高中数学压轴题小题专项训练问题1以函数为背景压轴小题专题1分段函数问题含解析答案

这是一份高中数学压轴题小题专项训练问题1以函数为背景压轴小题专题1分段函数问题含解析答案，共33页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知函数，则（ ）
A．5B．3C．2D．1
2．若函数是上的单调函数，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
3．已知函数，则的值域为（ ）
A．B．
C．D．
4．已知函数，令，则不等式的解集是（ ）
A．或B．或
C．或D．或
5．已知函数，，则函数的图象是（ ）
A．B．
C．D．
6．已知函数，若的值域是，则的值为（ ）
A．B．C．D．
7．已知函数，若的最小值为，则实数a的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
8．已知函数，若存在互不相等的实数，，，，满足．则以下三个结论：
①，；
②，，其中为自然对数的底数；
③关于的方程恰有三个不相等的实数解．
正确结论的个数是
A．0个B．1个C．2个D．3个
9．已知函数，若，则ab的最小值为（ ）
A．B．C．D．
10．已知函数，则（ ）
A．B．C．D．
11．已知函数若的最小值为6，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
12．已知，有下列两个结论：
①设的值域为A，则；
②对于任意的正数a，存在奇数个零点.
则下列判断正确的是（ ）
A．①②均正确B．①②均错误C．①对②错D．①错②对
13．已知函数，则方程的实根个数不可能为
A．8B．7C．6D．5
14．已知函数，其中表示不超过的最大整数．设，定义函数：，，，，则下列说法正确的有个
①的定义域为；
②设，，则；
③；
④若集合，则中至少含有个元素．
A．个B．个C．个D．个
15．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）（|x﹣1|+|x﹣2|﹣3），若x∈R，f（x﹣a）＜f（x），则a的取值范围是（ ）
A．a＜3B．﹣3＜a＜3C．a＞6D．﹣6＜a＜6
二、多选题
16．设，则下列选项中正确的有（ ）
A．与的图象有两个交点，则
B．与的图象有三个交点，则
C．的解集是
D．的解集是
17．已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．关于的方程有个不同的解
C．在上单调递减
D．当时，恒成立.
18．已知函数，则下列结论中正确的是（ ）
A．函数有且仅有一个零点B．函数是奇函数
C．在上单调递减D．函数的最小值为
19．已知，则关于x的方程的实根个数可能为（ ）
A．2B．3C．4D．5
20．已知函数.则下列说法正确的是（ ）
A．，则
B．的值域为
C．当时，有2个零点，则
D．若在上单调递减，则的取值范围为
三、填空题
21．设奇函数 ，则的值为 .
22．已知，函数若，则 .
23．已知，若，则 ．
24．已知，若函数有最小值，则实数的最大值为 .
25．已知对任意的实数，满足，则的取值范围为 .
26．已知函数，若，则实数a的取值范围为 .
27．已知函数，若关于x的不等式的解集为，则实数a的取值范围为 ．
28．已知函数，其中且，若的值域为，则实数a的取值范围是 ．
29．已知函数，若，则的单减区间是 ；若的值域是，则实数的取值范围是 .
30．已知函数是定义在实数集上的奇函数，当时， ，若集合，则实数的取值范围是 .
31．已知函数．若关于x的不等式的解集为，则实数a的取值范围为 ．
32．已知函数,则关于的方程的实根个数构成的集合为 .
33．已知函数给出下列四个结论：
①若有最小值，则的取值范围是；
②当时，若无实根，则的取值范围是；
③当时，不等式的解集为；
④当时，若存在，满足，则.
其中，所有正确结论的序号为 .
34．已知函数当时，不等式的解集是 ；若关于的方程恰有三个实数解，则实数的取值范围是 ．
参考答案：
1．B
【分析】先求，再根据的值带入相应解析式计算即可.
【详解】因为，所以，
所以.
故选：B
2．A
【分析】利用特殊值验证法，排除选项，即可推出结果．
【详解】函数,
当时，，
当时，，函数图像的对称轴为，函数不是单调函数，不满足题意，排除B、C；
当时，，
当时，，函数图像的对称轴为，函数不是单调函数，排除D.
故选：A．
3．B
【分析】根据分段函数各区间上的解析式，由分式、二次函数的性质求对应区间上的值域，进而取并即可.
【详解】当时，函数单调递减，故；
当时，开口向下且对称轴为，且在对称轴左侧递增，右侧递减，
∴易知：；
综上，的值域为.
故选：B.
4．C
【分析】由可知，的图像是与在同个区间函数值大的那部分图像，由此作出的图像，结合图像，即可求得的解集.
