而面积可求.
【详解】设第个正三角形的边长为，则个正三角形的边长为，
由条件可知：，
又由图形可知：，所以，
所以，所以是首项为，公比为的等比数列，
所以，所以，所以，
所以最小的正三角形的面积为：，
故选：A.
【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是将已知问题转化为等比数列问题，通过每一次的迭代分析正三角形的边长之间的关系，从而分析得到正三角形的边长成等比数列，据此可进行相关计算.
9．B
【分析】根据等差数列、放缩法、裂项求和法等知识进行分析，从而确定正确答案.
【详解】由题意知，，
且，，…，都是直角三角形，
所以，且，所以数列是以1为首项，1为公差的等差数列，
所以，
，
，
即，
所以所求整数部分都是.
故选：B.

【点睛】方法点睛：定义法：若常数，则是等差数列；等差中项法：若，则是等差数列.数列求和的方法可以考虑等差数列的前项和公式，也即公式法，也可以考虑利用裂项求和法.
10．A
【分析】首先观察得到每一行都是等差数列，第行的公差为，然后通过推导得到，，则，将代入即可得到答案.
【详解】由数表推得，每一行都是等差数列，第行的公差为，
记第行的第个数为，则，
即，而，
则数列是以为首项，为公差的等差数列，
故，
故，
则，
又已知第行的第项为的正整数幂，且，
第2017行的第项为2的正整数幂,
,
即,
最小四位整数.
当,满足题意,
即该款软件的激活码是，
故选：A．
11．D
【分析】先求出数列和的通项公式，再根据集合新定义确定，再由不等式恒成立分类讨论时列不等式和时列不等式求出对应的值取并集即可.
【详解】因为的前n项和为，
所以当时，，
又当时，，符合上式，
所以数列的通项公式，
数列满足，
因为，公比，
所以，
所以，
因为数列是递减数列，而是递增数列；
，其中表示x，y中的较大值.若恒成立，
所以是数列中的最小项，
所以当时，则，即，解得，
当时，则，即，解得，
取并集可得，
故选：D.
【点睛】关键点点睛：本题中集合新定义是取较大者，这样就转化成比较和的大小问题了，利用已知求出数列和的通项公式再比较大小可确定，最后由不等式恒成立，列不等式组求出参数范围即可.
12．A
【分析】依次计算得到第次操作后面积，
按照等比数列求和得到，再由时，得到结果即可.
【详解】由题意知，初始三角形的面积，第一次操作后，增加了3个边长为的等边三角形，此时面积；
第二次操作后，增加了个边长为的等边三角形，此时面积；；
第次操作后，增加了个边长为的等边三角形，此时面积
，
当时，，.
故选：A.
13．D
【分析】设，由已知得数列是首项为2，公比为2的等比数列，从而有．再由均在坐标轴上，且，，，分别在轴的正半轴、轴的正半轴、轴的负半轴、轴的负半轴上，分别求得向量的横坐标，向量的纵坐标，可得答案.
【详解】解：因为点列满足：，，所以可设，则，，即，
所以数列是首项为2，公比为2的等比数列，所以，则．
又均在坐标轴上，且，，，分别在轴的正半轴、轴的正半轴、轴的负半轴、轴的负半轴上，
所以向量的横坐标为，
向量的纵坐标为，
故选：D．
【点睛】关键点睛：本题结合向量为背景考查情境问题，体现创新性与应用性，解决的关键在于设，数列是首项为2，公比为2的等比数列，由均在坐标轴上，得出向量和的横坐标和纵坐标．
14．
【分析】根据已知，利用勾股定理、正方形的周长公式、面积公式以及等比数列的通项、前n项和公式进行求解.
【详解】
因为每一个正方形的四个顶点都恰好在它的外边最近一个正方形四条边的三等分点上，
且外围第一个正方形的边长为1，所以，,
由勾股定理有：，
设第个正方形的边长为，则
，，……，，
所以，
所以第7个正方形的周长是，
第n个正方形的面积为，
则第1个正方形的面积为，
则第2个正方形的面积为，
则第3个正方形的面积为，
……
则第n个正方形的面积为，
前n个正方形的面积之和为，
当时，，当时，，
当时，，当时，，
所以至少需要前4个正方形的面积之和超过2．
故答案为：，4.
15．341
【分析】将该问题转化为数列计算即可得.
【详解】原题可理解为：
已知数列，满足，，，
，，求的值.
可得，又，则，
所以是首项与公式都为的等比数列，
故，即，则，
所以，
故，
，
，
各项相加，可得，
即，
所以按规则解开九连环最少需要移动的次数为，即.
