第01讲 集合（6类核心考点精讲精练，含24年高考真题）-备战2025年高考数学一轮复习考点帮（新高考通用）

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1. 5年真题考点分布
2. 命题规律及备考策略
【命题规律】本节内容是新高考卷的常考内容，设题稳定，难度较低，分值为5分
【备考策略】1.理解、掌握集合的表示方法，能够判断元素与集合、集合与集合的关系
2.能掌握集合交集、并集、补集的运算和性质
3.具备数形结合的思想意识，会借助Venn图、数轴等工具解决集合的计算问题
4.会解一元二次不等式、一元二次方程、简单的分式不等式、简单的根号不等式，简单的指对不等式，简单的高次不等式和简单的单绝对值不等式
【命题预测】本节内容是新高考卷的必考内容，一般给两个集合，要求通过解不等式求出一个集合，然后通过集合的运算得出答案。
知识讲解
集合的概念
一般地，我们把指定的某些对象的全体称为 ，通常用大写字母A，B，C，…表示，集合中的每个对象叫做这个集合的 ，通常用小写字母a，b，c，…表示.
【答案】 集合 元素
集合与元素的关系
一个集合确定后，任何一个对象是不是这个集合的元素就确定了，如果元素a在集合中A中，就说元素a 集合A，记作 ，如果元素a在不集合中A中，就说元素a 集合A，记作 .
【答案】 属于 不属于
3．集合的分类
含有有限个元素的集合叫作 ，含有无限个元素的集合叫作 ，不含任何元素的集合叫作 ，记作 .
【答案】 有限集 无限集 空集
4．元素与集合
（1）集合中元素的特性： 、 、 .
（2）元素与集合的关系：如果a是集合A的元素，就说a 集合A，记作 ；如果a不是集合A中的元素，就说a 集合A，记作 .
（3）集合的表示方法：列举法、描述法、图示法.
（4）常用数集及其记法：
注：图表中所列举的字母符号均是集合的形式，不要加{}，这是因为{R}不是实数集，它表示一个集合，该集合中只有一个元素R.
【答案】 确定性 互异性 无序性 属于 不属于 N
5．集合间的基本关系
（1）如果集合的 都是集合中的元素，这是我们说集合包含于，或者集合 集合，记为 .
（2）如果，那么我们称集合和集合相等，记为 ．
（3）如果，且存在，则称是的真子集，记为 ．
（4）在数学中，我们常用韦恩图来表示集合，如图所示的两个集合，它们的关系是 ;可记为 .
（5）如果集合中有个不同的元素，则的所有子集的个数为 .
【答案】 任何一个元素 包含
6．集合的基本运算
【答案】 或属于 A∪B 且属于 A∩B 不属于
7．交集的性质：
①A∩B A；②A∩B B；③A∩A＝ ； ④A∩＝ ；⑤A∩B B∩A.
【答案】 =
8．并集的性质：
①A∪B A；②A∪B B；③A∪A＝ ；④A∪＝ ；⑤A∪B B∪A.
【答案】 =
9．补集的性质：
①∁U(∁UA)＝ ； ②∁UU＝ ；③∁U＝ ；
④A∩(∁UA)＝ ；⑤A∪(∁UA)＝ ；
⑥∁U(A∩B)＝(∁UA) (∁UB)；
⑦∁U(A∪B)＝(∁UA) (∁UB)．
【答案】
考点一、判断元素与集合的关系
1．（2022·全国·高考真题）设全集，集合M满足，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先写出集合,然后逐项验证即可
【详解】由题知,对比选项知，正确,错误
故选:
2．（2023·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知，若，则m的取值范围是（ ）
A．B．C．或D．或
【答案】A
【分析】将代入，然后转化为一元二次不等式求解可得.
【详解】因为，所以，等价于，
解得.
故选：A
1．（2024·全国·模拟预测）已知集合，则下列表示正确的是（ ）.
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】令分别为选项中不同值，求出的值进行判定.
【详解】当时，，所以，故A正确；
当时，，所以，故B错误；
当或时，，所以，故C错误；
当时，，所以，故D错误.
故选：A
2．（23-24高三下·江西·阶段练习）已知，若，且，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据题目条件得到不等式，求出答案.