【详解】由可知，的图像是与在同个区间函数值大的那部分图像，由此作出的图像，
联立，解得或，故，，
所以，
又由可知，其解集为的函数值比大的那部图像的所在区间，结合图像易得，的解集为或
联立，解得或，故，，
联立，解得，故，
所以的解集为或.
故选：C.

5．D
【分析】先求出的解析式，再作出的图象，即可选出正确答案.
【详解】当时，，所以，
当时，，所以，
所以，
所以的图象为：
故选：D
【点睛】本题主要考查了由函数解析式选择函数的图象，通常根据函数的性质来选择，属于基础题.
6．C
【分析】画出函数图像，由分段函数中定义域的范围分别求出值域的取值范围再结合二次函数和对数运算可得正确结果.
【详解】当时，，
因为的值域是，又在上单调递减，
所以.
故选：C.
7．A
【分析】利用基本不等式及对勾函数性质确定在上的单调性和最值，结合二次函数性质及最小值列不等式组求参数范围.
【详解】由，则，当且仅当时等号成立，
结合对勾函数性质，在上递减，在上递增，且，
由在上递减，在上递增，
又的最小值为，故且，
综上，.
故选：A
8．C
【分析】由题意画出函数的图象，数形结合逐一分析三个结论得答案．
【详解】解：作出函数的图象如图，
若直线与函数的图象相交于四个不同的点，由图可知，，
故（1）正确；
设与函数的交点自左至右依次为，，，，
由，得，由，得，
，，
又，，
在，上是递减函数，
，，
故（2）正确；
设斜率为1的直线与相切于，，
则由，可得，则切点为，
此时直线方程为，即，
当时，直线与函数有4个不同交点，即关于的方程有四个不等实根，
故（3）错误．
正确结论的个数是2个．
故选：．
9．B
【分析】画出的图像，结合图像，根据，求得的取值范围.令，将用表示，由此求得的表达式，进而利用导数求得的最小值.
【详解】画出图像如下图所示，令，解得.
所以.
令，由图可知.，
所以.所以.
构造函数（稍微放大的范围）..
令，，
所以在上递减.而.
由于，
所以，，，
所以. ，
故存在，使.
所以在上递增，在上递减.
所以对于来说，最小值只能在区间端点取得.
当时，；
当时，.
所以的最小值为.
故选：B
【点睛】本小题主要考查分段函数的性质，考查指数、对数运算，考查利用导数研究函数的单调区间和最值，考查化归与转化的数学思想方法，考查数形结合的数学思想方法，属于难题.
10．B
【详解】因为
由于，则．
故选：B
11．C
【分析】由基本不等式求得在时的最小值是6，因此时函数的最小值不小于6，根据二次函数性质分类讨论求解．
【详解】因为当时，，当且仅当时，等号成立，
所以当时，，当时，的最小值大于或等于6.
当时，在上单调递减，则.
由得；
当时，.
由得.
综合可得.
故选：C．
12．C
【分析】根据函数的定义，以及，为无理数；，为有理数时的运算结果，分别判断①②即可．
【详解】对于①，，当时，有根；
当且为有理数时，一定有有理数存在使得有解；
当且为无理数时，一定存在无理数x使得有解；
当，无解，而 有唯一解或无解；
综上可得，当，则方程一定有解，当，有唯一解或无解；
设的值域为A，则，故①正确；
对于②，当时，只有两个解，故②错误．
故选：C.
13．D
【分析】运用排除法，令t＝x1，则t∈（﹣∞，﹣3]∪[1，+∞）可得f（t）＝a，作出y＝f（x）的图象，以及t＝x1的图象，讨论a＝1，a＝lg35，lg35＜a＜2时，求得t的范围，可得x的解分别为6，7，8，即可得到结论．
【详解】∵，
令t＝x1，则t∈（﹣∞，﹣3]∪[1，+∞）
可得f（t）＝a，
画出y＝f（x）的图象，
当a＝1时，t＝﹣1，，2，4，由t＝x1的图象可得x有6个解；
当a＝lg35，即有t＝﹣3，，3±，
由t＝x1的图象可得x有7个解；
当lg35＜a＜2时，t有一个小于﹣3的解，三个大于1的解，
由t＝x1的图象可得x有8个解；
综上可得方程的实根个数不可能为5．
故选D．
【点睛】本题重点考查分段函数的运用、函数的零点等知识，注意运用换元法和数形结合思想方法，属于中档题．
14．C
【分析】根据函数的性质，逐项判断，即可得出结果.
