高中数学压轴题小题专项训练专题50立体几何与数学文化含解析答案

这是一份高中数学压轴题小题专项训练专题50立体几何与数学文化含解析答案，共25页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．我国古代有一种容器叫“方斗”，“方斗”的形状是一种上大下小的正四棱台（两个底面都是正方形的四棱台），如果一个方斗的容积为28升（一升为一立方分米），上底边长为4分米，下底边长为2分米，则该方斗的表面积为（ ）
A．B．
C．D．
2．攒尖是我国古代建筑中屋顶的一种结构样式，多见于亭阁式建筑、园林建筑等，如图所示的亭子带有攒尖的建筑屋顶可近似看作一个圆锥，其底面积为，屋顶的体积为，算得侧面展开图的圆心角约为（ ）
A．B．C．D．
3．随着古代瓷器工艺的高速发展，在著名的宋代五大名窑之后，又增加了三种瓷器，与五大名窑并称为中国八大名瓷，其中最受欢迎的是景德镇窑．如图，景德镇产的青花玲珑瓷(无盖)的形状可视为一个球被两个平行平面所截后剩下的部分，其中球面被平面所截的部分均可视为球冠(截得的圆面是底，垂直于圆面的直径被截得的部分是高，其面积公式为，其中为球的半径，为球冠的高)．已知瓷器的高为，在高为处有最大直径(外径)为，则该瓷器的外表面积约为(取3.14) （ ）
A．B．C．D．
4．蒙古包（Mnglianyurts）是蒙古族牧民居住的一种房子，建造和搬迁都很方便，适于牧业生产和游牧生活，蒙古包古代称作穹庐､毡包或毡帐.已知蒙古包的造型可近似的看作一个圆柱和圆锥的组合体，已知圆锥的高为2米，圆柱的高为3米，底面圆的面积为平方米，则该蒙古包（含底面）的表面积为（ ）
A．平方米B．平方米
C．平方米D．平方米
5．我国古代数学名著《九章算术》对立体几何有深入的研究，从其中的一些数学用语可见，譬如将有三条棱互相平行且有一个面为平行四边形的五面体称为刍甍，今有一刍甍，底面为矩形，面，记该刍甍的体积为，三棱锥的体积为，，，若，则（ ）

A．1B．C．D．
6．榫卯结构是中国古代建筑文化的瑰宝，在连接部分通过紧密的拼接，使得整个结构能够承受大量的重量，并且具有较高的抗震能力.这其中木楔子的运用，使得榫卯配合的牢度得到最大化满足，木楔子是一种简单的机械工具，是用于填充器物的空隙使其牢固的木橛､木片等.如图为一个木楔子的直观图，其中四边形是边长为2的正方形，且均为正三角形，，则该木楔子的外接球的体积为（ ）

A．B．C．D．
7．我国古代数学名著《九章算术》将两底面为直角三角形的直三棱柱称为堑堵．如图，已知直三棱柱是堑堵，其中，则下列说法中不一定正确的是（ ）
A．平面B．平面平面
C．D．为锐角三角形
8．我国古代有一种容器叫“方斗”，“方斗”的形状是一种上大下小的正四棱台（两个底面都是正方形的四棱台），如果一个方斗的容积为28升（一升为一立方分米），上底边长为4分米，下底边长为2分米，则该方斗的外接球的表面积为（ ）
A．B．
C．D．
9．“升”是我国古代发明的量粮食的一种器具，升装满后沿升口刮平，称为“平升”．已知某种升的形状是正四棱台，上、下底面边长分别为和，高为（厚度不计），则该升的1平升约为（ ）（精确到）