故答案为：341.
【点睛】关键点睛:本题解决的关键是将问题转化为双数列，的递推式问题，进而求得的通项公式，由此得解.
16． 8 365
【分析】空1：直接写出第5行的数列，即可解决；空2：首先归纳出，进而可以求得数列的通项公式，即可得解得.
【详解】空1：由题意可得：第5行得到数列，
所以第5行从左数起第8个数的值为8；
空2：根据题意可得：，
，
，
总结可得，
所以，可得.
故答案为：8；365.
【点睛】关键点点睛：根据题意列出前几项，并据此归纳总结一般规律，分析运算.
17．/
【分析】根据递推公式可得，结合累加法计算得即可判断.
【详解】因为斐波那契数列总满足，且，
所以，
，
，
类似的有，其中，
累加得，又，
所以，
故：.
故答案为：.
【点睛】关键点睛：本题的关键是理解斐波那契数列的特点，由递推关系得，利用累加法可得，即可判断.
18．
【分析】由已知求得的值，可得圆锥底面圆的周长，再由圆锥侧面积公式求解.
【详解】，，，，，
则图1中螺旋线的长度为，
圆锥底面圆的半径为.母线长为，
则，，
则圆锥的侧面积为.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：该题考查的是有关数列的递推公式以及圆锥侧面积公式的求解问题，正确解题的关键是利用数列递推公式求解数列的项以及熟练掌握圆锥侧面积公式.
19． 21； .
【分析】根据递推公式，结合已知数据，即可求得；根据的关系，转化递推公式，构造数列，即可求得.
【详解】．
当，即．
设，则，即，
是以为首项，为公比的等比数列，
，即．
设，
即．
，，
即，又，
是以为首项，为公比的等比数列，
．
．
【点睛】关键点点睛：处理本题的关键是把转化为，构造等比数列求得；再次构造数列.
20． /
【分析】先由题意推导每个正三角形的面积可构成等比数列，再利用等比数列求和公式及裂项相消求解.
【详解】由题可得，，
从第2个等边三角形起，每个三角形的面积为前一个三角形面积的，
故每个正三角形的面积可构成一个以为首项，为公比的等比数列，
则，
所以.
,
故答案为：；.
【点睛】方法点睛：常见的裂项相消的方法有：
，
，
，
，
21．
【分析】根据平面向量线性运算得到，结合题干条件得到，整理后得到，从而根据求出，得到，构造法得到为等比数列，求出的通项公式.
【详解】因为是边上一点，且，
故，
为直线上一点列，则，
因为，
则，故，
整理得：，即，
若，则，解得：，此时，解得：，
故为常数为1的数列，但，不合要求，故，
故，
令得：，
因为，所以，解得：
令，则，
即，因此，
所以为等比数列，公比为，首项为，
故，故
故答案为：，
【点睛】由递推公式求解通项公式，根据递推公式的特点选择合适的方法，
（1）若，采用累加法；
（2）若，采用累乘法；
（3）若，可利用构造进行求解；
22．
【分析】根据图表中的数据，得到第行的第个数为，根据通项公式得到的个位数呈现周期性变化，且周期为，然后根据代入分别检验，即可求解.
【详解】根据图表可得，第行的前两个数之差为，
设第行的第一个数为，则，即
两边同时除以，可得，且，
所以数列是首项为，公差为的等差数列，所以，
所以，
因为的个位数分别为，所以的个位数呈现周期性变化，且周期为，
因为，所以，
若时，则，
因为，所以的个位数是，故的个位数为；
若时，则，
因为，所以的个位数是，故的个位数为；
若时，则，
因为，所以的个位数是，故的个位数为；
若时，则，
因为，所以的个位数是，故的个位数为，
同理可得：的个位数为，的个位数为，的个位数为，
的个位数为，的个位数为，的个位数为，
所以某毕业生的登录码为201*2138，则，
故推断该毕业生是届2班13号学生.
故答案为：.
23． / /
【分析】先求正方形边长的规律，再求三角形面积的规律，就可以求出数列的通项公式，从而就可以求出的表达式，再用参数分离求的最大值即可.
【详解】由题意，由外到内依次各正方形的边长分别为，则
，
，……，
，
于是数列是以4为首项，为公比的等比数列，则.
由题意可得：，即……，
于是.
所以，
，是关于的增函数，所以，
由恒成立得，
令 ，
所以当时单调递增，所以，
所以的最大值为 ，
故答案为：；
【点睛】关键点点睛：本题关键是求出数列的通项公式，先写出数列的前几项，通过找规律发现递推关系从而得到通项公式.