【详解】①，当时，，所以；当时，成立，所以；当时，成立，所以；因此定义域为；
②；;
，因此;
③因为，即,因此
④由上可知为中元素，又 ，所以中至少含有个元素．综上共有3个正确说法，
选C.
【点睛】本题难点为分段、绝对值、取整三个要分类讨论的函数有机结合在一起.解题的关键就是按分类标准正确取值，按对应数值寻找周期变化规律.
15．C
【分析】当时,分类讨论求得函数的解析式,再利用函数在定义R上的奇函数求出函数在整个定义域上的解析式并画出图像,然后由条件结合图像转化为解得的取值范围.
【详解】由题意时,,
当时,;
当时,;
当时,,
由因为函数为定义R上的奇函数,所以可得函数解析式为:
,由此可得图像如图所示:
由题意时,恒成立,则得函数的图像恒在函数的图像下面, 则由图像可得,解得,即满足要求的得取值范围为.
故选:C.
【点睛】本题考查了绝对值函数解析式的求解,函数奇偶性的应用,数形结合的思想解决不等式恒成立的问题,属于难题.
16．ABC
【分析】根据题意作出分段函数的图象，数形结合求解.
【详解】函数图象图所示：
由图可知，若与有两个交点，则，故A正确；
若与有三个交点，则，故B正确；
若，则，故C正确；
若，则，
则，故D错误.
故选:ABC.
17．ACD
【分析】求的值判断选项A；当时验证结论是否正确去判断选项B；由在上的解析式去判断选项C；分析法证明不等式去判断选项D.
【详解】选项A：.判断正确；
选项B：
画出部分图像如下：
当时，由，可得或
由，可得或；由，可得
即当时，由可得3个不同的解，不是5个. 判断错误；
选项C：当时，，
若即，则
则，为减函数；
当时，
若即，则
则，为减函数；
当时，
若即，则
则，为减函数；
综上，在上单调递减. 判断正确；
选项D：当时，可化为，
同一坐标系内做出与的图像如下：
等价于
即，而恒成立. 判断正确.
故选：ACD
【点睛】(1)求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现f(f(a))的形式时，应从内到外依次求值．
(2)当给出函数值求自变量的值时，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围．
18．CD
【分析】求出函数零点判断A；由奇函数定义判断B；由分段函数的单调性判断C；求出最小值判断D.
【详解】函数，
对于A，由，得或，A错误；
对于B，，而，，函数不是奇函数，B错误；
对于C，函数在上单调递减，在上单调递减，且，
因此在上单调递减，C正确；
对于D，当时，，当时，，当且仅当时取等号，
因此函数的最小值为，D正确.
故选：CD
19．ABC
【分析】画出的图像，由，可分类讨论，，三种情况，令，并画出图像，结合两个函数图像以及，判断出实根个数构成的集合.
【详解】画出的图像如图所示，令，画出图像如图所示.
由，解得：，由，解得..
由，解得：，由，解得.
（1）当时，，有解，且或或，结合的图像可知，时没有与其对应，或时每个都有个与其对应，故此时有个实数根.
（2）当时，，有解，且或，有一个与其对应，有两个与其对应，故此时有个实数根.
（3）当时，，有解，且，结合的图像可知，每个有两个与其对应，故此时有个实数根.
综上所述，关于的方程的实根个数构成的集合为.
故选：ABC

【点睛】方法点睛：本题考查分类讨论参数，求函数零点个数问题，讨论函数零点个数常用方法：
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解，考查学生的数形结合的数学思想方法，考查分类讨论的数学思想方法，属于难题.
20．AD
【分析】对于A，列方程求解验算即可；对于B，直接验算值域即可；对于C，注意到当时，，此时有一个零点，从而只需，由此即可判断；对于D，只需且，解不等式组即可判断.
【详解】对于A，若，解得，故A正确；
对于B，若，则时，，时，，故B错误；
对于C，若有2个零点，注意到当时，，所以此时有一个零点，
所以还需使得时，有一个零点，
又时，，所以，解得，故C错误；
对于D，在上单调递减，
首先时，单调递减，有，
其次时，显然单调递减，
最后还需满足，解得，故D正确.
故选：AD.
21．0
【分析】根据题意，结合，即可求解.
【详解】因为函数为奇函数，所以，
即，
所以.
故答案为：.
22．2
【分析】由题意结合函数的解析式得到关于的方程，解方程可得的值.
【详解】，故，
故答案为：2.
23．3或
【分析】分和分别代入函数，解出即可.
【详解】当时，，解得；
当时，，解得．
故答案为：3或.
24．/
【分析】考虑，求导得到函数的单调性，得到极小值，结合时，若，不合要求，若，在上单调递减，进而得到不等式，求出答案.
