2023-2024学年北京市门头沟区八年级上学期期末数学试题（含详细答案解析）

这是一份2023-2024学年北京市门头沟区八年级上学期期末数学试题（含详细答案解析），共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列的垃圾分类标志中，是轴对称图形的是( )
A. B.
C. D.
2.芝麻是世界上最古老的油料作物之一，如果一粒芝麻质量约为0.00000201千克，将0.00000201用科学记数法表示为( )
A. 20.1×10−5B. 2.01×10−6C. 0.201×10−7D. 2.01×10−5
3.若分式1x−2有意义，则x的取值范围是( )
A. x>2B. x<2C. x≠2D. x=2
4.下列计算正确的是( )
A. x3⋅x2⋅x=x5B. x23=x5C. 2xy2=4x2y2D. x2+x3=x5
5.若一个多边形的内角和为540∘，则该多边形为( )边形．
A. 四B. 五C. 六D. 七
6.下列各式从左到右变形正确的是( )
A. 3x26x=x2B. nm=n+1m+1
C. nm−mn=n−mmnD. nm=n2m2
7.袁老师在课堂上组织学生用小棍摆三角形，小棍的长度有10cm，15cm，20cm和25cm四种规格，小朦同学已经取了10cm和15cm两根木棍，那么第三根木棍不可能取( )
A. 10cmB. 15cmC. 20cmD. 25cm
8.设a，b是实数，定义一种新运算：a*b=a−b2，下面有四个推断：
①a*b=b*a；
②(a∗b)2=a2∗b2；
③−a*b=a*−b；
④a*b+c=a*b+a*c.
其中所有正确推断的序号是( )
A. ①②③④B. ①③④C. ①②D. ①③
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
9.如果分式x−2x的值为0，那么x的值为是__________.
10.分解因式：a3−a=__________.
11.计算：5xy+4y÷y=__________.
12.如图，AB=AC，点D在BC上，添加一个条件使△ABD≌△ACD，该条件是__________.
13.当x2−x−3=0时，代数式x−12+x−12x+1的值为__________.
14.已知等腰三角形的两边长分别为4和9，则它的周长是__________.
15.在平面直角坐标系xOy中，A0,3，B8,3，点C是x轴上的一个动点，当AC+BC最小时，点C的坐标是__________.
16.如图，在△ABC中，AB①∠MCD>∠MAB；
②BM=CM；
③射线BM是∠EBC的角平分线；
④∠BMC=90∘−12∠BAC.
所有正确结论的序号是__________.
三、解答题：本题共12小题，共96分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
计算：−5+2−2−π−20240.
18.(本小题8分)
如图，点A，C，B，D在同一条直线上，BE//DF，∠A=∠F，AB=FD，求证：AE=FC.
19.(本小题8分)
计算：a3⋅a+−3a32÷a2.
20.(本小题8分)
解分式方程：x−1x+3x+2=1.
21.(本小题8分)
已知ab=12，求代数式a2+b2a−2b⋅a+ba2−b2的值．
22.(本小题8分)
如图，AD是△ABC的高，CE是△ADC的角平分线．若∠BAD=∠ECD，∠B=70∘，求∠CAD的度数．
23.(本小题8分)
阅读材料，并回答问题：
小亮在学习分式运算过程中，计算6a2−9+1a+3解答过程如下：
解：6a2−9+1a+3
=6a+3a−3+1a+3①
=6a+3a−3+a−3a+3a−3②
=6+a−3③
=a+3④
问题：(1)上述计算过程中，从步开始出现错误(填序号)；
(2)发生错误的原因是： ；
(3)在下面的空白处，写出正确解答过程：
24.(本小题8分)
下面是小东设计的尺规作图过程．
已知：如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90∘，
求作：点D，使点D在BC边上，且到AB和AC的距离相等．
作法：
①如图，以点A为圆心，任意长为半径画弧，分别交AB、AC于点M、N；
②分别以点M、N为圆心，大于12MN的长为半径画弧，两弧交于点P；
③画射线AP，交BC于点D.
所以点D即为所求．
根据小东设计的尺规作图过程：
(1)使用直尺和圆规，补全图形(保留作图痕迹)；
(2)完成下面的证明．
证明：过点D作DE⊥AC于点E，连接MP，NP，
在△AMP与△ANP中，
∵AM=AN，MP=NP，AP=AP，
∴△AMP≌△ANP(______)，
∴∠______=∠______，
∵∠ABC=90∘，
∴DB⊥AB，
又∵DE⊥AC，
∴DB=DE(______).
25.(本小题8分)
列方程或方程组解应用题：
小马自驾私家车从A地到B地，驾驶原来的燃油汽车所需油费108元，驾驶新购买的纯电动车所需电费27元，已知每行驶1千米，原来的燃油汽车所需的油费比新购买的纯电动汽车所需的电费多0.54元，求新购买的纯电动汽车每行驶1千米所需的电费.
26.(本小题8分)
如图，在平面直角坐标系中，A(−1,3)，B(2,4)，连接AB.
(1)画线段A1B1，使得线段A1B1与线段AB关于y轴对称，写出A1、B1的坐标：A1__，B1__；
(2)写出一个点C的坐标，使ΔABC成为等腰三角形，C(__，__)；
(3)已知点C在坐标轴上，且满足ΔABC是等腰三角形，则所有符合条件的C点有__个．
27.(本小题8分)
如图，△ABC为等边三角形，在∠BAC内作射线AP∠BAP<30∘，点B关于射线AP的对称点为点D，连接AD，作射线CD交AP于点E，连接BE.

