高中数学压轴题小题专项训练专题43圆锥曲线与定比分点法含解析答案

这是一份高中数学压轴题小题专项训练专题43圆锥曲线与定比分点法含解析答案，共64页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知F为椭圆C的一个焦点，B是短轴的一个端点，线段BF的延长线交椭圆C于点D，且，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
2．已知椭圆的焦点为，，点在上，点在轴上，，，则的方程为（ ）
A．B．
C．D．
3．过双曲线的右顶点作斜率为的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为．若，则双曲线的离心率是
A．B．C．D．
4．已知双曲线的左、右焦点分别是、，是其右支上的两点，，则该双曲线的方程是（ ）
A．B．C．D．
5．双曲线，左､右顶点分别为为坐标原点，如图，已知动直线与双曲线左､右两支分别交于两点，与其两条渐近线分别交于两点，则下列命题正确的是（ ）
A．存在直线，使得
B．在运动的过程中，始终有
C．若直线的方程为，存在，使得取到最大值
D．若直线的方程为，则双曲线的离心率为
6．已知为抛物线的焦点，过的直线交抛物线于两点，若，则（ ）
A．1B．C．3D．4
7．已知分别是椭圆的左、右焦点，是上一点且与轴垂直，直线与的另一个交点为，若，则的离心率为（ ）
A．B．C．D．
8．已知直线的斜率为，它与抛物线相交于两点，为抛物线的焦点， 若，则（ ）
A．B．C．D．
9．已知双曲线的左，右焦点分别为，点M为关于渐近线的对称点．若，且的面积为8，则C的方程为（ ）
A．B．C．D．
10．已知椭圆的离心率为，过右焦点且斜率为的直线与相交于两点．若，则
A．1B．C．D．2
11．已知椭圆C：的右焦点为F，过F的直线与C交于A、B两点，其中点A在x轴上方且，则B点的横坐标为（ ）
A．B．C．D．
12．已知抛物线的焦点为F，点是抛物线C上一点，圆M与线段MF相交于点A，且被直线截得的弦长为，若，则
A．B．1
C．2D．3
13．已知点A，B，C都在双曲线：上，且点A，B关于原点对称，.过A作垂直于x轴的直线分别交，于点M，N.若，则双曲线的离心率是（ ）
A．B．C．2D．
14．已知为抛物线的焦点，过点的直线交抛物线于A，两点(点A在第一象限)，若，则以为直径的圆的标准方程为（ ）
A．B．
C．D．
15．已知椭圆：的左右焦点分别为，，过的直线交椭圆于A，B两点，若，点满足，且，则椭圆C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
16．如图，，分别是双曲线的左、右焦点，点是双曲线与圆在第二象限的一个交点，点在双曲线上，且，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
17．已知椭圆内有一定点，过点P的两条直线，分别与椭圆交于A、C和B、D两点，且满足，，若变化时，直线CD的斜率总为，则椭圆的离心率为
A．B．C．D．
18．已知抛物线，过点的直线与抛物线交于，两点，交轴于点，若，，则实数的取值是( )
A．B．C．D．与有关
19．已知直线与双曲线相交于A，B两点，点在第一象限，经过点且与直线垂直的直线与双曲线的另外一个交点为，点在轴上，，点为坐标原点，且，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
20．已知点A，B，C都在双曲线上，点在第一象限，点在第四象限，A，B关于原点对称，，过作垂直于轴的直线分别交，于点D，E．若，则下列结论正确的是（ ）
A．点的纵坐标为B．
C．D．双曲线的离心率为
21．已知离心率为的椭圆的左，右焦点分别为，，过点且斜率为的直线l交椭圆于A，B两点，A在x轴上方，M为线段上一点，且满足，则（ ）
A．B．直线l的斜率为
C．，，成等差数列D．的内切圆半径
22．已知抛物线C：的焦点为，点在抛物线C上，则（ ）
A．若三点共线，且，则直线的倾斜角的余弦值为
B．若三点共线，且直线的倾斜角为，则的面积为
C．若点在抛物线C上，且异于点，，则点到直线的距离之积为定值
D．若点在抛物线C上，且异于点，，其中，则
23．已知椭圆的右焦点为在椭圆上但不在坐标轴上，若，且，则椭圆的离心率的值可以是（ ）
A．B．C．D．
24．双曲线：的左右焦点分别为，，两条渐近线分别为，，过坐标原点的直线与的左右两支分别交于，两点，为上异于，的动点，下列结论正确的是（ ）
A．若以为直径的圆经过，则
B．若，则或9
C．过点作的垂线，垂足为，若（），则
D．设，的斜率分别为，，则的最小值为2
25．在平面直角坐标系中，已知抛物线的焦点为，准线为，过点且斜率大于0的直线交抛物线于，两点(其中在的上方)，过线段的中点且与轴平行的直线依次交直线，，于点，，.则（ ）
A．
B．若，是线段的三等分点，则直线的斜率为
C．若，不是线段的三等分点，则一定有
D．若，不是线段的三等分点，则一定有
26．已知椭圆的离心率为，左，右焦点分别为，，过且倾斜角为的直线与椭圆C交于A，B两点（点A在第一象限），P是椭圆C上任意一点，则（ ）
A．a，b满足B．的最大值为
C．存在点P，使得D．
27．已知抛物线的焦点为，准线交轴于点，直线过且交于不同的两点，且，下列命题正确的有（ ）
A．直线的斜率
B．若，则
C．若，则
D．存在使得平分
28．如图，为坐标原点，分别为双曲线的左､右焦点，过双曲线右支上一点作双曲线的切线分别交两渐近线于两点，交轴于点，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．若存在点，使得，且，则双曲线的离心率为2或
29．已知双曲线C：，，为C的左、右焦点，则（ ）
A．双曲线和C的离心率相等
B．若P为C上一点，且，则的周长为
C．若直线与C没有公共点，则或
D．在C的左、右两支上分别存在点M，N使得
30．已知抛物线的焦点为，准线交轴于点，直线过且交于不同的两点，在线段上，点为在上的射影，线段交轴于点，则下列命题正确的是（ ）
A．对于任意直线，均有
B．不存在直线，满足
C．对于任意直线，直线与抛物线相切
D．存在直线，使
31．已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，过椭圆C上一点P和原点O作直线l交圆O：于M，N两点，下列结论正确的是（ ）
A．实数a越小，椭圆C越圆
B．若，且，则
C．当时，过的直线交C于A，B两点（点A在x轴的上方）且，则的斜率
D．若，则
三、填空题
32．设分别为椭圆的左,右焦点，点在椭圆上.若,则点的坐标是 .
