高中数学压轴题小题专项训练专题46立体几何中的组合问题含解析答案

这是一份高中数学压轴题小题专项训练专题46立体几何中的组合问题含解析答案，共25页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知正三棱锥中，，，该三棱锥的外接球球心到侧面距离为，到底面距离为，则（ ）
A．B．C．D．
2．红灯笼，起源于中国的西汉时期，两千多年来，每逢春节人们便会挂起象征美好团圆意义的红灯笼，营造一种喜庆的氛围.如图1，某球形灯笼的轮廓由三部分组成，上下两部分是两个相同的圆柱的侧面，中间是球面除去上下两个相同球冠剩下的部分.如图2，球冠是由球面被平面截得的一部分，垂直于截面的直径被截得的部分叫做球冠的高，若球冠所在球面的半径为，球冠的高为，则球冠的面积.如图1，已知该灯笼的高为58cm，圆柱的高为5cm，圆柱的底面圆直径为14cm，则围成该灯笼中间球面部分所需布料的面积为（ ）
A．B．C．D．
3．已知正三棱锥 P－ABC 的底面边长为 ，若半径为1的球与该正三棱锥的各棱均相切，则三棱锥 P－ABC 的体积为（ ）
A．2B．C．3D．
4．三个相同的圆柱的轴线，互相垂直且相交于一点O，底面半径为1.假设这三个圆柱足够的长，P同时在三个圆柱内（含表面），则OP长度最大值为（ ）
A．1B．C．D．
5．在正方体中，分别为棱的中点，动点平面，，则下列说法错误的是（ ）
A．的外接球面积为B．直线平面
C．正方体被平面截得的截面为正六边形D．点的轨迹长度为
6．已知正四棱锥各顶点都在同一球面上，且正四棱锥底面边长为4，体积为，则该球表面积为（ ）
A．B．C．D．
7．比利时数学家丹德林( Germinal Dandelin)发现：在圆锥内放两个大小不同且不相切的球使得它们与圆锥的侧面相切，用与两球都相切的平面截圆锥的侧面得到的截线是椭圆．这个结论在圆柱中也适用，如图所示，在一个高为20，底面半径为4的圆柱体内放两个球，球与圆柱底面及侧面均相切．若一个平面与两个球均相切，则此平面截圆柱侧面所得的截线为一个椭圆，则该椭圆的短轴长为（ ）
A．B．C．D．
8．已知圆锥的顶点和底面圆周均在球的球面上.若该圆锥的底面半径为，高为6，则球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
9．在矩形中，，将沿对角线翻折至的位置，使得平面平面，则在三棱锥的外接球中，以为直径的截面到球心的距离为（ ）
A．B．C．D．
10．蹴鞠（如图所示），又名蹴球、蹴圆、筑球、踢圆等，蹴有用脚蹴、踢、蹋的含义，鞠最早系外包皮革、内实米糠的球．因而蹴鞠就是指古人以脚蹴、蹋、踢皮球的活动，类似于今日的足球．2006年5月20日，蹴鞠作为非物质文化遗产经国务院批准已列入第一批国家非物质文化遗产名录．已知某鞠（球）的表面上有四个点，平面，则该鞠（球）的表面积为（ ）

A．B．C．D．
11．现有一个底面边长为，侧棱长为的正三棱锥框架，其各顶点都在球的球面上．将一个圆气球放在此框架内，再向气球内充气，当圆气球恰好与此正三棱锥各棱都相切时停止充气，此时两球表面积之和为（ ）
A．B．C．D．
12．南北朝时期的伟大数学家祖暅在数学上有突出贡献，他在实践的基础上提出祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”.其含义是：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被任一平行于这两个平面的平面所截，如果两个截面的面积总是相等，则这两个立体的体积相等.如图，两个半径均为的圆柱体垂直相交，则其重叠部分体积为（ ）
A．B．C．D．
13．已知圆锥的高为3，若该圆锥的内切球的半径为1，则该圆锥的表面积为（ ）
A．B．C．D．
14．半正多面体是由边数不全相同的正多边形为面的多面体，如图所示的多面体就是一个半正多面体，其中四边形和四边形均为正方形，其余八个面为等边三角形，已知该多面体的所有棱长均为2，则平面与平面之间的距离为（ ）