A．B．C．D．
10．光岳楼位于山东聊城古城中央，主体结构建于明洪武七年（1374年），它是迄今为止全国现存古代建筑中最古老、最雄伟的木构楼阁之一，享有“虽黄鹤、岳阳亦当望拜”之誉.光岳楼的墩台为砖石砌成的正四棱台，如图所示，该墩台上底面边长约为32m，下底面边长约为34.5m，高约为9m，则该墩台的斜高约为（参考数据：）（ ）
A．9.1mB．10.9mC．11.2mD．12.1m
11．攒尖是古代中国建筑中屋顶的一种结构形式，依其平面有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、六角攒尖、八角攒尖．如图是圆形攒尖，可近似看作圆锥与圆柱的组合体（圆锥与圆柱的底面重合且半径相等），已知此组合体中圆柱底面的半径为4，圆锥与圆柱的高相等，若圆锥的顶点与圆柱的上、下底面圆周都在同一个球面上，则该球的体积为（ ）
A．B．C．D．
12．刍（chú）甍（méng）是中国古代算数中的一种几何体，其结构特征是：底面为长方形，顶棱和底面平行，且长度不等于底面平行的棱长的五面体，是一个对称的楔形体．已知一个刍甍底边长为4，底边宽为3，上棱长为2，高为2，则它的表面积是（ ）
A．B．C．D．
13．我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水，天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸，若盆中积水深九寸，则平地降雨量是（ ）
（注：①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；
②一尺等于十寸；
③）
A．6寸B．4寸C．3寸D．2寸
14．漏刻是中国古代科学家发明的一种计时系统，“漏”是指带孔的壶，“刻”是指附有刻度的浮箭.《说文解字》中记载：“漏以铜壶盛水，刻节，昼夜百刻．”某展览馆根据史书记载，复原唐代四级漏壶计时器．如图，计时器由三个圆台形漏水壶和一个圆柱形受水壶组成，水从最上层的漏壶孔流出，最终全部均匀流入受水壶．当最上层漏水壶盛满水时，漂浮在最底层受水壶中的浮箭刻度为0,当最上层漏水壶中水全部漏完时，漂浮在最底层受水壶中的浮箭刻度为100．已知最上层漏水壶口径与底径之比为，则当最上层漏水壶水面下降至其高度的三分之一时，浮箭刻度约为（四舍五入精确到个位）（ ）

A．88B．84C．78D．72
15．阳马和鳖臑是我国古代对一些特殊锥体的称谓，取一长方体，按下图斜割一分为二，得两个一模一样的三棱柱，称为暂堵，再沿堑堵的一顶点与相对棱剖开得一四棱锥和一三棱锥，以矩形为底，另有一棱与底面垂直的四棱锥，称为阳马，余下的三棱锥称为鳖臑.
（注：图1由左依次是堑堵、阳马、鳖臑）
上图中长方体为正方体，由该正方体得上图阳马和鳖臑，已知鳖臑的外接球的体积为，则鳖臑体积为（ ）
A．B．C．2D．
16．柷（zhù），是一种古代打击乐器，迄今已有四千多年的历史，柷的上方形状犹如四方形木斗，上宽下窄，下方有一底座，用椎（木棒）撞击其内壁发声，表示乐曲将开始.如图，某柷（含底座）高，上口正方形边长，下口正方形边长，底座可近似地看作是底面边长比下口边长长，高为的正四棱柱，则该柷（含底座）的侧面积约为（）（ ）

