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高中数学压轴题小题专项训练专题39阿波罗尼斯圆及其应用含解析答案
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这是一份高中数学压轴题小题专项训练专题39阿波罗尼斯圆及其应用含解析答案，共53页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知平面上两定点，则所有满足且的点的轨迹是一个圆心在直线上，半径为的圆.这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称作阿氏圆.已知棱长为6的正方体表面上的动点满足，则点的轨迹长度为（ ）
A．B．
C．D．
2．古希腊数学家阿波罗尼斯的著作《圆锥曲线论》中有这样一个结论：平面内与两点距离的比为常数（）的点的轨迹是圆，后人称这个圆为阿波罗尼斯圆.已知点，，动点满足，若点的轨迹与圆：（）有且仅有三条公切线，则（ ）
A．B．1C．2D．3
3．数学家阿波罗尼斯证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数（且）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知在平面直角坐标系中，，动点满足，得到动点M的轨迹是阿氏圆．直线l：与圆恒有公共点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
4．已知平面内两个定点，及动点，若（且），则点的轨迹是圆.后世把这种圆称为阿波罗尼斯圆.已知，，直线，直线，若为，的交点，则的最小值为（ ）
A．3B．C．D．
5．阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是：已知动点M与两定点Q，P的距离之比，那么点M的轨迹就是阿波罗尼斯圆.已知动点M的轨迹是阿波罗尼斯圆，其方程为，Q为x轴上一定点，，且，则点Q的坐标为（ ）
A．B．C．D．
6．古希腊数学家阿波罗尼斯的著作《圆锥曲线论》是古代数学的重要成果．其中有这样一个结论：平面内与两定点距离的比为常数的点的轨迹是圆，后人称这个圆为阿波罗尼斯圆．已知点，动点满足，则点的轨迹与圆的公共弦长为（ ）
A．B．C．D．
7．阿波罗尼斯研究发现：如果一个动点P到两个定点的距离之比为常数（，且），那么点P的轨迹为圆，这就是著名的阿波罗尼斯圆．若点C到，的距离之比为，则点C到直线的最小距离为（ ）
A．B．C．D．
8．希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名.他发现：“平面内到两个定点A，B的距离之比为定值（）的点的轨迹是圆”.后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系中，，若点P是满足的阿氏圆上的任意一点，点Q为抛物线上的动点，Q在直线上的射影为R，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
9．阿波罗尼斯是亚历山大时期的著名数学家，“阿波罗尼斯圆”是他的主要研究成果之一：若动点与两定点，的距离之比为(，且)，则点的轨迹就是圆，事实上，互换该定理中的部分题设和结论，命题依然成立.已知点，点为圆：上的点，若存在轴上的定点和常数，对满足已知条件的点均有，则（ ）
A．1B．C．D．
10．阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与阿基米德、欧几里得并称为亚历山大时期数学三巨匠，他研究发现：如果一个动点到两个定点的距离之比为常数（，且），那么点的轨迹为圆，这就是著名的阿波罗尼斯圆．若点到，的距离之比为，则点到直线的距离的最小值为（ ）
A．B．
C．D．
11．阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德并称为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻而系统的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线》一书，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是：已知动点M与两定点Q，P的距离之比（，），那么点M的轨迹就是阿波罗尼斯圆，已知动点的M与定点和定点的距离之比为2，其方程为，若点，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
12．公元前世纪，古希腊数学家阿波罗尼斯结合前人的研究成果，写出了经典之作《圆锥曲线论》，在此著作第七卷《平面轨迹》中，有众多关于平面轨迹的问题，例如:平面内到两定点距离之比等于定值（不为1）的动点轨迹为圆.后来该轨迹被人们称为阿波罗尼斯圆.已知平面内有两点和，且该平面内的点P满足，若点P的轨迹关于直线对称，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
13．阿波罗尼斯是古希腊数学家，他与阿基米德、欧几里得被称为亚历山人时期的“数学三巨匠”，以他名字命名的阿波罗尼斯圆是指平面内到两定点距离比值为定值的动点的轨迹.已知在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，，则面积的最大值为（ ）
A．B．C．D．
14．古希腊数学家阿波罗尼斯的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，它将圆锥曲线的性质网罗殆尽，几乎使后人没有插足的余地.他证明过这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数且的点的轨迹是圆，后人将之称为阿波罗尼斯圆.现有椭圆为椭圆长轴的端点，为椭圆短轴的端点，，分别为椭圆的左右焦点，动点满足面积的最大值为面积的最小值为，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
15．阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德并称为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻而系统的研究，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是：已知动点M与两定点A，B的距离之比为，那么点M的轨迹就是阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知在平面直角坐标系中，圆、点和点，M为圆O上的动点，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
16．希腊著名数学家阿波罗尼斯发现“平面内到两个定点的距离之比为定值的点的轨迹是圆”.后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系中，点，，若点是满足的阿氏圆上的任意一点，点为抛物线上的动点，在直线上的射影为，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
17．阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得､阿基米德被称为亚历山大时期数学三巨匠，阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点的距离之比为定值，且的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”.在平面直角坐标系中，，点满足.设点的轨迹为曲线，则下列说法错误的是（ ）
A．的方程为
B．当三点不共线时，则
C．在C上存在点M，使得
D．若，则的最小值为
18．阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得､阿基米德并称为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻而系统的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线》一书，阿波罗尼斯圆就是他的研究成果之一.指的是：已知动点与两定点的距离之比，那么点的轨迹就是阿波罗尼斯圆.已知动点的轨迹是阿波罗尼斯圆，其方程为，其中，定点为轴上一点，定点的坐标为，若点，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
19．古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：已知平面内两个定点及动点，若（且），则点的轨迹是圆．后来人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆（简称“阿氏圆”）．在平面直角坐标系中，已知，直线，直线，若为的交点，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
20．古希腊数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名.他发现：“平面内到两个定点A，B的距离之比为定值m（m≠1）的点的轨迹是圆”.后来，人们将这个圆以他的名字命名为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.在平面直角坐标系xOy中，，点P满.设点P的轨迹为C，则下列结论正确的是（ ）
A．C的方程为
B．当A，B，P三点不共线时，射线PO是∠APB的平分线
C．在C上存在K使得
D．在x轴上存在异于A，B的两个定点D，E，使得
21．在平面上，动点与两定点满足（且），则的轨迹是个圆，这个圆称作为阿波罗尼斯圆.已知动点与两定点满足，记的轨迹为圆.则下列结论正确的是（ ）
A．圆方程为：
B．过点作圆的切线，则切线长是
C．过点作圆的切线，则切线方程为
D．直线与圆相交于两点，则的最小值是
22．希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名.他发现：“平面内到两个定点A，B的距离之比为定值的点的轨迹是圆”.后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.在平面直角坐标系xOy中，已知，，点P是满足的阿氏圆上的任一点，若点Q为抛物线E：上的动点，Q在直线上的射影为H，F为抛物线E的焦点，则下列选项正确的有（ ）
A．的最小值为2
B．的面积最大值为
C．当最大时，的面积为
D．的最小值为
23．古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名，他发现：“平面内到两个定点A，B的距离之比为定值的点的轨迹是圆．”后来人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．在平面直角坐标系中，，，点满足，点的轨迹为曲线，下列结论正确的是（ ）
A．曲线的方程为
B．直线与曲线有公共点
C．曲线被轴截得的弦长为
D．面积的最大值为
24．古希腊数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名，他发现：“平面内到两个定点A，B的距离之比为定值m（且）的点的轨迹是圆”．人们将这个圆以他的名字命名为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．在平面直角坐标系xOy中，，，点P满足．设点P的轨迹为C，则下列结论正确的是（ ）
A．轨迹C的方程为
B．轨迹C与圆M：有两条公切线
C．轨迹C与圆O：的公共弦所在直线方程为
D．当A，B，P三点不共线时，射线PO是∠APB的平分线
25．古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现了平面内到两个定点的距离之比为定值的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”．在平面直角坐标系中，已知，点满足，设点的轨迹为圆，下列说法正确的是（ ）
A．圆的方程是
B．的取值范围为
C．过点A作直线，若圆上恰有三个点到直线距离为3，该直线斜率为
D．过点A向圆引切线，两条切线的夹角为
26．古希腊著名数学家阿波罗尼斯（约公元前262年至前190年）与欧几里得､阿基米德齐名，著有《圆锥曲线论》八卷．他发现平面内到两个定点的距离之比为定值的点所形成的图形是圆．后来人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆．已知在平面直角坐标系中，．点满足，设点的轨迹为曲线，下列结论正确的是（ ）
A．曲线的方程为
B．曲线的周长为
C．曲线上的点到直线的最小距离为
D．若点为抛物线上的动点，抛物线的焦点为，则的最小值为2
27．古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点的距离之比为定值的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”．在平面直角坐标系中，，点满足．设点的轨迹为，则（ ）
A．轨迹的方程为
B．在轴上存在异于的两点，使得
C．当三点不共线时，射线是的角平分线
D．在轨迹上存在点，使得
28．古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名，他发现：平面内到两个定点、的距离之比为定值的点所形成的图形是圆．后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知在平面直角坐标系中，，．动点满足，设动点的轨迹为曲线，下列结论正确的是（ ）
A．的方程为
B．关于直线对称的曲线方程为
C．在上存在点，使得到点的距离为3
D．若，，则在上不存在点，使得
29．古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点的距㐫之比为定值的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”．在平面直角坐标系中，已知，，点满足，设点的轨迹为圆，下列结论正确的是（ ）
A．点的轨迹所包围的图形的面积等于
B．过点向圆引切线，两条切线的夹角为
C．过点作直线，若圆上恰有三个点到直线距离为2，该直线斜率为
D．若点，则的最小值为
30．古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点，的距离之比为定值的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”．在平面直角坐标系中，，，点满足．设点的轨迹为，则（ ）．
A．轨迹的方程为
B．在轴上存在异于，的两点，，使得
C．当，，三点不共线时，射线是的角平分线
D．在上存在点，使得
31．阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德被称为亚历山大时期数学三巨匠，阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点，的距离之比为定值（，且）的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”.在平面直角坐标系中，，，点满足.设点的轨迹为曲线，则下列说法正确的是（ ）
A．的方程为
B．当，，三点不共线时，则
C．在上存在点，使得
D．若，则的最小值为
32．古希腊数学家阿波罗尼奥斯发现:平面上到两定点距离之比为常数且的点的轨迹是一个圆心在直线上的圆,该圆简称为阿氏圆.根据以上信息解决下面的问题:在长方体中,,点在棱上,,动点满足为棱的中点,为的中点.以为原点,所在的直线为轴,轴,轴,建立如图所示的空间直角坐标系.下列说法正确的是（ ）
阿波罗尼奥斯
A．若点只在平面内运动,则点所形成的阿氏圆的半径为
B．若点只在平面内运动,则△的面积最小值为
C．类比阿氏圆定义,点在长方体内部运动时,的轨迹为球面的一部分
D．若点在平面内运动,则点到平面的距离最小值为
三、填空题
33．在平面四边形ABCD中，， ，．若， 则的最小值为 ．
34．波罗尼斯（古希腊数学家，约公元前262-190年）的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，它将圆锥曲线的性质网罗殆尽几乎使后人没有插足的余地.他证明过这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数k（且）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.现有，，则当的面积最大时，AC边上的高为 .