【详解】由题意得且，解得．
故选：A
考点二、集合中元素的特性
1．（2024高三·全国·专题练习）已知集合，且，则实数为（ ）
A．2B．3C．0或3D．
【答案】B
【分析】由题意可得或，分类讨论，结合集合元素的互异性，即可求得答案.
【详解】因为且，
所以或，
①若，此时，不满足元素的互异性；
②若，解得或3，
当时不满足元素的互异性，当时，符合题意.
综上所述，.
故选：B
2．（23-24高三上·辽宁·阶段练习）已知集合，若，则（ ）
A．或3B．0C．3D．
【答案】C
【分析】由集合相等的含义得，求解并验证互异性即可.
【详解】，
，解得或，
当时，，
不满足集合中元素的互异性，舍去.
当时，，
此时，满足题意.
综上，.
故选：C.
1．（2024高三·全国·专题练习）设集合 ​, 若​, 则​的值为（ ）
A．​B．-3C．​D．​
【答案】D
【分析】根据集合的确定性，互异性，无序性，进行求解.
【详解】由集合中元素的确定性知 ​或​.
当 ​时,​或​; 当​时,​.
当 ​时,​不满足集合中元素的互异性, 故​舍去;
当 ​时,​满足集合中元素的互异性, 故​满足要求;
当 ​时,​满足集合中元素的互异性, 故​满足要求.
综上, ​或​.
故选: D.
2．（22-23高三上·重庆沙坪坝·阶段练习）若，则的值是（ ）
A．0B．1C．D．
【答案】C
【分析】根据得到或，然后解方程根据元素的互异性进行取舍即可.
【详解】因为，所以①或②，由①得或，其中与元素互异性矛盾，舍去，符合题意，由②得，符合题意，两种情况代入得.
故选：C.
考点三、集合间的基本关系
1．（2023·全国·高考真题）设集合，，若，则（ ）．
A．2B．1C．D．
【答案】B
【分析】根据包含关系分和两种情况讨论，运算求解即可.
【详解】因为，则有：
若，解得，此时，，不符合题意；
若，解得，此时，，符合题意；
综上所述：.
故选：B.
2．（2024·辽宁·三模）若全集，，，则下列关系正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】求出集合中函数的值域，得到集合，判断两个集合的包含关系.
【详解】全集，，则，
，所以.
故选：D
3．（2024·河北秦皇岛·三模）若集合，，且，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】首先解一元二次不等式求出集合，再分、两种情况讨论，确定集合，再根据集合的包含关系得到不等式，解得即可.
【详解】由，即，解得，
所以，
当时，，符合，
当时，由，解得，
所以，
因为，所以，解得.
综上可得的取值范围为.
故选：D
1．（2024·山东滨州·二模）已知集合，则A的子集个数为（ ）
A．4B．7C．8D．16
【答案】C
【分析】根据题意求集合A，结合集合的元素个数与子集个数之间的关系分析求解.
【详解】由题意可得：，
可知A有3个元素，所以A的子集个数为.
故选：C.
2．（2024·浙江·二模）已知集合，，若，则满足集合的个数为（ ）
A．4B．6C．7D．8
【答案】D
【分析】根据包含关系，写出所有满足条件的集合A即可得解.
【详解】因为，
所以可以是，共8个，
故选：D
3．（2024·湖北·三模）已知，，若，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据一元二次不等式求出集合A，进而根据集合的包含关系即可求解.
【详解】解：因为，且，
若，则
故选：D.
考点四、集合的基本运算
1．（2024·全国·高考真题）已知集合，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】化简集合，由交集的概念即可得解.
【详解】因为，且注意到，
从而.
故选：A.
2．（2024·全国·高考真题）集合，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由集合的定义求出，结合交集与补集运算即可求解.
【详解】因为，所以，
则，
故选：D
3．（2023·全国·高考真题）设全集，集合，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由题意可得的值，然后计算即可.
【详解】由题意可得，则.
故选：A.
1．（2023·全国·高考真题）设集合，集合，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】由题意逐一考查所给的选项运算结果是否为即可.
【详解】由题意可得，则，选项A正确；
，则，选项B错误；
，则或，选项C错误；
或，则或，选项D错误；
故选：A.
2．（2024·湖南长沙·二模）已知集合，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】解对数不等式化简集合A，求出指数函数值域化简集合B，再利用交集的定义求解即得.