A．B．C．D．
17．我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题，是指在下雨时可以用圆台形的盆接雨水来测量降雨量．若一个圆台形盆的上口直径为40cm，盆底直径为20cm，盆深18cm，某次下雨盆中积水9cm，则这次降雨量最接近（注：降雨量等于盆中水的体积除以盆口面积）（ ）
A．3cmB．3.5cmC．5.5cmD．5.8cm
18．“牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积过程中构造的一个和谐优美的几何模型.如图1，正方体的棱长为2，用一个底面直径为2的圆柱面去截该正方体，沿着正方体的前后方向和左右方向各截一次，截得的公共部分即是一个牟合方盖（如图2）.已知这个牟合方盖与正方体外接球的体积之比为，则正方体除去牟合方盖后剩余部分的体积为（ ）
A．B．
C．D．
二、多选题
19．“牟合方盖”是由我国古代数学家刘徽首先发现并采用的一种用于计算球体体积的方法，当一个正方体用圆柱从纵横两侧面作内切圆柱体时，两圆柱体的公共部分即为“牟合方盖”，他提出“牟合方盖”的内切球的体积与“牟合方盖”的体积比为定值．南北朝时期祖暅提出理论：“缘幂势既同，则积不容异”，即“在等高处的截面面积总是相等的几何体，它们的体积也相等”，并算出了“牟合方盖”和球的体积．其大体思想可用如图表示，其中图1为棱长为的正方体截得的“牟合方盖”的八分之一，图2为棱长为的正方体的八分之一，图3是以底面边长为的正方体的一个底面和底面以外的一个顶点作的四棱锥，则根据祖暅原理，下列结论正确的是：（ ）
A．若以一个平行于正方体上下底面的平面，截“牟合方盖”，截面是一个圆形
B．图2中阴影部分的面积为
C．“牟合方盖”的内切球的体积与“牟合方盖”的体积比为
D．由棱长为的正方体截得的“牟合方盖”体积为
20．我国古代数学家祖暅提出一条原理：“幂势既同，则积不容异”，即两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等．利用该原理可以证明：一个底面半径和高都等于R的圆柱，挖去一个以上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥后，所得的几何体的体积与一个半径为R的半球的体积相等．现有一个半径为R的球，被一个距离球心为d（）的平面截成两部分，记两部分的体积分别为，则（ ）
A．B．
C．当时，D．当时，
21．孔明锁是中国古代传统益智游戏.左下图即是一个孔明锁.其形状可视为右下图所示的一个几何体：如图，三个轴线相互垂直的长方体的公共部分为一个棱长为1的立方体，且，，，，为其表面上的一个动点，球为能够使该几何体在其内能够自由转动的最小球体.其中为球上的一个动点，以下说法正确的是（ ）

A．最大值为.
B．若在公共正方体的外接球上，那么其轨迹长度为
C．
D．若满足，则的轨迹长度为 注：表示椭圆的周长大小
22．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中提到底面为长方形的屋状的楔体（图示的五面体．底面长方形中，，上棱长，且平面，高（即到平面的距离）为，是底面的中心，则（ ）
A．平面
B．五面体的体积为5
C．四边形与四边形的面积和为定值
D．与的面积和的最小值为
三、填空题
23．如图，某校学生在开展数学建模活动时，用一块边长为的正方形铝板制作一个无底面的正棱锥（侧面为等腰三角形，底面为正边形）道具，他们以正方形的儿何中心为田心，为半径画圆，仿照我国古代数学家刘徽的割圆术裁剪出份，再从中取份，并以O为正棱锥的顶点，且落在底面的射影为正边形的几何中心，侧面等腰三角形的顶角为，当时，设正棱锥的体积为，则的最大值为 .
24．如图是我国古代米斗，它是随着粮食生产而发展出来的用具，是古代官仓、粮栈、米行等必备的用具，早在先秦时期就有，到秦代统一了度量衡，汉代又进一步制度化，十升为斗、十斗为石的标准最终确定下来.已知一个斗型（正四棱台）工艺品上、下底面边长分别为2和4，侧棱长为，则其外接球的表面积为 .
参考答案：
1．D
【分析】先根据体积求出棱台的高，再根据高求出侧棱长，进而可求侧面面积及表面积.
【详解】如图所示，高线为，由方斗的容积为28升，可得，
解得.
由上底边长为4分米，下底边长为2分米可得
，
侧面梯形面积为，
所以方斗的表面积为.
故选：D.
2．C
【分析】根据底面圆面积求出底面圆半径，从而求出底面圆周长，得侧面展开图扇形的弧长，再由圆锥体积求圆锥的高，勾股定理求圆锥母线长，得侧面展开图扇形半径，可求侧面展开图的圆心角.
【详解】底面圆的面积为，得底面圆的半径为，
所以底面圆周长为，即圆锥侧面展开图扇形的弧长为，
屋顶的体积为，由得圆锥的高，

