高中数学压轴题小题专项训练专题33平面向量的数量积相关的范围问题含解析答案

这是一份高中数学压轴题小题专项训练专题33平面向量的数量积相关的范围问题含解析答案，共27页。试卷主要包含了单选题，填空题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．在中，，当时，的最小值为.若，，其中，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
2．已知点为的重心，，，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
3．如图，中，，，.在所在的平面内，有一个边长为1的正方形绕点按逆时针方向旋转（不少于1周），则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
4．已知平面向量，对任意实数都有，成立.若，则的最大值是（ ）
A．B．C．D．
5．已知三点在以为圆心，1为半径的圆上运动，且，为圆所在平面内一点，且，则下列结论错误的是（ ）
A．的最小值是1B．为定值
C．的最大值是10D．的最小值是8
6．如图，是由三个全等的钝角三角形和一个小的正三角形拼成一个大的正三角形，若，，点M为线段上的动点，则的最大值为（ ）

A．B．C．6D．10
7．单位向量，向量满足，若存在两个均满足此条件的向量，使得，设，在起点为原点时，终点分别为.则的最大值（ ）
A．B．C．4D．2
8．中，，若对任意的实数恒成立，则边的最小长度是（ ）．

A．B．C．D．
9．已知四边形中，，点在四边形的边上运动，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．-1
10．已知平面向量满足，则的最大值为（ ）
A．2B．C．D．3
11．已知，，，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
12．圆为锐角的外接圆，，点在圆上，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
13．半径为1的扇形AOB中，∠AOB=120°，C为弧上的动点，已知，记，则（ ）
A．若m+n=3，则M的最小值为3
B．若m+n=3，则有唯一C点使M取最小值
C．若m·n=3，则M的最小值为3
D．若m·n=3，则有唯一C点使M取最小值
14．在中，已知，，的面积为6，若为线段上的点（点不与点，点重合），且，则的最小值为（ ）.
A．9B．C．D．
15．已知在所在平面内，，、分别为线段、的中点，直线与相交于点，若，则（ ）
A．的最小值为
B．的最小值为
C．的最大值为
D．的最大值为
二、填空题
16．如图，在面积为的中，M，N分别为，的中点，点P在上，若，则的最小值是 ．

17．已知为的内心，，且满足，则的最大值为 .
18．已知所在平面内一点满足，则点是的 心填“内”、“外”、“重”、“垂”，若的内角，边，则的最大值是 ．
19．若直线与函数图象交于不同的两点，且点，若点满足，则的取值范围是 .
20．在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c.已知，，.则 ﹔若点Р为线段AB上的点，且，则的最大值是 .
21．四边形中，点分别是的中点，，，，点满足，则的最大值为 .
22．的外心为，三个内角、、所对的边分别为、、，，，则面积的最大值是
23．设正n边形的边长为1，顶点依次为，若存在点P满足，且，则n的最大值为 .（参考数据：）
参考答案：
1．C
【分析】由的最小值为可得的形状为等腰直角三角形，建立平面直角坐标系将向量坐标化，利用平面向量共线定理以及的取值范围表示出的表达式，再由二次函数单调性即可求得.
【详解】如下图所示：
在直线上取一点，使得，
所以，当时，取得最小值为，即；
又，所以可得是以为顶点的等腰直角三角形，
建立以为坐标原点的平面直角坐标系，如下图所示：
又可得为的中点，
由以及可得在上，
可得，
所以，可得，
则，
令，由可得，
所以，，
由二次函数在上单调递增可得，.
故选：C
【点睛】关键点睛：本题关键在于利用的最小值为判断出的形状，将向量坐标化并表示出模长表达式利用函数单调性可求得结果.
2．C
【解析】由三角形重心的性质可得，，由向量数量积的定义可求得，然后根据向量数量积的性质可得|，结合基本不等式可求的最小值.
【详解】如图所示，设的中点为，
由三角形重心性质可得，
又为中点， ，，
则.
又，，由向量的数量积定义可得，
，.
，当且仅当时等号成立，即的最小值.
故选：C.
【点睛】本题考查了平面向量与基本不等式的综合运用，考查学生的逻辑推理能力与运算能力，属于中档题.
3．A
【分析】由余弦定理求得，由正方形的边长为，求得，利用向量的数量积的公式，化简得到，结合，即可求解.
【详解】在中，，，，
由余弦定理得，
所以，
又由正方形的边长为，可得，
则
，
正方形绕点按逆时针方向旋转（不少于1周），可得，
所以，即的取值范围是.
故选：A.
4．B
【分析】设，根据题意得到在以为直径的圆周上，过点作，得到，设，求得，进而得到，结合二次函数的性质，即可求解.
【详解】如图所示，设，则，
若对任意的实数都有且成立，
即对任意的实数都有且成立，
即成立，所以在以为直径的圆周上，
设圆心为，过点作，交于点，交圆于点，
可得向量在上的射影长最大值为，
所以，
设，其中，且，
则，
所以，
所以，
，，
当时，取得最大值，最大值为.
故选：B.