33．已知椭圆，过定点的直线与椭圆交于，两点（可重合），则的取值范围为 ．
34．如图，已知是双曲线：上的一点，、两点在双曲线的两条渐近线上，且分别位于第一、第二象限，若，，则面积的取值范围为 ．
35．如图，已知经过定点的直线l与椭圆C：交于A，B两点，已知点，直线AQ，BQ分别与椭圆C交于E，F两点，且，，则的取值范围为 .
36．如图，已知梯形中，，点在线段上且，双曲线过三点，且以为焦点．当时，双曲线离心率的取值范围是 ．
37．已知点，椭圆上的两点．满足，则当 时，点横坐标的绝对值最大值为 ．
38．已知抛物线的焦点为，准线，直线过点且与抛物线交于，两点，为坐标原点，若，则的面积为 .
39．已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点的直线与双曲线的两支分别交于，两点．若，且，则双曲线的离心率是 ．
40．已知椭圆的左焦点为F，离心率为，过F的直线l交椭圆于A，B两点，且，则直线l的斜率为 .
41．已知抛物线的焦点为是准线上一点，直线与的一个交点为，且，则 ，点的横坐标为 .
42．已知椭圆的左、右焦点分别是，点是椭圆上一点，的内切圆的圆心为，若，则椭圆的离心率为 .
43．已知梯形中，，， ，若双曲线以、为焦点，且过、、三点，则双曲线的离心率为
44．已知抛物线的焦点为点，过点的直线交抛物线于点，两点，交抛物线的准线于点，且，，则
45．已知F是抛物线的焦点，点，抛物线上两点A，B满足，则与（其中O为坐标原点）面积之和的最小值是 ，此时的值是 ．
46．圆的一条切线l，与抛物线相交于A，B两点，与x轴相交于点M．若，则切线l的斜率 ．
47．已知是椭圆上四个不同的点，且是线段的交点，且，则直线的斜率为 .
48．已知是双曲线的右焦点，直线经过点且与双曲线相交于两点，记该双曲线的离心率为，直线的斜率为，若,则k与e的关系是 .
参考答案：
1．B
【分析】由题意知，，设，由解得点坐标，代入椭圆方程，化简即可求得离心率.
【详解】设椭圆的焦点在轴上，方程为，，，
设，由，且，
故，，
由点在椭圆上，故，整理得，
故离心率，
故选：B.
2．D
【分析】由题意设椭圆的方程为：，由，，可求出或，代入椭圆方程化简即可得求出，即可得出答案.
【详解】因为椭圆的焦点为，，
所以设椭圆的方程为：,
设，，，
则，因为，
所以，所以，
所以，又因为，
所以，所以，
所以，所以或，
因为在上，所以，即，
解得：或，因为椭圆的焦点在轴上，
所以.故的方程为.
故选：D.

3．C
【详解】试题分析：直线l：y=-x+a与渐近线l1：bx-ay=0交于B，
l与渐近线l2：bx+ay=0交于C，A（a，0），
∴，∵，
∴，b=2a，∴，∴，∴
考点：直线与圆锥曲线的综合问题；双曲线的简单性质
4．D
【解析】先根据长度关系以及双曲线的定义求解出，然后利用对应的余弦定理即可求解出的值，从而双曲线的方程可求.
【详解】设，则，
，由得，
设，
由余弦定理可知：
由①，②得，又，，
∴双曲线方程为.
故选：D.
【点睛】本题考查双曲线方程的求解，其中涉及到互为邻补角对应的余弦定理以及双曲线的定义，对学生的转化与计算能力要求较高，难度较难.如果两个角互为邻补角，则两角的余弦值和为零.