A．B．C．D．
二、多选题
15．下列物体中，能够被整体放入棱长为1（单位：m）的正方体容器（容器壁厚度忽略不计）内的有（ ）
A．直径为的球体
B．所有棱长均为的四面体
C．底面直径为，高为的圆柱体
D．底面直径为，高为的圆柱体
16．（多选）如图1所示，已知四棱锥P-ABCD的底面为矩形，PC⊥平面ABCD，AB=BC=PC=2，O为AP的中点，则下列说法正确的是（ ）
A．若平面PAB∩平面PCD=l，则
B．过点O且与PC平行的平面截该四棱锥，截面可能是五边形
C．平面PBD截该四棱锥外接球所得的截面面积为
D．A为球心，表面积为的球的表面与四棱锥表面的交线长度之和等于
三、填空题
17．如图，一建筑工地有墙面与水平面垂直并交于，长为米的钢丝连接平面内一点与平面内一点，点距均为3米，分别为的三等分点，若在平面内一点向点连绳子，则的最短长度为 米.
18．已知点S，A，B，C均在半径为4的球O的表面上，且平面，，，，点M在上，当直线与平面所成的角最大时， ．
19．已知正四面体外接球表面积为，则该正四面体棱长为 ；若为平面内一动点，且 ，则最小值为 ．
20．在直三棱柱中，，底面ABC是边长为6的正三角形，若M是三棱柱外接球的球面上一点，是内切圆上一点，则的最大值为 ．
21．已知一个圆锥的侧面展开图是一个圆心角为，半径为的扇形.若该圆锥的顶点及底面圆周都在球的表面上，则球的体积为 .
22．已知圆锥的底面半径为1，侧面展开图为半圆，则该圆锥内半径最大的球的表面积为 ．
参考答案：
1．C
【分析】根据题意得到，，两两垂直，把该三棱锥补成一个正方体，结合正方体的性质，即可求解.
【详解】由题意，正三棱锥中，，
则，所以，同理可得，
即，，两两垂直，可把该三棱锥补成一个正方体，
则该三棱锥的外接球就是正方体的外接球，即正方体的体对角线就是球的直径，
所以球心位于正方体对角线的中点,
所以三棱锥的外接球球心到侧面距离为，到底面距离为，
所以.
2．C
【分析】由题利用勾股定理求出半径，再求出高度，分别求出两个球冠的面积，用球体的表面积减去两个球冠的面积即可解决问题.
【详解】由题意得：，
所以cm，
所以cm，
所以两个球冠的面积为cm2，
则围成该灯笼中间球面部分所需布料的面积为：
cm2，
故选：C.
3．A
【分析】作出图形，根据题意可得棱切球的球心即为底面正三角形的中点O，再求出三棱锥的高，最后根据三棱锥的体积公式，即可求解.
【详解】因为球与该正三棱锥的各棱均相切，
所以该球的球心在过截面圆圆心且与平面垂直的直线上，
又因为底面边长为，
所以底面正三角形的内切圆的半径为，
又因为球的半径，即，
所以棱切球的球心即为底面正三角形的中心点O，
如图，过球心O作PA的垂线交PA于H，则H为棱切球在PA上的垂足，

所以，
又因为，所以,
因为，所以，
又由题意可知，平面，所以，
所以
所以，
所以.
故选：A.
4．B
【分析】根据给定条件，构造以线段为体对角线的长方体，再求出的最大值.
【详解】令直线两两确定的平面分别为，显然两两垂直，把三个圆柱围成的几何体等分为8个部分，
由对称性知，考查其中一个部分，当线段在平面或或内时，，
当线段不在的任意一个内时，线段可视为一长方体的体对角线，
要最长，当且仅当此长方体为正方体，其中一个表面正方形在内，对角线长为1，
边长即正方体的棱长为，体对角线长为，
所以OP长度最大值为.
故选：B
5．D
【分析】可证明正方体被平面截得的截面为正六边形，故可判断C的正误，利用面面平行的判定定理可判断B的正误，利用补体法可求的外接球的直径后可判断A的正误，利用向量的方法可求到平面的距离，从而可求点的轨迹长度，故可判断D的正误.
【详解】如图，设的中点分别为，连接.
由正方体的性质可得，而为三角形的中位线，
故，故，故四点共面，
同理，也四点共面，故五点共面，
同理也四点共面，故六点共面.
正方体被平面截得的截面为六边形，
，
因为平面平面，平面平面，
而平面平面，故，
而为三角形的中位线，故，故，
但与方向相反，故与互补，而为等边三角形，
故，故，

同理，
故正方体被平面截得的截面为正六边形，故C正确.
由，平面，平面，故平面，
同理故平面，而平面，
故平面平面，而平面，故平面，故B正确.
对于A，将三棱锥补成如图所示的长方体，
其中分别为、的中点，
则其外接球的直径即为的体对角线的长度即，
故三棱锥的外接球的表面积为，故A正确.

