数学第十一章 三角形11.2 与三角形有关的角11.2.2 三角形的外角教学课件ppt

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理解三角形的外角的概念；
理解并掌握三角形的外角的性质；
能够在图形中找到三角形的外角；
2.在△ABC中，∠A=85°, ∠B=44°,则∠C= .
3.在△ABC中，∠A=22°, ∠B=76°,则∠C= .
1.什么是三角形的内角？三角形内角和定理是什么？
三角形相邻两边组成的角叫作三角形的内角
三角形三个内角的和等于180°
尝试应用三角形内角和定理求△ABC 中∠ACB的度数.
∠ACB = 180°-∠A -∠B = 50°
若延长边BC，得到∠ACD，你能求出∠ACD的大小吗？
∠ACD= 180°-∠C = 130°
像这样，三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角.
如图，把△ABC 的一边 BC 延长,得到∠ACD.
三角形的外角应具备的条件:
① 角的顶点是三角形的顶点② 角的一边是三角形的一边③ 另一边是三角形中一边的延长线
如图，∠BEC 是哪个三角形的外角？∠AEC 是哪个三角形的外角？∠EFD 是哪个三角形的外角？说一说图中还有外角吗？
∠BEC 是△AEC 的外角；
∠AEC 是△BEC 的外角；
∠EFD 是△BEF 和△DCF的外角.
由此，你又能受到什么启发？你能发现证明“三角形内角和等于180°”的思路吗？
每个顶点处有几个外角？它们有何关系？
如图，延长 AC 到 E，∠BCE 是不是△ABC 的一个外角？∠DCE 是不是△ABC 的一个外角？
∠BCE 是△ABC 的一个外角，∠DCE 不是△ABC 的一个外角.
每个顶点处有2个外角，如上图，△ABC在点C处有两个外角，分别是∠BCE 和∠ACD，它们是对顶角，因此它们相等.
每一个三角形都有 6 个外角．
每一个顶点相对应的外角都有 2 个， 且这 2 个角为对顶角.
∠ACD = 180° -∠ACB = 180° -(180°-∠A-∠B) = ∠A+∠B = 130° .
∠ACD =∠A +∠B
在△ABC 中,∠A =70°,∠B =60°, ∠ACD是 △ABC的一个外角, 能由∠A，∠B求出∠ACD的度数吗？ ∠ACD 与∠A,∠B 的大小又有什么关系呢？
证明1：∵∠A +∠B+∠ACB=180°，∠BCD +∠ACB=180°∴∠A+∠B=∠BCD.
你还能用其他方法证明此结论吗？
如图，任意一个△ABC 的外角∠BCD与其不相邻的两内角(∠A，∠B)有什么关系？
证明2：过 C 作 CE 平行于 AB，
∴∠ACD = ∠1+ ∠2 = ∠A+ ∠B.
已知：如图，△ABC，求证：∠ACD=∠A+∠B.
∴∠1= ∠B，（两直线平行，同位角相等）
∠2= ∠A ， （两直线平行，内错角相等）
一般地，由三角形内角和定理可以推出下面的推论：
三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和.
符号语言∵∠ACD 是△ABC 的外角，∴∠ACD = ∠A +∠B.
∠BCD >∠A，∠BCD >∠B .
由推论可知 ∠BCD =∠A+∠B因此
三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角.
推论是由定理直接推出的结论．和定理一样，推论可以作为进一步推理的依据.
如图，∠BAE，∠CBF，∠ACD是△ABC 的三个外角，它们的和是多少？
解：由三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，得∠BAE =∠2 +∠3，∠CBF =∠1 +∠3，∠ACD =∠1 +∠2，
∴∠BAE +∠CBF +∠ACD= 2(∠1 +∠2 +∠3).由∠1 +∠2 +∠3 = 180°，得∴ ∠BAE +∠CBF +∠ACD =2× 180°=360°.
解法二：如图，∠BAE+∠1=180 ° ① ， ∠CBF +∠2=180 ° ②，∠ACD +∠3=180 ° ③，又知∠1+ ∠2+ ∠3=180 °，①+ ②+ ③得∠BAE + ∠CBF + ∠ACD +(∠1+ ∠2+ ∠3) = 540 °，所以∠BAE + ∠CBF + ∠ACD = 540 °- 180°= 360°.
三角形的每个顶点处有两个外角，它们相等，所以每个顶点处只取一个外角(按同一个方向取三个角)，把它们的和叫做三角形的外角和.
三角形的外角和等于 360°.