5．B
【分析】根据与渐近线平行的直线不可能与双曲线有两个交点可对A项判断；设直线分别与双曲线联立，渐近线联立，分别求出和坐标，从而可对B、C项判断；根据，求出，从而可对D项判断.
【详解】对于A项：与渐近线平行的直线不可能与双曲线有两个交点，故A项错误；
对于项：设直线，与双曲线联立，得：，
设，由根与系数关系得：，
所以线段中点，
将直线，与渐近线联立得点坐标为，
将直线与渐近线联立得点坐标为，
所以线段中点，
所以线段与线段的中点重合，所以，故B项正确；
对于C项：由B项可得，因为为定值，
当越来越接近渐近线的斜率时，趋向于无穷，
所以会趋向于无穷，不可能有最大值，故C项错误；
对于D项：联立直线与渐近线，解得，
联立直线与渐近线，解得由题可知，，
所以即，，解得，
所以，故D项错误.
故选：B.
6．C
【分析】由抛物线的定义求得点的横坐标，代入抛物线得点坐标，从而求得直线的方程，联立抛物线与直线即可得点的横坐标，求得，从而可得的值.
【详解】如图，过作准线于，过作准线于，

由抛物线的焦点，准线方程为，
由抛物线的定义可得，所以，代入抛物线方程得
若，直线的斜率为，则直线方程为，即
联立得，则，所以，
则；
若，直线的斜率为，则直线方程为，即
联立得，则，所以，
则；
综上，.
故选：C.
7．A
【分析】先求出的坐标，根据得出的坐标，根据在椭圆上列方程求解即可.
【详解】

不妨设在第一象限，由题意，的横坐标为，
令，解得，即.
设，又，，，
由可得：，解得，
又在椭圆上，即，
整理得，解得.
故选：A
8．A
【分析】设直线方程，并与抛物线联立，求出韦达定理，结合，建立关于的方程，即可得到结果.
【详解】设直线的方程为，
与抛物线相交于，，
联立与得，
，
所以，
由，得，
，，
由得其焦点，
因为，
所以，
所以，
代入韦达定理化简得，
，
所以，
又因为得，
，
所以，即，
解得，
所以，
代入得，
，
故选：A.
9．C
【分析】利用点到直线的距离公式、勾股定理结合三角形面积公式可解.
【详解】记与渐近线相交于点N，
由题可知，ON为的中位线，且，
所以，
因为焦点到渐近线的距离，
所以，，
则，
又，即，
联立解得，
所以C的方程为.
故选：C
10．B
【详解】因为，所以，从而，则椭圆方程为．依题意可得直线方程为，联立可得
设坐标分别为，则
因为，所以，从而有 ①
再由可得，根据椭圆第二定义可得，即 ②
由①②可得，所以，则，解得．因为，所以，故选B
11．D
【分析】由题意可知：，设，，根据向量共线可得，结合椭圆方程运算求解即可.
【详解】由题意可知：，可知，
设，，则，
因为，可得，整理得，
将代入方程可得，解得，
可知B点的横坐标为.
故选：D．
12．B
【详解】由题意：M（x0，2√2）在抛物线上，则8=2px0，则px0=4，①
由抛物线的性质可知,， ，则，
∵被直线截得的弦长为√3|MA|，则，
由，在Rt△MDE中，丨DE丨2+丨DM丨2=丨ME丨2，即
，
代入整理得： ②，
由①②，解得：x0=2，p=2，
∴ ，
故选B．
【点睛】本题考查抛物线的简单几何性质，考查了抛物线的定义，考查勾股定理在抛物线的中的应用，考查数形结合思想,转化思想，属于中档题，将点A到焦点的距离转化为点A到其准线的距离是关键.
13．B
【分析】设，由且轴得，注意到，也就是，而，，即，由此结合离心率公式即可求解.
【详解】
不妨设，由且轴，
所以，所以，
从而，即，
设点，且它在双曲线上，
，
即，其中，，
从而，.
故选：B.
【点睛】关键点点睛：关键是得到，，，由此即可顺利得解.
14．A
【分析】由题意先设为，联立方程与，可解得，进而得到的坐标，由此求得圆心与半径，即可得到所求圆的标准方程.
【详解】依题意知，直线斜率不为0，，故设方程为，
联立，消去得，则，
又，则 ，则，即，
将其代入，可解得或，
因为点A在第一象限，故，所以，
代入，可得，
故圆心坐标为中点坐标，
又，故圆半径为，
所以为直径的圆方程为.
故选：A.
15．B
【分析】由、结合正弦定理可得，又，故，再结合余弦定理计算即可得离心率.
【详解】由椭圆定义可知，由，故，，
点满足，即，则，
又，，
即，又，
故，则，即，
即平分，又，故，
则，则，
，
，
由，
故，
即，即，又，故.
故选：B.
【点睛】关键点睛：本题关键在于由、，得到平分，结合，从而得到.
16．D
【分析】连接,设,设 ，由题意推得，可得，根据,可得，在中，由余弦定理推得，从而求得 ，可得，进而求得双曲线离心率.