建立如图所示的空间直角坐标系，

则，
故，
设平面的法向量为，则，
故，取，则，
故，而，
故到平面的距离为，
而，故点的轨迹为平面与球面的截面（圆），
该圆的半径为，故圆的周长为，故D错误.
故选：D.
【点睛】思路点睛：空间几何题外接球的半径的求法，可先根据几何性质确定球心的位置，然后把球的半径放置在可解的图形中求解，也可以通过补体转化为规则几何体的外接球的半径，而与球的截面的计算问题，则需计算球心到截面的距离.
6．B
【分析】根据体积可求正四棱锥的高，再结合外接球球心的性质可求其半径，故可求外接球的表面积.
【详解】
如图，设在底面的射影为，则平面，
且为的交点.
因为正四棱锥底面边长为4，故底面正方形的面积可为，且，
故，故.
由正四棱锥的对称性可知在直线上，设外接球的半径为，
则，故，故，
故正四棱锥的外接球的表面积为，
故选：B.
7．D
【分析】椭圆的短轴长即为圆柱的底面的直径即可求解
【详解】由平面与圆柱所截可知椭圆的短轴即为圆柱底面直径的长，即，
故选：D
8．C
【分析】设球心到圆锥底面的距离为，由题设可得关于的方程，求出其解后可得球的半径，从而可求其表面积.
【详解】因为，故球心在圆锥的内部且在高上，
设球心到圆锥底面的距离为，
则有，解得，则圆半径，
表面积.
故选：C
9．B
【分析】如图，取的中点为，连接，过作，垂足为，连接，可证为三棱锥的外接球的球心，利用解直角三角形可求，据此可求球心到以为直径的截面的距离.
【详解】如图，取的中点为，连接，过作，垂足为，连接.
因为三角形为直角三角形，故，
同理，故，
所以为三棱锥的外接球的球心，而，

因为，平面，平面平面，
平面平面，故平面，
而平面，故.
在直角三角形中，，故，
故，
在直角三角形中，，
故，故.
设球心到以为直径的截面的距离为，
则，
故选：B.
【点睛】思路点睛：三棱锥外接球的球心，可根据球心的定义来判断（即球心到各顶点的距离相等），而球面截面圆的半径、球心到截面的距离、球的半径可构成直角三角形.
10．C
【分析】取的中点为，连接，可证为外接球的球心，故可求半径，从而可得球的表面积.
【详解】

取的中点为，连接，
因为平面，而平面，故，
故.
同理，而，平面，
故平面，而平面，故，
故，
综上，为三棱锥外接球的球心，
而，故外接球的半径为3，
故球的表面积为，
故选：C
11．B
【分析】根据题意球是正三棱锥的外接球，球是正三棱锥的棱切球，再根据正三棱锥的特点可知两球的球心均在正三棱锥的高所在直线上，然后根据等量关系列出关于半径的方程，解方程求出半径，进而求出球的表面积.
【详解】设此正三棱锥框架为，球的半径为，球的半径为，底面外接圆的圆心为，连接，，延长交于点．
因为圆气球在此框架内且与正三棱锥所有的棱都相切，
设球与棱和相切于点M，N，
则，，，
因为底面，所以，
又因为，所以，
在直角三角形中，，，
在直角三角形中，，，
由，可得，解得，
则球的表面积为，
又，则与重合，球的半径，球的表面积为，
综上可得：两球表面积之和为，
故选：B．
12．B
【分析】分析几何体的每层截面都是正方形，计算正方形的在上下距离中心 截面面积，再根据正方形的特点想到顶点在中心的正四棱锥（上、下两个），计算正四棱锥的上下距离中心截面面积，通过发现面积之间的关系，结合祖暅原理即可求解.
【详解】
（左） （中） （右）
重叠部分的几何体的外接正方体如上图（左）所示，
在距离中心处的截面正方形的边长是： ，
所以距离中心处截面面积是,
而从同一个正方体的中心位置，与底面四点连线构成的正四棱锥的示意图如上图（中）所示，
在距离中心处的截面正方形的边长是：，
因为内切球的半径等于正方体棱长一半，
所以， ，
所以，
在距离中心处的截面正方形的边长是： ，
以距离中心处截面面积是,
又因为正方体的水平截面面积为： ，
所以，
所以剩余部分的截面面积如上图（右）“回”形面积为，
因此根据祖暅原理：“夹在两个平行平面之间的两个几何体，被任一平行于这两个平面的平面所截，如果两个截面的面积总是相等”，可得：
左图几何体的体积加上中间图上下锥体的体积等于正方体的体积，
即有：
，
解得，
故选：B.
13．C
【分析】利用圆锥与其内切球的轴截面，由已知数据计算出圆锥底面半径和母线长，可求圆锥的表面积.
【详解】圆锥与其内切球的轴截面如下图所示，
由已知，可知，所以圆锥的轴截面为正三角形，
因为，所以圆锥底面圆半径，母线，
则圆锥的表面积为．
故选：C．
14．B
【分析】分别取的中点，作出截面，结合几何体的性质，确定梯形的高即为平面与平面之间的距离，由此即可求得答案.
【详解】分别取的中点，连接，