5．D
【分析】结合点和点的轨迹可以判断A选项；利用向量的线性表示，结合可以计算的值；利用向量的线性表示，得到，结合向量夹角的范围得到的范围，即得最大值和最小值，判断C、D两个选项.
【详解】A选项，因为，所以点在以为圆心，2为半径的圆上运动，又因为点在以为圆心，2为半径的圆上运动，
所以当三点共线时，取得最小值，为，故A正确；
B选项，因为三点在圆上，所以圆是的外接圆，又因为，所以是圆的直径，所以，
是定值，故B正确；
选项C、D，
，
所以,
，
因为，所以，所以，
所以，所以，
即的最大值是10，最小值是6，故C正确，D错误.
故选：D.
6．D
【分析】利用平面向量的线性表示和数量积，转化为函数的最值问题求解.
【详解】根据题意可得，，
所以，
又因为，
所以,，
设,则，
所以，
，
所以
，
令，
当单调递增，单调递减，
当，取最大值为.
故选：D
7．B
【分析】设，，整理得，可知点在椭圆上，设关于点的对称点为，分析可知三点共线，结合椭圆性质分析求解.
【详解】由题意不妨设，，则，
因为，则，整理得，
可知向量的终点的轨迹为椭圆，且为椭圆的右焦点，
可知点在椭圆上，设关于点的对称点为，
因为，则，
可得，由可知三点共线，
设，
因为为线段的中点，则，
当且仅当为短轴顶点时，等号成立，
所以的最大值为.
故选：B.
【点睛】关键点点睛：本题的关键点有两点：
1.设，，求得向量的终点的轨迹为椭圆；
2.设关于点的对称点为，可知三点共线.
8．C
【分析】设，得到恒成立，得出，根据题意，结合勾股定理，得到，即可求解.
【详解】设，如图所示，
因为对任意的实数，都有恒成立，
由恒成立，则，
因为，所以，
所以，
当且仅当时，等号成立．

故选：C．
【点睛】关键点点睛：设，得到恒成立，得出，是解决本题的关键.
9．C
【分析】由题意分析可知四边形关于直线对称，且，只需考虑点E在边上的运动情况即可，然后分类讨论,求出最小值.
【详解】
如图所示，因为，且，所以垂直且平分，
则为等腰三角形，又，所以为等边三角形,
则四边形关于直线对称，故点E在四边形上运动时，
只需考虑点E在边上的运动情况即可，
因为，，知，即，
则，
①当点E在边上运动时，设，则，
则,
当时，最小值为；
②当点E在边上运动时，
设,则,
则
，
当时，的最小值为；
综上，的最小值为；
故选：C．
【点睛】方法点睛：由题意可推得四边形的几何性质，即要推出，然后要考虑E点位置，即要分类讨论，进而根据向量的线性运算表示出，结合二次函数性质即可求解.
10．C
【分析】根据向量加减法的平行四边形法则作图，问题转化为求的最值，利用外接圆数形结合可求最值.
【详解】设，如图，