【详解】由题意知，连接,设,设 ，
由双曲线的定义可得，
点是双曲线与圆在第二象限的一个交点，
可得 ，则 ，即，
在 中， ，
由 ,则 ，由双曲线的定义可得 ,
因为，故，所以，
在中， ，
由余弦定理可得：,
即，所以，
结合，可得 ，
所以，故
所以双曲线的离心率为，则，
故选；D
【点睛】方法点睛：求解双曲线的离心率问题，一般是要推出之间的关系式，即可求得离心率，本题中，结合题意连接,设,设，利用图形的几何性质，结合余弦定理，逐步求得 ，则问题得解.
17．A
【分析】设出四点的坐标，将两点坐标代入椭圆方程并化简，同理将两点坐标代入椭圆方程并化简，根据化简上述两个式子，由此求得的值，进而求得椭圆离心率.
【详解】设因为，且，所以，同理.将两点坐标代入椭圆方程并化简得，即，同理，由于，，所以，即，即，两式相加得，即，所以，所以，故选A.
【点睛】
本小题主要考查直线和椭圆的位置关系，考查定比分点坐标公式，考查点在曲线上的运用，考查化归与转化的数学思想方法，考查运算求解能力，考查椭圆离心率的求法，难度较大，属于难题.
18．B
【分析】设的坐标，以及直线方程，联立抛物线方程，结合韦达定理,根据题意利用，分别用来表示，再根据可得代入计算可得答案.
【详解】如图，设，
由题意直线的斜率存在，设方程为，
由，得，
由韦达定理知，，
因为
由，得，
所以所以，
代入②得，解得，
所以，
又点在直线上，所以，
即，解得，
又，
因为且
所以即，
故选：B.
【点睛】探索圆锥曲线的定值问题常见方法有两种：① 从特殊入手，先根据特殊位置和数值求出定值，再证明这个值与变量无关；② 直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.
19．C
【分析】作出辅助线，设，根据点差法得到，由垂直关系得到，结合求出，由得到方程，求出，求出渐近线方程.
【详解】根据题意，画出示意图，如图所示．

因为，所以B、N、M三点共线．设线段BM的中点为，连接OQ，
根据题意，显然可得点为线段AB的中点，所以，
设，，，．
因为点B，M都在双曲线上，则两式相减，得，
即．而，，
所以，即．
又因为，则，即，所以，即，
所以．又，则，
即，故，所以．
而，故，即，
则双曲线的渐近线方程为：．
故选：C
【点睛】方法点睛：直线与圆锥曲线相交涉及中点弦问题，常用点差法，该法计算量小，模式化强，易于掌握，若相交弦涉及的定比分点问题时，也可以用点差法的升级版—定比点差法，解法快捷.
20．ABD
【分析】设，，，由求出可判断A；由可判断B；由三点共线，则可判断C；注意到，也就是，而，，即，由此结合离心率公式可判断D.
【详解】对于A，因为A，B关于原点对称，，，
设，，
因为，所以，，
解得：，，，故A正确；
对于B，因为，所以，
所以，所以，故B正确；
对于C，因为三点共线，，，，
所以，则，故C错误；
对于D，因为，在双曲线上，所以，，
，
因为，即，其中，
所以，所以，
则，故D正确.
故选：ABD.
【点睛】关键点睛：本题D选项的关键是得到，，，由此即可顺利得解.
21．AC
【分析】对于A：由得，可证得结论成立；对于B：设，由结合韦达定理可求得的值即得斜率；对于C：可证得A点为椭圆的上顶点，求出，，验证即可；对于D，可得是以A为直角的直角三角形，根据直角三角形内切圆半径公式求解即可.
【详解】

如图1：因为，
设，则，
所以，所以，故，故A正确.
设，，，
由椭圆离心率为可得：，，故椭圆方程可化为：，
联立直线l方程整理得：.
设，，则有：，，
又，所以，，
所以 ，解得：，故，故B错误.
如图2：设椭圆上顶点为，则，
因为所以，
所以与重合，所以为上顶点，
故，，，
易知满足，故C正确
对于D：由知：是以A为直角的直角三角形，
故内切圆半径，故D错误.
故选：AC.
22．BCD
【分析】分别设定抛物线C和直线的方程，设，，联立求得关于点坐标的韦达定理形式，进而转化各个选项即可；选项A，将转化为，求解即可；选项B，，求解即可；选项C，求得点的坐标，进而求得点到直线的距离，求解即可；选项D，设点到直线的距离为，可得，求解即可.
【详解】对A，设抛物线C：，设直线：，
设，，联立，
则，，
由于，可得，代入上式得：，
解得：，且直线的斜率为，
设直线MN的倾斜角为，则，且，
则，解得，故A错误；
对B，设抛物线C：，且直线的倾斜角为，
设直线：，
设，，联立，
则，，
，故B正确；
对C，由于点在抛物线C上，此时抛物线C：，
设，，
设直线AM：，
联立
则，解得（舍去，此时重合）或，
则点到直线的距离为，
同理可得，因为，则到直线的距离为，
故所求距离之积为，故C正确；
对D，由于点在抛物线C上，此时抛物线C：，
设直线AM：，
与抛物线方程联立可得，
则，则，用替换可得，
则，
则，，
故直线MN：，即，
则点F到直线MN的距离，
而
即，
，
得，
令，
故，
，
当且仅当时等号成立，故D正确；
故选：BCD．
【点睛】方法点睛：若点在抛物线C上，且异于点，，则直线的斜率为定值，且该定值为处切线斜率的相反数.