(1)依题意补全图形；
(2)设∠BAP=α，求∠BCE的大小(用含α的代数式表示)；
(3)用等式表示EA，EB，EC之间的数量关系，并证明．
28.(本小题8分)
对于平面直角坐标系xOy中的线段AB及点P，给出如下定义：
如果点P满足PA=PB，那么点P就是线段AB的“关联点”．其中，当0∘<∠APB<60∘时，称P为线段AB的“远关联点”；当60∘≤∠APB≤180∘时，称P为线段AB的“近关联点”．
(1)如图1，当点A,B坐标分别为−2,0和2,0时，在P1−1,3，P20,2，P30,−1，P40,4中，线段AB的“近关联点”有_______.
(2)如图2，点A的坐标为0,3，点B在x轴正半轴上，∠OAB=60∘.
①如果点P在y轴上，且为线段AB的“关联点”，那么点P的坐标为_______；
②如果点P为线段AB的“远关联点”，那么点P的纵坐标t的取值范围是_______.
答案和解析
1.【答案】A
【解析】【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
【详解】解：B，C，D选项中的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，
A选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿这条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形．
故选：A.
2.【答案】B
【解析】【分析】绝对值小于1的利用科学记数法表示，一般形式为a×10−n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10−n，其中1≤a<10，n由原数左边起第一个不为零的数字前面0的个数所决定．
【详解】解：0.00000201=2.01×10−6，
故选：B.
3.【答案】C
【解析】【分析】分式有意义时，分母不等于零．
【详解】解：依题意得：x−2≠0，
解得x≠2.
故选：C.
【点睛】本题考查了分式有意义的条件．分式有意义的条件是分母不等于零．
4.【答案】C
【解析】【分析】根据同底数幂的乘法、幂的乘方、分式的乘方、合并同类项分别进行判断即可．此题考查了同底数幂的乘法、幂的乘方、分式的乘方、合并同类项，熟练掌握运算法则是解题的关键．
【详解】解：A.x3⋅x2⋅x=x6，故选项错误，不符合题意；
B.x23=x6，故选项错误，不符合题意；
C.2xy2=4x2y2，故选项正确，符合题意；
D.x2与x3不是同类项，不能进行合并和计算，故选项错误，不符合题意．
故选：C.
5.【答案】B
【解析】根据多边形的内角和的公式n−2×180∘=540∘，解方程即可求出n的值．
【详解】
解：由多边形的内角和公式可得
n−2×180∘=540∘，
解得：n=5，
故选：B.
6.【答案】A
【解析】【分析】根据分式的基本性质逐个判断即可．
【详解】解：A.3x26x=x2，故本选项正确，符合题意；
B.nm≠n+1m+1，故本选项错误，不符合题意；
C.nm−mn=n2−m2mn，故本选项错误，不符合题意；
D.nm≠n2m2，例如n=1,m=2，12≠14，故本选项错误，不符合题意；
故选：A.
【点睛】本题考查了分式的基本性质，解题的关键是能熟记分式的基本性质，注意：分式的基本型性质是：分式的分子和分母都乘或除以同一个不等于0的整式，分式的值不变．
7.【答案】D
【解析】先设第三根木棒的长为xcm，再根据三角形的三边关系求出x的取值范围，找出不符合条件的x的值即可．
