高中数学压轴题小题专项训练专题49空间向量的应用问题含解析答案

这是一份高中数学压轴题小题专项训练专题49空间向量的应用问题含解析答案，共43页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．在直三棱柱中，，，为线段的中点，点在线段上，且，则直线与平面所成角的正弦值为（ ）
A．B．C．D．
2．已知正方体中，M，N分别为，的中点，则（ ）
A．直线MN与所成角的余弦值为B．平面与平面夹角的余弦值为
C．在上存在点Q，使得D．在上存在点P，使得平面
二、多选题
3．已知正三棱柱的底面边长为，高为，记异面直线与所成角为，则（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
4．如图，正方体的棱长为1，则下列四个命题中正确的是（ ）
A．两条异面直线和所成的角为
B．直线与平面所成的角等于
C．点到面的距离为
D．四面体的体积是
5．正方体的棱长为6，，分别是棱，的中点，过，，作正方体的截面，则（ ）
A．该截面是五边形
B．四面体外接球的球心在该截面上
C．该截面与底面夹角的正切值为
D．该截面将正方体分成两部分，则较小部分的体积为75
6．如图，在正四棱柱中，是棱的中点，为线段上的点（异于端点），且，则下列说法正确的是（ ）

A．是平面的一个法向量
B．
C．点到平面的距离为
D．二面角的正弦值为
7．在三棱锥中，平面，点是三角形内的动点（含边界），，则下列结论正确的是（ ）
A．与平面所成角的大小为
B．三棱锥的体积最大值是2
C．点的轨迹长度是
D．异面直线与所成角的余弦值范围是
8．在正三棱锥中，，则下列结论正确的是（ ）
A．异面直线与所成角为
B．直线与平面所成角的正弦值为
C．二面角的余弦值为
D．三棱锥外接球的表面积为
9．如图，在棱长为2的正方体中，点E，F分别是和的中点，则（ ）
A．
B．
C．点F到平面EAC的距离为
D．过E作平面与平面ACE垂直，当与正方体所成截面为三角形时，其截面面积的范围为
10．如图，在直四棱柱中，四边形是矩形，，，，点P是棱的中点，点M是侧面内的一点，则下列说法正确的是（ ）
A．直线与直线所成角的余弦值为
B．存在点，使得
C．若点是棱上的一点，则点M到直线的距离的最小值为
D．若点到平面的距离与到点的距离相等，则点M的轨迹是抛物线的一部分
11．在棱长为2的正方体中，是线段上的动点，则（ ）
A．存在点，使
B．存在点，使点到直线的距离为
C．存在点，使直线与所成角的余弦值为
D．存在点，使点，到平面的距离之和为3
12．如图，在四面体中，，，，O为AC的中点，点M是棱BC的点，则（ ）
A．平面POB
B．四面体的体积为
C．四面体外接球的半径为
D．M为中点，直线PC与平面PAM所成角最大
13．已知正方体的棱长为2，棱的中点分别为E，F，点G在底面上，且平面平面，则下列说法正确的是（ ）
A．若存在λ使得，则
B．若，则平面
C．三棱锥体积的最大值为2
D．二面角的余弦值为
14．如图，在直三棱柱中，，分别为棱上的动点，且，，，则（ ）
A．存在使得
B．存在使得平面
C．若长度为定值，则时三棱锥体积最大
D．当时，直线与所成角的余弦值的最小值为
15．图，在边长为4的正方形中，为的中点，为的中点．若分别沿，把这个正方形折成一个四面体，使、两点重合，重合后的点记为，则在四面体中，下列结论正确的是（ ）

A．
B．到直线的距离为
C．三棱锥外接球的半径为
D．直线与所成角的余弦值为
16．正方体的棱长为，是正方体表面及其内部一点，下列说法正确的是（ ）
A．若，则点所在空间的体积为
B．若，，则的最小值为
C．若，则的取值范围是
D．若，则这样的点有且只有两个
17．已知正四棱台的各个顶点都在球的表面上，，，，是线段上一点，且，下列选项正确的（ ）
A．当时，过点作球的截面的最小面积
B．当时，多面体
C．到平面距离是2