23．CD
【分析】方法一直曲联立，得到的横纵坐标，用表示，再用向量的数量积为零，求出离心率的取值范围；方法二用中点坐标公式，表示出，再用向量的数量积为零，求出的轨迹方程，与椭圆有交点，求出取值范围；方法三用三角形中位线性质，再用向量垂直的条件得到的关系，再计算离心率的范围.
【详解】
方法一：设直线，其中，联立
解得，不妨设，
则，，
而，故，
将代入并除化简整理得，故，
观察可知，
故选：CD.
方法二：依题意，可得，又有，
故，即，；
又有，即圆与椭圆有公共点且公共点不在坐标轴上，
故，即，故，
故选：CD.
方法三：依题意，，
故分别是线段的中点，故；
又有，故，
则；因为，故，
即，得，
故选：CD.
【点睛】本题考查椭圆的方程､椭圆的性质，考查数学运算､逻辑推理､直观想象的核心素养. 方法一直曲联立，得到的横纵坐标，用表示，再用向量的数量积为零，求出离心率的取值范围；方法二用中点坐标公式，表示出，再用向量的数量积为零，求出的轨迹方程，与椭圆有交点，求出取值范围；方法三用三角形中位线性质，再用向量垂直的条件得到的关系，再计算离心率的范围.
24．AD
【分析】由双曲线的方程可知，，的值，逐一分析所给选项，判断正误.
【详解】由双曲线的方程可知，，，由题意可设，，
对于A，以为直径的圆经过，连接，，可得四边形为矩形，
设，，可得，即，得，
所以，故A正确；
对于B，，所以在双曲线的左支上，则，故B不正确；
对于C，由题意可得，设其中一条渐近线的方程为，则直线的方程为，即，
代入双曲线方程可得，化简得，解得，
如图在之间，所以，，即，
所以，故，故C不正确；
对于D，联立，可得：，由于，，
所以，由，当且仅当时取等号，故D正确.
故选：AD
25．AB
【分析】设直线方程为，，直线方程代入抛物线方程应用韦达定理得，从而可表示出点坐标，然后求出点坐标，判断各选项．
【详解】抛物线的焦点为，准线
设直线方程为，，，
联立，消去y得，
由韦达定理得：，，
∴，，直线方程为，
对于A，∵共线，∴，，同理，
，，
∴，即，故A正确；
对于B，若P，Q是线段的三等分点，则，，即，
又，，
∴，∴，又，解得：，故B正确；
对于C，由得，，
，，∴，
又，∴，
当时，，故C错；
对于D，由图可知，而，只要，就有，故D错．
故选：AB．
【点睛】关键点点睛：本题考查抛物线的焦点弦的性质，及直线与抛物线的位置关系，解题的关键是通过直线与抛物线联立结合韦达定理求出点坐标，然后求出点坐标，再依次判断选项，考查学生的运算求解能力，逻辑推理能力，属于难题.
26．ABD
【分析】A选项，根据离心率得到；B选项，设，，故，计算出；C选项，由椭圆定义及余弦定理，基本不等式得到点P在短轴端点时，最大，且此时，故C错；D选项，法一：设出直线方程，联立椭圆方程，求出，得到结论；法二：利用椭圆的第二定义进行求解.
【详解】A选项，因为C的离心率，所以，，解得，故A对；
B选项，由题意得，设，则，，
因为，，所以，，
则，
故B对；
C选项，设，，，，
则
，
当且仅当时，等号成立，
由于在上单调递减，
当点P在短轴端点时，最大，且此时，
故此时，故C错；
D选项，法一：直线方程为，即，
与椭圆方程联立得，
因为，所以，
，故，故D对.
法二：据椭圆第二定义易知：，
其中，
即，
解得，同理可得.
所以成立，故D对.
故选：ABD
【点睛】结论点睛：为椭圆上任意一点，为椭圆的焦点，则最大当且仅当为短轴顶点；
为椭圆上任意一点，为椭圆的长轴顶点，则最大当且仅当为短轴顶点；
为椭圆上任意一点，为椭圆的焦点，若，则椭圆的离心率的取值范围是.
27．ACD
【分析】A选项，由判别式可判断选项正误；B选项，由抛物线定义结合可判断选项正误；C选项，如图，过A，B作准线垂线，垂足为，由抛物线定义结合可判断选项正误；D选项，方法1，通过证明，可得，即可得坐标，后由抛物线定义可求得；方法2，设 关于轴的对称点为，通过说明三点共线，可得，后同方法1；方法3，由角平分线定理结合抛物线定义可得，后同方法1；方法4，利用结合，可得，即可得，后同方法1.
【详解】由题可得，.设方程为：，，将直线与抛物线方程联立：，消去x得：.
由题：，又由韦达定理知：.
A选项，由题可得或，则，故A正确；
B选项，由抛物线定义可知：，
则，
得.故B错误；
C选项，如图，过A，B作准线垂线，垂足为，因，则，
又，则.故C正确.
选项D，方法1：如图，过作x轴垂线，垂足为N，M.
则，
又所以.
注意到：，
则.