解：设第三根木棒的长为xcm，
∵已经取了10cm和15cm两根木棍，
∴15−10∴四个选项中只有D不在其范围内，符合题意．
故选：D.
本题考查的是三角形的三边关系，即三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．
8.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查了整式的混合运算、乘法公式及新定义问题，能正确根据整式的运算法则进行计算是解此题的关键．先根据新运算进行变形，再根据乘法公式进行判断即可．
【解答】
解：①因为a*b=(a−b)2，b*a=(b−a)2=(a−b)2，所以a*b=b*a，故①正确；
②因为(a*b)2=[(a−b)2]2=(a−b)4，a2*b2=(a2−b2)2=(a+b)2(a−b)2，所以(a*b)2≠a2*b2，故②错误；
③因为(−a)*b=(−a−b)2=(a+b)2，a*(−b)=(a+b)2，所以(−a)*b=a*(−b)，故③正确；
④因为a*(b+c)=(a−b−c)2=a2+b2+c2−2ab−2ac+2bc，a*b+a*c=(a−b)2+(a−c)2=a2−2ab+b2+a2−2ac+c2=2a2+b2+c2−2ab−2ac，所以a*(b+c)≠a*b+a*c，故④错误；
综上所述正确的为①③，
故选：D.
9.【答案】2
【解析】【分析】本题考查了分式为0条件，分式的分子为0，分母不为0是解题的关键．
根据分式的分子为0，分母不为0，可得答案．
【详解】解：∵分式x−2x的值为0，
∴x−2=0，且x≠0，
∴x=2，
故答案为：2.
10.【答案】a(a+1)(a−1)
【解析】本题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用平方差公式进行二次分解，注意要分解彻底．
先提取公因式a，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．
【解答】
解：a3−a
=a(a2−1)
=a(a+1)(a−1).
故答案为a(a+1)(a−1).
11.【答案】5x+4
【解析】解：原式=5xy÷y+4y÷y
=5x+4.
故答案为：5x+4.
直接利用整式的除法运算法则计算得出答案．
此题主要考查了整式的除法运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
12.【答案】BD=CD(答案不唯一)
【解析】【分析】根据已知条件和全等三角形的判定方法，添加合适的条件即可，此题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
【详解】解：由图可知，AB=AC，AD=AD，
当BD=CD时，△ABD≌△ACDSSS，
当∠BAD=∠CAD时，△ABD≌△ACDSAS，
故答案为：BD=CD(答案不唯一)
13.【答案】9
【解析】【分析】本题主要是考查了完全平方公式以及多项式乘多项式、整体代入法求解代数式的值，熟练利用完全平方公式以及多项式乘多项式，把整式进行化简，这是解决该题的关键．先把x2−x−3=0变形为x2−x=3，然后利用完全平方公式以及多项式乘多项式，将式子去括号展开，并合并同类项，然后将x2−x整体代入化简的式子中求值即可．
【详解】解：由x2−x−3=0可得：x2−x=3，
∵x−12+x−12x+1
=x2−2x+1+2x2+x−2x−1
=3x2−3x
=3x2−x
∴原式=3x2−x=3×3=9，
故答案为：9.
14.【答案】22