根据半正多面体的性质可知，四边形为等腰梯形；
根据题意可知，
而平面，
故平面，又平面，
故平面平面，则平面平面，
作，垂足为S，平面平面，
平面，故平面，
则梯形的高即为平面与平面之间的距离；
，
故，
即平面与平面之间的距离为，
故选：B
【点睛】关键点睛：本题考查了空间想象能力，解答的关键是根据几何体的结构特征，作出其截面图，确定梯形的高即为平面与平面之间的距离，即可求得答案.
15．ABD
【分析】根据题意结合正方体的性质逐项分析判断.
【详解】对于选项A：因为，即球体的直径小于正方体的棱长，
所以能够被整体放入正方体内，故A正确；
对于选项B：因为正方体的面对角线长为，且，
所以能够被整体放入正方体内，故B正确；
对于选项C：因为正方体的体对角线长为，且，
所以不能够被整体放入正方体内，故C不正确；
对于选项D：因为，可知底面正方形不能包含圆柱的底面圆，
如图，过的中点作，设，
可知，则，
即，解得，
且，即，
故以为轴可能对称放置底面直径为圆柱，
若底面直径为的圆柱与正方体的上下底面均相切，设圆柱的底面圆心，与正方体的下底面的切点为，
可知：，则，
即，解得，
根据对称性可知圆柱的高为，
所以能够被整体放入正方体内，故D正确；
故选：ABD.
16．AC
【分析】对于A项，利用线面平行证线线平行即可；对于B项，根据平面的性质作四棱锥的截面即可判定；对于C项，先确定外接球球心的位置，再计算球心到平面PBD的距离，利用球的性质计算即可；对于D项，先计算得该球半径，以A为圆心依次再各面作弧，利用弧长公式计算各弧长求和即可判定.
【详解】对于A，因为四边形ABCD为矩形，所以，又AB平面PCD，CD平面PCD，所以平面PCD，而平面PAB∩平面PCD=l，AB平面PAB，所以，
故A正确；
对于B，如图2，连接AC，记ACBD=E，连接OE．
因为AO=OP，AE=EC，所以，故过点O且与PC平行的平面必过直线OE．
设过点O且与PC平行的平面与BC交于点N，假设点N与点C重合，此时截面为；当点N与点B重合时，连接OB，OD，则截面为．当点N在线段BC上，且不为端点时，连接EN，直线EN与线段AD交于点M，过点N作交PB于F，连接OM，OF，则截面为四边形OMNF．
显然几何体P-ABCD关于平面PAC对称，故当截面与线段AB相交（不含端点）时，得到的截面也是四边形．综上，截面图形是三角形或四边形，不可能是五边形，故B错误．
对于C，由已知易得，四棱锥P-ABCD的外接球球心就是AP的中点O，故四棱锥外接球半径．
由O是AP的中点得，其中，，分别表示点O到平面PBD的距离、点A到平面PBD的距离、点C到平面PBD的距离．
由VP-BCD=VC-PBD得，得，得，
所以．
所以平面PBD截该四棱锥外接球所得的截面圆半径
，
故截面面积，故C正确．
对于D，设A为球心，表面积为的球半径为R1，则，解得．
如图3，作出此球球面与四棱锥各面的交线，分别与棱BC，BP，AP，DP，交于点M1，M2，M3，M4，M5，连接AM1，AM2，AM4，AM5．
易知AB⊥平面PBC，所以，即，解得．
又，所以球面与侧面PBC的交线是以B为圆心，为半径，为圆心角的圆弧，其长度为．同理，球面与侧面PCD的交线的长度．