则，即存在满足题意，故D正确；
方法2：设 关于轴的对称点为，则.注意到：
，则三点共线，
所以，其余同方法1；
方法3：若平分，则由角平分线定理可得，
所以，又，.
即，下同方法1；
方法4：只需，即，
注意到，，则
，解得或3（舍去），后同方法1.
故选：ACD
【点睛】关键点睛：应难以直接用坐标表示角度，故角平分线条件常通过角平分线定理，相似，三角函数等转化为与长度，特殊角度相关的条件.
28．AB
【分析】对于A,先证明双曲线上一点的切线方程为，与双曲线的渐近线进行联立，可得坐标，可得到，结合即可判断；对于B，由A选项可得点是线段的中点，即可判断；对于C，由即可判断；对于D，通过可得，则能算出，结合余弦定理即可求解
【详解】对于选项，先求双曲线上一点的切线方程，
不妨先探究双曲线在第一象限的部分（其他象限由对称性同理可得）.
由得：，所以，
则在点的切线斜率为，
所以在点的切线方程为：，
又因为，所以在点的切线方程为：，
当为右顶点时，切线方程为，易得也满足，
不失一般性，设点是双曲线在第一象限的一点或双曲线的右顶点，是切线与渐近线在第一象限的交点，是切线与渐近线在第四象限的交点，双曲线的渐近线方程为，
联立，
所以点，同理可得：，
则，
又因为，所以，即：，故A项正确；
对于选项B，由A项知，，
所以点是线段的中点，所以，故B项正确；
对于选项，因为在点的切线方程为：，
令得，所以点，
则，
当点在顶点时，仍然满足，故C项错误；
对于选项D，因为，所以，
又因为，所以，解得：，
即：，代入得，
所以
，
，
因为，所以，
所以，
解得：或6，所以离心率为或，故D项错误.
故选：AB
【点睛】结论点睛：双曲线上一点的切线方程为，对椭圆、抛物线也有类似结论．
29．BC
【分析】求得双曲线和C的离心率判断选项A；求得的周长判断选项B；由直线与圆锥曲线位置关系的判定判断选项C；求解满足题意条件的直线MN判断选项D.
【详解】选项A：双曲线C：的离心率
双曲线的离心率
则双曲线和C的离心率不一定相等.判断错误；
选项B：P为C：上一点，且
则有，整理得
则的周长为.判断正确；
选项C：由，可得
由题意可知，方程无解
当时，方程有解；
当时，则有，解之得或
故若直线与C没有公共点，则或.判断正确；
选项D：根据题意，过双曲线C的左焦点的直线方程可设为
令，由，可得
由，可得
则有，则有，
整理得，显然不成立.
当过双曲线C的左焦点的直线为水平直线时，方程为
则，，即.
综上可知，不存在分别在C的左、右两支上M，N使得.判断错误.
故选：BC
30．AC
【分析】A选项由为线段的中点以及抛物线定义即可判断；B选项由及抛物线方程求出，坐标，再说明，，三点共线，即存在直线即可，C选项设，，表示出直线，联立抛物线，利用即可判断，D选项设出直线，联立抛物线得到，通过焦半径公式结合基本不等式得即可判断．
【详解】解：对于A：如图：由抛物线知为的中点，轴，
所以为线段的中点，
由抛物线的定义知，所以，故A正确；
B选项，设，，，，，，，
为线段的中点，则，
，，，，
由，得，解得，，
又，，故，，，，，
可得，，故存在直线，满足．故B不正确；
C选项：由题意知，为线段的中点，从而设，，则，
直线的方程：，
与抛物线方程联立可得：
，由，
代入左式整理得，
则，所以直线与抛物线相切，故C正确；
对于D：设的方程，
联立，则，
，，
由，
而，由，得，解得：，
故，所以，故D错误.
故选：AC．
【点睛】本题考查了抛物线的定义和性质，考查向量问题，考查韦达定理的应用以及数形结合思想，是难题．
31．BD
【分析】A选项，根据离心率得到越大，越大，椭圆C越扁；
B选项，根据，得到，又因为，得到方程，求出，，得到离心率；
C选项：设出的方程，联立椭圆方程得到两根之和，两根之积，结合求出的值，从而求出直线斜率；
D选项，表达出，，从而得到方程，求出，进而表达出，即可判断D；
【详解】A选项，因为，所以，此时，故椭圆的离心率为，
越大，越大，椭圆C越扁，A错误；
B选项：因为，则，
又因为，则，故，
又因为，
解得，，故，B正确；
C选项：当时，椭圆C： 且，
当过的直线斜率为0时，此时A在轴上，不符合要求，舍去，
设过的直线的方程为，
因为点A在轴的上方，且，所以直线的斜率大于0，
联立得，，设，，
则，，所以，
解得，负值舍去，
所以直线的方程的斜率为，C错误；
D选项：设，则，所以，
则
，
同理可得，由，得，
故，则，
又因为，，
故
，D正确；
故选：BD.
【点睛】椭圆的焦半径公式：
（1）椭圆上一点，其中椭圆左右焦点分别为，，则，.
（2）椭圆上一点，其中椭圆上下焦点分别为，，则，.