【解析】【分析】本题考查了三角形三边关系，等腰三角形的定义；根据已知条件：分等腰三角形的底边分别为4和9两种情况，结合三角形三边间的关系进行分析解答即可．
【详解】(1)当长为4的边是等腰三角形的底边时，其三边长分别为：4、9、9，
此时三条线段能围成等腰三角形，其周长为：4+9+9=22；
(2)当长为9的边为等腰三角形的底边时，其三边长分别为：9、4、4，此时三条线段不能围成三角形；
综上所述，两条边长分别为4和9的等腰三角形的周长为22.
故答案为：22.
15.【答案】4,0
【解析】【分析】本题考查轴对称求最短距离，熟练掌握轴对称求最短距离的方法，会用待定系数法求一次函数解析式是解题的关键．
过点A关于x轴的对称点D，连接BD交x轴于点C，首先得到当点B，C，D三点共线时，AC+BC最小，然后求出BD所在直线的表达式为y=34x−3，然后当y=0时求出x=4，即可求出点C的坐标．
【详解】如图所示，过点A关于x轴的对称点D，连接BD交x轴于点C，
∴AC+BC=DC+BC≥BD
∴当点B，C，D三点共线时，AC+BC最小．
∵A0,3
∴D0,−3
∴设BD所在直线的表达式为y=kx+b
∴b=−38k+b=3，解得b=−3k=34
∴y=34x−3
∴当y=0时，0=34x−3
解得x=4
∴点C的坐标是4,0.
故答案为：4,0.
16.【答案】①③④
【解析】【分析】由角平分线的定义可知∠MAB=∠MAC.再根据三角形外角的性质得出∠MCD=∠MAC+∠AMC，即可确定∠MCD>∠MAB，故①正确；过点M作MF⊥AD于点F，MG⊥BC于点G，MH⊥AE于点H，由角平分线的性质定理可得出MF=MG=MH.即易证Rt△BMG≌Rt△BMH(HL)，得出∠MBG=∠MBH，即说明射线BM是∠EBC的角平分线，故③正确；利用反证法，假设BM=CM，易证∠CBE=∠BCD，即得出∠ABC=∠ACB.由AB【详解】解：∵AM为∠BAC的平分线，
∴∠MAB=∠MAC.
∵∠MCD=∠MAC+∠AMC，
∴∠MCD>∠MAC，
∴∠MCD>∠MAB，故①正确；
如图，过点M作MF⊥AD于点F，MG⊥BC于点G，MH⊥AE于点H，
∵AM为∠BAC的平分线，CM为∠BCD的平分线，
∴MF=MG=MH.
又∵BM=BM，
∴Rt△BMG≌Rt△BMH(HL)，
∴∠MBG=∠MBH，即射线BM是∠EBC的角平分线，故③正确；
假设BM=CM，
∴∠MBC=∠MCB.
∵CM为∠BCD的平分线，BM是∠EBC的角平分线，
∴∠MBE=∠MBC，∠MCB=∠MCD，
∴∠MBE+∠MBC=∠MCB+∠MCD，即∠CBE=∠BCD，
∴180∘−∠CBE=180∘−∠BCD，即∠ABC=∠ACB.
∵AB∴∠ABC≠∠ACB，
∴假设不成立，故②错误；
∵∠BMC=∠BMG+∠CMG，
∴∠BMC=(90∘−∠MBG)+(90∘−∠MCG).
∵∠MBG=12∠CBE,∠MCG=12∠BCD，
∴∠BMC=(90∘−12∠CBE)+(90∘−12∠BCD)，
∴∠BMC=(90∘−12∠CBE)+(90∘−12∠BCD)
=180∘−12∠CBE−12∠BCD
=180∘−12(180∘−∠ABC)−12(180∘−∠ACB)
=12(∠ABC+∠ACB)
=12(180∘−∠BAC)
=90∘−12∠BAC，
∴④正确．
综上可知所有正确结论的序号是①③④．
故答案为：①③④．
本题考查角平分线的定义，角平分线的性质定理，三角形全等的判定和性质，三角形外角的性质及三角形内角和的应用等知识．正确作出辅助线构造全等三角形，并利用数形结合的思想是解题关键．
17.【答案】解：原式=5+14−1
=174.

