高中数学5.2 导数的运算评课课件ppt

这是一份高中数学5.2 导数的运算评课课件ppt，共42页。PPT课件主要包含了课前预习，课堂互动，分层训练，内容索引，知识探究，题型剖析，思维升华，课堂小结，素养提升等内容，欢迎下载使用。
在利用导数的定义求基本初等函数的导数的过程中，发展学生的数学运算素养.
1.几个常用函数的导数
2.基本初等函数的导数公式
(1)三角函数的导数公式中，一要注意名称的改变，二要注意符号的变换.可用口诀记忆：正弦求导数，弦变符不变；余弦求导数，弦变符也变.(2)利用导数公式求导时，一定要看清原函数的形式.只有当函数符合上述形式时，才能用导数公式表求导 .　　　
1.思考辨析，判断正误
(1)若f(x)＝0，则f′(x)＝0.( )
(4)若f(x)＝4x，则f′(x)＝4xlg4e.( )
提示　若f(x)＝4x，则f′(x)＝4xln 4.
2.已知f(x)＝x2，则f′(3)等于(　　)A.0 B.2x C.6 D.9
解析　∵f(x)＝x2，∴f′(x)＝2x，∴f′(3)＝6.
4.已知f(x)＝x2，g(x)＝x.若m满足f′(m)＋g′(m)＝3，则m的值为________.
解析　f′(x)＋g′(x)＝2x＋1，f′(m)＋g′(m)＝2m＋1＝3，故m＝1.
题型一　利用导数公式求函数的导数
【例1】　求下列函数的导数：
求简单函数的导函数的基本方法：(1)用导数的定义求导，但运算比较繁琐；(2)用导数公式求导，可以简化运算过程，降低运算难度.解题时根据所给问题的特征，将题中函数的结构进行调整，再选择合适的求导公式.
【训练1】　求下列函数的导数：
(3)y′＝(sin x)′＝cs x；
题型二　利用导数公式解决切线问题
A.y＝4x B.y＝－4x＋4C.y＝4x＋4 D.y＝2x－4
角度2　求参数值【例3】　已知y＝kx是曲线y＝ln x的一条切线，则k＝________.
角度3　曲线上的点到直线的最小距离问题【例4】　设P是曲线y＝ex上任意一点，求点P到直线y＝x的最小距离.
解　如图，设l是与直线y＝x平行，且与曲线y＝ex相切的直线，则切点到直线y＝x的距离最小.
设直线l与曲线y＝ex相切于点P(x0，y0).因为y′＝ex，所以ex0＝1，所以x0＝0.
代入y＝ex，得y0＝1，所以P(0，1).
利用导数的几何意义解决切线问题的两种情况(1)若已知点是切点，则在该点处的切线斜率就是该点处的导数.(2)如果已知点不是切点，则应先设出切点，再借助两点连线的斜率公式进行求解.
解　设所求切线的斜率为k.
(2)求曲线y＝ln x的斜率等于4的切线方程.
解　设切点坐标为(x0，y0).
即4x－y－1－ln 4＝0.
【例5】　某城市近10年间房价年均上涨率为10%，房价p(单位：万元)与时间t(单位：年)有如下函数关系：p(t)＝p0(1＋10%)t，假定p0＝1，那么在第5个年头，房价上涨的速度大约是多少(精确到0.01万元/年)？(参考数据：1.15＝1.611，ln 1.1＝0.095)
题型三　导数公式的实际应用
解　由题意得p′(t)＝1.1tln 1.1，所以p′(5)＝1.15ln 1.1≈1.611×0.095≈0.15(万元/年)，所以在第5个年头，该市房价上涨的速度大约是0.15万元/年.
由导数的定义可知，导数是瞬时变化率，所以求某个量的变化速度，就是求相关函数在某点处的导数.
【训练3】　从时刻t＝0开始的t(s)内，通过某导体的电量(单位：库仑)可以由公式q＝cs t表示.
求第5秒和第7秒时的电流强度(单位：安).
解　由q＝cs t得q′＝－sin t，所以q′(5)＝－sin 5，q′(7)＝－sin 7，即第5秒，第7秒时的电流强度分别是－sin 5安，－sin 7安.
1.函数y＝3x在x＝2处的导数为(　　) A.9 B.6 C.9ln 3 D.6ln 3
解析　y′＝(3x)′＝3xln 3，故所求导数为9ln 3.
2.(多选题)下列结论中，正确的是(　 　)
解析　由(xn)′＝nxn－1知，
选项D，由f(x)＝3x知f′(x)＝3，∴f′(1)＝3.∴选项A，C，D正确.
3.设正弦曲线y＝sin x上一点P，以点P为切点的切线为直线l，则直线l的倾斜角α的范围是(　　)
解析　∵(sin x)′＝cs x，∴kl＝cs x，∴－1≤tan α≤1，又∵α∈[0，π)，
4.函数f(x)＝x3的斜率等于1的切线有(　　)A.1条 B.2条C.3条 D.不确定
5.若曲线y＝x4的一条切线l与直线x＋4y－8＝0垂直，则l的方程为(　　)A.4x－y－3＝0 B.x＋4y－5＝0C.4x－y＋3＝0 D.x＋4y＋3＝0
解析　由题意，知切线l的斜率k＝4.设切点坐标为(x0，y0).∵y′＝4x3，∴k＝4 ＝4，解得x0＝1，∴切点为(1，1)，∴l的方程为y－1＝4(x－1)，即4x－y－3＝0.
7.若y＝10x，则y′|x＝1＝________.
解析　y′＝10xln 10，∴y′|x＝1＝10ln 10.
8.曲线y＝ex在点(2，e2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为________.
解析　∵y′＝(ex)′＝ex，∴在点(2，e2)处的切线斜率为k＝e2，∴曲线在点(2，e2)处的切线方程为y－e2＝e2(x－2)，即y＝e2x－e2.当x＝0时，y＝－e2，当y＝0时，x＝1.
三、解答题9.求下列函数的导数：
10.已知两条曲线y1＝sin x，y2＝cs x，是否存在这两条曲线的一个公共点，使得在这一点处，两条曲线的切线互相垂直？并说明理由.
解　不存在，理由如下：因为y1＝sin x，y2＝cs x，所以y1′＝cs x，y2′＝－sin x.设两条曲线的一个公共点为点P(x0，y0)，则两条曲线在点P(x0，y0)处的切线斜率分别为k1＝cs x0，k2＝－sin x0.若两条切线互相垂直，则cs x0·(－sin x0)＝－1，即sin x0·cs x0＝1，所以sin 2x0＝2，显然不成立，所以这两条曲线不存在这样的公共点，使得在这一点处的两条切线互相垂直.
11.设f0(x)＝cs x，f1(x)＝f0′(x)，f2(x)＝f1′(x)，…，fn＋1(x)＝fn′(x)，n∈N，则f2 021(x)＝(　　)A.sin x B.－sin x C.cs x D.－cs x
解析　根据题意，f0(x)＝cs x，则f1(x)＝f0′(x)＝－sin x，f2(x)＝f1′(x)＝－cs x，f3(x)＝f2′(x)＝sin x，f4(x)＝f3′(x)＝cs x，…，则fn(x)的解析式重复出现，每4次一循环，故f2 021(x)＝f4×505＋1(x)＝f1(x)＝－sin x.
12.已知P为曲线y＝ln x上的一动点，Q为直线y＝x＋1上的一动点，则当P的坐标为________时，PQ最小，此时最小值为________.
解　设切点为(m，lg2m)(m>0).