第10讲 卡根思想在导数中的应用（高阶拓展、竞赛适用）（1类核心考点精讲精练）-备战2025年高考数学一轮复习考点帮（新高考通用）

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（核心考点精讲精练）
1. 5年真题考点分布
2. 命题规律及备考策略
【命题规律】本节内容是新高考卷的载体内容，设题稳定，难度较大，分值为15-17分
【备考策略】1能用导数解决函数基本问题
2能用卡根思想结合零点存在性定理综合解题
【命题预测】在零点个数及方程的根等综合问题研究中，参变分离和数形结合都是解题的方法，但也都有局限性，同时对函数图像画法要求较高；包括在零点个数研究中还有放缩方法，但是放缩的不等式变化较多，这样对学生又提出了比较严苛能力要求。此时卡根法是此类题型的另一方法。同时卡根法也常应用于导数研究函数性质的过程中，其本质是虚设零点（设而不求），利用零点满足的关系式化简，从而得到范围或符号。高考中常用的解题方法，需要学生复习中综合掌握
知识讲解
“卡根”问题的一般方法，其具体步骤如下
根据函数的增长速度判断函数值变化的趋势，以便确定是否存在零点;
根据函数表达式的特点进行拆分，一般拆分成和或乘积形式;
根据函数的增长速度，将指、对数函数放缩成幂函数及其和的形式;
根据相关不等式的解集，利用零点存在定理来确定零点存在的区间
零点存在性定理：
如果函数在区间上的图像是连续不断的一条曲线，并且有，那么函数在区间内必有零点，即，使得
注：零点存在性定理使用的前提是在区间连续，如果是分段的，那么零点不一定存在
考点一、卡根思想在导数中的综合应用
1．（2023·全国·高考真题）已知函数
(1)当时，讨论的单调性；
(2)若恒成立，求a的取值范围．
2．（2023·全国·高考真题）已知函数.
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)是否存在a，b，使得曲线关于直线对称，若存在，求a，b的值，若不存在，说明理由.
(3)若在存在极值，求a的取值范围.
3．（2022·全国·高考真题）已知函数
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)若在区间各恰有一个零点，求a的取值范围．
4．（2022·全国·高考真题）已知函数和有相同的最小值．
(1)求a；
(2)证明：存在直线，其与两条曲线和共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列．
1．已知函数，．
（1）求函数的单调区间；
（2）令，若在恒成立，求整数a的最大值．
参考数据：，
2．已知函数，．
（1）求函数的单调区间；
（2）若关于的不等式恒成立，求整数的最小值．
3．已知函数，．
(1)函数的图象与的图象无公共点，求实数a的取值范围；
(2)是否存在实数m，使得对任意的，都有函数的图象在的图象的下方？若存在，求出整数m的最大值；若不存在，请说明理由．
1．（2024·福建福州·三模）已知函数．
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)若恒成立，求的值
2．（2024·山东日照·三模）已知函数，，.
(1)讨论函数的单调性；
(2)当时，对，，求正整数的最大值.
3．（2022·全国·模拟预测）已知函数，其中e为自然对数的底数，．
(1)讨论函数的单调性；
(2)当a＝0时，若存在使得关于x的不等式成立，求k的最小整数值．（参考数据：）
4．（2023·江西上饶·一模）已知，．
(1)讨论的单调性；
(2)若，，试讨论在内的零点个数．（参考数据：）
5．（2024·浙江绍兴·二模）已知函数.
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)当时，，求实数的取值范围.
6．（2024·河南信阳·模拟预测）已知函数，．
(1)试比较与的大小；
(2)若恒成立，求的取值范围．
7．（2024·安徽安庆·三模）已知函数在点处的切线平行于直线．
(1)若对任意的恒成立，求实数的取值范围；
(2)若是函数的极值点，求证：．
8．（2024·四川绵阳·模拟预测）已知函数.
(1)讨论的零点个数；
(2)若关于的不等式在上恒成立，求的取值范围.
9．（2022·河北唐山·二模）已知函数，，曲线和在原点处有相同的切线l．
(1)求b的值以及l的方程；
(2)判断函数在上零点的个数，并说明理由．
10．（2023·海南海口·二模）已知.
(1)若在处取到极值，求的值；
(2)直接写出零点的个数，结论不要求证明；
(3)当时，设函数，证明：函数存在唯一的极小值点且极小值大于.
11．（2021·四川南充·模拟预测）已知函数，，，令．
（1）当时，求函数的单调区间及极值；
（2）若关于的不等式恒成立，求整数的最小值．
12．（2024·四川遂宁·模拟预测）已知函数，其中.
(1)当时，，求a的取值范围.
(2)若，证明：有三个零点，，（），且，，成等比数列.
1．（2021·全国·高考真题）已知且，函数．
（1）当时，求的单调区间；
（2）若曲线与直线有且仅有两个交点，求a的取值范围．
2．（2020·全国·高考真题）设函数，曲线在点(，f())处的切线与y轴垂直．
（1）求b．
（2）若有一个绝对值不大于1的零点，证明：所有零点的绝对值都不大于1．
3．（2017·全国·高考真题）已知函数且.
（1）求a；
（2）证明：存在唯一的极大值点，且.5年考情
考题示例
考点分析
关联考点
2023年全国甲卷理数，第21题,12分
卡根思想在导数中的应用.
求在曲线上一点处的切线方程
用导数判断或证明已知函数的单调性
根据极值求参数
由函数对称性求函数值或参数
2023年全国乙卷理数，第21题,12分
卡根思想在导数中的应用
利用导数求函数的单调区间 (不含参)
利用导数研究不等式恒成立问题
2022年新I卷，第22题,12分
卡根思想在导数中的应用
利用导数研究方程的根
由导数求函数的最值 (含参)
2022年全国乙卷理数，第21题,12分
卡根思想在导数中的应用
求在曲线上一点处的切线方程 (斜率
利用导数研究函数的零点
2021年全国甲卷理数，第21题,12分
卡根思想在导数中的应用
利用导数求函数的单调区间 (不含参)
利用导数研究方程的根