【解析】【分析】本题主要考查了零指数幂，负整数指数幂，先计算绝对值，零指数幂和负整数指数幂，再计算加减法即可．
18.【答案】证明：∵BE//DF，
∴∠ABE=∠D，
在△ABE和△FDC中，
∠ABE=∠D，AB=FD，∠A=∠F
∴△ABE≌△FDC(ASA)，
∴AE=FC.

【解析】【分析】由已知条件BE//DF，可得出∠ABE=∠D，再利用ASA证明△ABE≌△FDC即可．
【点睛】此题主要考查全等三角形的判定与性质和平行线的性质等知识点的理解和掌握，此题的关键是利用平行线的性质求证△ABC和△FDC全等．
19.【答案】解：a3⋅a+(−3a3)2÷a2
=a4+9a6÷a2
=a4+9a4
=10a4

【解析】【分析】根据同底数幂的乘法法则、幂的乘方法则、同底数幂的除法法则依次计算后将结果相加即可．
【点睛】此题考查整式的计算，正确掌握整式乘法中的同底数幂的乘法法则、幂的乘方法则，以及整式的同底数幂的除法法则、合并同类项法则是解题的关键．
20.【答案】解：x−1x+3x+2=1
去分母得，(x−1)(x+2)+3x=x(x+2)
去括号得，x2+x−2+3x=x2+2x
移项得，x2+x−x2−2x+3x=2
合并得，2x=2
系数化为1，得：x=1
经检验，x=1是原方程的解，
∴原方程的解是：x=1

【解析】【分析】此题只需按照求分式方程的步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，最后进行检验即可．
【点睛】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．
21.【答案】解：a2+b2a−2b⋅a+ba2−b2
=a2+b2a−2aba⋅a+ba2−b2
=a−b2a⋅a+ba+ba−b
=a−ba，
∵ab=12，
∴b=2a，
∴原式=a−2aa=−1

【解析】【分析】先利用分式的减法计算括号内的减法运算，再计算分式的乘法即可得到化简结果，再求出b=2a，整体代入化简结果即可得到答案，此题考查了分式化简求值，熟练掌握分式的运算法则是解题的关键．
22.【答案】解：∵AD是△ABC的高
∴∠ADB=∠ADC=90∘
∵∠B=70∘
∴∠BAD=20∘
∵CE是△ADC的角平分线
∴∠ECD=12∠ACD
∵∠BAD=∠ECD=20∘
∴∠ACD=40∘
∴在△ACD中，∠CAD=90∘−40∘=50∘.

【解析】【分析】AD是△ABC的高，有∠ADB=∠ADC=90∘；由∠B=70∘知∠BAD=20∘；CE是△ADC的角平分线可得∠ECD=12∠ACD；∠BAD=∠ECD=20∘，∠ACD=40∘；在△ACD中，∠CAD=90∘−40∘=50∘.
【点睛】本题考查了角平分线．解题的关键在于正确表示各角度之间的数量关系．
23.【答案】(1)③；
(2)同分母分式相加时，分母不变，分子相加，不能去掉分母；
(3)原式=6a+3a−3+1a+3，
=6a+3a−3+a−3a+3a−3，
=6+a−3a+3a−3，
=1a−3.