【详解】由，得，则，
当时，，则，所以.
故选：A
3．（2024·河北衡水·模拟预测）已知集合，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】先分别求集合，进而利用集合的交集与补集运算即可求解.
【详解】；
由，得，解得，
所以；
；
，
于是.
故选：C.
考点五、集合新定义
1．（2024·河南·三模）定义集合运算：，若集合，，则集合中所有元素之和为 ．
【答案】4
【分析】根据新定义求出集合中的所有元素，即可得解.
【详解】，，
当，时，；
当，时，；
当，时，.
所以，所以集合中所有元素之和为.
故答案为：4
2．（浙江·高考真题）设集合S，T，SN*，TN*，S，T中至少有两个元素，且S，T满足：
①对于任意x，yS，若x≠y，都有xyT
②对于任意x，yT，若x下列命题正确的是（ ）
A．若S有4个元素，则S∪T有7个元素
B．若S有4个元素，则S∪T有6个元素
C．若S有3个元素，则S∪T有5个元素
D．若S有3个元素，则S∪T有4个元素
【答案】A
【分析】分别给出具体的集合S和集合T，利用排除法排除错误选项，然后证明剩余选项的正确性即可.
【详解】首先利用排除法：
若取，则，此时，包含4个元素，排除选项 C；
若取，则，此时，包含5个元素，排除选项D；
若取，则，此时，包含7个元素，排除选项B；
下面来说明选项A的正确性：
设集合，且，，
则，且，则，
同理，，，，，
若，则，则，故即，
又，故，所以，
故，此时，故，矛盾，舍.
若，则，故即，
又，故，所以，
故，此时.
若， 则，故，故，
即，故，
此时即中有7个元素.
故A正确.
故选：A.
【点睛】“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.
1．（2024·山东威海·二模）在研究集合时，用来表示有限集合A中元素的个数．集合，，若，则实数m的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据题意，确定，从而求出的值.
【详解】由题：
所以，
故选：A.
2．（2024·湖南怀化·二模）给定整数，有个实数元素的集合，定义其相伴数集，如果，则称集合为一个元规范数集．（注：表示数集中的最小数）．对于集合，则（ ）
A．是规范数集，不是规范数集B．是规范数集，是规范数集
C．不是规范数集，是规范数集D．不是规范数集，不是规范数集
【答案】C
【分析】利用规范数集的定义，逐项判断即可得解.
【详解】集合中，，则，
即的相伴数集中的最小数不是1，因此不是规范数集；
集合，，
，
即的相伴数集中的最小数是1，因此是规范数集.
故选：C
考点六、集合多选题
1．（2024·吉林长春·模拟预测）若集合，则一定有（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AC
【分析】根据以及，可得、、可得，结合选项即可求解.
【详解】因为，，
所以，所以，，
因为，，
所以，所以，所以，
故选项A、C正确，B、D错误.
故选：AC.
2．（2024·全国·模拟预测）设集合，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BCD
【分析】先分别求出集合，，计算和，再逐项判断即可.
【详解】对集合，由，得，解得，即；
对集合，由，得，解得，，即．
所以或，A错误，B正确，
或，C，D正确．
故选：BCD
1．（2024·河南新乡·二模）已知集合则（ ）
A．B．C．D．
【答案】BCD
【分析】先求解不等式得集合，利用集合的交集、并集、补集定义运算和集合间的包含关系即可一一判断正误.
【详解】由可得或，即或.
对于A项，或，故A项错误；
对于B项，或,故B项正确；
对于C项，因或，故，故C项正确；
对于D项，，故D项正确.
故选：BCD.
2．（2024·江西·模拟预测）设集合，，若，则的值可以为（ ）
A．1B．0C．D．
【答案】ABD
【分析】由，可得，再分和两种情况讨论即可.
【详解】，
因为，所以，
当时，，
当时，，
则或，所以或，
综上所述，或或.
故选：ABD.
3．（2024·湖北·模拟预测）设为全集，集合满足条件，那么下列各式中不一定成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABC
【分析】结合举例及集合的运算和集合的关系求解即可.
【详解】当，，，时，满足，
此时，不是的子集，所以A、B不一定成立；
，，所以C不一定成立；
对于D，若，则，但，因为，
所以，于是，所以，
同理若，则，，
因此，成立，所以D成立.
故选：ABC.