D．与平面的夹角正弦值是
18．已知球是棱长为2的正方体的内切球，是的中点，是的中点，是球的球面上任意一点，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则动点的轨迹长度为
B．三棱锥的体积的最大值为
C．的取值范围是
D．若，则的大小为定值
19．如图，平面，，M为线段AB的中点，直线MN与平面的所成角大小为30°，点P为平面内的动点，则（ ）
A．以为球心，半径为2的球面在平面上的截痕长为
B．若P到点M和点N的距离相等，则点P的轨迹是一条直线
C．若P到直线MN的距离为1，则的最大值为
D．满足的点P的轨迹是椭圆
三、填空题
20．在直三棱柱中，，为的中点，点满足，则异面直线所成角的余弦值为 ．
21．已知四棱柱的底面是正方形，，，点在底面的射影为中点H，则直线与平面所成角的正弦值为 ．
22．在矩形中，，，沿对角线将矩形折成一个大小为的二面角，当点B与点D之间的距离为3时 ．
23．如图，经过边长为1的正方体的三个项点的平面截正方体得到一个正三角形，将这个截面上方部分去掉，得到一个七面体，则这个七面体内部能容纳的最大的球半径是 ．
24．已知空间中三点，则点A到直线的距离为 ．
参考答案：
1．B
【分析】以点为原点建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可.
【详解】如图，以点为原点建立空间直角坐标系，
不妨设，则，
则，故，
因为轴平面，则可取平面的法向量为，
则，
即直线与平面所成角的正弦值为.
故选：B.
2．C
【分析】以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的边长为1，由空间向量计算异面直线所成角，二面角和线线垂直可判断ABC；由四点共面，而平面可判断D.
【详解】以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的边长为1，
所以，，
，
对于A，，，
直线MN与所成角的余弦值为，故A错误；
对于B，，，
设平面的法向量为，则，
取，可得，所以，
，，
设平面的法向量为，则，
取，可得，所以，
平面与平面夹角的余弦值为：
，故B错误；
对于C，因为Q在上，设，所以，，
则，所以，
所以，，
所以，解得：.
故上存在点，使得，故C正确；
对于D，因为，所以四点共面，
而平面，所以上不存在点P，使得平面，故D错误.
故选：C.
.
3．ACD
【分析】建立空间直角坐标系，求出相关点坐标，以及相关向量的坐标，根据空间角的向量求法，一一求解各选项中所求结果，即可判断答案.
【详解】在正三棱柱中，设的中点为，连接,
则平面，,
以O为坐标原点，以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，
对于A，当时，，
则，
则，
由于异面直线与所成角为，范围为大于小于等于，
故，A正确；
对于B，，
则，由于，
则，
解得或，B错误；
对于C，当时，，
则，
则，故，则，C正确；
对于D，若，则，
则，
则，
则，
解得或（舍），D正确；
故选：ACD
4．BCD
【分析】建立适当空间直角坐标系后借助空间向量逐项计算与判断即可得.
【详解】建立如图所示空间直角坐标系，
对A：、、、，
则、，故，
故，即异面直线和所成的角为，故A错误；
对B：，由轴平面，故平面法向量可为，
则，故直线与平面所成的角为，故B正确；
对C：，，，
设平面的法向量为，则有，
令，则，故，故C正确；
对D：易得四面体为正四面体，
则，故D正确.
故选：BCD.
5．ACD
【分析】对于A，过三点作正方体的截面即可；对于B，计算四面体外接球半径，以及外接圆半径，比较球心与圆心是否重合即可；对于C，建立空间直角坐标系，计算平面和平面的法向量即可；对于D，将被截正方体较小部分体积分为5个三棱锥计算即可.