由题意，即在平行四边形中，，，
求的最大值.
延长至，使，则，
由正弦定理，三点所在外接圆的直径，
所以，设圆心为，如图，

所以可知，又，
所以由余弦定理可得，
则由图象可知，
故选：C
11．C
【分析】根据题设向量模长和垂直条件，考虑运用几何法求解，由想到构造矩形，运用极化恒等式推导出结论，求得,最后用三角形三边关系定理得到的范围，转化即得.
【详解】
如图，设，，，点在圆上，
点在圆上，则，，由可得：，
作矩形, 则.
下证： .
设交于点，连接,因则 ，
同理可得：，两式左右分别相加得：
，
.
即，故.
又，因，
即，故有．
故选:C．
【点睛】方法点睛：本题考查平面向量的线性运算的模长范围问题，属于较难题.
处理平面向量的模长范围问题，常用的方法有：
（1）坐标法：即通过建立直角坐标系，通过向量坐标运算求得；
（2）基向量表示法：即通过选设平面的基底，用基底表示相关向量，运算求得；
（3）构造几何图形法：即根据模长定值构造圆形，由向量点乘等于零得到两向量垂直.
12．C
【分析】把转化为，由余弦定理、数量积的定义得，讨论的位置得，结合锐角三角形恒成立，即可得范围.
【详解】由为锐角三角形，则外接圆圆心在三角形内部，如下图示，
又，而，若外接圆半径为r，
则，故，且，即，
由，
对于且在圆上，当为直径时，当重合时，
所以，
综上，，
锐角三角形中，则，即恒成立，
所以，则恒成立，
综上，.
故选: C
13．A
【分析】设，以为原点，以、与所在直线垂直的直线分别为轴、轴建立平面直角坐标系，把转化为关于的表达式，可解决此题．
【详解】：设，如图：
以为原点，以、与所在直线垂直的直线分别为轴、轴建立平面直角坐标系，则，，，，
，，


．
①若，取，，则，
，，，，
,，此时，、两点重合，所以正确；
取，，则，
当时取最小值，此时、两点重合，所以点不唯一，故B错误；
②若，取，则
，
当时，，故C错误；
取，时，则，
当时，取最小值，点不唯一，故D错误.
故选：A．
【点睛】本题考查平面向量的线性运算的意义和模的意义，涉及与圆有关的最值问题，关键是题目中的参数较多，故而应当想到直接解决困难较大，应用特值排除的方法解决较为方便，这是在解决一些选择题是常常需要用到的思想方法.
14．C
【分析】先根据题意得，，进而得，，，，，进而得，，故，再根据为线段上的点得，最后结合基本不等式求解即可得答案.
【详解】解：因为，所以，
因为的面积为，所以，
所以，
所以，，，
由于，
所以，
所以，
所以由余弦定理得：，即.
所以，
因为为线段上的点（点不与点，点重合），
所以，根据题意得
所以
所以
，
当且仅当，即时等号成立，
所以.
故选：C.
【点睛】本题考查基本不等式求最值，正余弦定理解三角形，平面向量的数量积运算与共线定理得推理，考查综合分析与处理问题能力，是难题.
15．D
【分析】利用向量的线性运算和数量积的公式，结合基本不等式求最值即可.
【详解】
，且为线段的中点，
所以,
则,,
设,
则，
且和共线，，
所以，.
故为线段的中点,且,
所以,
且,若，
则,
即,
故,当且仅当时，等号成立；
,当的最大时, 即最小时，
此时，
.
故选：D
16．3
【分析】取边上的中点Q，设P到的距离为h，由已知可得，利用向量运算可得，结合和基本不等式求解.
【详解】取边上的中点Q，设P到的距离为h，
由，所以，
，
.
（当且仅当，即时等号成立）．
则的最小值为3．
故答案为：3.