35．已知满足，则函数的最小值为 ．
36．古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名.他发现：“平面内到两个定点、的距离之比为定值（且）的点的轨迹是圆”.后来人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆，在平面直角坐标系中，、，点满足，则的最小值为 .
37．若A，B是平面内不同的两定点，动点满足（且），则点的轨迹是一个圆，这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故被称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知是圆上的动点，点，，则的最大值为 ．
38．希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名，他发现：“平面内到两个定点的距离之比为定值的点的轨迹是圆”．后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知在平面直角坐标系中，点，，点是满足的阿氏圆上的任一点，则该阿氏圆的方程为 ；若点为抛物线上的动点，点在轴上的射影为，则的最小值为 ．
39．古希腊数学家阿波罗尼斯（约公元前262～公元前190年）的著作《圆锥曲线论》是古代数学的重要成果，其中有这样一个结论：平面内与两点距离的比为常数的点的轨迹是圆，后人称这个圆为阿波罗尼斯圆，已知点，，动点满足，则点的轨迹与圆的公切线的条数为 .
40．希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得､阿基米德齐名.他发现：“平面内到两个定点A，B的距离之比为定值的点的轨迹是圆”.后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系中，，点是满足的阿氏圆上的任一点，若抛物线的焦点为，过点的直线与此阿氏圆相交所得的最长弦与最短弦的和为 .
41．古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名.他发现：“平面内到两个定点A、B的距离之比为定值（且）的点的轨迹是圆”.后来人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆，在平面直角坐标系中，，，点满足，则点P的轨迹方程为 .（答案写成标准方程），的最小值为 .
42．在平面上给定相异两点A，B，设P点在同一平面上且满足，当且时，P点的轨迹是一个圆，这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故我们称这个圆为阿波罗尼斯圆，现有双曲线（，），A，B为双曲线的左、右顶点，C，D为双曲线的虚轴端点，动点P满足，面积的最大值为，面积的最小值为4，则双曲线的离心率为 .
43．古希腊数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点，的距离之比为定值的点的轨迹是圆.人们将这个圆称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知点，，动点满足，记动点的轨迹为曲线，给出下列四个结论：
①曲线的方程为；
②曲线上存在点，使得到点的距离为；
③曲线上存在点，使得到点的距离大于到直线的距离；
④曲线上存在点，使得到点与点的距离之和为.
其中所有正确结论的序号是 .
44．古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点的距离之比为定值的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”.在平面直角坐标系中，已知，点满足，设点的轨迹为圆，（1）圆的标准方程为 ；（2）若为圆上任意一点，则的最大值为 .
45．古希腊数学家阿波罗尼斯（Apllnius f Perga，约公元前262~190年）发现：平面上两定点A，B，则满足的动点M的轨迹是一个圆，后人称这个圆为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.在直角坐标系xOy中，已知，动点M满足，则面积的最大值为 .
46．古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现了平面内到两个定点的距离之比为定值的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”.已知，Q为直线上的动点，为圆上的动点，则的最小值为 .
47．古希腊数学家阿波罗尼奥斯发现：平面上到两定点A，B距离之比为常数λ（λ＞0且λ≠1）的点的轨迹是一个圆心在直线AB上的圆，该圆简称为阿氏圆．根据以上信息，解决下面的问题：如图，在长方体中，，点E在棱AB上，，动点满足．若点在平面ABCD内运动，则点所形成的阿氏圆的半径为 ；若点在长方体内部运动，F为棱的中点，M为CP的中点，则三棱锥的体积的最小值为 ．
参考答案：
1．C
【分析】以为原点建立平面直角坐标系，结合题意可得点在空间内的轨迹为以为球心，半径为4的球.再根据球的性质求解即可.
【详解】在图1中，以为原点建立平面直角坐标系如图2所示，设阿氏圆圆心为，半径为.
因为，所以，所以.
设圆与交于点.由阿氏圆性质，知.
又，所以.又，所以，解得，所以，所以点在空间内的轨迹为以为球心，半径为4的球.
①当点在面内部时，如图2所示，截面圆与分别交于点，所以点在面内的轨迹为.因为在Rt中，，所以，所以，所以点在面内部的轨迹长为.
②同理，点在面内部的轨迹长为.
③当点在面内部时，如图3所示，因为平面，所以平面截球所得小圆是以为圆心，以长为半径的圆，截面圆与分别交于点，且，所以点在面内的轨迹为，且.
综上，点的轨迹长度为.
故选：C
2．D
【分析】由题意计算可得点的轨迹为圆，由公切线条数可知两圆外切，借助两圆外切的性质计算即可得解.
【详解】由题意可得，化简得，
即，即动点的轨迹为以为圆心，为半径的圆，
由：（），可得，
故圆以为圆心，为半径，由两圆有且仅有三条公切线，
故两圆外切，即有，即.
故选：D.
3．A
【分析】设点，求出动点的轨迹圆的方程，根据直线与圆的位置关系列出不等式，即可求出的取值范围．
【详解】由题意，设点，
∵，，
∴，即，
所以动点M的轨迹圆C的方程为，
圆心，半径，
∵直线l：与圆恒有公共点，
∴圆心到直线l的距离，即，解得，
则的取值范围是．
故选：A．
.
4．A
【分析】由直线方程可得，则点的轨迹是以为直径的圆，除去点，得到的轨迹方程为，即，可得，取，则，结合，可得，进而求解.
【详解】由已知过定点，
过定点，
因为，，所以，即，
所以点的轨迹是以为直径的圆，除去点，故圆心为，半径为3，
则的轨迹方程为，即，易知O、Q在该圆内，
又，
即，
取，则，又，
所以，
所以的最小值为.
故选：A.
5．C
【分析】由题可设，按照阿波罗尼斯圆定义得轨迹方程，根据已知轨迹方程列式即可得得值，从而可得点Q的坐标.
【详解】解：设，，所以.
由，得.
因为，所以，整理得：.
因为动点M的轨迹方程是，所以解得，所以.
故选：C.
6．C
【分析】首先求出点的轨迹的方程，即可得到其圆心与半径，再得到圆的圆心与半径，即可判断两圆相交，再两圆方程作差即可得到公共弦方程，求出圆心到公共弦所在直线的距离，最后由计算可得.
【详解】由题意知，化简得，其圆心为，半径，
又圆的圆心为，半径，
所以，且，所以两圆相交，
其公共弦所在的直线方程为，
圆心到公共弦所在直线的距离，
故公共弦长为.
故选：C
7．A
【分析】设，依题意求出点的轨迹方程，进而可求点到直线的距离的最小值．
【详解】解：由题意，设，由，，
因为，所以，即，
所以点的轨迹为以为圆心，半径的圆，
又点到直线的距离，
所以点到直线的距离的最小值为．
故选：A．
8．D
【分析】先求出点的轨迹方程，再结合阿波罗尼斯圆的定义及抛物线的定义可得，从而可得出答案.
【详解】设，
则，
化简整理得，
所以点的轨迹为以为圆心为半径的圆，
抛物线的焦点，准线方程为，
则
，
当且仅当（两点在两点中间）四点共线时取等号，
所以的最小值为.
故选：D.
9．B
【分析】作出图形，由已知可得，代入坐标可得选项.
【详解】如下图所示，由于圆上的任意一点均有，所以A,B两点也满足该关系式. ，，，，
，解得，
故选：B.
【点睛】本题考查曲线的新定义，关键在于理解和运用新定义，属于中档题.
10．A
【分析】先求出点的轨迹方程，数形结合得到最小距离为圆心到直线的距离减去半径，结合点到直线距离公式求出答案.
【详解】设，则，化简得，
即点的轨迹方程为以为圆心，为半径的圆，
则点到直线的距离的最小值为圆心到直线的距离减去半径，
即，点到直线的距离最小值为.
故选：A
11．C
【分析】令，应用两点距离公式列方程求M轨迹，结合已知圆的方程求参数m，进而得，再由，数形结合求目标式最小值.
【详解】由题设，令，则，
所以，则，即，
又，即在圆外，，即在圆外，
由，当且仅当共线上等号成立，
所以的最小值为.
故选：C
12．B
【分析】由题意计算得的轨迹方程为，根据对称性可得圆心在直线方程上，即，从而利用乘“1”法即可得到最值.
【详解】设点的坐标为，因为，则，
即，
所以点的轨迹方程为，
因为点的轨迹关于直线对称，
所以圆心在此直线上，即，
所以，
当且仅当，即时，等号成立，
所以的最小值是.
故选：B.
13．C
【分析】由已知条件结合余弦定理，可求出，，建立坐标系求出点所在的圆的方程，求出点到距离的最大值，即可求出结论.
【详解】依题意，，得，
即，以边所在的直线为轴，的垂直平分线为轴
建立直角坐标系，则，设，
由，则的轨迹为阿波罗尼斯圆，其方程为
，边高的最大值为，
∴.
故选:C
【点睛】本题考查正、余弦定理解三角形，考查轨迹方程的求法，以及三角形的面积最值，属于中档题.
14．A
【分析】由题可得动点M的轨迹方程，可得，，即求.
【详解】设，，
由，可得=2，
化简得.
∵△MAB面积的最大值为面积的最小值为，
∴，，
∴，即，
∴．
故选：A．
15．B
【分析】令，则，由阿氏圆的定义可知：，由数形结合可知的最大值.
