高中数学压轴题小题专项训练专题53二项式定理应用问题含解析答案

这是一份高中数学压轴题小题专项训练专题53二项式定理应用问题含解析答案，共17页。试卷主要包含了单选题，填空题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．若能被13整除，则可以是（ ）
A．0B．1C．11D．12
2．的展开式中的系数为（ ）
A．B．C．120D．200
3．展开式中常数项为（ ）.
A．11B．C．8D．
4．中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究.设，，（）为整数，若和被除得的余数相同，则称和对模同余，记为.若，，则的值可以是（ ）
A．2018B．2020C．2022D．2024
5．已知，则的值为（ ）
A．B．0C．1D．2
6．若能被整除，则正整数的最小值为（ ）
A．53B．54C．55D．56
7．已知，则下列结论错误的是（ ）
A．
B．当时，
C．若的展开式中第7项的二项式系数最大，则等于或
D．当时，
8．的展开式中的系数为（ ）
A．B．C．3D．27
9．“中国剩余定理”又称“孙子定理”，此定理讲的是关于同余的问题.用表示整数被整除，设且，若，则称与对模同余，记为.已知，则（ ）
A．B．
C．D．
10．中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究．设，，为整数，若和同时除以所得的余数相同，则称和对模同余，记为．若，，则的值可以是（ ）
A．2021B．2022C．2023D．2024
11．已知的展开式中各项系数和为4，则的系数为（ ）
A．16B．8C．0D．
二、填空题
12．已知三位整数满足的展开式中有连续的三项的二项式系数成等差数列，则的最大值是 ．
13．设，1，2，…，2022）是常数，对于，都有，则= .
14．展开式中二项式系数和为32，则展开式中的系数为 ．
15．已知的展开式中，第四项的系数与倒数第四项的系数之比为，则展开式中二项式系数最大的项的系数为 .
16．已知二项式（，）的展开式中含的项的系数为，则 ．
17．若的展开式中各项系数的和为256，则该展开式中含字母且的次数为1的项的系数为 .
18．的展开式中的系数为 .
19．若关于，的三项式的展开式中各项系数之和为64，则 ；其中项系数的最大值为 .
20．设整数，的展开式中与xy两项的系数相等，则n的值为 .
21．斐波那契数列(Fibnacci sequence)由数学家莱昂纳多-斐波那契(Lenard Fibnacci)以兔子繁殖为例子而引入，又称为“兔子数列”．斐波那契数列有如下递推公式：，通项公式为，故又称黄金分割数列．若且，则中所有元素之和为偶数的概率为 ．(结果用含的代数式表达)
22．设为的展开式的各项系数之和，，，表示不超过实数x的最大整数，则的最小值为 ．
23．在的展开式中（其中，，…，叫做项式系数），当，2，3，…，得到如下左图所示的展开式，如图所示的“广义杨辉三角”：
（1）若在的展开式中，的系数为75，则实数的值为 ；
（2） （可用组合数作答）.
24．有序实数组称为维向量，为该向量的范数，范数在度量向量的长度和大小方面有着重要的作用．已知维向量，其中．记范数为奇数的的个数为，则 ； ．（用含的式子表示）
参考答案：
1．B
【分析】利用二项式定理展开，然后根据整除列式计算即可.
【详解】因为
，
又因为能被13整除，
所以能被13整除，观察选项可知可以是.
故选：B.
2．A
【分析】由题意首先确定展开式的通项公式，再采用分类讨论法即可确定的系数.
【详解】展开式的通项公式为，
当时，，此时只需乘以第一个因式中的即可，得到；
当时，，此时只需乘以第一个因式中的即可，得到；
据此可得：的系数为.
故选：A.
【点睛】关键点点睛：本题考查二项式定理具体展开项的系数求解问题，解题的关键是写出的通项，再分类讨论的值，确定的系数，考查学生的分类讨论思想与运算能力，属于中档题.
3．B
【分析】将看成一个整体，得到，再展开得到
，分别取值得到答案.
【详解】将看成一个整体，展开得到：

的展开式为：
取
当时， 系数为：
当时， 系数为：
常数项为
故答案选B
【点睛】本题考查了二项式定理，将看成整体展开，再用一次二项式展开是解题的关键，计算较为复杂.
4．B
【分析】依题意可得，利用二项式定理说明被除得的余数为，即可判断.