32．
【详解】椭圆+y2=1焦点在x轴上，a=，b=1，c=
∴焦点坐标F1（﹣，0）F2（，0），
设A（x1，y1），B（x2，y2），则=（x1+，y1），=（x2﹣，y2），
∵，，由点A，B在椭圆上， 解得：x1=0，y1=±1，∴点A的坐标是（0，±1，）．
故答案为（0，±1）．
33．
【分析】先利用定比分点公式得到坐标的关系，将的坐标代入椭圆方程进行相减，得到，再利用椭圆的有界性进行求解．
【详解】设，，，则，
即，，将，的坐标代入椭圆方程，
得
，得，
即，又，
∴．
又∵，
∴，．
故答案为：
【点睛】关键点点睛：此题考查直线与椭圆的位置关系，考查定比分点公式的应用，解决本题的关键在于得到和，考查计算能力，属于较难题.
34．
【分析】由以及定比分点公式得，再结合在双曲线上满足，可得与的关系并由的范围求得范围，从而由三角行列式面积公式即可求解面积的取值范围.
【详解】设，，，渐近线方程分别为，，
∴①，②，
由三角形行列式面积公式得③，
由于，由定比分点坐标公式得，
由于点在双曲线上，故满足，即为④，
将①②代入④中，即为，
化简为，即为，，
令，则，
所以时，；时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
且，
故．∴．
故答案为：.
35．
【分析】利用线段的定比分点公式得到①②两式，运用点差法推导出③式，代入结果化简得，将其与①式联立，求出，同理得，故得，设直线方程与椭圆方程联立，消元得并求出其值域，从而求得的范围.
【详解】设点，，，．
∵，∴，即.
由题意得，两式相减得③.
将式①②代入式③，整理得.
由得，同理可得，故.
当直线AB的斜率存在时，设直线，
联立方程，消去y得，故.
当时，；当时，，
从而，即，解得，
当直线AB的斜率不存在时，，此时.
综上，.
故答案为：.
36．
【分析】建立平面直角坐标系，写出对应点的坐标，根据点满足双曲线方程，建立双曲线离心率与参数之间的函数关系，进而求其值域即可.
【详解】以所在直线为轴、线段的中点为原点建立平面直角坐标系，如下所示：
设过点三点的双曲线方程为：，
根据题意可得：，设两点坐标分别为，
则，
由可得：，解得，
因为点的坐标都满足双曲线方程，故可得：
，则，将其代入，
整理化简可得：，即，
整理得：，又因为，
故可得，则.
故答案为：.
【点睛】关键点睛：本题考查双曲线离心率的求解，解决问题的关键是根据题意，建立离心率与参数之间的关系，同时要注意计算的准确度，属中档题.
37． 5 2
【分析】方法一：先根据条件得到A，B坐标间的关系，代入椭圆方程解得B的纵坐标，即得B的横坐标关于m的函数关系，最后根据二次函数性质确定最值即可解出；方法二：设直线方程，与椭圆联立，根据的关系解出，根据不等式求出范围即可；方法三：利用直线的参数方程几何意义得到，根据韦达定理得出，利用不等式求出范围；方法四：直接硬算求解，最后利用二次函数性质得出；方法五：利用仿射变换求解；方法六：利用中点弦的性质求解.
【详解】［方法一］：点差法＋二次函数性质
设，由得
∵A，B在椭圆上，∴ ，
即，与相减得：，
∴，当且仅当时取等号，
即时，点B横坐标的绝对值最大，为2．
［方法二］：【通性通法】设线＋韦达定理
由条件知直线的斜率存在，设，直线的方程为，
联立，得，，
根据韦达定理得，
由知，代入上式解得，
∴．
此时，又，解得．
［方法三］：直线的参数方程+基本不等式
设直线的参数方程为其中t为参数，为直线的倾斜角，
将其代入椭圆方程中化简得，
设点A，B对应的参数分别为，则．
由韦达定理知，解得，
∴，
此时，即，代入，解得．
［方法四］：直接硬算求解+二次函数性质
设，∵，∴．
即 ①， ②，
又∵，∴．
不妨设，因此，
代入②式可得，
化简整理得．
由此可知，当时，上式有最大值16，即点B横坐标的绝对值有最大值2．
∴．
［方法五］：【最优解】仿射变换
如图，作如下仿射变换，则为一个圆．
根据仿射变换的性质，点B的横坐标的绝对值最大，等价于点的横坐标的绝对值最大，则
．
当时等号成立，根据，易得，此时．
［方法六］：中点弦性质的应用
设，由可知，则中点．
∵，∴，整理得，
由于，则时，，∴．
故答案为：5；2.
38．
【分析】由准线方程可得抛物线为，设直线的方程为并于抛物线联立，利用韦达定理和即可求得，两点的纵坐标，再由可得结果.
【详解】易知准线，可得，所以可得抛物线，则；
设直线的方程为，如下图所示：
联立直线和抛物线方程可得，易知；
不妨设，可得；
由可得，即；
联立可解得或；
又的面积为.
故答案为：
【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用三角形相似将线段比例转化成纵坐标的比值，结合韦达定理和三角形面积表达式求解.
39．
【分析】设，则，根据双曲线的定义和余弦定理得到，则得到离心率的值.
