高中数学压轴题小题专项训练专题58杨辉三角形问题含解析答案

这是一份高中数学压轴题小题专项训练专题58杨辉三角形问题含解析答案，共26页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．南宋数学家杨辉在1261年所著的《详解九章算法》中首次提出“杨辉三角”，这是数学史上的一个伟大的成就，如图所示，在“杨辉三角”中，前n行的数字总和记作．设，将数列中的整数项依次组成新的数列，设数列的前n项和记作，则的值为（ ）
A．6067B．5052C．3048D．1518
2．如图，在杨辉三角形中，斜线的上方从 按箭头所示方向可以构成一个“锯齿形”的数列： ，记此数列的前项之和为，则 的值为
A．B．C．D．
3．如图所示，在杨辉三角中，斜线AB上方箭头所示的数组成一个锯齿形的数列：1，2，3，3，6，4，10，…，记这个数列的前n项和为，则等于( )
A．144B．146C．164D．461
4．当时，将三项式展开，可得到如图所示的三项展开式和“广义杨辉三角形”：
若在的展开式中，的系数为，则实数的值为（ ）
A．B．C．D．
5．杨辉是我国南宋末年的一位杰出的数学家，其著作《详解九章算法》中画了一张表示二项式展开式后的系数构成的三角形数阵(如图)，称做“开方做法本源”，现简称为“杨辉三角”，比西方的"帕斯卡三角形”早了300多年，若用表示三角形数阵中的第行第个数，则按照自上而下，从左到右顺次逐个将杨辉三角中二项式系数相加，加到这个数所得结果为（ ）
A．B．C．D．
6．在我国古代，杨辉三角（如图1）是解决很多数学问题的有力工具，从图1中可以归纳出等式：､类比上述结论，借助杨辉三角解决下述问题：如图2，该“刍童垛”共2021层，底层如图3，一边2023个圆球，另一边2022个圆球，向上逐层每边减少个圆球，顶层堆6个圆球，则此“刍童垛”中圆球的总数为（ ）
A．B．C．D．
7．已知，，其中为展开式中项系数，，则下列说法不正确的有（ ）
A．，
B．
C．
D．是，，，…，是最大值
二、多选题
8．“杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在中国南宋数学家杨辉年所著的《详解九章算法》一书中就有出现．如图所示，在“杨辉三角”中，除每行两边的数都是外，其余每个数都是其“肩上”的两个数之和，+ 例如第行的为第行中两个的和．则下列命题中正确的是( )
A．在“杨辉三角”第行中，从左到右第个数是
B．在“杨辉三角”中，当时，从第行起，每一行的第列的数字之和为
C．在“杨辉三角”中，第行所有数字的平方和恰好是第行的中间一项的数字
D．记“杨辉三角”第行的第个数为，则
9．“杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在中国南宋数学家杨辉年所著的《详解九章算法》一书中就有出现，比欧洲发现早年左右．如图所示，在“杨辉三角”中，除每行两边的数都是外，其余每个数都是其“肩上”的两个数之和，例如第行的为第行中两个的和．则下列命题中正确的是（ ）
A．在“杨辉三角”第行中，从左到右第个数是
B．由“第行所有数之和为”猜想：
C．在“杨辉三角”中，从第行起，前行每一行的第个数之和为
D．存在，使得为等差数列
10．“杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列．从第1行开始，第行从左至右的数字之和记为，如的前项和记为，则下列说法正确的有（ ）

A．在“杨辉三角”第9行中，从左到右第7个数字是84
B．在“杨辉三角”中，从第1行起到第12行，每一行从左到右的第2个数字之和为78
C．
D．的前项和为
11．“杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列．从第行开始，第行从左至右的数字之和记为，如，，，的前项和记为，依次去掉每一行中所有的构成的新数列、、、、、、、、、、，记为，的前项和记为，则下列说法正确的有（ ）
A．B．的前项和为
C．D．
12．在1261年，我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》中提出了如图所示的三角形数表，这就是著名的“杨辉三角”，它是二项式系数在三角形中的一种几何排列．从第1行开始，第n行从左至右的数字之和记为，如：的前n项和记为，依次去掉每一行中所有的1构成的新数列2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，…，记为，的前n项和记为，则下列说法正确的有（ ）
A．B．的前n项和为C．D．
三、填空题
13．杨辉三角是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中就出现了，在数学史上具有重要的地位．现将杨辉三角中的每一个数都换成，就得到一个如下表所示的分数三角形，称为莱布尼茨三角形．莱布尼茨三角形具有很多优美的性质，比如从第0行开始每一个数均等于其“脚下”两个数之和．如果，那么下面关于莱布尼茨三角形的性质描述正确的是 ．
①当n是偶数时，中间的一项取得最小值；当n是奇数时，中间的两项相等，且同时取得最小值；
②；
③；
④．
第0行
第1行
第2行
第3行
…… ……
第n行 ……
14．在的展开式中（其中，，…，叫做项式系数），当，2，3，…，得到如下左图所示的展开式，如图所示的“广义杨辉三角”：
（1）若在的展开式中，的系数为75，则实数的值为 ；
（2） （可用组合数作答）.