【详解】设，令，则，
由题知圆是关于点A、C的阿波罗尼斯圆，且，
设点，则，
整理得：，
比较两方程可得：，，，即，，点，
当点M位于图中的位置时，的值最大，最大为.
故选：B.
【点睛】关键点点睛：本题主要考查直线和圆的位置关系，圆上动点问题，解题的关键是通过数形结合知两线段距离差的最值是在两端点为起点的的射线上，属于一般题.
16．B
【分析】先求出点的轨迹方程，再结合阿波罗尼斯圆的定义及抛物线的定义可得，从而可得出答案.
【详解】设，则，
化简整理得，
所以点的轨迹为以为圆心1为半径的圆，
抛物线的焦点，准线方程为，
则
，
当且仅当（两点在两点中间）四点共线时取等号，
所以的最小值为.
故选：B.
17．C
【分析】根据已知条件及两点之间的距离公式，利用三角形的角平分线定理及圆与圆的位置关系，结合三点共线时线段取得最短即可求解.
【详解】设，由，得，化简得，故A正确；
当三点不共线时，，所以是的角平分线，所以，故B正确；
设,则，化简得，因为，所以C上不存在点M，使得，故C错
误；
因为，所以，所以，当且仅当在线段上时，等号成立，故D正确.
故选：C.
18．D
【分析】设，，根据和求出a的值，由，两点之间直线最短，可得的最小值为，根据坐标求出即可.
【详解】设，，所以，由，
所以，因为且，所以，
整理可得，又动点M的轨迹是，所以，
解得，所以，又，
所以，
因为，所以的最小值，
当M在位置或时等号成立.
故选：D
19．A
【分析】由已知可得，则点的轨迹是以为直径的圆，除去点，得到的轨迹方程为， 由阿氏圆性质找到点，将转化为，问题转化为求解到两定点距离之和最小即可.
【详解】当时，，此时，交点为.
当时，由，斜率为，
由，斜率为，，
综上，.
又， 直线恒过，
，直线恒过，
若为的交点，则，设点，
所以点的轨迹是以为直径的圆，除去点，
则圆心为的中点，圆的半径为，
故的轨迹方程为，
即，则有.
又，易知O、Q在该圆内，
又由题意可知圆上一点满足，取，
则，满足.
下面证明任意一点都满足，即，
，
又，
.
所以，
又，
所以，
如图，当且仅当三点共线，且位于之间时，等号成立
即最小值为.
故选：A.
20．BD
【分析】设点，根据题意可求出的方程可判断A，根据三角形内角平分线的性质可判断B，求出点K的轨迹方程与的方程联立可判断C，设.的坐标结合的方程可判断D.
【详解】设点，则由可得，
化简可得，故A错误；
当，，三点不共线时，因为，，
所以，所以，射线是的平分线，故B正确；
设存在，则，即，
因为，所以，
所以，所以，
又因为，所以，又因为不满足，
所以不存在满足条件，故C错误；
假设轴上存在异于的两定点，使得，
可设，可得，
由P的轨迹方程为，可得，
解得或（舍去），即存在，故D正确.
故选：BD.
【点睛】本题考查阿波罗尼斯圆的定义及应用，属于新定义问题；证明角平分线除了可以通过线段的长度比来证明，还可以通过点到线段两边的距离相等来证明；和圆有关的线段长度问题，可以利用坐标法来解决问题.
21．ABD
【分析】利用距离关系列式求解方程判断A，利用切线长定理求解判断B，利用切线性质求出斜率，代入点斜式即可求出切线方程判断C，先求出直线恒过定点，再利用几何性质结合弦长公式求解判断D.
【详解】对于A，由题意点，，
因为，所以，即，
所以动点M的轨迹圆C的方程为，正确；
对于B，由选项A知圆心，半径，设切点为D，
所以，则，因为，
所以，即过点作圆的切线，切线长是，正确；
对于C，因为，所以点在圆上，因为，
所以过点的切线斜率为，
所以切线方程为，即，错误；
对于D，由，可得，
联立，解得，即该直线恒过定点，因为，
所以点在圆内，由图知，当轴时，此时，
有最小值是，正确.
故选：ABD
22．ACD
【分析】A选项，由抛物线定义得到，数形结合得当三点共线时取得最小值，得到A正确；B选项，求出点的轨迹为以为圆心，3为半径的圆，求出到直线的距离最大值，从而得到面积的最大值；C选项，数形结合得到要想取得最大值，则需最大，当与垂直时，取得最大值，并根据求出正弦值，利用三角形面积公式求出此时的面积，D选项，由题意及抛物线定义得到，求出四点共线时，取得最小值，求出答案.
【详解】A选项，抛物线的准线方程为，，
由抛物线定义可得，
则，
由三角形三边关系可得，
当且仅当三点共线时，等号成立，
故的最小值为，A正确；
B选项，由题意得，点的轨迹方程为，
化简得，即以为圆心，3为半径的圆，
直线，即，
圆心到直线的距离为，
则到直线的距离最大值为，
又，
故的面积最大值为，B错误；
C选项，为定值，由勾股定理得，
且，，
要想取得最大值，则需最大，
如图所示，当与垂直且在图中位置时，取得最大值，
其中，故，，，
故当最大时，
，
则的面积为，C正确；
D选项，由题意得，，
，
连接，线段与圆和抛物线的交点分别为，
即四点共线时，取得最小值，
最小值为，
故最小值为，D正确.
故选：ACD
【点睛】圆锥曲线中最值或范围问题的常见解法：
（1）几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用几何法来解决；
（2）代数法，若题目的条件和结论能体现某种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值或范围．
23．ACD
【分析】通过阿氏圆的定义结合，设，从而可以得到曲线C的方程；
通过计算圆心到直线的距离是否小于等于半径，从而判断B的正确性；
计算圆心到轴的距离，结合，得到曲线被轴截得的弦长，从而判断C的正确性；
的长度确定，所以面积的最大值即为点到距离的最大值，从而判断C的正确性.
【详解】设，
对于选项A，因为，所以，化简得，故A正确；
对于选项B，因为曲线C为，所以圆心为，半径为，计算圆心到直线的距离为，
所以直线与曲线C没有公共点，故B错误；
对于选项C，曲线的圆心在轴上，所以被轴截得的弦即为直径，所以曲线被轴截得的弦长为，故C正确；
对于选项D，因为，，所以,故，
而曲线C为，所以，即的最大值为，故D正确.
故选：ACD
24．ACD
【分析】设，根据题意运用两点间距离公式列出方程，化简得轨迹C的方程，可判断选项A；判断两圆的位置关系即可判断选项B；根据两圆公共弦的求法可判断选项C；由角平分线定理的逆定理可判断选项D.
【详解】如图：
对于选项A，因为在平面直角坐标系中，，，点满足.
设，则，化简可得，故选项A正确；
对于选项B，由可得圆心，半径；
由圆M：可得圆心，半径.
由两点间距离公式得，即.
所以两圆外切，有3条公切线，故选项B错误；
对于选项C，因为，
所以两圆相交.
则两圆方程相减可得：它们的公共弦所在直线方程为，故选项C正确；
对于选项D，因为，
所以点在圆C上.，即.
所以由角平分线定理的逆定理可得：当A，B，P三点不共线时，射线是的平分线，故D正确.
故选：ACD．
25．BC
【分析】A选项，设，根据得到方程，化简后得到圆的方程；B选项，根据圆的方程，得到，再利用两点间距离公式得到；C选项，若圆上恰有三个点到直线距离为3，则圆心到直线的距离为1，分直线斜率不存在和存在两种情况，结合点到直线距离公式求出答案；D选项，根据半径和，得到三角函数值，求出两切线夹角.
【详解】A选项，设，则，
变形得到，A错误；
B选项，由A选项可知，，
由得，解得，
，B正确；
C选项，的圆心为，半径为4，
当直线的斜率不存在时，直线过圆心，显然不满足要求，
当直线的斜率存在时，设其为，
若圆上恰有三个点到直线距离为3，则圆心到直线的距离为1，
即，解得，
故过点A作直线，若圆上恰有三个点到直线距离为3，该直线斜率为，C正确；
D选项，由于，半径为4，故，
故，故两条切线的夹角为，D错误.
故选：BC
26．ACD
【分析】根据题意求出的轨迹，结合圆中的相关知识进行分析判断即可.
【详解】对于A，设，则，
化简得，，即，则选项A正确；
对于B，可知曲线的半径为1，周长为，故B错误；
对于C，设曲线上的圆心，
所以圆心到直线的距离为：，
曲线上的点到直线的最小距离为，故C正确；
对于D，由抛物线的定义知，，
，
的准线方程为：，
所以的最小值为点到直线的距离减半径，
即为，故D正确.
故选：ACD.
27．BCD
【分析】求出轨迹的方程判断A；设，，结合两点间距离公式及轨迹C的方程计算判断B；结合三角形面积公式确定角平分线判断C；设，由建立方程组，求出点坐标判断D.
【详解】对于A，设，则，整理得，即，A错误；
对于B，假设在轴上存在异于，的两点，，使得，
设，，则，
整理得，而点的轨迹方程为，
于是，解得或（舍去），B正确；
对于C，如图所示，
当三点不共线时，，即，
于是，显然，因此，
射线是的角平分线，C正确；
对于D，假设在C上存在点M，使得，设，则，，
则，整理得，又，
联立解得或，D正确.
故选：BCD
28．ABD
【分析】设，应用两点距离公式及已知得的方程为判断A；利用对称性求对称圆的圆心，即得对称圆的方程判断B；求出与圆心距离，结合半径判断C；应用点斜式写出的中垂线，应用点线距离及半径的关系判断中垂线与圆的位置关系判断D.
【详解】设，则，
所以，则，
整理得，A对；
由上，设对称圆的圆心为，则，
所以对称的曲线方程为，B对；
由到圆心的距离为，由圆半径，
所以到圆的最短距离为，故不存在，使到的距离为3，C错；
由中点为，且，则的中垂线为，
圆心到的距离，
故在上不存在点，使得，D对.
故选：ABD
29．ABD
【分析】根据，，点满足，设点，求出其轨迹方程，然后再逐项运算验证.
【详解】因为，，点满足，
设点，则 ，
化简得：，即 ，
则该圆圆心，半径为4，面积为，故A正确；
显然，所以，因为，则，解得 ，故B正确；
易知直线的斜率存在，设直线，因为圆上恰有三个点到直线距离为2，
则圆心到直线的距离为：，解得，故C错误；
对于D，因为，则，所以，
显然当三点共线时，取得最小值，即，故D正确.