【详解】因为，
所以
，
所以，
即被除得的余数为，结合选项可知只有被除得的余数为.
故选：B
5．B
【分析】根据，结合二项式定理求解即可.
【详解】因为，展开式第项，
当时，，当时，，
故，即.
故选：B
6．C
【分析】根据二项式定理可得，依题意只需能被整除，即可求出的最小值.
【详解】因为，
其中，
所以，
因为能被整除，
则只需能被整除，所以的最小值为.
故选：C
7．C
【分析】利用二项式定理中展开式的系数判断A，B，利用二项式展开项系数的奇偶性结合分类讨论判断C，利用赋值法判断D即可.
【详解】对于A，，故A正确；
对于B，的系数，则，所以，故B正确；
对于C，若的展开式中第项的二项式系数最大，
根据二项式系数的对称性，当为偶数时，；
对于D，当为奇数时，或，故C错误；
当时，，
令，则，
又因为，所以，故D正确．
故选：C.
8．C
【分析】先求出的展开式的通项公式，再令和，可求出展开式中的系数，即可得出答案.
【详解】的展开式的通项公式为．
当时，；
当时，．
因此的展开式中的系数为，
故选：C．
9．D
【分析】根据新定义，结合二项式定理可知，再确定中被7整除余3的数，即可得解.
【详解】由二项式定理，得
，
因为能够被7整除，
被7除余3，则，
又2030除以7余0，2031除以7余1，2032除以7余2，2033除以7余3，
所以.
故选：D.
10．C
【分析】由结合二项式定理求出除以的余数，再结合选项即可得解.
【详解】
，
所以除以的余数为，
选项中除以余数为的数只有.
故选：C.
11．D
【分析】根据系数和为4，令x=1代回原式，可求得n值，利用二项式展开式的通项公式，分析计算，即可得答案.
【详解】因为各项系数和为4，
所以令x=1，代入可得，解得，
所以原式为，
又展开式的通项公式为，
令k=3，则，所以可得一个的系数为，
令k=0，则，
又展开式的通项公式为，
令，，所以可得一个的系数为，
令，，所以可得一个的系数为，
令k=1，，所以可得一个的系数为，
综上：的系数为.
故选：D
【点睛】解题的关键是分析题意，要求的系数，则展开式中，需要出现、和的项，求得这些项的系数，再与相乘，可求得的系数，考查分析理解，计算求值的能力，属难题.
12．959
【分析】设连续的三项的二项式系数为，利用等差中项得，求出，利用为正整数对根进行分析可得答案.
【详解】设连续的三项的二项式系数为，，
由得，
解得①，因为为正整数，所以应为奇完全平方数，
设，可得，代入①，
解得，或，
所以三位整数的最大值为.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：解题的关键点是根据连续的三项的二项式系数成等差数列求出，对其中为奇完全平方数进行分析求出.
13．2021
【分析】先令，求得的值，再将给定的恒等式两边求关于的导数，然后令，从而可得所求的值.
【详解】因为，
则令可得.
又对两边求导可得：
，
令，
则，
所以，
所以
故，
所以.
故答案为：2021.
【点睛】本题考查函数的导数以及恒等式的系数和的求法，注意根据恒等式的特征选择合适的赋值，本题属于较难题.
14．-30.
【详解】分析：首先根据二项展开式中二项式系数和求得的值，之后将式子转化，即，结合与的展开式中，对应项的关系，分别去分析可能有哪些项乘积所得的，从而确定出各项的系数关系，最后求得结果.
详解：由展开式中二项式系数和为32，可得，解得，，
根据二项式定理可以求得的展开式中，
三次项、二次项、一次项系数和常数项分别是10、10、5、1，
的展开式中，
常数项及一次项、二次项、三次项的系数分别是-1、10、-40、80，
所以展开式中项的系数为.
点睛：该题考查的是有关二项式定理的问题，在求解的过程中，需要明确展开式中对应项的关系，除此之外，也可以将式子转化为另一种形式，即，之后再分析对应的项所出现的位置，从而求得结果.
15．280或560
【分析】写出通项，根据第四项的系数与倒数第四项的系数比求出，然后可确定二项式系数最大的项，进而可得所求系数.
【详解】由二项式的展开式的通项公式，
由题知，，解得，
所以，展开式中二项式系数最大的项为第4项或第5项，
则展开式中二项式系数最大的项的系数为或，
即展开式中二项式系数最大的项的系数为280或560.