15．将杨辉三角中的数从上到下，从左到右依次排列，得数列：1，1，1，1，2，1，1，3，3，1，1，4，6，4，1、…记作数列，若数列的前n项和为，则 .
16．将三项式展开，当时，得到以下等式：
……观察多项式系数之间的关系，可以仿照杨辉三角构造如图所示的广义杨辉三角形，
其构造方法为：第0行为1，以下各行每个数是它头上与左右两肩上3数（不足3数的，缺少的数计为0）之和，第k行共有2k+1个数.若在的展开式中，项的系数为75，则实数a的值为 .
17．有一些正整数排成的倒三角，从第二行起，每个数字等于“两肩”数的和，最后一行只有一个数，那么 .
18．我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里出现了如图所示的表，即杨辉三角，这是数学史上的一个伟大成就．在“杨辉三角”中，若去除所有为1的项，依次构成数列2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，…，记作数列，若数列的前n项和为，则 ．
19．我国南宋数学家杨辉在1261年所著的《详解九章算法》里，出现了图1这张表.杨辉三角的发现比欧洲早500年左右.如图2，杨辉三角的第行的各数就是的展开式的二项式系数.
则第10行共有 个奇数；第100行共有 个奇数.
20．杨辉是中国南宋末年的一位杰出的数学家、教育家.杨辉三角是杨辉的一项重要研究成果，它的许多性质与组合数的性质有关，杨辉三角中蕴藏了许多规律，如图是一个11阶杨辉三角.
11阶杨辉三角
（1）第20行中从左到右的第4个数为 ；
（2）若第行中从左到右第7个数与第9个数的比为，则的值为 .
21．如图，在杨辉三角形中，斜线的上方从1按箭头所示方向可以构成一个“锯齿形”的数列：，记此数列的前项之和为，则的值为 .
22．杨辉三角在我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中被记载，它的开头几行如图所示，它包含了很多有趣的组合数性质，如果将杨辉三角从第1行开始的每一个数都换成分数，得到的三角形称为“莱布尼茨三角形”，莱布尼茨由它得到了很多定理，甚至影响到了微积分的创立，则“莱布尼茨三角形”第8行第5个数是 ；若，则 (用含n的代数式作答).
23．将杨辉三角中的每一个数都换成分数，就得到一个如图所示的分数三角形，称为莱布尼茨三角形，从莱布尼茨三角形可以看出：，令，是的前n项和，则 ．
24．如图，我们在第一行填写整数到，在第二行计算第一行相邻两数的和，像在三角（杨辉三角）中那样，如此进行下去，在最后一行我们会得到的整数是 .






参考答案：
1．D
【分析】利用等比数列的求和公式求出，进而求出，再根据为整数分析可知，数列是由从开始的不是的倍数的正整数组成的，由此求出，即可得解.