17．
【分析】延长交于D，将取值问题转换为的比值问题，根据图形将比值展开，根据内心的几何性质求解即可.
【详解】设内切圆半径为r，延长交于D，则，即，
由三点共线，得，
，
，.
当，即，亦即时等号成立，故.
故答案为：.
18． 垂
【分析】根据向量数量积为零可得， ，所以点是的垂心；利用向量的夹角和向量数量积的运算，化简得，由得结论.
【详解】，，即，，
同理可得：，，是的垂心，
延长交于，延长交于，则，，
，，
，
显然当与重合时，取得最大值，
故的最大值为．
故答案为：垂，
【点睛】关键点睛：本题第二空解决的关键是，利用向量数量积的定义，同时结合图形将所求转化为的最大值，从而得解.
19．
【分析】由已知，先利用函数奇偶性的定义，判断函数的奇偶性，结合直线可知，，两点关于原点对称，然后根据找到直角三角形，最后用极坐标的方法解决即可.
【详解】因为，且直线通过坐标原点，
所以函数图像两个交点，关于原点对称，
，不妨设，
，，，
是以为直角顶点的直角三角形，且为中点，
，，
设，，
，，
.
故答案为：.
20．
【分析】首先由及得出，再由得出，由得出，
由此可求，由已知设，，结合已知得出，根据基本不等式求解即可．
【详解】因为，，
所以，即，
所以，
因为，
所以，
所以，由得，
由得，
所以，
由及得，
所以，
因为点Р为线段AB上的点，
所以可设，，
，，
因为，
所以，，
所以
将，代入得，，
即，且，，
由基本不等式可得，
当且仅当时，等号成立，
所以，当且仅当时，等号成立，
所以，当且仅当时，等号成立，
所以的最大值是.
故答案为：，．
【点睛】知识点点睛：本题考查的知识点有两角和的正弦公式，向量的数量积运算，三角形面积公式，向量的线性运算，
平面向量基本定理，基本不等式，属于综合题，问题解决需要较强的数学素养.
21．
【分析】利用向量加法运算及数量积定义得，然后利用数量积的运算律得，设出向量夹角，从而，利用余弦函数求解最值即可.
【详解】因为，，又点分别是的中点，
所以，所以，
，
又，所以，又点分别是的中点，所以，
因为，所以，
即，设，，则，所以，
所以，
所以当即时，有最大值1，即有最大值为.
故答案为：
【点睛】方法点睛：求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义.具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时注意数量积运算律的应用.
22．
【分析】取边的中点，作边的中线，由三角形外心和中线的性质，将化简，即可由余弦定理求得，再由和余弦定理，借助基本不等式求得的最大值，即可求得三角形面积的最大值.
【详解】

取边的中点，连接、，
∵为的外心，
∴，即，
∵为边的中点，
∴为边的中线，，
∴
，
又∵，
∴，整理得，
∴由余弦定理可得，∴，
又，由余弦定理，即，
∴由基本不等式，即，当且仅当时，等号成立，
∴的面积，
即当且仅当时，面积的最大值为.
故答案为：.
【点睛】解决向量与解三角形综合问题，重点在于将向量与三角形中的几何关系转化为三角形边、角的数量关系，再结合题目进行求解即可.
23．5
【分析】由题意确定P点的轨迹，分类讨论，结合向量的运算说明正六边形中以及时不符合题意，说明时满足题意，即可得答案.
【详解】由题意知点P满足，则P点在以为直径的圆上，
当时，设为的中点，如图，
，
当共线且方向时，即三点共线时，取最小值，
此时，则，
则，故时，不满足题意；
当时，设为的中点，如图，
，当共线且反向时，取最小值，
此时共线，，
，
则，
则当共线且同向时，必有，
故时，存在点P满足，且；
当时，如图，正七边形的顶点到对边的高h必大于正六边形对边之间的高，依此类推，

故此时不存在点P满足，且；
故n的最小值为5，
故答案为：5
【点睛】难点点睛：本题考查了平面向量的运算以及向量的模的最值问题，综合性较强，难度加大，难点在于要分类讨论正n边形的情况，结合向量的加减运算，确定模的最值情况.