故选：ABD.
30．BC
【分析】利用求轨迹方程的方法确定轨迹的方程可判断A；设，，由两点间的距离公式结合轨迹的方程可判断B；由角平分线的定义可判断C；设，由求出点的轨迹方程与联立，可判断D.
【详解】对于A，在平面直角坐标系中，，，点满足，
设，则，化简得，
即，所以A错误；
对于B，假设在轴上存在异于，的两点，，使得，
设，，则，
化简得，
由轨迹的方程为，可得，，
解得，或，（舍去），所以B正确；
对于C，当，，三点不共线时，，
可得射线是的角平分线，所以C正确；
对于D，若在上存在点，使得，可设，
则，化简得，
与联立，方程组无解，故不存在点，所以D错误．
故选：BC．
31．ABD
【分析】对于A，通过直接法求出点的轨迹方程即可判断；
对于B，由题意，结合三角形内角平分线定理进行判断即可；
对于C，由“阿波罗尼斯圆”定义，求点轨迹方程，用圆与圆的位置关系进行判断即可；
对于D，将转化为进行判断即可.
【详解】设，（不与，重合）
∵，，∴，，
∴，得，化简得，
∴点的轨迹曲线是以为圆心，半径的圆，
对于A，曲线的方程为，故选项A正确；
对于B，由已知，，，∴，
∴当，，三点不共线时，由三角形内角平分线定理知，是内角的角平分线，
∴，故选项B正确；
对于C，若，则，由题意，点轨迹是圆，
设，由得，化简得点轨迹方程为，
即点的轨迹是圆心为，半径的圆，
圆与圆的圆心距，
∴圆与圆的位置关系为内含，圆与圆无公共点，
∴上不存在点，使得，故选项C错误；
对于D，∵，∴，
∴，
当且仅当在线段上时，等号成立，故选项D正确.
故选：ABD.
32．BC
【分析】当点只在平面内运动时,可简化为平面直角坐标系内的距离问题,通过两点间的距离公式化简运算即可判断项；当点在长方体内部运动时,通过空间直角坐标系得相关点的坐标,借助空间中两点的距离公式,化简整理可得点的轨迹方程,即可判断项；当点在平面内运动时,可借助项中点的轨迹方程得此时的轨迹方程,再根据空间中点到平面的距离运算即可判断项.
【详解】在平面内,设点
由得即
所以若点只在平面内运动,则点所形成的阿氏圆的半径为
且当点时,△的面积最小为故错误,正确；
当点在长方体内部运动时,设,
由得即
的轨迹为球面的一部分,故正确；
当点在平面内运动时,设
由得即
设平面的法向量为则
令则
所以点到平面的距离为
由得
所以点到面的距离最小值为故错误.
故选：BC.
【点睛】本题考查空间动点轨迹问题,考查了转化思想,计算能力,属于中档题.
33．
【分析】以的中点为坐标原点，以方向为轴正向，建立如下平面直角坐标系. 设，根据已知条件可求得点在以为圆心，2为半径的圆上，取，可得，从而有，因此＝，因此只要最小即可．
【详解】如图，以的中点为坐标原点，以方向为轴正向，建立如下平面直角坐标系.
则，，
设，则，，
因为
所以，即：
整理得：，所以点在以原点为圆心，半径为2的圆上.
在轴上取，连接
可得，所以，所以
由图可得：当三点共线时，即点在图中的位置时，最小.
此时最小为.
故答案为．
【点睛】本题考查平面向量的数量积，考查平面向量的几何应用．解题关键点有二，一是建立坐标系，求出点在一个圆上，二是取点，构造出，于是，问题转化为求的最小值．
34．
【解析】，,即．根据阿波罗尼斯圆可得：点B的轨迹为圆, 以线段AC中点为原点，AC所在直线为x轴建立直角坐标系,求出B的轨迹方程，进而得出结论．
【详解】解：为非零常数，
根据阿波罗尼斯圆可得：点B的轨迹是圆.
以线段AC中点为原点，AC所在直线为x轴建立直角坐标系
则，设，∵
∴
，整理得
因此，当面积最大时，BC边上的高为圆的半径.
【点睛】本题考查了阿波罗尼斯圆的应用、正弦定理、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
35．
【分析】由题意可将所求变形为，则表示两点之间的距离，表示两点之间的距离，
设，使得，利用阿氏圆性质求出两点的坐标，进而可得出答案.
【详解】由，
得
，
表示两点之间的距离，
表示两点之间的距离，
则，
设，使得，
由阿氏圆性质知，
则，
当且仅当三点共线，且在线段上时，取等号，
所以的最小值为．
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：将所求变形为，是解决本题的关键.
36．
【分析】设点，利用已知条件求出点的轨迹方程，利用平面向量数量积的运算性质可得出，求出的最小值，即可得出的最小值.
【详解】设点，由可得，整理可得，
化为标准方程可得，
因为为的中点，
所以，
，
记圆心为，当点为线段与圆的交点时，
取最小值，此时，，
所以，.
故答案为：.
37．
【分析】设，求出，然后将求的最大值问题转化为求的最大值问题，数形结合即可得答案.
【详解】由题意得设，，
所以，则，
由于是圆上的点，
所以，
所以，解得，即，
所以，如图，
所以的最大值为，
故答案为：.
38． /
【分析】先求出点的轨迹方程，再结合阿波罗尼斯圆的定义及抛物线的定义可得，当且仅当四点共线时取等号.
【详解】设，已知，，
则，，
化简整理得，
所以点的轨迹为以为圆心，2为半径的圆，且.
抛物线的焦点，准线方程为，
则
，
当且仅当（两点在两点中间）四点共线时取等号，
所以的最小值为.
故答案为：；.
39．2
【分析】利用阿波罗尼斯圆定义可得点的轨迹方程为，由两圆圆心距与半径的关系可得两圆相交，可得有2条公切线.
【详解】由题意设，
易知，即可得，
整理得点的轨迹方程为，
其轨迹是以为圆心，以2为半径的圆，
而圆的圆心坐标为，半径为1，
可得两圆的圆心距为2，大于，小于，
则动点的轨迹与圆的位置关系是相交.
故公切线的条数为2.
故答案为：2
40．
【分析】由阿氏圆的定义得到点的轨迹方程，即阿氏圆的方程，然后由圆的性质即可求解.
【详解】设，由阿氏圆的定义可得，
即，化简得.
所以，所以点在圆心为，半径为的圆上，
因为抛物线的焦点为.所以，
因为.所以点在圆内，
因为点到与圆心的距离为，
所以过点的最短弦长为，过点的最长弦长为，
所以过点的最长弦与最短弦的和为.
故答案为：
41．
【分析】设点P坐标，然后用直接法可求；根据轨迹方程和数量积的坐标表示对化简，结合轨迹方程可得x的范围，然后可解.
【详解】设P点坐标为，则由，得，化简得，即.
因为，
所以
因为点P 在圆上，故
所以，故的最小值为.
故答案为：，
42．
【分析】根据为双曲线的左、右顶点可设,,,由两点间距离公式并化简可得动点的轨迹方程.由为双曲线的左、右顶点可知当位于圆的最高点时的面积最大,根据面积最大值求得.当位于圆的最左端时的面积最小,结合最小面积可求得,即可求得双曲线的离心率.
【详解】设,,,
依题意,得,
即,
两边平方化简得,则圆心为,半径,
当位于圆的最高点时的面积最大,最大面积为,
解得；
当位于圆的最左端时的面积最小,最小面积为,
解得,
故双曲线的离心率为.
故答案为:
【点睛】本题考查了两点间距离公式的应用,轨迹方程的求法,圆与双曲线的综合应用,双曲线离心率的求法,属于中档题.
43．①④
【分析】设,根据满足,利用两点间距离公式化简整理，即可判断①是否正确；
由①可知，圆上的点到的距离的范围为,进而可判断②是否正确；
设，根据题意可知，再根据在曲线上，可得，由此即可判断③是否正确；由椭圆的的定义，可知在椭圆上，再根据椭圆与曲线的位置关系，即可判断④是否正确.
【详解】设,因为满足,所以,整理可得：,即,所以①正确；
对于②中,由①可知，点在圆的外部,因为到圆心的距离,半径为,所以圆上的点到的距离的范围为,而,所以②不正确；
对于③中,假设存在，使得到点的距离大于到直线的距离,
又，到直线的距离，
所以，化简可得，又，
所以，即，故假设不成立，故③不正确；
对于④中,假设存在这样的点，使得到点与点的距离之和为，则在以点与点为焦点，实轴长为的椭圆上，即在椭圆上，易知椭圆与曲线有交点，故曲线上存在点，使得到点与点的距离之和为；所以④正确.
故答案为：①④.
44． 40
【分析】设点，用坐标表示点满足的条件得其轨迹方程，然后利用三角换元法换元代入，再由三角函数知识得最大值．
【详解】因为，点满足，
设点，则，化简得：，即；
圆的方程可化为，设，
则（）
所以的最大值为40.
故答案为：40.
45．13
【分析】根据题意求点的方程与边，利用圆上的点到直线的最远距离为圆心到直线的距离加上半径，即可求出边的高，进而求出面积的最大值.
【详解】设点，
，故点的方程为.
直线的方程为
圆心到直线的距离.
设点到边的高为，
的最大值为.
故答案为：13.
46．
【分析】先利用“阿波罗尼斯圆”定义设出点，由，得到，再由，即可求出最小值.
【详解】由阿波罗尼斯圆的定义，设，定点，令，则
，
平方化简得，
因为此方程与为同一方程，
所以，解得，所以点，
所以，
当且仅当、、三点共线时，等号成立，
即最小值为点到直线的距离：，
故答案为：.
47．
【分析】以AB为轴，AD为轴，为轴，建立如图所示的坐标系，设，求出点的轨迹为，即得点所形成的阿氏圆的半径；②先求出点的轨迹为，到平面的距离为，再求出的最小值即得解三棱锥的体积的最小值.
【详解】
①以AB为轴，AD为轴，为轴，建立如图所示的坐标系，则，设，
由得，
所以，
所以若点在平面内运动，则点所形成的阿氏圆的半径为.
②设点，由得，
所以，
由题得
所以，设平面的法向量为，
所以，
由题得，
所以点到平面的距离为，
因为，
所以，所以点M到平面的最小距离为，
由题得为等边三角形，且边长为，
所以三棱锥的体积的最小值为.