【详解】由杨辉三角可得，
所以，
若，为正整数，则不是正整数，不合题意；
若，为正整数，则是正整数，符合题意；
若，为正整数，则是正整数，符合题意，
所以数列是由从开始的不是的倍数的正整数组成的，
所以，
所以.
故选：D
2．D
【详解】试题分析：观察杨辉三角结合其中数的来源，可得到这个数列的通项公式当为偶数时，；当为奇数时，,所以，所以，故选D.
考点：归纳推理与数列求和.
3．C
【分析】根据二项式系数规律，结合组合数的性质，利用分组求和法即可求.
【详解】由题图知，数列中的首项是，第2项是，第3项是，第4项是，……，第15项是，第16项是．
∴
．
故选：C．
4．C
【分析】根据广义杨辉三角形可得出的展开式，可得出的展开式中的系数，即可求得的值.
【详解】由广义杨辉三角形可得，
故的展开式中，的系数为，解得.
故选：C.
5．B
【分析】用表示第行中所有数字的和，由图可得，要求前所的数的和，先求出前99行的所有数的和，再由杨辉三角发现，，从而可得，从而可得，观察每行的第3个数发现当时，，从而可求出，进而可求得结果
【详解】解：由杨辉三角可知，第行中有个数，用表示第行中所有数字的和，
因为时，，
当时，，
当时，，
……
所以由此可知，
所以，
由图可知，，
所以,
因为，所以，
再观察每行的第3个数，,……，
所以当时，，
所以，
所以所求的总和为
故选：B
6．B
【分析】根据题意，由杨辉三角中观察规律，推广之后，代入计算即可得到结果.
【详解】由杨辉三角中观察得可得.
推广，得到
即
由题意，2021层“刍童垛”小球的总个数为
故选:B
7．B
【分析】由三项式系数塔与杨辉三角构造相似可得A，D正确，根据计算可得，，所以C正确.
【详解】由题意知，三项式系数塔与杨辉三角构造相似，其第二行为三个数，且下行对应的数是上一行三个数之和，当时，
故，是，，，…，的中间项，故最大，所以A，D正确；令可知：；
当时，，，，，所以，所以B不正确；
令可知，，即；
又因为.故，C正确.
故选：B.
8．ABC
【分析】A：根据二项式定理即可求解；B：根据等差数列求和公式即可求解；C：根据二项式即可求解；D：列出观察即可求解．
【详解】对于A，在杨辉三角中，第9行第7个数是，故A正确；
对于B，当时，从第行起，每一行的第列的数字之和为，故B正确；
对于C，在“杨辉三角”中，第行所有数字的平方和恰好是第行的中间一项的数字，即，
证明如下：
，
则由项和项相乘即可得到这一项的系数为：，
而是二项式的展开式中第项的二项式系数(即的系数)，
故，故C正确；
对于D，第行的第个数为，
∴，
即，故D错误．
故选：ABC．
9．BD
【分析】根据“杨辉三角”与组合数的关系可判断AC选项；利用二项式系数的性质可判断B选项；取，利用组合数的性质可判断D选项.
【详解】对于A选项，在“杨辉三角”第行中，从左到右第个数是，A错；
对于B选项，由二项式系数的性质知，B对；
在“杨辉三角”中，当时，从第行起，
每一行的第个数之和为，C错；
对于D选项，取，则，
因为，所以数列为公差为的等差数列，D对．
故选：BD．
10．ABD
【分析】对于A：根据题意结合组合数运算求解；对于B：根据题意结合等差数列求和分析判断；对于CD：根据题意结合等比数列以及裂项相消法分析判断.
【详解】对于选项A：在“杨辉三角”第9行中，从左到右第7个数字是，故A正确；
对于选项B：从第1行起到第12行，每一行从左到右的第2个数字之和为
，故B正确；
对于选项CD：由题意可知：，
则，，可知数列是以首项为2，公比为2的等比数列，
可得，则，故C错误；
因为，
所以的前项和为
，故D正确；
故选：ABD.
11．BCD
【分析】求得，利用等比数列求和公式可判断A选项；利用裂项相消法可判断B选项；将数列数列、、、、、、、、、、变成数阵，确定的位置，结合二项式系数的性质和二项式系数之和、分组求和法可判断CD选项.