一、单选题
1．（2024·广东广州·三模）已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用集合的混合运算，逐一分析判断各选项即可得解.
【详解】由题得：，，，
或，或，
所以，故A错误；
或，故B错误；
或，故C错误；
，故D正确；
故选：D.
2．（2024·湖南·模拟预测）设全集，集合，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】求出集合，再求与交集即可.
【详解】∵，
∴，由，
所以.
故选：B
3．（2024·陕西西安·模拟预测）已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据并集含义即可得到答案.
【详解】.
故选：B.
4．（2024·广东广州·模拟预测）设集合，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据对数、指数函数的单调性解不等式求出集合M、N，结合并集的概念与运算即可求解.
【详解】因为，，
所以.
故选：D
5．（2024·河北沧州·模拟预测）已知集合，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】解一元二次不等式，求集合，进而求得.
【详解】集合或，所以.
故选：.
6．（2024·湖南常德·一模）已知集合，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据一元二次不等式化简集合，即可由集合的交运算即可求解.
【详解】由得，
所以，
故选：C
7．（2024·天津·三模）设全集，集合，，则=（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用补集、并集的定义直接求解即得.
【详解】依题意，全集，则，，
得，所以.
故选：B
二、填空题
8．（2024·湖南长沙·三模）已知集合，，若，则 ．
【答案】2
【分析】由得，令、、求出集合B，即可求解.
【详解】由，得.
当时，，不满足元素的互异性，舍去；
当时，，满足，符合题意；
当时，，不满足，舍去.
综上，.
故答案为：2
9．（2024·河北沧州·二模）已知集合，若，则的取值范围为 .
【答案】
【分析】求出集合，根据集合，即可求出.
【详解】由题意知，又且，故，即的取值范围为.
故答案为：.
10．（2024·全国·模拟预测）设集合，．若，则 ．
【答案】2
【分析】先根据题目条件以及集合中元素的互异性证明，再验证满足条件即可.
【详解】由于，而，故.
所以是整数，且，再由集合中元素的互异性知，.
从而是整数，且，，，得.
当时，，，故，满足条件.
故答案为：.
一、单选题
1．（2024·安徽·三模）已知集合，则的子集的个数为（ ）
A．16B．8C．4D．2
【答案】B
【分析】利用交集定义与子集个数与元素个数的关系计算即可得.
【详解】由，可得，
则的子集的个数为.
故选：B.
2．（2024·广东广州·二模）已知集合，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】求出中不等式的解集，找出解集中的整数解，确定出即可得出答案．
【详解】由解得，或，即，
，
.
故选：B．
3．（2024·湖南·二模）已知集合，则集合（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用不等式性质、交集、并集、补集定义求解．
【详解】由题意，，所以.
故选：D.
4．（2024·河南·三模）若集合，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】由集合中含有元素可以排除AD两个选项，由中含无理数元素排除C选项，由时，得，判断出选项B正确.
【详解】依题意可得，所以A、D均错误；
因为，所以中含无理数元素，故C错误；
集合中，当时，，所以,所以，所以B正确；
故选：B.
5．（2024·湖北鄂州·一模）已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据题意，将集合化简，然后结合交集的运算即可得到结果.
【详解】，
而，故，
故选：B．
6．（2024·黑龙江·模拟预测）设集合，，，则图中阴影部分表示的集合为（ ）．
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】解不等式得到，利用补集和交集概念求出答案.
【详解】因为等价于，解得，
所以，所以或，
则由韦恩图可知阴影部分表示．
故选：B．
7．（2024·河北保定·二模）已知集合，，若中有2个元素，则a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据即可求解.
【详解】，
因为中只有2个元素，则，所以.
故选：B
8．（2024·湖北荆州·三模）已知集合，，其中是实数集，集合，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】解出一元二次不等式后，结合补集定义与交集定义计算即可得.
【详解】由可得或，则，
又，故.
故选：B.
二、填空题
9．（2024·江苏南京·二模）已知集合，，则集合的元素个数为 ．
【答案】2
【分析】利用列举法求解集合，即可求解.
【详解】当时，，2，4，分别为,均不能满足，
当时，时可满足，
时，，时，均不满足，
当时，可满足，时，，时，均不满足，
所以，故集合的元素有2个，
故答案为：2
10．（2024·湖南邵阳·三模）， ，则 .