【详解】当时，，，
当时，，当时，，
故在上单调递减，在上单调递增，
故在处取得极小值，且，
当时，，
若，在上单调递增，此时没有最小值，
若，在上单调递减，
要想函数有最小值，则，解得，
故实数的最大值为.
故答案为：
25．
【分析】由题意，分段函数在上是增函数，则必使函数在每段上均是增函数，并且由分段函数定义知，而在第一段上所给的函数是一个对数型复合函数，需依据复合函数的单调性得出满足的不等式组，求出的取值范围.
【详解】由题意，函数
在上是增函数，为增函数，并且
①当时，由于内层函数的图象开口向上，对称轴是，则内层函数在是减函数，在是增函数.
要使在上是增函数，
故有，解得
②当时，由于为增函数，则，即
③由于，
综上可知，，故
故答案为：
【点睛】本题考查分段函数单调性问题，每一段都具有单调性，端点值也符合递增关系，本题属于难题.
26．
【分析】讨论，和三种情况，分别解出a的范围，最后求并集即可.
【详解】当时，显然不成立；
当时，不等式可化为，解得；
当时，不等式可化为，解得．
综上所述，a的取值范围为或
故答案为：
27．
【分析】由题意可得函数在上单调递增，利用单调性可得恒成立当且仅当恒成立，故只需，进一步利用二次函数最值即可得解.
【详解】由题意当时，单调递增，且时，，当时，单调递增，
所以函数在上单调递增，
由题意在上恒成立，
所以当且仅当，即恒成立，故只需，
而的最小值为，
所以实数a的取值范围为.
故答案为：.
【点睛】关键点睛：关键是利用单调性、分离参数法将原问题等价转换为，由此即可顺利得解.
28．
【分析】运用一次函数和指数函数的图象和性质，可得值域，讨论，两种情况，即可得到所求a的范围．
【详解】函数函数，
当时，时，，
时，递减，
可得，
的值域为，可得，
解得；
当时，时，，
时，递增，
可得，
则的值域为成立，恒成立．
综上可得．
故答案为．
【点睛】本题考查函数方程的转化思想和函数的值域的问题解法，注意运用数形结合和分类讨论的思想方法，考查推理和运算能力，属于中档题．
29． ，；
【分析】（1）先将代入，考虑时，配方求出函数的单调递减区间，考虑时，函数单调递减，从而求出函数的单调递减区间；
（2）考虑在取得最小值为，且，从而得到，再考虑的定义域，得到，因为时，值域为，不合题意，从而，得到，与比较后，得到不等式求出实数的取值范围.
【详解】时，，
当时，，
故单调递减区间为，
当时，单调递减，
故单调递减区间是，；
因为函数在上单调递减，而函数的值域是，
若，显然不符合题意，所以．
当时，函数单调递减，所以，即有，
所以，故函数在时的值域为.
因为在处取得最小值，
令，解得：或，所以函数在处取得最大值，
当时，，解得：．
综上：，即实数的取值范围是.
故答案为：；
【点睛】已知分段函数值域，求解参数的取值范围问题，要充分考虑分段函数的特征，结合每段函数的定义域，单调性和最值，数形结合对参数的取值范围一步步进行缩小，直至求解出答案.
30．
【分析】把x≥0时的f（x）改写成分段函数，求出其最小值，由函数的奇偶性可得x＜0时的函数的最大值，条件等价为对∀x∈R，都有f（x-1）f（x），进行转化求解即可求解该不等式得答案．
【详解】若=∅，
则等价为f（x-1）-f（x） 0恒成立，即f（x-1）f（x）恒成立，
当x≥0时 ．
若a≤0，
则当x≥0时， ，
∵f（x）是奇函数，
∴若x＜0，则-x＞0，则f（-x）=-x=-f（x），
则f（x）=x，x＜0，
综上f（x）=x，此时函数为增函数，则f（x-1）f（x）恒成立；
若a＞0，
若0≤x≤a时， ；
当a＜x≤2a时， ；
当x＞2a时， ．即当x≥0时，函数的最小值为-a，
由于函数f（x）是定义在R上的奇函数，
当x＜0时，f（x）的最大值为
a，
作出函数的图象如图：
由于∀x∈R，f（x-1）f（x），
故函数f（x-1）的图象不能在函数f（x）的图象的上方，
结合图可得 ，即6a1，求得0＜a ，
综上a ，
故答案为
【点睛】本题主要考查带有绝对值的函数，奇函数的性质，函数的图象特征，根据分段函数的性质，将条件转化不等式恒成立是解决本题的关键．综合性较强，难度较大．
31．
【分析】的解集为恒成立，且在x≤0时的解集为[－1，0]，分类讨论即可﹒
【详解】的解集为恒成立，且在x≤0时的解集为[－1，0]﹒
(1)当x≤0时，，
为满足题意，其图像应该如图：
∴a≥0；
(2)当x＞0时，
①a＝0时，f(x≥0恒成立，满足题意；
②a＞0时，恒成立恒成立(x＞0)，
令，则，
由得，，即时，单调递增，
由得，，即时，单调递减，
时，取得极大值，


时，，
，
综上所述，
故答案为：
【点睛】本题考查已知分段函数值域求参数范围，关键在于把恒成立问题转化为求函数的最大值(最小值)问题，求函数的最值，可通过导数来研究函数的单调性﹒
32．
【分析】画出的图像.令，并画出图像，结合两个函数图像以及，判断出实根个数构成的集合.