【详解】设，则.
由双曲线的定义可得.
因为，所以，所以，
则，.
在中，由余弦定理可得，
即，即，
在中，由余弦定理可得，
则，即，
从而，即，即，故.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：本题的关键是设，则，再灵活运用双曲线定义求得，，然后再多次利用余弦定理得到，从而解出离心率.
40．或
【分析】由A，F，B三点共线可得，再将A，B两点代入椭圆得到对应关系式，最后消去求出，进而得到直线的斜率.
【详解】设，，因为，
又A，F，B三点共线，所以，
所以，所以，.
又，在椭圆上，
所以，所以，
即，
所以，所以，
所以，又，所以，所以，
由，解得，
当时，直线l的斜率；
当时，直线l的斜率，所以直线l的斜率为或.
41． /
【分析】设，由求出，进而可得出答案.
【详解】由题意，准线：，
设，则，
又，
则有，解得或，
因此点的横坐标为，
设准线与轴交于点，则，
故在中，，所以.
故答案为：；.
42．/
【分析】取线段的中点为，由已知条件可得，即三点共线，，且，则，再利用以及等面积法即可求得椭圆离心率为.
【详解】如图所示：
不妨取点在轴上方，设点的纵坐标为，点的纵坐标为，的内切圆半径为，椭圆焦距为，
取线段的中点为，设点的纵坐标为，
由可得，即
又为的中点，可得，即，
所以三点共线，且，可得，
又因为，所以；
利用椭圆定义以及等面积法可得，，
，
所以，可得，
即椭圆离心率为.
故答案为：
【点睛】方法点睛：求解内切圆问题时，一般是利用等面积法将三角形面积与周长之间建立联系，再根据椭圆定义即可直接得出之间的关系，进而求出离心率.
43．
【分析】以线段的中点为坐标原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，设、，求出点的坐标，利用求出点的坐标，将点的坐标代入双曲线方程，可得出关于的方程，即可解得该双曲线的离心率的值.
【详解】，以线段的中点为坐标原点，所在直线为轴建立如下图所示的平面直角坐标系，
设双曲线的方程为，
由于双曲线的焦点为、，可设、，
由于双曲线过、两点，且，
由双曲线的对称性可知，点、关于轴对称，则，
将代入双曲线方程可得，可得，则，
设点，由可得，
即，可得，解得，
所以，点，
将点的坐标代入双曲线方程可得，即，可得，
，解得.
因此，该双曲线的离心率为.
故答案为：.
【点睛】方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的方法如下：
（1）定义法：通过已知条件列出方程组，求得、的值，根据离心率的定义求解离心率的值；
（2）齐次式法：由已知条件得出关于、的齐次方程，然后转化为关于的方程求解；
（3）特殊值法：通过取特殊位置或特殊值，求得离心率.
44．
【分析】联立直线和抛物线方程，利用韦达定理得到，再利用平行线分线段成比例，将长度比转换为坐标关系，从而得解.
【详解】依题意，抛物线的焦点坐标为，
易知直线斜率存在，设直线方程为：，，
联立，消去，得
易知，则，即，
过作垂直于轴，过作平行于轴，两者交于，
过作垂直于轴，交轴于，根据对称性，示意图如下，
因为，所以，
因为，所以，
则.
故答案为：.
【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：
（1）设直线方程，设交点坐标为；
（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，注意的判断；
（3）列出韦达定理；
（4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式；
（5）代入韦达定理求解.
45．
【分析】设，根据，可得三点共线，，设直线的方程为，联立方程，利用韦达定理求出，不妨令，再计算即可得解.
【详解】，
设，
因为，
所以三点共线，且，
即，
可设直线的方程为，
联立，消得，
则，
，
，
因为与面积之和的最小值，则只能，
不妨令，
则，，
故，
当且仅当，，即时取等号，
此时，
所以与面积之和的最小值为.
故答案为：；.
46．
【分析】设，根据，得到关系，联立直线与抛物线方程，结合韦达定理，即可得到的关系，然后再根据直线与圆相切，列出方程即可求得结果.
【详解】设，显然直线的斜率存在且不为0
则直线方程为
因为
因为，则，即
联立消去，化简可得
由韦达定理可得
且，所以
所以
即直线方程为
且直线与圆相切，则
令，则，解得或（舍）
即
故答案为:
47．/
【分析】设，由，结合向量坐标运算表示出，代入到椭圆的方程，再由点差法和斜率公式求解即可.
【详解】如图，设，故，
则，又都在椭圆上，
故，且，
两式相减得：，
即，且把该式记为①，
同理可得：，且把该式记为②，
故由②-①得：，所以.
故答案为：
【点睛】关键点点睛：本题考查解析几何，解题关键是合理分析给定的条件，然后运用点差法，得到所要求的斜率即可．
48．.
【分析】设设，，然后将直线方程代入双曲线方程并化简，进而根据根与系数的关系及建立关于的方程，进而解得答案.
【详解】由题意，设，易知，设，则，代入双曲线方程得：，
易知，，…①，
由，代入①得：，
所以，，
即.
故答案为：.
【点睛】由，由此可知题目应涉及到根与系数的关系，进而设出直线方程然后与双曲线联立，然后解决问题.