所以圆锥母线长，即侧面展开图扇形半径，
得侧面展开图扇形的圆心角约为.
故选：C.
3．C
【分析】由题意可知：球的半径为，上球冠的高，下球冠的高，可求下底面圆的半径，结合题意面积公式分析求解.
【详解】由题意可知：球的半径为，上球冠的高，下球冠的高，
设下底面圆的半径为，则，
所以该瓷器的外表面积为.
故选：C.
4．A
【分析】由题意可求出底面圆的半径，即可求出圆锥的母线长，根据圆锥的侧面积公式以及圆柱的侧面积公式结合圆的面积公式，即可求得答案.
【详解】由题意知圆锥的高为2米，圆柱的高为3米，底面圆的面积为平方米，
设底面圆的半径为r，则，
则圆锥的母线长为（米），
故该蒙古包（含底面）的表面积为（平方米），
故选：A
5．B
【分析】运用等体积法可得，进而可得，然后根据组合体的体积结合题意可得和的关系，即可.
【详解】因为面 ，且底面为矩形，
所以，
所以，
所以，
所以，整理得，即，
故选：B
6．C
【分析】根据几何体的结构特征可知球心在直线上，由勾股定理可得，进而可得，进而，即可求解，由体积公式即可求解.
【详解】如图，分别过点作的垂线，垂足分别为，连接，则，故.
取的中点，连接，
又，则.
由对称性易知，过正方形的中心且垂直于平面的直线必过线段的中点，且所求外接球的球心在这条直线上，如图.
设球的半径为，则，且，
从而，即，
当点在线段内（包括端点）时，有，可得，
从而，即球心在线段的中点，其半径.
当点在线段外时，，解得（舍）.
故所求外接球的体积.
故选：C

7．C
【分析】根据线线平行即可求证A，根据线线垂直得线面垂直，进而可求证B，根据垂直关系，结合勾股定理，计算长度，即可判断CD.
【详解】选项A：易知，又平面平面，所以平面，故A正确．
选项B：因为，所以，
又，平面,
所以平面，而平面，所以平面平面，故B正确．
选项C：设的中点分别为，连接，
则为异面直线与所成的角或其补角，
，．
假设，则，即，化简可得，
故只有当时，所以C不一定正确．
选项D：设，则，
所以为锐角．同理可得均为锐角，故D正确．
故选：C
8．B
【分析】根据“方斗”的形状可确定该方斗的外接球的球心，再由方斗的容积以及勾股定理可求得外接球半径为，即可得外接球的表面积.
【详解】如下图所示：
外接球球心为高线上的点，满足，
由方斗的容积为28升，可得，解得．
设外接球半径为，则．
由上底边长为4分米，下底边长为2分米可得；
由勾股定理可得，解得，
即，
所以外接球的表面积为．
故选：B．
9．B
【分析】应用棱台的体积公式求1平升，即可得答案.
【详解】由题设，上底面积为，下底面积为，
所以1平升为，约为.
故选：B
10．A
【分析】根据题意画出正四棱台，结合正四棱台相关性质直接计算即可.
【详解】如图所示，设该正四棱台为，上下底面中心分别为，
分别取的中点，连接，
在平面内，作交于，
则，，，
显然四边形是矩形，则，，
所以，
在直角中，，
即该墩台的斜高约为9.1m.
故选：A
11．D
【分析】画出示意图，根据线段数量关系即可求解.
【详解】如图，是圆锥的锥顶，是圆柱上底面的圆心，是圆柱下底面的圆心，是圆球的圆心，是圆柱上底面和圆球的交点，，