【详解】对于A选项，，
所以，，A错；
对于B选项，，
，
所以，数列的前项和为
，B对；
对于C选项，将数列、、、、、、、、、、变成以下数阵
则该数阵第有个数，第行最后一项位于原数列第项，
因为，
所以，位于该数阵第行第个数，则，C对；
对于D选项，对于C选项中的数阵，
由题意可知，该数阵第行所有数为“杨辉三角”数阵中第行去掉首、尾两个得到，
而“杨辉三角”数阵中第行所有数之和为，
所以，该数阵第行所有数之和为，
所以，
，D对.
故选：BCD.
【点睛】关键点点睛：本题考查“杨辉三角”与数列求和问题，解题的关键是将数列与“三角数阵”联系起来，结合二项式系数的性质与等比数列求和公式求解.
12．ABD
【分析】由题意分析出数列为等比数列，再求其前n项和记为，然后对各选项逐一分析即可.
【详解】从第一行开始，每一行的数依次对应的二项式系数，所以，
为等比数列，，所以，故A正确；
，
所以的前n项和为
，故B正确；
依次去掉每一行中所有的1后，每一行剩下的项数分别为0，1，2，3……构成一个等差数列，项数之和为，的最大整数为10，杨辉三角中取满了第11行，第12行首位为1，在中去掉，取的就是第12行的第2项，，故C错误；
，这11行中共去掉了22个1，
所以，故D正确.
故选：ABD.
13．①②③
【分析】对①，根据杨辉三角的特点，结合不等式性质；对②，第行的第2个数等于第行的第一个数和第行的第1个数相乘；对③，直接根据组合数的性质；对④，开始每一个数均等于其“脚下”两个数之和，所即可得答案；
【详解】对①，根据杨辉三角的特点，当n是偶数时，中间的一项取得最大值；当n是奇数时，中间的两项相等，且同时取得最大值；当每一项取倒数时，再乘以一个常数，可得当n是偶数时，中间的一项取得最小值；当n是奇数时，中间的两项相等，且同时取得最小值；故①正确；
对②，第行的第2个数等于第行的第一个数和第行的第1个数相乘；故②正确；对③，直接根据组合数的性质，故③正确；
对④，开始每一个数均等于其“脚下”两个数之和，即，故④错误；
【点睛】本题考查对杨辉三角定义的理解与应用，组合数的性质，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意对题意的理解.
14． 2
【分析】（1）利用广义杨辉三角形得出第4行的系数，并计算出第五行，再计算出的展开式中系数的表达式，即可求出；
（2）利用二项式定理得出的展开式，将视为展开式中的系数，然后利用二项式展开式的通项即可求出答案．
【详解】（1）由题意可得广义杨辉三角形第4行为：1，4，10，16，19，16，10，4，1；
第5行为：1，5，15，30，45，51，45，30，15，5，1；
所以的展开式中，项的系数为，解得；（2）由题意可知，，根据二项式定理可得，
所以，可视为二项式展开式中的系数，
而二项式的展开式通项为，令，解得，所以，．
故答案为：2；．
【点睛】本题考查二项式定理，考查二项式定理与杨辉三角形之间的关系，读懂题意是解决问题的关键．
15．2114
【分析】每行的序数与该行的项数相等可得第行最后项在数列中的项数为；根据可求得，进而可确定位于第12行第3个；根据每一行数字和的规律可知，计算可得结果.
【详解】使得每行的序数与该行的项数相等，则第行最后项在数列中的项数为：
设位于第行，则：，解得：.
且第11行最后一项在数列中的项数为：.
位于杨辉三角数阵的第12行第3个.
而第一行各项和为，第二行各项和为，第三行各项的和为.
依此类推，第行各项的和为.
故答案为：
【点睛】本题考查与杨辉三角有关的数列的前项和的求解问题，关键是能够根据杨辉三角的数字特征，确定第项所处的位置，通过对于每一行各项和的规律的总结可将问题转化为等比数列求和问题.