【详解】对于A，如图①所示，延长交的延长线于，延长交的延长线于，
连接交于，连接交于，
连接，，则五边形为平面截正方体所得的截面，故A正确；
对于B， 如图②所示，设三棱锥底面外心为，
三棱锥外接球球心为，
且,
在中，,，
所以外接圆半径为,
所以在中，三棱锥外接球半径
,
所以三棱锥外接球球心到三点的距离都为.
在中，，
所以外接圆半径,
所以四面体外接球的球心不在该截面上，故B错误；
对于C，如图③所示，以分别为轴建立如图空间直角坐标系，
且正方体边长为6，即，
所以，
设为平面的法向量，则
，取，
所以，
又因为平面，
故为平面的法向量，
则，
，故C正确；
对于D，如图④所示，取中点，连接,
因为，所以，即，
又因为，所以，即，
同理，由得，
由得，
所以，
，
，
，
,
所以该截面将正方体分成两部分，较小部分体积为，故D正确.
故选：ACD.

6．ACD
【分析】对于A，证明平面即可；对于B，在中通过余弦定理计算的长度即可；对于C，D，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，根据点到面的距离公式可计算C选项，计算平面和平面的法向量即可求出二面角的正弦值，可判断D选项.
【详解】对于A，由于是正四棱柱，易知，
在中，因为，
所以，
故，
又平面，平面，
所以平面，故A正确；
对于B，在中，因为，
则，
在中，利用余弦定理,
可求得或（舍去），
因此，故错误；
对于C， 以为原点，分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
由B选择可知，，，
所以，
故，
设为平面的法向量，
则，
令，则，
设点到平面的距离为，
所以由点到平面的距离公式得：
，故C正确；
对于D，由C选项中坐标可知，
为平面的一个法向量，
，
设平面的一个法向量为，
则
令，
所以，
因此二面角的正弦值为，故D正确.
故选：ACD.

7．ACD
【分析】根据给定条件，把几何体补形成正四棱柱，利用几何法求出线面角判断A；确定点的轨迹并求出长度判断C；求出点到距离的最大值计算判断B；建立坐标系，利用异面直线夹角的向量求法建立函数关系求解判断D.
【详解】如图，把三棱锥补形成正四棱柱并建立空间直角坐标系，
对于A，由平面，得是与平面所成的角，，
因此，A正确；
对于C，由，得点的轨迹是以线段为直径的球面与相交的一段圆弧及点，
令的中点分别为，则平面，，于是，
显然点所在圆弧所对圆心角大小为，长度是，C正确；
对于B，由选项C知，当时，点到平面距离最大，最大距离为1，
因此三棱锥的体积，B错误；
对于D，设，则点，而，
于是，又，令异面直线与所成的角大小为，
则，
令，在上单调递增，
因此，D正确.
故选：ACD
【点睛】思路点睛：涉及立体图形中的轨迹问题，若动点在某个平面内，利用给定条件，借助线面、面面平行、垂直等性质，确定动点与所在平面内的定点或定直线关系，结合有关平面轨迹定义判断求解.
8．BC
【分析】方法一：利用向量的线性运算得到向量的数量积为零，或利用线面垂直的判定定理与性质定理可判断A；利用等体积法结合线面角的定义和正弦定理可求出直线与平面所成角的正弦值可判断B；作，连接，利用三角形全等找到二面角的平面角，再由余弦定理求出即可判断C；列式求得外接球半径，从而判断D.
方法二：先建立如图所示坐标系，选项A用坐标表示向量的数量积可判断错误；选项B先找到平面的一个法向量，代入空间线面角的正弦公式求解即可得B正确；选项C找到平面的一个法向量，结合选项B的法向量再代入空间二面角公式求出即可得C正确；选项D同上解.