故答案为： ，.
一、单选题
1．已知平面上两定点，则所有满足且的点的轨迹是一个圆心在直线上，半径为的圆.这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称作阿氏圆.已知棱长为6的正方体表面上的动点满足，则点的轨迹长度为（ ）
A．B．
C．D．
2．古希腊数学家阿波罗尼斯的著作《圆锥曲线论》中有这样一个结论：平面内与两点距离的比为常数（）的点的轨迹是圆，后人称这个圆为阿波罗尼斯圆.已知点，，动点满足，若点的轨迹与圆：（）有且仅有三条公切线，则（ ）
A．B．1C．2D．3
3．数学家阿波罗尼斯证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数（且）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知在平面直角坐标系中，，动点满足，得到动点M的轨迹是阿氏圆．直线l：与圆恒有公共点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
4．已知平面内两个定点，及动点，若（且），则点的轨迹是圆.后世把这种圆称为阿波罗尼斯圆.已知，，直线，直线，若为，的交点，则的最小值为（ ）
A．3B．C．D．
5．阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是：已知动点M与两定点Q，P的距离之比，那么点M的轨迹就是阿波罗尼斯圆.已知动点M的轨迹是阿波罗尼斯圆，其方程为，Q为x轴上一定点，，且，则点Q的坐标为（ ）
A．B．C．D．
6．古希腊数学家阿波罗尼斯的著作《圆锥曲线论》是古代数学的重要成果．其中有这样一个结论：平面内与两定点距离的比为常数的点的轨迹是圆，后人称这个圆为阿波罗尼斯圆．已知点，动点满足，则点的轨迹与圆的公共弦长为（ ）
A．B．C．D．
7．阿波罗尼斯研究发现：如果一个动点P到两个定点的距离之比为常数（，且），那么点P的轨迹为圆，这就是著名的阿波罗尼斯圆．若点C到，的距离之比为，则点C到直线的最小距离为（ ）
A．B．C．D．
8．希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名.他发现：“平面内到两个定点A，B的距离之比为定值（）的点的轨迹是圆”.后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系中，，若点P是满足的阿氏圆上的任意一点，点Q为抛物线上的动点，Q在直线上的射影为R，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
9．阿波罗尼斯是亚历山大时期的著名数学家，“阿波罗尼斯圆”是他的主要研究成果之一：若动点与两定点，的距离之比为(，且)，则点的轨迹就是圆，事实上，互换该定理中的部分题设和结论，命题依然成立.已知点，点为圆：上的点，若存在轴上的定点和常数，对满足已知条件的点均有，则（ ）
A．1B．C．D．
10．阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与阿基米德、欧几里得并称为亚历山大时期数学三巨匠，他研究发现：如果一个动点到两个定点的距离之比为常数（，且），那么点的轨迹为圆，这就是著名的阿波罗尼斯圆．若点到，的距离之比为，则点到直线的距离的最小值为（ ）
A．B．
C．D．
11．阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德并称为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻而系统的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线》一书，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是：已知动点M与两定点Q，P的距离之比（，），那么点M的轨迹就是阿波罗尼斯圆，已知动点的M与定点和定点的距离之比为2，其方程为，若点，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
12．公元前世纪，古希腊数学家阿波罗尼斯结合前人的研究成果，写出了经典之作《圆锥曲线论》，在此著作第七卷《平面轨迹》中，有众多关于平面轨迹的问题，例如:平面内到两定点距离之比等于定值（不为1）的动点轨迹为圆.后来该轨迹被人们称为阿波罗尼斯圆.已知平面内有两点和，且该平面内的点P满足，若点P的轨迹关于直线对称，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
13．阿波罗尼斯是古希腊数学家，他与阿基米德、欧几里得被称为亚历山人时期的“数学三巨匠”，以他名字命名的阿波罗尼斯圆是指平面内到两定点距离比值为定值的动点的轨迹.已知在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，，则面积的最大值为（ ）
A．B．C．D．
14．古希腊数学家阿波罗尼斯的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，它将圆锥曲线的性质网罗殆尽，几乎使后人没有插足的余地.他证明过这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数且的点的轨迹是圆，后人将之称为阿波罗尼斯圆.现有椭圆为椭圆长轴的端点，为椭圆短轴的端点，，分别为椭圆的左右焦点，动点满足面积的最大值为面积的最小值为，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
15．阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德并称为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻而系统的研究，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是：已知动点M与两定点A，B的距离之比为，那么点M的轨迹就是阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知在平面直角坐标系中，圆、点和点，M为圆O上的动点，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
16．希腊著名数学家阿波罗尼斯发现“平面内到两个定点的距离之比为定值的点的轨迹是圆”.后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系中，点，，若点是满足的阿氏圆上的任意一点，点为抛物线上的动点，在直线上的射影为，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
17．阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得､阿基米德被称为亚历山大时期数学三巨匠，阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点的距离之比为定值，且的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”.在平面直角坐标系中，，点满足.设点的轨迹为曲线，则下列说法错误的是（ ）
A．的方程为
B．当三点不共线时，则
C．在C上存在点M，使得
D．若，则的最小值为
18．阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得､阿基米德并称为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻而系统的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线》一书，阿波罗尼斯圆就是他的研究成果之一.指的是：已知动点与两定点的距离之比，那么点的轨迹就是阿波罗尼斯圆.已知动点的轨迹是阿波罗尼斯圆，其方程为，其中，定点为轴上一点，定点的坐标为，若点，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
19．古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：已知平面内两个定点及动点，若（且），则点的轨迹是圆．后来人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆（简称“阿氏圆”）．在平面直角坐标系中，已知，直线，直线，若为的交点，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
20．古希腊数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名.他发现：“平面内到两个定点A，B的距离之比为定值m（m≠1）的点的轨迹是圆”.后来，人们将这个圆以他的名字命名为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.在平面直角坐标系xOy中，，点P满.设点P的轨迹为C，则下列结论正确的是（ ）
A．C的方程为
B．当A，B，P三点不共线时，射线PO是∠APB的平分线
C．在C上存在K使得
D．在x轴上存在异于A，B的两个定点D，E，使得
21．在平面上，动点与两定点满足（且），则的轨迹是个圆，这个圆称作为阿波罗尼斯圆.已知动点与两定点满足，记的轨迹为圆.则下列结论正确的是（ ）
A．圆方程为：
B．过点作圆的切线，则切线长是
C．过点作圆的切线，则切线方程为
D．直线与圆相交于两点，则的最小值是
22．希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名.他发现：“平面内到两个定点A，B的距离之比为定值的点的轨迹是圆”.后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.在平面直角坐标系xOy中，已知，，点P是满足的阿氏圆上的任一点，若点Q为抛物线E：上的动点，Q在直线上的射影为H，F为抛物线E的焦点，则下列选项正确的有（ ）
A．的最小值为2
B．的面积最大值为
C．当最大时，的面积为
D．的最小值为
23．古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名，他发现：“平面内到两个定点A，B的距离之比为定值的点的轨迹是圆．”后来人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．在平面直角坐标系中，，，点满足，点的轨迹为曲线，下列结论正确的是（ ）
A．曲线的方程为
B．直线与曲线有公共点
C．曲线被轴截得的弦长为
D．面积的最大值为
24．古希腊数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名，他发现：“平面内到两个定点A，B的距离之比为定值m（且）的点的轨迹是圆”．人们将这个圆以他的名字命名为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．在平面直角坐标系xOy中，，，点P满足．设点P的轨迹为C，则下列结论正确的是（ ）
A．轨迹C的方程为
B．轨迹C与圆M：有两条公切线
C．轨迹C与圆O：的公共弦所在直线方程为
D．当A，B，P三点不共线时，射线PO是∠APB的平分线
25．古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现了平面内到两个定点的距离之比为定值的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”．在平面直角坐标系中，已知，点满足，设点的轨迹为圆，下列说法正确的是（ ）
A．圆的方程是
B．的取值范围为
C．过点A作直线，若圆上恰有三个点到直线距离为3，该直线斜率为
D．过点A向圆引切线，两条切线的夹角为
26．古希腊著名数学家阿波罗尼斯（约公元前262年至前190年）与欧几里得､阿基米德齐名，著有《圆锥曲线论》八卷．他发现平面内到两个定点的距离之比为定值的点所形成的图形是圆．后来人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆．已知在平面直角坐标系中，．点满足，设点的轨迹为曲线，下列结论正确的是（ ）
A．曲线的方程为
B．曲线的周长为
C．曲线上的点到直线的最小距离为
D．若点为抛物线上的动点，抛物线的焦点为，则的最小值为2
27．古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点的距离之比为定值的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”．在平面直角坐标系中，，点满足．设点的轨迹为，则（ ）
A．轨迹的方程为
B．在轴上存在异于的两点，使得
C．当三点不共线时，射线是的角平分线
D．在轨迹上存在点，使得
28．古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名，他发现：平面内到两个定点、的距离之比为定值的点所形成的图形是圆．后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知在平面直角坐标系中，，．动点满足，设动点的轨迹为曲线，下列结论正确的是（ ）
A．的方程为
B．关于直线对称的曲线方程为
C．在上存在点，使得到点的距离为3
D．若，，则在上不存在点，使得
29．古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点的距㐫之比为定值的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”．在平面直角坐标系中，已知，，点满足，设点的轨迹为圆，下列结论正确的是（ ）
A．点的轨迹所包围的图形的面积等于
B．过点向圆引切线，两条切线的夹角为
C．过点作直线，若圆上恰有三个点到直线距离为2，该直线斜率为
D．若点，则的最小值为
30．古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点，的距离之比为定值的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”．在平面直角坐标系中，，，点满足．设点的轨迹为，则（ ）．
A．轨迹的方程为
B．在轴上存在异于，的两点，，使得
C．当，，三点不共线时，射线是的角平分线
D．在上存在点，使得
31．阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德被称为亚历山大时期数学三巨匠，阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点，的距离之比为定值（，且）的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”.在平面直角坐标系中，，，点满足.设点的轨迹为曲线，则下列说法正确的是（ ）
A．的方程为
B．当，，三点不共线时，则
C．在上存在点，使得
D．若，则的最小值为
32．古希腊数学家阿波罗尼奥斯发现:平面上到两定点距离之比为常数且的点的轨迹是一个圆心在直线上的圆,该圆简称为阿氏圆.根据以上信息解决下面的问题:在长方体中,,点在棱上,,动点满足为棱的中点,为的中点.以为原点,所在的直线为轴,轴,轴,建立如图所示的空间直角坐标系.下列说法正确的是（ ）
阿波罗尼奥斯
A．若点只在平面内运动,则点所形成的阿氏圆的半径为
B．若点只在平面内运动,则△的面积最小值为
C．类比阿氏圆定义,点在长方体内部运动时,的轨迹为球面的一部分
D．若点在平面内运动,则点到平面的距离最小值为
三、填空题
33．在平面四边形ABCD中，， ，．若， 则的最小值为 ．
34．波罗尼斯（古希腊数学家，约公元前262-190年）的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，它将圆锥曲线的性质网罗殆尽几乎使后人没有插足的余地.他证明过这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数k（且）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.现有，，则当的面积最大时，AC边上的高为 .