16．2
【分析】根据广义杨辉三角形可得的展开式，进而可得的项，即得.
【详解】根据题意可知的展开式为：
，
所以的展开式中项是由两部分构成的，即，
所以，
解得：．
故答案为：2．
17．
【分析】设第行第个数为，分析可得出，利用二项式系数的性质可求得的值.
【详解】设第行第个数为，
则
，
当且时，，
所以，
.
故答案为：.
18．
【分析】根据杨辉三角的特点，求得前数列中前项的分布情况，再根据等比数列前项和的求解方法进行计算即可.
【详解】根据题意，为杨辉三角的第三行中去除后的数，共1个，
为杨辉三角的第四行去除后的数，共2个，
为杨辉三角第五行去除后的数，共3个，，
故可设去除后，杨辉三角从第)行开始，共有个数在数列中，
则前行共有个数，
又当时，，时，，
故中包括了杨辉三角从第3行开始至第12行去除1后所有的数，以及第13行去除1后的第一个数，
故
.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：处理本题的关键是能够根据去除后杨辉三角每一行在数列中的数据个数构成等差数列，从而判断数列中数据的分布，进而根据等比数列的前项和公式进行求解.
19． 4 8
【分析】根据图2可知第7行的数全部是奇数，再进一步得到第15行也全部是奇数，从而找到规律，即可得答案；
【详解】由杨辉三角可得如下表：
第1行，2个；第2行，2个；第3行，4个； 第4行，2个； 第5行，4个；
第6行，4个；第7行，8个；
第8行，2个；第9行，4个；第10行，4个； 第11行，8个； 第12行，4个；
第13行，8个；第14行，8个；第15行，16个；
第16行，2个；第17行，4个；第18行，4个； 第19行，8个； 第20行，4个；
第21行，8个；第22行，8个；第23行，16个；
第96行，4个；第97行，8个；第98行，8个； 第99行，16个； 第100行，8个；
故答案为：4；8.
20． 1140 15
【分析】（1）根据杨辉三角数字规律可得第20行中从左到右的第4个数为，
（2）列出等式可得，解得.
【详解】（1）易知第行的数从左到右分别为，
所以第20行中从左到右的第4个数为，
（2）由，得，解得或（舍去），
即的值为15.
故答案为：（1）1140；（2）15
21．452
【分析】观察杨辉三角结合其中数的来源，可得到这个数列的奇数项的通项公式和偶数项的通项公式，分别求奇数项和与偶数项和，从而得到前n项和.
【详解】设数列为{}，
当为偶数时，易知；
前23项里面有偶数项11项，奇数项12项，
偶数项是首项为3，公差为1的等差数列，且，
所以偶数项之和为：；
当为奇数时，，，，，…，
所以，则，
所以前23项里面奇数项和为：

=
=
=
=364，
所以.
故答案为：452.
22．
【分析】类比杨辉三角，根据“莱布尼茨三角形”的特点求解即可．
【详解】由题意知，将杨辉三角从第1行开始的每一个数都换成分数，得到的三角形为“莱布尼茨三角形”，观察表中数字，题中要求第8行第5个数，所以，，所以第8行第5个数为.
由莱布尼茨三角形的特点可知，每个数均等于其“脚下”两个数之和，
∵，
，
，…，
，，
将上述各式相加，得，
∴，
.
故答案为：；
23．
【分析】由题设关系，应用裂项相消法可得，进而可得．
【详解】由可得：，
所以，
所以
，
所以．
故答案为：．
24．
【分析】将数阵倒置，记第行第个数为，由此可得出所求的数为，且有性质并且，通过结合规律逐项推导得出，利用组合数公式以及二项式定理可得出结果.
【详解】将数阵倒置，计第行第个数为，则倒置后的数阵为：
则有，且有.
，
，
.
依此类推，
，
因此，.
故答案为.
【点睛】本题考查归纳推理，解题的关键在于找出一般规律并借助二项式定理进行计算，考查逻辑推理能力与计算能力，属于难题.