【详解】方法一：
A：，则异面直线与所成角为，故A错误；
另解：如图①，取的中点，连接，则．
又，且平面，平面，
所以平面．
又平面，所以，即异面直线与所成角为
B：在正三棱锥中，因为，
所以的外接圆半径，
设点为外接圆圆心，则，
三棱锥的高为，
设为中点，则侧高为．
设点到平面的距离为，直线与平面所成角为，
则．
由，
得，解得，
则，故B正确．

C：如图①，作，垂足为，连接．
因为，所以，
则二面角的平面角即为，
．
在中，由余弦定理得，故C正确；
D：如图①，取正三角形的中心，连接，则三棱锥的外接球球心在上，连接．
设，球半径为，
由，得，解得，
所以，
所以三棱锥外接球的表面积，故D错误．
方法二：
在正三棱锥中，过点作平面于点，
则为底面正三角形的重心，连接．
又的边长均为2，所以，所以．
建立如图②所示的空间直角坐标系，
则，．
A：因为，所以，则异面直线与所成角为，故A错误；
B：设平面的一个法向量为，则，
因为，所以，
令，则，得．
又，设直线与平面所成角为，
则，故B正确．
C：设平面的一个法向量为，则
因为，
所以，则，令，则，得．
设二面角的大小为，则，
由图②可知该二面角为锐角，所以，C正确．
D：由题意知三棱锥外接球的球心在轴上，设为，连接，设球半径为．
由，得，解得，
所以，
所以三棱锥外接球的表面积，故错误．
故选：BC．
【点睛】关键点点睛：本题方法二解决的关键在于，依题意建立空间直角坐标系，利用空间向量法即可得解.
9．BCD
【分析】以点为原点建立空间直角坐标系，利用空间位置关系的向量证明判断AB；求出平面的法向量，求出点到平面的距离判断C；求出过垂直于平面的直线与平面的交点坐标，再计算判断D.
【详解】在棱长为2的正方体中，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
对于A，，显然与不共线，即与不平行，A错误；
对于B，，，因此，B正确；
对于C，，设平面的法向量，
则，令，得，而，
点F到平面的距离为，C正确；
对于D，过点垂直于平面的直线与平面相交，令交点为，
则，点，由，得，即，
当平面经过直线并绕着直线旋转时，平面与平面的交线绕着点旋转，
当交线与线段，都相交时，与正方体所成截面为三角形，
令平面与平面的交线交于点G，交于点H，设，，
，，由，
得，，斜边上的高，
则截面边上的高，
截面的面积
，
当时，，，
所以，D正确.
故选：BCD
【点睛】关键点点睛：选项D的求解关键是求出过点垂直于平面的直线与平面相交的交点，转化为过定点的直线旋转问题求解.
10．ACD
【分析】以点A为坐标原点，建立空间直角坐标系，由空间向量的位置关系、线面角的向量公式，点到直线的向量公式和抛物线的定义对选项一一判断即可得出答案.
【详解】以点A为坐标原点，分别以、、所在的直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，如图所示.
所以，，，，，，
所以，，
所以，，
所以直线与直线所成角的余弦值为，故A正确；
由题意，设，
则，又，
若，则，解得，
所以不存在点M，使得，故B错误；
设，所以，
所以点到直线的距离
，
所以，此时，
所以点M到直线的距离的最小值为，故C正确；
设，
则点M到平面的距离为z，点M到点的距离为.
因为点M到平面的距离与到点的距离相等，所以，
整理得（其中，），
即点M的轨迹方程为，是抛物线的一部分，故D正确.
故选：ACD.
11．AB
【分析】连接，应用勾股定理求的范围判断A；利用等面积法有即可判断B；构建空间直角坐标系，设，，应用向量法表示线线角余弦值，列方程求参数即可判断C；在平面中，过，分别作，，垂足为，，由即可求最大值判断D.
【详解】连接，则，故A正确；
点到直线的距离，故B正确；
以，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，
则，，，设，，则，，
假设存在点，使直线与所成角的余弦值为，
则，
整理得，解得，故C错误；
在平面中，过，分别作，，垂足为，，
则点，到平面的距离之和为．
设，则，
当点与重合时，点，到平面的距离之和最大，
所以不存在点，使点，到平面的距离之和为3，故D错误．
故选：AB
12．AC
【分析】利用到的距离相等说明平面，然后用线面垂直的性质和判定定理即可验证A；直接使用三棱锥体积计算公式即可验证B；设出外接球半径，列出并求解方程即可验证C；使用空间向量法即可验证D.