【解析】【分析】观察整个运算过程，根据分式的加法运算法则，找出错误的步骤并正确求解即可．
【点睛】本题考查了分式的加法运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
24.【答案】(1)解：如图，即为补全的图形；
(2)证明：过点D作DE⊥AC于点E，连接MP，NP，
在△AMP与△ANP中，
∵AM=AN，MP=NP，AP=AP，
∴△AMP≌△ANPSSS，
∴∠PAM=∠PAN，
∵∠ABC=90∘，
∴DB⊥AB，
又∵DE⊥AC，
∴DB=DE(角平分线上的点到角的两边的距离相等)，
故答案为：SSS，∠PAM，∠PAN，角平分线上的点到角的两边的距离相等．

【解析】【分析】(1)根据题意补全图形，即可；
(2)证明△AMP≌△ANP，可得∠PAM=∠PAN，再根据角平分线的性质定理即可求证；
本题考查了尺规作图——作已知角的平分线，角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，正确作出图形是解题的关键．
25.【答案】设新购买的纯电动汽车每行驶一千米所需电费为x元.
由题意得：108x+0.54=27x
解得：x=0.18
经检验0.18为原方程的解
答：纯电动车行驶一千米所需电费为0.18元.

【解析】试题分析：此题的等量关系是：A地到B地的路程是不变的，
即：108燃油汽车每公里所需的油费=27纯电动汽车每公里所需的油费
考点：分式方程的应用
26.【答案】(1)解：如图所示，线段A1B1即为所求，A1(1,3)、B1(−2,4)；
故答案为：(1,3)；(−2,4)；
(2)解：如图所示，使ΔABC成为等腰三角形，点C(3,1)；
故答案为：(3,1)；
(3)解：如图所示，分别以点A、B为圆心，AB长为半径作圆，与坐标轴相交，得到5个交点，过两圆交点画直线与坐标轴相交，得到2个交点，则点C在坐标轴上，且满足ΔABC是等腰三角形的C点有7个．

【解析】【分析】(1)依据线段A1B1与线段AB关于y轴对称，即可得到线段A1B1，并得到A1、B1的坐标；
(2)利用等腰三角形的定义，并结合轴对称的性质，找到一点C即可；
(3)依据点C在坐标轴上，且△ABC是等腰△ABC，即可得出所有符合条件的C点．
【点睛】本题考查了作图-轴对称变换，几何图形都可看作是由点组成，解题的关键是我们在画一个图形的轴对称图形时，也是先从确定一些特殊的对称点开始的．
27.【答案】解：(1)补全图形，如图所示：
(2)连接 BD ，交 AP 于点 H ，如图所示：
∵点 B 关于射线 AP 的对称点为点 D ，
∴AP 为线段 BD 的中垂线，
∴AB=AD ，
∵AH⊥BD ，
∴AH 是 ∠BAD 的角平分线，
∴∠BAD=2∠PAB=2α ，
∵△ABC 为等边三角形，
∴∠BAC=∠ACB=∠ABC=60∘ ， AB=AC=BC ，
∴∠DAC=∠BAC−∠BAD=60∘−2α ， AD=AC ，
∴∠ACD=∠ADC=180∘−∠DAC2=180∘−60∘+2α2=60∘+α ，
∴∠BCE=∠ACD−∠ACB=60∘+α−60∘=α ；
(3)EA=EC+EB ，证明如下：
延长 DC 至点 F ，使 CF=BE ，连接 AF ，如图：
由(2)知， AP 为线段 BD 的中垂线， ，
∴AB=AD,BE=DE ，
∵AE=AE ，
∴△BAE≌△DAE(SSS) ，
∴∠ABE=∠ADE ，
∵∠ADC=∠ACD ，
∴180∘−∠ADC=180∘−∠ACD ，
即： ∠ADE=∠ACF ，
∴∠ABE=∠ACF ，
又∵AB=AC,BE=CF ，
∴△ABE≌△ACF(SAS) ，
∴AE=AF ， ∠EAB=∠CAF ，
∴∠EAB+∠EAC=∠CAF+∠EAC ，即： ∠EAF=∠BAC=60∘ ，
∴△AEF 为等边三角形，
∴EA=EF ，
∵EF=EC+CF ，
∴EA=EC+EB .