设圆锥和圆柱的高为，则，，
因为，所以，
所以，所以球的半径为，
所以球的体积为.
故选：D.
12．A
【分析】由题意可得刍甍的左右两个三角形为全等的等腰三角形，前后两个四边形为全等的等腰梯形，利用勾股定理分别求出三角形和梯形的高，从而可求出各个面的面积，即可得出答案.
【详解】解：由题意可得刍甍的左右两个三角形为全等的等腰三角形，
前后两个四边形为全等的等腰梯形，
等腰三角形的高为，
等腰梯形的高为，
则一个等腰三角形的面积为，
一个等腰梯形的面积为，
所以此刍甍的表面积为.
故选：A.
13．C
【分析】根据积水深度先求出水面半径，然后可求盆中水的体积，根据平地降雨量的计算公式可求结果.
【详解】如图，由题意可知，天池盆上底面半径为寸，下底面半径为寸，高为寸，
因为积水深寸，所以水面半径为寸，
则盆中水的体积为立方寸，
所以平地降雨量等于寸.
故选：C.
14．B
【分析】根据圆台的体积公式求解.
【详解】由根据题意可知:最上层漏水壶所漏水的体积与浮箭刻度成正比，
设最上层漏水壶的口径与底径分别为，高为，
则体积为,
当最上层漏水壶水面下降到高度的三分之一时，
设此时浮箭刻度为，
因为已漏下去的水组成以上下口径为，高为的圆台，
体积为，
可得，解得，
故选:B.
15．B
【分析】根据鳖臑和正方体有相同的外接球，结合球的体积公式计算正方体的棱长，从而利用鳖臑的形成过程求解体积.
【详解】鳖臑的外接球和正方体的外接球是同一外接球，
由鳌臑的外接球的体积为，得外接球的半径为，即正方体的体对角线长度是，
故正方体的棱长为2，所以鳖臑体积为.
故选：B
16．B
【分析】首先求出正四棱台的侧棱长，即可求出斜高，再根据侧面积公式计算可得.
【详解】如图正四棱台中，连接，，过点、分别作、，交于点、，
依题意，，，
则，所以，
所以正四棱台的斜高为，
所以正四棱台的侧面积，
又正四棱柱的侧面积，
所以该柷（含底座）的侧面积约为；
故选：B

17．B
【分析】根据圆台的体积公式求出水的体积，再除以盆口面积即可.
【详解】根据题意，盆中水的体积约为，
降雨量等于．
故选：B．
18．C
【分析】先求出正方体的外接球的体积，再根据体积比得牟合方盖的体积，再用正方体的体积减去牟合方盖的体积即可得解.
【详解】棱长为2的正方体的外接球的直径，故半径，
所以牟合方盖的体积为，
所以正方体除去牟合方盖后剩余部分的体积为.
故选：C.
19．BCD
【分析】根据“牟盒方盖”的定义、祖暅原理及几何体的体积公式计算可得.
【详解】由于牟盒方盖可以由两个直径相等且相互垂直的圆柱体相交得到的，
故只要用水平面去截它们，那么所得的截面为正方形，故A错误；
根据祖暅原理，图2中正方体与“牟合方盖”的八分之一之间空隙的截面面积与图3中正四棱锥中阴影部分的面积相等，故B正确；
由于牟盒方盖可以由两个直径相等且相互垂直的圆柱体相交得到的，存在内切球，且只要用水平面去截它们，
那么所得的正方形和圆，也是相切在一起的，对于直径为的球和高为的牟合方盖来说，
使用同一高度处的水平面来截它们，所得的截面积之比正好总是相切的圆和正方形的面积之比，也就是，故C正确；
由图中正方体与牟合方盖的八分之一之间空隙的体积与正四棱锥体的体积相等；
而正四棱锥体的体积为．
所以八分之一牟合方盖的体积等于正方体的体积减去正四棱锥的体积，
从而得到整个牟合方盖的体积为，故D正确
故选：BCD．
20．ACD
【分析】对于A，，化简即可验算；对于B，化简即可验算；对于C，，将代入即可判断；对于D，求的最小值即可.
【详解】（同底等高），
，A对．
，B错．
对于C，，，C对．
对于D，时，，
，
在，，D对．
故选：ACD.
【点睛】关键点睛：判断D选项的关键是首先得到，然后通过换元求导得函数最小值即可验证，从而顺利得解.
21．BD
【分析】对于A，给出一个反例即可，对于B，将其轨迹的长度计算转化为圆周长的计算即可；对于C，说明不一定成立即可，对于D，讨论其轨迹形状，并组合成一个椭圆和一个圆，再求其长度.
【详解】