35．已知满足，则函数的最小值为 ．
36．古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名.他发现：“平面内到两个定点、的距离之比为定值（且）的点的轨迹是圆”.后来人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆，在平面直角坐标系中，、，点满足，则的最小值为 .
37．若A，B是平面内不同的两定点，动点满足（且），则点的轨迹是一个圆，这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故被称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知是圆上的动点，点，，则的最大值为 ．
38．希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名，他发现：“平面内到两个定点的距离之比为定值的点的轨迹是圆”．后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知在平面直角坐标系中，点，，点是满足的阿氏圆上的任一点，则该阿氏圆的方程为 ；若点为抛物线上的动点，点在轴上的射影为，则的最小值为 ．
39．古希腊数学家阿波罗尼斯（约公元前262～公元前190年）的著作《圆锥曲线论》是古代数学的重要成果，其中有这样一个结论：平面内与两点距离的比为常数的点的轨迹是圆，后人称这个圆为阿波罗尼斯圆，已知点，，动点满足，则点的轨迹与圆的公切线的条数为 .
40．希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得､阿基米德齐名.他发现：“平面内到两个定点A，B的距离之比为定值的点的轨迹是圆”.后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系中，，点是满足的阿氏圆上的任一点，若抛物线的焦点为，过点的直线与此阿氏圆相交所得的最长弦与最短弦的和为 .
41．古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名.他发现：“平面内到两个定点A、B的距离之比为定值（且）的点的轨迹是圆”.后来人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆，在平面直角坐标系中，，，点满足，则点P的轨迹方程为 .（答案写成标准方程），的最小值为 .
42．在平面上给定相异两点A，B，设P点在同一平面上且满足，当且时，P点的轨迹是一个圆，这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故我们称这个圆为阿波罗尼斯圆，现有双曲线（，），A，B为双曲线的左、右顶点，C，D为双曲线的虚轴端点，动点P满足，面积的最大值为，面积的最小值为4，则双曲线的离心率为 .
43．古希腊数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点，的距离之比为定值的点的轨迹是圆.人们将这个圆称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知点，，动点满足，记动点的轨迹为曲线，给出下列四个结论：
①曲线的方程为；
②曲线上存在点，使得到点的距离为；
③曲线上存在点，使得到点的距离大于到直线的距离；
④曲线上存在点，使得到点与点的距离之和为.
其中所有正确结论的序号是 .
44．古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点的距离之比为定值的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”.在平面直角坐标系中，已知，点满足，设点的轨迹为圆，（1）圆的标准方程为 ；（2）若为圆上任意一点，则的最大值为 .
45．古希腊数学家阿波罗尼斯（Apllnius f Perga，约公元前262~190年）发现：平面上两定点A，B，则满足的动点M的轨迹是一个圆，后人称这个圆为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.在直角坐标系xOy中，已知，动点M满足，则面积的最大值为 .
46．古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现了平面内到两个定点的距离之比为定值的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”.已知，Q为直线上的动点，为圆上的动点，则的最小值为 .
47．古希腊数学家阿波罗尼奥斯发现：平面上到两定点A，B距离之比为常数λ（λ＞0且λ≠1）的点的轨迹是一个圆心在直线AB上的圆，该圆简称为阿氏圆．根据以上信息，解决下面的问题：如图，在长方体中，，点E在棱AB上，，动点满足．若点在平面ABCD内运动，则点所形成的阿氏圆的半径为 ；若点在长方体内部运动，F为棱的中点，M为CP的中点，则三棱锥的体积的最小值为 ．
参考答案：
1．C
【分析】以为原点建立平面直角坐标系，结合题意可得点在空间内的轨迹为以为球心，半径为4的球.再根据球的性质求解即可.
【详解】在图1中，以为原点建立平面直角坐标系如图2所示，设阿氏圆圆心为，半径为.
因为，所以，所以.
设圆与交于点.由阿氏圆性质，知.
又，所以.又，所以，解得，所以，所以点在空间内的轨迹为以为球心，半径为4的球.
①当点在面内部时，如图2所示，截面圆与分别交于点，所以点在面内的轨迹为.因为在Rt中，，所以，所以，所以点在面内部的轨迹长为.
②同理，点在面内部的轨迹长为.
③当点在面内部时，如图3所示，因为平面，所以平面截球所得小圆是以为圆心，以长为半径的圆，截面圆与分别交于点，且，所以点在面内的轨迹为，且.
综上，点的轨迹长度为.
故选：C
2．D
【分析】由题意计算可得点的轨迹为圆，由公切线条数可知两圆外切，借助两圆外切的性质计算即可得解.
【详解】由题意可得，化简得，
即，即动点的轨迹为以为圆心，为半径的圆，
由：（），可得，
故圆以为圆心，为半径，由两圆有且仅有三条公切线，
故两圆外切，即有，即.
故选：D.
3．A
【分析】设点，求出动点的轨迹圆的方程，根据直线与圆的位置关系列出不等式，即可求出的取值范围．
【详解】由题意，设点，
∵，，
∴，即，
所以动点M的轨迹圆C的方程为，
圆心，半径，
∵直线l：与圆恒有公共点，
∴圆心到直线l的距离，即，解得，
则的取值范围是．
故选：A．
.
4．A
【分析】由直线方程可得，则点的轨迹是以为直径的圆，除去点，得到的轨迹方程为，即，可得，取，则，结合，可得，进而求解.
【详解】由已知过定点，
过定点，
因为，，所以，即，
所以点的轨迹是以为直径的圆，除去点，故圆心为，半径为3，
则的轨迹方程为，即，易知O、Q在该圆内，
又，
即，
取，则，又，
所以，
所以的最小值为.
故选：A.
5．C
【分析】由题可设，按照阿波罗尼斯圆定义得轨迹方程，根据已知轨迹方程列式即可得得值，从而可得点Q的坐标.
【详解】解：设，，所以.
由，得.
因为，所以，整理得：.
因为动点M的轨迹方程是，所以解得，所以.
故选：C.
6．C
【分析】首先求出点的轨迹的方程，即可得到其圆心与半径，再得到圆的圆心与半径，即可判断两圆相交，再两圆方程作差即可得到公共弦方程，求出圆心到公共弦所在直线的距离，最后由计算可得.
【详解】由题意知，化简得，其圆心为，半径，
又圆的圆心为，半径，
所以，且，所以两圆相交，
其公共弦所在的直线方程为，
圆心到公共弦所在直线的距离，
故公共弦长为.
故选：C
7．A
【分析】设，依题意求出点的轨迹方程，进而可求点到直线的距离的最小值．
【详解】解：由题意，设，由，，
因为，所以，即，
所以点的轨迹为以为圆心，半径的圆，
又点到直线的距离，
所以点到直线的距离的最小值为．
故选：A．
8．D
【分析】先求出点的轨迹方程，再结合阿波罗尼斯圆的定义及抛物线的定义可得，从而可得出答案.
【详解】设，
则，
化简整理得，
所以点的轨迹为以为圆心为半径的圆，
抛物线的焦点，准线方程为，
则
，
当且仅当（两点在两点中间）四点共线时取等号，
所以的最小值为.
故选：D.
9．B
【分析】作出图形，由已知可得，代入坐标可得选项.
【详解】如下图所示，由于圆上的任意一点均有，所以A,B两点也满足该关系式. ，，，，
，解得，
故选：B.
【点睛】本题考查曲线的新定义，关键在于理解和运用新定义，属于中档题.
10．A
【分析】先求出点的轨迹方程，数形结合得到最小距离为圆心到直线的距离减去半径，结合点到直线距离公式求出答案.
【详解】设，则，化简得，
即点的轨迹方程为以为圆心，为半径的圆，
则点到直线的距离的最小值为圆心到直线的距离减去半径，
即，点到直线的距离最小值为.
故选：A
11．C
【分析】令，应用两点距离公式列方程求M轨迹，结合已知圆的方程求参数m，进而得，再由，数形结合求目标式最小值.
【详解】由题设，令，则，
所以，则，即，
又，即在圆外，，即在圆外，
由，当且仅当共线上等号成立，
所以的最小值为.
故选：C
12．B
【分析】由题意计算得的轨迹方程为，根据对称性可得圆心在直线方程上，即，从而利用乘“1”法即可得到最值.
【详解】设点的坐标为，因为，则，
即，
所以点的轨迹方程为，
因为点的轨迹关于直线对称，
所以圆心在此直线上，即，
所以，
当且仅当，即时，等号成立，
所以的最小值是.
故选：B.
13．C
【分析】由已知条件结合余弦定理，可求出，，建立坐标系求出点所在的圆的方程，求出点到距离的最大值，即可求出结论.
【详解】依题意，，得，
即，以边所在的直线为轴，的垂直平分线为轴
建立直角坐标系，则，设，
由，则的轨迹为阿波罗尼斯圆，其方程为
，边高的最大值为，
∴.
故选:C
【点睛】本题考查正、余弦定理解三角形，考查轨迹方程的求法，以及三角形的面积最值，属于中档题.
14．A
【分析】由题可得动点M的轨迹方程，可得，，即求.
【详解】设，，
由，可得=2，
化简得.
∵△MAB面积的最大值为面积的最小值为，
∴，，
∴，即，
∴．
故选：A．
15．B
【分析】令，则，由阿氏圆的定义可知：，由数形结合可知的最大值.
【详解】设，令，则，
由题知圆是关于点A、C的阿波罗尼斯圆，且，
设点，则，
整理得：，
比较两方程可得：，，，即，，点，
当点M位于图中的位置时，的值最大，最大为.