【详解】画出的图像如图所示.令，画出图像如图所示.
由解得.由，解得.
由解得.由，解得..
由解得.由，解得.
（1）当时，，有解，且或，结合的图像可知，每个都有两个与其对应，故此时有个实数根.
（2）当时，，有解，且或或，结合的图像可知，每个都有两个与其对应，故此时有个实数根.
（3）当时，，有解，且或或或，结合的图像可知，每个都有两个与其对应，故此时有个实数根.
（4）当时，，有解，且或或或，结合的图像可知，其中对应一个，其它三个都有两个与其对应，故此时有个实数根.
（5）当时，，有解，且或或，结合的图像可知，时没有与其对应，或时每个都有个与其对应，故此时有个实数根.
（6）当时，，有解，且或，有一个与其对应，有两个与其对应，故此时有个实数根.
（7）当时，，有解，且，结合的图像可知，每个有两个与其对应，故此时有个实数根.
综上所述，关于的方程的实根个数构成的集合为.
故答案为：
【点睛】本小题主要考查分段函数的图像与性质，考查数形结合的数学思想方法，考查分类讨论的数学思想方法，属于难题.
33．②③④
【分析】对①，利用函数的单调性与最值的关系结合函数图象求解；对②，利用函数图象，数形结合求解；对③，利用函数的单调性解不等式；对④，利用函数的切线与导函数的关系，以及图形的对称关系，数形结合求解.
【详解】当时，，
当时，，
若，则当时，，则此时函数无最小值；
若，则当时，，时，，
则函数有最小值为满足题意；
若，则当时，，时，，
要使函数有最小值，则，解得；
综上，的取值范围是，①错误；
当时，函数在单调递增，单调递减，单调递减，
作图如下，

因为无实根，所以或，②正确；
当时，

因为，所以函数在单调递减，
又因为所以由可得，
，即，解得，所以，
所以不等式的解集为，③正确；

函数在点处的切线斜率为，
所以切线方程为，则由图象可知，时，，
设，
记直线与函数，，的交点的横坐标为，
因为经过点，
所以由对称性可知，当时，，又因为，所以，④正确；
故答案为:②③④.
【点睛】关键点点睛：本题的②③④小问都用数形结合的思想，数形结合的思想通常与函数的单调性、最值等有关联，根据单调性、最值，以及一些特殊的点准确作出函数图象是用数形结合来解决问题的关键.
34．
【分析】结合绝对值函数以及一元二次函数的图象和性质，利用数形结合进行讨论分析求解即可．
【详解】解：当时，，
当时，由得，
当，不等式等价为，即此时不等式不成立，
当时，不等式等价为，得，
当时，由得，得，得，此时无解，
综上不等式的解集，
当时，的最小值为，在，上的最大值为（1），
当时，函数是开口向下的抛物线对称轴为，顶点为，
当时，最多有两个零点，
当时，最多有两个零点，
则要使恰有三个实根，
则当时，有两个零点，时有一个零点，
或当时，有一个零点，时有两个零点，
①若当时，有两个零点，则，得，即，
此时当时只能有一个零点，
若对称轴满足，此时当时，必有一个零点，
则只需要当时，（1），即，
得，此时，
若对称轴满足，此时在上为增函数，
要使此时只有一个零点，则（1）
即，得，此时，
②若当时，有一个零点，此时（1），
即时，
此时当时，函数的对称轴，
要使时有两个零点，则（1）
即，得舍或，此时，
综上实数的取值范围是或，
故答案为：，．
【点睛】本题主要考查函数与方程的应用，以及函数零点个数的应用，结合绝对值函数和一元二次函数的图象和性质，利用数形结合以及分类讨论的思想是解决本题的关键．综合性较强，有一定的难度．