【详解】
由已知得是等腰直角三角形，
故斜边，且的外心为的中点，其满足.
而，故平面，且.
由于是的中点，，
故，而，在平面内交于点，故平面，故A正确；
我们有，故B错误；
设四面体的外接球球心为点，外接球半径为，
则，解得，故C正确；
以为原点，为轴正方向，建立空间直角坐标系.
则，，，，设，
则，故，.
若是平面的法向量，则.
这得到，从而可取.
而，故直线与平面所成角的正弦值等于
.
而在处最大，
所以当与点重合时，直线与平面所成角最大，D错误.
故选：AC.
【点睛】关键点点睛：本题的关键在于D选项将空间角与函数最值问题相结合，需对参数计算空间角.
13．BCD
【分析】建立空间直角坐标系，由平面平面，根据向量法得出点G的轨迹，由向量共线可判定A，根据线面平行的判定定理可判定B，根据棱锥体积公式可得C，由向量法求面面角可得D.
【详解】如图，建立空间直角坐标系，依题意，，设，
则，
设平面的一个法向量为，
则，所以，令，则，即，
设平面的一个法向量，则，
所以，令，则
即，因为平面平面，所以，即，所以，
选项A：若存在λ使得，则点G在线段上，所以，即，
所以G为的中点，即，故A错误；
选项B：若，则，即，所以G为的中点，
因为E为的中点，所以,故四边形为平行四边形，
所以，平面，平面，所以平面，故B正确；
选项C：因为，设平面的一个法向量为，
则，所以，令，则，
即，设G到平面的距离为，
又为等边三角形且边长为，则，
所以，又，
所以当时，三棱锥体积的最大值为2，故C正确；
选项D：因为平面，所以平面的一个法向量为，
平面的一个法向量， 则，
因为二面角为锐角，所以二面角的余弦值为，故D正确；
故选：BCD.
【点睛】利用空间向量解决立体几何中的动点问题及求角和距离是常用方法.
14．BCD
【分析】建立空间直角坐标系，用向量在空间直线、面位置关系和空间角、距离上的应用方法一一去计算求解，并结合一元二次函数、基本不等式求最值即可.
【详解】如图，由题意可建立如图所示的空间直角坐标系，设，
则由题：，
所以，，，，
又，，，
所以，即，
，即，
所以，
对A，由上，故A错误；
对B，由题意是平面的一个法向量，
，
故当时，此时平面，故B正确；
对C，由上，，
设平面的一个法向量为，则，
所以，取，则，
设点Q到平面的距离为d，则由得，
又由题意可知，
故，
因为长度为定值，所以为定值，
故当时，三棱锥体积最大，故C正确；
对D，设直线与所成角为，由上当时
，
当且仅当即时等号成立，故D对.
故选：BCD.
【点睛】方法点睛：遇立体几何复杂问题，如求最值，有垂直条件一般考虑建立空间直角坐标系用向量法解决.
15．AC
【分析】首先证明平面，即可判断A，建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算B、D，求出外接圆的半径，再由勾股定理求出三棱锥外接球的半径，即可判断C.
【详解】对于A：翻折前，，
翻折后则有，，
因为，、平面，
所以平面，平面，所以，故A正确；

对于B：又，即为等边三角形，所以，
在平面中过点作，则，
如图建立空间直角坐标系，则，，，，，
所以，，
令，，所以到直线的距离为，故B错误；
对于C：所以的外接圆的半径，
设三棱锥外接球的半径为，
因为平面，所以，所以，
即三棱锥外接球的半径为，故C正确；
对于D：由，设直线与直线所成角为，，
则
所以直线与直线所成角的余弦值为，故D错误.
故选：AC.
16．ACD
【分析】对A：由题意可得点所在空间，借助球体体积公式与正方体体积公式计算即可得；对B：借助球外一点到球面上的点的距离的最小值为该点到球心的距离最小值减半径即可得；对C：建立适当空间直角坐标系，结合空间向量夹角公式计算即可得；对D：结合题意所得点轨迹，借助空间中两点距离公式计算即可得.