故选：B.
【点睛】关键点点睛：本题主要考查直线和圆的位置关系，圆上动点问题，解题的关键是通过数形结合知两线段距离差的最值是在两端点为起点的的射线上，属于一般题.
16．B
【分析】先求出点的轨迹方程，再结合阿波罗尼斯圆的定义及抛物线的定义可得，从而可得出答案.
【详解】设，则，
化简整理得，
所以点的轨迹为以为圆心1为半径的圆，
抛物线的焦点，准线方程为，
则
，
当且仅当（两点在两点中间）四点共线时取等号，
所以的最小值为.
故选：B.
17．C
【分析】根据已知条件及两点之间的距离公式，利用三角形的角平分线定理及圆与圆的位置关系，结合三点共线时线段取得最短即可求解.
【详解】设，由，得，化简得，故A正确；
当三点不共线时，，所以是的角平分线，所以，故B正确；
设,则，化简得，因为，所以C上不存在点M，使得，故C错
误；
因为，所以，所以，当且仅当在线段上时，等号成立，故D正确.
故选：C.
18．D
【分析】设，，根据和求出a的值，由，两点之间直线最短，可得的最小值为，根据坐标求出即可.
【详解】设，，所以，由，
所以，因为且，所以，
整理可得，又动点M的轨迹是，所以，
解得，所以，又，
所以，
因为，所以的最小值，
当M在位置或时等号成立.
故选：D
19．A
【分析】由已知可得，则点的轨迹是以为直径的圆，除去点，得到的轨迹方程为， 由阿氏圆性质找到点，将转化为，问题转化为求解到两定点距离之和最小即可.
【详解】当时，，此时，交点为.
当时，由，斜率为，
由，斜率为，，
综上，.
又， 直线恒过，
，直线恒过，
若为的交点，则，设点，
所以点的轨迹是以为直径的圆，除去点，
则圆心为的中点，圆的半径为，
故的轨迹方程为，
即，则有.
又，易知O、Q在该圆内，
又由题意可知圆上一点满足，取，
则，满足.
下面证明任意一点都满足，即，
，
又，
.
所以，
又，
所以，
如图，当且仅当三点共线，且位于之间时，等号成立
即最小值为.
故选：A.
20．BD
【分析】设点，根据题意可求出的方程可判断A，根据三角形内角平分线的性质可判断B，求出点K的轨迹方程与的方程联立可判断C，设.的坐标结合的方程可判断D.
【详解】设点，则由可得，
化简可得，故A错误；
当，，三点不共线时，因为，，
所以，所以，射线是的平分线，故B正确；
设存在，则，即，
因为，所以，
所以，所以，
又因为，所以，又因为不满足，
所以不存在满足条件，故C错误；
假设轴上存在异于的两定点，使得，
可设，可得，
由P的轨迹方程为，可得，
解得或（舍去），即存在，故D正确.
故选：BD.
【点睛】本题考查阿波罗尼斯圆的定义及应用，属于新定义问题；证明角平分线除了可以通过线段的长度比来证明，还可以通过点到线段两边的距离相等来证明；和圆有关的线段长度问题，可以利用坐标法来解决问题.
21．ABD
【分析】利用距离关系列式求解方程判断A，利用切线长定理求解判断B，利用切线性质求出斜率，代入点斜式即可求出切线方程判断C，先求出直线恒过定点，再利用几何性质结合弦长公式求解判断D.
【详解】对于A，由题意点，，
因为，所以，即，
所以动点M的轨迹圆C的方程为，正确；
对于B，由选项A知圆心，半径，设切点为D，
所以，则，因为，
所以，即过点作圆的切线，切线长是，正确；
对于C，因为，所以点在圆上，因为，
所以过点的切线斜率为，
所以切线方程为，即，错误；
对于D，由，可得，
联立，解得，即该直线恒过定点，因为，
所以点在圆内，由图知，当轴时，此时，
有最小值是，正确.
故选：ABD
22．ACD
【分析】A选项，由抛物线定义得到，数形结合得当三点共线时取得最小值，得到A正确；B选项，求出点的轨迹为以为圆心，3为半径的圆，求出到直线的距离最大值，从而得到面积的最大值；C选项，数形结合得到要想取得最大值，则需最大，当与垂直时，取得最大值，并根据求出正弦值，利用三角形面积公式求出此时的面积，D选项，由题意及抛物线定义得到，求出四点共线时，取得最小值，求出答案.
【详解】A选项，抛物线的准线方程为，，
由抛物线定义可得，
则，
由三角形三边关系可得，
当且仅当三点共线时，等号成立，
故的最小值为，A正确；
B选项，由题意得，点的轨迹方程为，
化简得，即以为圆心，3为半径的圆，
直线，即，
圆心到直线的距离为，
则到直线的距离最大值为，
又，
故的面积最大值为，B错误；
C选项，为定值，由勾股定理得，
且，，
要想取得最大值，则需最大，
如图所示，当与垂直且在图中位置时，取得最大值，
其中，故，，，
故当最大时，
，
则的面积为，C正确；
D选项，由题意得，，
，
连接，线段与圆和抛物线的交点分别为，
即四点共线时，取得最小值，
最小值为，
故最小值为，D正确.
故选：ACD
【点睛】圆锥曲线中最值或范围问题的常见解法：
（1）几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用几何法来解决；
（2）代数法，若题目的条件和结论能体现某种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值或范围．
23．ACD
【分析】通过阿氏圆的定义结合，设，从而可以得到曲线C的方程；
通过计算圆心到直线的距离是否小于等于半径，从而判断B的正确性；
计算圆心到轴的距离，结合，得到曲线被轴截得的弦长，从而判断C的正确性；
的长度确定，所以面积的最大值即为点到距离的最大值，从而判断C的正确性.
【详解】设，
对于选项A，因为，所以，化简得，故A正确；
对于选项B，因为曲线C为，所以圆心为，半径为，计算圆心到直线的距离为，
所以直线与曲线C没有公共点，故B错误；
对于选项C，曲线的圆心在轴上，所以被轴截得的弦即为直径，所以曲线被轴截得的弦长为，故C正确；
对于选项D，因为，，所以,故，
而曲线C为，所以，即的最大值为，故D正确.
故选：ACD
24．ACD
【分析】设，根据题意运用两点间距离公式列出方程，化简得轨迹C的方程，可判断选项A；判断两圆的位置关系即可判断选项B；根据两圆公共弦的求法可判断选项C；由角平分线定理的逆定理可判断选项D.
【详解】如图：
对于选项A，因为在平面直角坐标系中，，，点满足.
设，则，化简可得，故选项A正确；
对于选项B，由可得圆心，半径；
由圆M：可得圆心，半径.
由两点间距离公式得，即.
所以两圆外切，有3条公切线，故选项B错误；
对于选项C，因为，
所以两圆相交.
则两圆方程相减可得：它们的公共弦所在直线方程为，故选项C正确；
对于选项D，因为，
所以点在圆C上.，即.
所以由角平分线定理的逆定理可得：当A，B，P三点不共线时，射线是的平分线，故D正确.
故选：ACD．
25．BC
【分析】A选项，设，根据得到方程，化简后得到圆的方程；B选项，根据圆的方程，得到，再利用两点间距离公式得到；C选项，若圆上恰有三个点到直线距离为3，则圆心到直线的距离为1，分直线斜率不存在和存在两种情况，结合点到直线距离公式求出答案；D选项，根据半径和，得到三角函数值，求出两切线夹角.
【详解】A选项，设，则，
变形得到，A错误；
B选项，由A选项可知，，
由得，解得，
，B正确；
C选项，的圆心为，半径为4，
当直线的斜率不存在时，直线过圆心，显然不满足要求，
当直线的斜率存在时，设其为，
若圆上恰有三个点到直线距离为3，则圆心到直线的距离为1，
即，解得，
故过点A作直线，若圆上恰有三个点到直线距离为3，该直线斜率为，C正确；
D选项，由于，半径为4，故，
故，故两条切线的夹角为，D错误.
故选：BC
26．ACD
【分析】根据题意求出的轨迹，结合圆中的相关知识进行分析判断即可.
【详解】对于A，设，则，
化简得，，即，则选项A正确；
对于B，可知曲线的半径为1，周长为，故B错误；
对于C，设曲线上的圆心，
所以圆心到直线的距离为：，
曲线上的点到直线的最小距离为，故C正确；
对于D，由抛物线的定义知，，
，
的准线方程为：，
所以的最小值为点到直线的距离减半径，
即为，故D正确.
故选：ACD.
27．BCD
【分析】求出轨迹的方程判断A；设，，结合两点间距离公式及轨迹C的方程计算判断B；结合三角形面积公式确定角平分线判断C；设，由建立方程组，求出点坐标判断D.
【详解】对于A，设，则，整理得，即，A错误；
对于B，假设在轴上存在异于，的两点，，使得，
设，，则，
整理得，而点的轨迹方程为，
于是，解得或（舍去），B正确；
对于C，如图所示，
当三点不共线时，，即，
于是，显然，因此，
射线是的角平分线，C正确；
对于D，假设在C上存在点M，使得，设，则，，
则，整理得，又，
联立解得或，D正确.
故选：BCD
28．ABD
【分析】设，应用两点距离公式及已知得的方程为判断A；利用对称性求对称圆的圆心，即得对称圆的方程判断B；求出与圆心距离，结合半径判断C；应用点斜式写出的中垂线，应用点线距离及半径的关系判断中垂线与圆的位置关系判断D.
【详解】设，则，
所以，则，
整理得，A对；
由上，设对称圆的圆心为，则，
所以对称的曲线方程为，B对；
由到圆心的距离为，由圆半径，
所以到圆的最短距离为，故不存在，使到的距离为3，C错；
由中点为，且，则的中垂线为，
圆心到的距离，
故在上不存在点，使得，D对.
故选：ABD
29．ABD
【分析】根据，，点满足，设点，求出其轨迹方程，然后再逐项运算验证.
【详解】因为，，点满足，
设点，则 ，
化简得：，即 ，
则该圆圆心，半径为4，面积为，故A正确；
显然，所以，因为，则，解得 ，故B正确；
易知直线的斜率存在，设直线，因为圆上恰有三个点到直线距离为2，
则圆心到直线的距离为：，解得，故C错误；
对于D，因为，则，所以，
显然当三点共线时，取得最小值，即，故D正确.
故选：ABD.