【解析】本题考查轴对称的性质，中垂线的性质，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质．熟练掌握中垂线上的点到线段两端点的距离相等，等边三角形的三角相等，三边相等，证明三角形全等，是解题的关键．
(1)根据题意，补全图形即可；
(2)连接 BD ，交 AP 于点 H ，根据点 B 关于射线 AP 的对称点为点 D ，得到 AP 为线段 BD 的中垂线，进而得到 AD=AB,∠PAD=∠BAP=α ，利用 △ABC 为等边三角形，得到三个角均为 60∘ ， AD=AB=AC ，从而得到 ∠ADC=∠ACD ，利用三角形的内角和定理，求出 ∠ACD ，再用 ∠ACD−∠ACB ，即可得解；
(3)延长 DC 至点 F ，使 CF=BE ，连接 AF ，证明 △ACF≌△ABE 从而得到 AE=AF ， ∠EAB=∠CAF ，进而得到 ∠EAF=60∘ ，从而得到 △AEF 为等边三角形，根据 EF=EC+CF ，得到 AE=EC+BE 即可．
28.【答案】(1)解：∵A−2,0，B2,0，
∴A、B关于y轴对称，AB=4，
∵PA=PB，
∴P点在y轴上，
∴线段AB的“关联点”是P2，P3，P4，
当P20,2时，OP2=OA=OB=2，
∴∠AP2O=∠BP2O=45∘，
∴∠AP2B=90∘>60∘，
∴P2是线段AB的“近关联点”，
当P30,−1时，AP3=BP3= 12+22= 5，
∴AP3=BP3∴∠AP3B>60∘，
∴P3是线段AB的“近关联点”，
当P40,4时，AP4=BP4=2 5，
∴AP4=BP4>AB，
∴∠AP4B<60∘，
∴点P4是线段AB的“远关联点”，
故答案为：P2，P3；
(2)∵A0,3，
∴OA=3
∵∠OAB=60∘
∴∠ABO=30∘
∴AB=2OA=6
∴OB= AB2−AO2=3 3
∴B3 3,0
①设点P的坐标为0,m，
∴PA2=m−32，PB2=m2+3 32=m2+27，
∵点P在y轴上，且为线段AB的“关联点”，
∴PA=PB
∴PA2=PB2
∴m−32=m2+27，
∴m=−3
∴点P的坐标为0,−3.
故答案为：0,−3；
②如图所示，过点A作x轴的对称点C，过点C作AB的对称点D，
∴C0,−3
∴AC=6=AB
∵∠BAC=60∘
∴△ABC是等边三角形
∴∠ACB=60∘
∴点C和点D在AB的垂直平分线上
∴CA=CB，DA=DB
∴线段AB的“关联点”在AB的垂直平分线
∴由图象可得，当点P的纵坐标t<−3时，点P为线段AB的“远关联点”；
∵△ABC和△ABD关于AB对称
∴△ABD是等边三角形
∴∠ABD=60∘，∠D=60∘
∴∠OBD=∠ABO+∠ABD=90∘
∴BD=AB=6
∴点D的纵坐标为6
∴由图象可得，当点P的纵坐标t>6时，点P为线段AB的“远关联点”；
综上所述，点P的纵坐标t<−3或t>6时，点P为线段AB的“远关联点”．
故答案为：t<−3或t>6.

【解析】【分析】(1)首先得到A、B关于y轴对称，AB=4，得到P点在y轴上，然后根据“近关联点”的定义求解即可；
(2)①首先求出AB=2OA=6，然后利用勾股定理得到OB= AB2−AO2=3 3，B3 3,0，设点P的坐标为0,m，得到PA2=m−32，PB2=m2+3 32，根据题意得到PA2=PB2，然后代入求解即可；
②过点A作x轴的对称点C，过点C作AB的对称点D，得到线段AB的“关联点”在AB的垂直平分线，证明出△ABC，△ABD是等边三角形，然后求出点C和点D的纵坐标，然后根据“远关联点”的定义求解即可．
【点睛】本题主要考查了新定义，勾股定理，含30∘角的直角三角形，等边三角形的性质和判定，等腰三角形的性质和判定，熟练掌握新定义，勾股定理解直角三角形，含30∘角的直角三角形性质，等边三角形性质，等腰三角形性质是解题的关键．