【详解】对A：当时，，设中点为，
则，即点P的轨迹为以球心，半径为的球面，
又是正方体表面及其内部一点，故其轨迹为该正方体与球面相交部分，
则时，点所在空间为该球与正方体不重合部分，
故此时点P所在空间的体积为，故A正确；
对B：由A得，则有，
当且仅当、、三点共线时等号成立，
又当于点时，有最小值，且其最小值为，
故的最小值为，故B错误；
对C：建立如图所示空间直角坐标系，设，、、，
则有、、，中点为，
设中点为，则，
则有，即，
又，同理可得，即，
即，即，
故有，且，
则，，
，
故，
由可得，
故，故，故C正确；
对D：设中点为，则，
同理可得，即，
即有，解得或，
故此时点可能为或，故D正确.
故选：ACD.
【点睛】关键点点睛：本题关键点在于得到时，点P的轨迹为以中点为球心，半径为的球面，又是正方体表面及其内部一点，故其轨迹为该正方体与球面相交部分.
17．ABC
【分析】先确定球的半径，然后建立空间直角坐标系.对于A，利用垂直截面时，截面面积最小求解即可；对于B，利用等体积法求解即可；对于C，将平面转化为面求解即可；对于D，利用空间向量求解线面角即可.
【详解】
设正四棱台上下底面所在圆面的半径分别为，圆心为，连接，，
过作的垂线垂足为，过作的垂线垂足为，
可得，,即，
且正四棱台的高,
设球心到上下底面的距离分别为，球的半径为，
可得，，故或，
即或，解得,
故，即为球心.
易得，两两垂直，故以为原点，建如图所示空间直角坐标系，
则
故，
对于A，当时，，故，
故，
过点作球的截面，当垂直截面时，截面面积最小，
此时截面半径为,
最小面积，故A正确；
对于B，当时，，
故,
故B正确；
对于C，到平面距离即到平面的距离，
易知垂直平面，
故到平面的距离为，故C正确；
对于D，设平面的法向量为，
则令，解得.
设与平面的夹角正弦值是，
则，故D错误.
故选：ABC
18．ACD
【分析】对于A项，先证得面可得点轨迹为平面与内切球的交线，由到面的距离为面与面的距离可得，结合求解即可，对于B项，当三棱锥的体高经过球心时体积取得最大值，结合空间向量坐标法求得球心到平面距离，进而由计算即可，对于C项，运用极化恒等式可得，则将问题转化为求的范围，作出平面截球的截面，将空间问题转化为平面问题可得，进而可求得结果，对于D项，作出平面截球与椭球的截面图，结合椭圆与圆的对称性可判断D项.
【详解】对于A项，由正方体性质得面，且内切球半径，
分别取、、中点、、，如图所示，
易知面面，
故面，则点轨迹为平面与内切球的交线，即为截面圆的周长，
易知球心面，则到面的距离为面与面的距离，
所以截面圆半径为.
故点轨迹长度为，故A项正确；
对于B项，以为原点，分别以、、所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，如图所示，

则，，，，
所以，，，
设平面的一个法向量为，
则，
取，则，所以，
所以到平面距离为，
因为面，面，所以，
又，
所以三棱锥的体积的最大值为，故B项错误；
对于C项，取中点，连接、、，如图所示，
则，
所以，
平面截球的截面图如图所示，
又，，则，
所以当位于时，
所以当位于时，，
则，所以，即的范围为，故C项正确；
对于D项，
由题意知，，
又，
所以点在以、为焦点，长轴长为3的椭球面上，
又因为点在以为球心，1为半径的球面上，
所以点在椭球面与球面的交线处，
则平面截球与椭球的截面图如图所示，
由椭圆与圆的对称性可知，点位于、、、时，为定值，故D项正确.
故选：ACD.