30．BC
【分析】利用求轨迹方程的方法确定轨迹的方程可判断A；设，，由两点间的距离公式结合轨迹的方程可判断B；由角平分线的定义可判断C；设，由求出点的轨迹方程与联立，可判断D.
【详解】对于A，在平面直角坐标系中，，，点满足，
设，则，化简得，
即，所以A错误；
对于B，假设在轴上存在异于，的两点，，使得，
设，，则，
化简得，
由轨迹的方程为，可得，，
解得，或，（舍去），所以B正确；
对于C，当，，三点不共线时，，
可得射线是的角平分线，所以C正确；
对于D，若在上存在点，使得，可设，
则，化简得，
与联立，方程组无解，故不存在点，所以D错误．
故选：BC．
31．ABD
【分析】对于A，通过直接法求出点的轨迹方程即可判断；
对于B，由题意，结合三角形内角平分线定理进行判断即可；
对于C，由“阿波罗尼斯圆”定义，求点轨迹方程，用圆与圆的位置关系进行判断即可；
对于D，将转化为进行判断即可.
【详解】设，（不与，重合）
∵，，∴，，
∴，得，化简得，
∴点的轨迹曲线是以为圆心，半径的圆，
对于A，曲线的方程为，故选项A正确；
对于B，由已知，，，∴，
∴当，，三点不共线时，由三角形内角平分线定理知，是内角的角平分线，
∴，故选项B正确；
对于C，若，则，由题意，点轨迹是圆，
设，由得，化简得点轨迹方程为，
即点的轨迹是圆心为，半径的圆，
圆与圆的圆心距，
∴圆与圆的位置关系为内含，圆与圆无公共点，
∴上不存在点，使得，故选项C错误；
对于D，∵，∴，
∴，
当且仅当在线段上时，等号成立，故选项D正确.
故选：ABD.
32．BC
【分析】当点只在平面内运动时,可简化为平面直角坐标系内的距离问题,通过两点间的距离公式化简运算即可判断项；当点在长方体内部运动时,通过空间直角坐标系得相关点的坐标,借助空间中两点的距离公式,化简整理可得点的轨迹方程,即可判断项；当点在平面内运动时,可借助项中点的轨迹方程得此时的轨迹方程,再根据空间中点到平面的距离运算即可判断项.
【详解】在平面内,设点
由得即
所以若点只在平面内运动,则点所形成的阿氏圆的半径为
且当点时,△的面积最小为故错误,正确；
当点在长方体内部运动时,设,
由得即
的轨迹为球面的一部分,故正确；
当点在平面内运动时,设
由得即
设平面的法向量为则
令则
所以点到平面的距离为
由得
所以点到面的距离最小值为故错误.
故选：BC.
【点睛】本题考查空间动点轨迹问题,考查了转化思想,计算能力,属于中档题.
33．
【分析】以的中点为坐标原点，以方向为轴正向，建立如下平面直角坐标系. 设，根据已知条件可求得点在以为圆心，2为半径的圆上，取，可得，从而有，因此＝，因此只要最小即可．
【详解】如图，以的中点为坐标原点，以方向为轴正向，建立如下平面直角坐标系.
则，，
设，则，，
因为
所以，即：
整理得：，所以点在以原点为圆心，半径为2的圆上.
在轴上取，连接
可得，所以，所以
由图可得：当三点共线时，即点在图中的位置时，最小.
此时最小为.
故答案为．
【点睛】本题考查平面向量的数量积，考查平面向量的几何应用．解题关键点有二，一是建立坐标系，求出点在一个圆上，二是取点，构造出，于是，问题转化为求的最小值．
34．
【解析】，,即．根据阿波罗尼斯圆可得：点B的轨迹为圆, 以线段AC中点为原点，AC所在直线为x轴建立直角坐标系,求出B的轨迹方程，进而得出结论．
【详解】解：为非零常数，
根据阿波罗尼斯圆可得：点B的轨迹是圆.
以线段AC中点为原点，AC所在直线为x轴建立直角坐标系
则，设，∵
∴
，整理得
因此，当面积最大时，BC边上的高为圆的半径.
【点睛】本题考查了阿波罗尼斯圆的应用、正弦定理、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
35．
【分析】由题意可将所求变形为，则表示两点之间的距离，表示两点之间的距离，
设，使得，利用阿氏圆性质求出两点的坐标，进而可得出答案.
【详解】由，
得
，
表示两点之间的距离，
表示两点之间的距离，
则，
设，使得，
由阿氏圆性质知，
则，
当且仅当三点共线，且在线段上时，取等号，
所以的最小值为．
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：将所求变形为，是解决本题的关键.
36．
【分析】设点，利用已知条件求出点的轨迹方程，利用平面向量数量积的运算性质可得出，求出的最小值，即可得出的最小值.
【详解】设点，由可得，整理可得，
化为标准方程可得，
因为为的中点，
所以，
，
记圆心为，当点为线段与圆的交点时，
取最小值，此时，，
所以，.
故答案为：.
37．
【分析】设，求出，然后将求的最大值问题转化为求的最大值问题，数形结合即可得答案.
【详解】由题意得设，，
所以，则，
由于是圆上的点，
所以，
所以，解得，即，
所以，如图，
所以的最大值为，
故答案为：.
38． /
【分析】先求出点的轨迹方程，再结合阿波罗尼斯圆的定义及抛物线的定义可得，当且仅当四点共线时取等号.
【详解】设，已知，，
则，，
化简整理得，
所以点的轨迹为以为圆心，2为半径的圆，且.
抛物线的焦点，准线方程为，
则
，
当且仅当（两点在两点中间）四点共线时取等号，
所以的最小值为.
故答案为：；.
39．2
【分析】利用阿波罗尼斯圆定义可得点的轨迹方程为，由两圆圆心距与半径的关系可得两圆相交，可得有2条公切线.
【详解】由题意设，
易知，即可得，
整理得点的轨迹方程为，
其轨迹是以为圆心，以2为半径的圆，
而圆的圆心坐标为，半径为1，
可得两圆的圆心距为2，大于，小于，
则动点的轨迹与圆的位置关系是相交.
故公切线的条数为2.
故答案为：2
40．
【分析】由阿氏圆的定义得到点的轨迹方程，即阿氏圆的方程，然后由圆的性质即可求解.
【详解】设，由阿氏圆的定义可得，
即，化简得.
所以，所以点在圆心为，半径为的圆上，
因为抛物线的焦点为.所以，
因为.所以点在圆内，
因为点到与圆心的距离为，
所以过点的最短弦长为，过点的最长弦长为，
所以过点的最长弦与最短弦的和为.
故答案为：
41．
【分析】设点P坐标，然后用直接法可求；根据轨迹方程和数量积的坐标表示对化简，结合轨迹方程可得x的范围，然后可解.
【详解】设P点坐标为，则由，得，化简得，即.
因为，
所以
因为点P 在圆上，故
所以，故的最小值为.
故答案为：，
42．
【分析】根据为双曲线的左、右顶点可设,,,由两点间距离公式并化简可得动点的轨迹方程.由为双曲线的左、右顶点可知当位于圆的最高点时的面积最大,根据面积最大值求得.当位于圆的最左端时的面积最小,结合最小面积可求得,即可求得双曲线的离心率.
【详解】设,,,
依题意,得,
即,
两边平方化简得,则圆心为,半径,
当位于圆的最高点时的面积最大,最大面积为,
解得；
当位于圆的最左端时的面积最小,最小面积为,
解得,
故双曲线的离心率为.
故答案为:
【点睛】本题考查了两点间距离公式的应用,轨迹方程的求法,圆与双曲线的综合应用,双曲线离心率的求法,属于中档题.
43．①④
【分析】设,根据满足,利用两点间距离公式化简整理，即可判断①是否正确；
由①可知，圆上的点到的距离的范围为,进而可判断②是否正确；
设，根据题意可知，再根据在曲线上，可得，由此即可判断③是否正确；由椭圆的的定义，可知在椭圆上，再根据椭圆与曲线的位置关系，即可判断④是否正确.
【详解】设,因为满足,所以,整理可得：,即,所以①正确；
对于②中,由①可知，点在圆的外部,因为到圆心的距离,半径为,所以圆上的点到的距离的范围为,而,所以②不正确；
对于③中,假设存在，使得到点的距离大于到直线的距离,
又，到直线的距离，
所以，化简可得，又，
所以，即，故假设不成立，故③不正确；
对于④中,假设存在这样的点，使得到点与点的距离之和为，则在以点与点为焦点，实轴长为的椭圆上，即在椭圆上，易知椭圆与曲线有交点，故曲线上存在点，使得到点与点的距离之和为；所以④正确.
故答案为：①④.
44． 40
【分析】设点，用坐标表示点满足的条件得其轨迹方程，然后利用三角换元法换元代入，再由三角函数知识得最大值．
【详解】因为，点满足，
设点，则，化简得：，即；
圆的方程可化为，设，
则（）
所以的最大值为40.
故答案为：40.
45．13
【分析】根据题意求点的方程与边，利用圆上的点到直线的最远距离为圆心到直线的距离加上半径，即可求出边的高，进而求出面积的最大值.
【详解】设点，
，故点的方程为.
直线的方程为
圆心到直线的距离.
设点到边的高为，
的最大值为.
故答案为：13.
46．
【分析】先利用“阿波罗尼斯圆”定义设出点，由，得到，再由，即可求出最小值.
【详解】由阿波罗尼斯圆的定义，设，定点，令，则
，
平方化简得，
因为此方程与为同一方程，
所以，解得，所以点，
所以，
当且仅当、、三点共线时，等号成立，
即最小值为点到直线的距离：，
故答案为：.
47．
【分析】以AB为轴，AD为轴，为轴，建立如图所示的坐标系，设，求出点的轨迹为，即得点所形成的阿氏圆的半径；②先求出点的轨迹为，到平面的距离为，再求出的最小值即得解三棱锥的体积的最小值.
【详解】
①以AB为轴，AD为轴，为轴，建立如图所示的坐标系，则，设，
由得，
所以，
所以若点在平面内运动，则点所形成的阿氏圆的半径为.
②设点，由得，
所以，
由题得
所以，设平面的法向量为，
所以，
由题得，
所以点到平面的距离为，
因为，
所以，所以点M到平面的最小距离为，
由题得为等边三角形，且边长为，
所以三棱锥的体积的最小值为.
故答案为： ，.
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