故答案为：280或560.
16．
【分析】由二项式定理求出，再代入化简，由裂项相消法求解即可.
【详解】展开式的通项为：，
令，解得：，
所以，
.
故答案为：.
17．
【分析】取，计算得到，再利用二项式定理计算系数得到答案.
【详解】取，则的展开式中各项系数的和为：.
故，则，
的展开式：；的展开式：
取得到：，取得到系数为；
取得到：，取得到系数为；
综上所述：该展开式中含字母且的次数为1的项的系数为。
故答案为：。
【点睛】本题考查了二项式定理，意在考查学生的计算能力和应用能力.
18．-6480
【分析】，利用二项式定理得到，再展开，计算得到答案.
【详解】，展开式的通项为：，
取，则，
的展开式的通项为：，
取，得到，
故的系数为.
故答案为：.
【点睛】本题考查了二项式定理的应用，意在考查学生的计算能力和应用能力.
19． 6 /
【分析】令，得，即可求得n的值，利用组合知识求得项系数为，然后利用基本不等式求解最值即可.
【详解】三项式的展开式中各项系数之和为64，
则令，得，解得；
所以三项式的展开式中项系数为：，
当且仅当时等号成立，即项系数的最大值为.
故答案为：6；
20．51
【分析】由题意可得的二项展开式，令r=4可得项系数，令r=n-1可得xy项的系数，列出方程可得n的值.
【详解】解：由题意得：.
其中项，仅出现在求和指标r=4时的展开式中，
其项系数为；
而xy项仅出现在求和指标r=n-1时的展开式中，
其xy项系数为.
因此有.
注意到n>4，化简得，故只能是n为奇数且n-3=48，解得n=51，
故答案为：51.
【点睛】本题主要考查二项式展开式的通项公式及二项式系数的性质，考查学生的数学运算能力，属于难题.
21．
【分析】先分析出中的元素有个偶数，个奇数，且集合共有个，再得到中所有元素之和为偶数时，中元素由偶数个奇数和任意个偶数组成，结合二项式系数的性质得到中所有元素之和为偶数时共有个，从而求出概率.
【详解】由斐波那契数列规律可知，集合中的元素有个偶数，个奇数，
因为且，所以共有个，
当中所有元素之和为偶数时，中元素由偶数个奇数和任意个偶数组成．
选出偶数个奇数有种方法，
选出任意个偶数有种方法，
其中，选出0个奇数和0个偶数时，为空集，不符合要求，
所以中所有元素之和为偶数时共有个，
所以中所有元素之和为偶数的概率为．
故答案为：
22．/0.2
【分析】赋值法求出，结合导数判断，确定结合等差数列求和公式得，将转化为点点距的平方进而求解.
【详解】令可得，，，
设，则，
令，得
当时，，函数单调递增；
当时，，函数单调递减．
则
故对任意的，
故，故，即
，
则的几何意义为点到点的距离的平方，
最小值即点到的距离的平方，
与的交点横坐标，
且点到直线的距离，
点到直线的距离，
的最小值为
故答案为:
【点睛】关键点点睛：本题考查利用导数解决函数最值及点点距的应用，关键是利用导数判断出，进而确定.
23． 2
【分析】（1）利用广义杨辉三角形得出第4行的系数，并计算出第五行，再计算出的展开式中系数的表达式，即可求出；
（2）利用二项式定理得出的展开式，将视为展开式中的系数，然后利用二项式展开式的通项即可求出答案．
【详解】（1）由题意可得广义杨辉三角形第4行为：1，4，10，16，19，16，10，4，1；
第5行为：1，5，15，30，45，51，45，30，15，5，1；
所以的展开式中，项的系数为，解得；（2）由题意可知，，根据二项式定理可得，
所以，可视为二项式展开式中的系数，
而二项式的展开式通项为，令，解得，所以，．
故答案为：2；．
【点睛】本题考查二项式定理，考查二项式定理与杨辉三角形之间的关系，读懂题意是解决问题的关键．
24． 40
【分析】根据乘法原理和加法原理即可求解；根据和的展开式相减得到的通项公式.
【详解】根据乘法原理和加法原理得到．
奇数维向量，范数为奇数，则的个数为奇数，即1的个数为1，3，5，…，，
根据乘法原理和加法原理得到，
两式相减得到.
故答案为：2；.