【点睛】与球截面有关的方法点睛：
①定球心：如果是内切球，球心到切点的距离相等且为半径；如果是外接球，球心到接点的距离相等且为半径；
②作截面：选准最佳角度作出截面，达到空间问题平面化的目的．
19．BC
【分析】根据点到平面的距离，结合球的截面性质可得截面圆的半径，即可求解A，建立空间直角坐标系，利用点点建立公式，化简可判断B，根据点到直线的距离公式，可得的轨迹是平面内的椭圆上一点，即可根据椭圆的性质 求解C，根据向量的夹角公式即可化简求解的轨迹为且，即可求解D.
【详解】对于A，由于MN与平面的所成角大小为30°，所以点到平面的距离，
故半径为的球面在平面上截面圆的半径为,故截痕长为，A错误，
对于B,由于平面，所以以为，在平面内过作,平面内作，建立如图所示的空间直角坐标系，
则,
设，则，
化简得，故P到点M和点N的距离相等，则点P的轨迹是一条直线，B正确，
,所以P到直线MN的距离为，化简可得，
所以点的轨迹是平面内的椭圆上一点，如图，
当在短轴的端点时，此时最大，由于,故，因此,C正确，
对于D, ，,
若，则，
化简得且，故满足的点P的轨迹是双曲线的一部分，D错误，
故选：BC
【点睛】方法点睛：立体几何中与动点轨迹有关的题目归根到底还是对点线面关系的认知，其中更多涉及了平行和垂直的一些证明方法，在此类问题中要么很容易的看出动点符合什么样的轨迹(定义)，要么通过计算(建系)求出具体的轨迹表达式，和解析几何中的轨迹问题并没有太大区别，所求的轨迹一般有四种，即线段型，平面型，二次曲线型，球型.
20．
【分析】以为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可.
【详解】如图，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，
则，
所以，
设异面直线所成的角为，则．
故答案为：.
21．
【分析】以点H为坐标原点，、、的方向分别为x、y、z轴的正方向建立空间直角坐标系，求得平面的一个法向量为，直线的一个方向向量，利用向量的夹角公式可求直线与平面所成角的正弦值.
【详解】因为点在底面的射影为中点H，则平面，
又因为四边形为正方形，
以点H为坐标原点，、、的方向分别为x、y、z轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系，

因为平面，平面，则，
因为，，则，
则、、、，
所以，
易知平面的一个法向量为，
，
因此，直线与平面所成角的正弦值为．
故答案为：.
22．
【分析】根据向量的线性运算可得，利用模长公式，结合数量积的运算即可求解.
【详解】分别作，，垂足为，，则．
由，可得，所以．
因为，则
，
故，
故答案为：．
23．
【分析】如图，七面体为正方体截去三棱锥的图形，由正方体的结构特征可得这个七面体内部能容纳的球最大时，该球与三个正方形面和等边三角形面相切，且球心在体对角线上，以点为原点建立空间直角坐标系，设球心，利用向量法求出球心到平面的距离进而可得出答案.
【详解】如图，七面体为正方体截去三棱锥的图形，
由正方体的结构特征可得这个七面体内部能容纳的球最大时，
该球与三个正方形面和等边三角形面相切，且球心在体对角线上，
如图，以点为原点建立空间直角坐标系，
则，
设球心，
故，
设平面的法向量为，
则有，可取，
则球心到平面的距离为，
因为球与三个正方形面和等边三角形面相切，
所以，解得，
所以这个七面体内部能容纳的最大的球半径是.
故答案为：.
【点睛】方法点睛：求点到平面的距离，方法如下：
（1）等体积法：先计算出四面体的体积，然后计算出的面积，利用锥体的体积公式可计算出点到平面的距离；
（2）空间向量法：先计算出平面的一个法向量的坐标，进而可得出点到平面的距离为.
24．
【分析】利用向量的模公式及向量的夹角公式，结合同角三角函数的平方关系及锐角三角函数的定义即可求解.
【详解】，
,
，
，
设点A到直线的距离为，则
.
故答案为：.