在底面正方形ABCD中，，故，同理，，
所以，所以球面与底面正方形ABCD的交线的长度．在侧面PAB中，，，
，所以，．
设，则，
所以球面与侧面PAB的交线的长度（其中）．
同理，可求得球面与侧面PAD的交线的长度（其中）．
综上所述，A为球心，表面积为的球的表面与四棱锥表面的交线长度之和
（其中），故D不正确．
故选：AC．
17．
【分析】利用对称找到满足要求的，即满足最小的点，再利用线段比例关系及勾股定理得到各线段长，求出，利用余弦定理求出答案.
【详解】如图1，
找点关于平面的对称点，连接交平面于，
其中截面图如图2所示，
则即为满足最小的点，
因为，
所以，
，
又，
在中，由余弦定理得
，
即的最小值为.
故答案为：
18．
【分析】根据球的半径可求的长度，根据余弦定理可求的长度，故可求的最小值，根据线面角的定义可判断此时线面角为最大.
【详解】
设的外接圆的圆心为，半径为，设的中点为，
外接球的球心为，连接，则平面，，
因为平面，故，故四点共面，
而平面，故，故，
故四边形为矩形.
而，故，故.
在中，，
故，故，故，
故，
因为平面，故为直线与平面所成的角，
当长度最小时，最大值，此时，故.
故答案为：
【点睛】关键点点睛：几何体的外接问题，往往需要连接球心与截面圆的圆心，再结合几何体中的线面垂直得到球的半径满足的关系，而线面角的最小问题，往往转化平面图形中关键线段的最值问题.
19． 6
【分析】先利用正四面体外接球表面积求出其半径，然后由求出正四面体的棱长，由为平面内一动点，且，则，即点的轨迹为以为圆心，为半径的圆，最后结合点与圆的位置关系求解即可．
【详解】设该正四面体棱长为，
过点作面，
则点为的重心，
则，，
又正四面体外接球表面积为，
则 ，
则，
即，
又，
则，
解得：；
又为平面内一动点，且，
则，
即点的轨迹为以为圆心，为半径的圆，
又，
则由点与圆的位置关系可得最小值为：，
故答案为：；．
20．
【分析】分析题意，将题目转化为求外接球半径与点到球心距离和的问题，求解即可.
【详解】若底面ABC是边长为6的正三角形，
则外接圆的半径为，内切圆半径为，
设三棱柱外接球的半径为，且已知，
可得，解得，
设三棱柱外接球的球心与内切圆上一点的距离为，
故，则的最大值为，
故答案为：
【点睛】关键点点睛：本题考查立体几何，解题关键是确定取得最大值的情况，然后将目标式合理转化，得到所要求的线段和即可．
21．/
【分析】根据扇形的弧长计算可得圆锥的高，结合勾股定理和圆锥外接球体积计算，即可求解.
【详解】设该圆锥的底面半径为，高为．
由扇形圆心角为，半径为，
得圆锥底面圆周长为，解得．
因为扇形半径为，所以，所以．
易知球心在圆锥的高所在的直线上．
设球的半径为，则，
即，解得，
所以球的体积为．
故答案为：．
22．/
【分析】由圆锥侧面展开图求得圆锥母线长，圆锥内半径最大的球与圆锥相切，作出圆锥的轴截面，截球得大圆为圆锥轴截面三角形的内切圆，由此图形计算出球的半径后可得表面积．
【详解】设圆锥母线长为，由题意，，
圆锥内半径最大的球与圆锥相切，
作出圆锥的轴截面，截球得大圆为圆锥轴截面三角形的内切圆，是切点，如图，易知是圆锥的高，在上，
由得，因此，所以，
，
所以圆锥内半径最大的球的表面积为，
故答案为：．