根据题目条件可知，球为该几何体的外接球，其半径.
对于A，由于当位于长方体的某个顶点，而位于其对径点处时，
有，故A错误；
对于B，由于公共正方体的外接球和几何体的交线是公共正方体的个面各自的外接圆，
这些圆的半径都是，所以其轨迹长度为，故B正确；
对于C，设到平面的距离为，由于点都在球上，所以，
从而到平面的距离的取值范围是，再记的面积为，
则的取值范围是，从而不等式并不一定成立，故C错误；
对于D，由，可知此时的轨迹分为以下几个部分：
①两个同时包含两点（且位于一条边上）的面和上都各有两段轨迹，
两个同时包含两点（位于一组对边上）的面和上都各有一段轨迹，
这些轨迹都是椭圆的一部分，且可以拼成一个完整的椭圆，其半长轴为，半焦距为（从而半短轴为）；
②四个恰包含两点中的一点的面上都各有一段轨迹，
每段轨迹都是一个圆的，对应圆的半径满足，
解得，从而圆弧部分的总长度为，
所以的轨迹长度为，故D正确.
故选：BD.
【点睛】关键点点睛：对于轨迹的长度问题，需要将其分为不同的面上分别讨论，再进行组合.
22．ABD
【分析】取BC的中点G，可得四边形EFGO为平行四边形，则EO∥FG，从而EO∥平面BCF，即可判断A；利用分割的方法，把几何体分割成三部分，可得一个三棱柱和两个四棱锥，再由已知求解即可判断B；设，则，利用梯形面积公式计算四边形与四边形的面积和，即可判断C；设，则，且，，则△ADE与△BCF的面积和为，利用不等式：当时，，求解最小值即可判断D.
【详解】
取BC的中点G，连接OG，FG，
∵EF∥OG，EF＝OG，∴四边形EFGO为平行四边形，∴EO∥FG，
∵EO平面BCF，FG平面BCF，∴EO∥平面BCF，故A正确；
过F作FH⊥平面ABCD，垂足为H，过H作BC的平行线MN，交AB于N，交CD于M，
∵MN平面ABCD，∴FH⊥MN，
又AB⊥MN，FH∩MN＝H，MN，FH平面FMN，∴AB⊥平面FMN，
过E作EP∥FM，交CD于P， 作EQ∥FN，交AB于Q，连接PQ，
∵EP∥FM，EP平面FMN，FM平面FMN，∴EP∥平面FMN，
同理EQ∥平面FMN，又EP∩EQ＝E，EP，EQ平面EPQ，∴平面EPQ∥平面FMN，
如图，五面体包含一个三棱柱和两个的四棱锥，
∴五面体的体积：
，故B正确；
设，则，
，，
四边形与四边形的面积和为
，不是定值，故C错误；
过H作HR⊥BC，垂足为R，连接FR，
∵FH⊥平面ABCD，BC平面ABCD，∴FH⊥BC，
又FH∩HR＝H， FH，HR平面FHR，∴BC⊥平面FHR，
∵FR平面FHR，∴FR⊥BC，
设，则，且，，
△BCF的面积为，同理，△ADE的面积为，
则△ADE与△BCF的面积和为，
当时，，即，
∴，当且仅当等号成立，
，当且仅当等号成立，
则△ADE与△BCF的面积和的最小值为，故D正确．
故选：ABD.
23．
【分析】设，首先求得的表达式，结合二次函数的性质求得的最大值.
【详解】设，由题意，，得，
将（※）代入（#），可得.
因为，所以，则，
，
当时，取得最大值.
故答案为：
24．
【分析】如图，设该正四棱台为四棱台，设上下底面的焦点分别为，则其外接球的球心在直线上，先求出棱台的高，再利用勾股定理求出外接球的半径，再根据球的表面积公式即可得解.
【详解】如图，设该正四棱台为四棱台，
设上下底面的焦点分别为，则其外接球的球心在直线上，
由题意，，
故四棱台的高，
易知在线段上，设，外接球的半径为，
则，解得，
所以，
所以其外接球的表面积.
故答案为：.
【点睛】方法点睛：解决与球相关的切、接问题，其通法是作出截面，将空间几何问题转化为平面几何问题求解，其解题思维流程如下：
（1）定球心：如果是内切球，球心到切点的距离相等且为球的半径；如果是外接球，球心到接点的距离相等且为半径；
（2）作截面：选准最佳角度做出截面（要使这个截面尽可能多的包含球、几何体的各种元素以及体现这些元素的关系），达到空间问题平面化的目的；
（3）求半径下结论：根据作出截面中的几何元素，建立关于球的半径的方程，并求解.