【答案】
【分析】根据对数不等式求集合A，根据分式不等式求集合B，进而可得.
【详解】若，则，解得，
所以；
若，则，解得，
所以；
所以.
故答案为：.
一、单选题
1．（2024·全国·高考真题）集合，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据集合的定义先算出具体含有的元素，然后根据交集的定义计算.
【详解】依题意得，对于集合中的元素，满足，
则可能的取值为，即，
于是.
故选：A
2．（2024·北京·高考真题）已知集合，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】直接根据并集含义即可得到答案.
【详解】由题意得，
故选：A.
3．（2024·天津·高考真题）集合，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据集合交集的概念直接求解即可.
【详解】因为集合，，
所以，
故选：B
4．（2023·全国·高考真题）设全集,集合，（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据整数集的分类，以及补集的运算即可解出．
【详解】因为整数集，，所以，．
故选：A．
5．（2023·天津·高考真题）已知集合，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】对集合B求补集，应用集合的并运算求结果；
【详解】由，而，
所以.
故选：A
6．（2023·北京·高考真题）已知集合，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】先化简集合，然后根据交集的定义计算.
【详解】由题意，，，
根据交集的运算可知，.
故选：A
7．（2023·全国·高考真题）设全集，集合，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用集合的交并补运算即可得解.
【详解】因为全集，集合，所以，
又，所以，
故选：A.
8．（2023·全国·高考真题）已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】方法一：由一元二次不等式的解法求出集合，即可根据交集的运算解出．
方法二：将集合中的元素逐个代入不等式验证，即可解出．
【详解】方法一：因为，而，
所以．
故选：C．
方法二：因为，将代入不等式，只有使不等式成立，所以．
故选：C．
9．（2023·全国·高考真题）设集合，，若，则（ ）．
A．2B．1C．D．
【答案】B
【分析】根据包含关系分和两种情况讨论，运算求解即可.
【详解】因为，则有：
若，解得，此时，，不符合题意；
若，解得，此时，，符合题意；
综上所述：.
故选：B.
10．（2022·全国·高考真题）已知集合，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】方法一：求出集合后可求.
【详解】[方法一]：直接法
因为，故，故选：B.
[方法二]：【最优解】代入排除法
代入集合，可得，不满足，排除A、D；
代入集合，可得，不满足，排除C.
故选：B.
【整体点评】方法一：直接解不等式，利用交集运算求出，是通性通法；
方法二：根据选择题特征，利用特殊值代入验证，是该题的最优解．
11．（2022·全国·高考真题）集合，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据集合的交集运算即可解出．
【详解】因为，，所以．
故选：A.
12．（2022·全国·高考真题）设集合，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据集合的交集运算即可解出．
【详解】因为，，所以．
故选：A.
13．（2022·全国·高考真题）设全集，集合，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】解方程求出集合B,再由集合的运算即可得解.
【详解】由题意，，所以,
所以.
故选：D.
14．（2022·全国·高考真题）若集合，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】求出集合后可求.
【详解】，故，
故选：D5年考情
考题示例
考点分析
关联考点
2024年新I卷，第1题,5分
集合的交集
一元三次不等式的解法及范围估算
2023年新I卷，第1题,5分
集合的交集
一元二次不等式的解法
2023年新Ⅱ卷，第2题,5分
元素的性质、集合的子集
无
2022年新I卷，第1题,5分
集合的交集
根号不等式的解法
2022年新Ⅱ卷，第1题,5分
集合的交集
单绝对值不等式的解法
2021年新I卷，第1题,5分
集合的交集
无
2021年新Ⅱ卷，第2题,5分
集合的交集、补集
无
2020年新I卷，第1题,5分
集合的并集
无
2020年新Ⅱ卷，第1题,5分
集合的交集
无
数集
非负整数集（或自然数集）
正整
数集
整数集
有理
数集
实数
集
复数
集
符号

N*或（N＋）
Z
Q
R
C
文字语言
符号语言
图形语言
记法
并
集
由所有属于集合A 集合B的元素组成的集合
{x|x∈A，或
x∈B}

交
集
由所有属于集合A 集合B的元素组成的集合
{x|x∈A，且
x∈B}

补
集
由全集U中 集合A的所有元素组成的集合
{x|x∈U，且
x∉A}