第06讲 权方和不等式（2类核心考点精讲精练）-备战2025年高考数学一轮复习考点帮（新高考通用）

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本节内容为基本不等式的高阶拓展，熟练掌握后能快速解决基本不等式中的最值问题，常在高考及竞赛中做到类型题的秒解！
知识讲解
一、柯西不等式
1.二维形式的柯西不等式
a2+b2c2+d2≥ac+bd2(a,b,c,d∈R, 当且仅当 ad=bc 时，等号成立.)
2.二维形式的柯西不等式的变式
(1) a2+b2⋅c2+d2≥ac+bd(a,b,c,d∈R, 当且仅当 ad=bc 时，等号成立.)
(2) a2+b2⋅c2+d2≥ac+bd(a,b,c,d∈R, 当且仅当 ad=bc 时，等号成立.)
(3) a+bc+d≥ac+bd2(a,b,c,d≥0, 当且仅当 ad=bc 时，等号成立.)
3.扩展： a12+a22+a32+⋯+an2b12+b22+b32+⋯+bn2≥a1b1+a2b2+a3b3+⋯+anbn2
权方和不等式:
若 则 当且仅当 时取等.
(注：熟练掌握这个足以应付高考中的这类型最值问题可以实现对一些问题的秒杀)
广义上更为一般的权方和不等式:
设 ,
若 或 , 则 ;
若 , 则 ;
上述两个不等式中的等号当且仅当 时取等
注意观察这个不等式的结构特征, 分子分母均为正数, 且始终要求分子的次数比分母的次数多 1, 出现定值是解题的关键, 特别的, 高考题中以 最为常见, 此时这个不等式是大家熟悉的柯西不等式.
考点一、权方和不等式全解析
例1：若正数，满足，则的最小值为______________
例2：若，，，则的最小值为______________
例3：已知正数满足，则的最小值为
例4：若，，，则的最小值为______________
例5：若，，则的最小值为______________
例6：已知正数，，满足，则的最小值为______________
例7：已知正数，，满足，则的最小值为______________
例8：已知正数，满足，则的最小值为______________
例9：求的最小值为______________
例10：求的最小值为______________
例11：权方和不等式”是由湖南理工大学杨克昌教授于上世纪80年代初命名的．其具体内容为：设，则，当且仅当时，等号成立．根据权方和不等式，若，当取得最小值时，的值为（ ）
A．B．C．D．
例12：已知正数，满足，则的最小值为______________
例13：已知，求的最小值为______________
例14：已知，，，求的最大值为______________
例15：求的最大值为______________
例16：已知正数，，满足，求的最大值为___________
考点二、柯西不等式全解析
例1：用柯西不等式求函数的最大值为
A．B．3C．4D．5
例2：由柯西不等式，当时，求的最大值为（ ）
A．10B．4C．2D．
例3：已知，若恒成立，利用柯西不等式可求得实数的取值范围是 ．
例4：已知，求的最小值.（利用柯西不等式）
例5：已知正实数，，，满足，则的最小值是 ．
例6：已知非负实数a、b、c、d满足，求证：
一、单选题
1．（2024·山西临汾·三模）若，则的最小值是（ ）
A．1B．4C．D．
2．（2024·江苏扬州·模拟预测）已知，，且，则的最小值为（ ）
A．4B．C．6D．
3．（2024·江苏南通·二模）设，，，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．3
4．（2024·四川成都·模拟预测）若是正实数，且，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
5．（2024·河南·模拟预测）已知点在以原点为圆心，半径的圆上，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．1
6．（2024·全国·模拟预测）设正实数a，b满足，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
7．（2021·浙江·模拟预测）已知，，且，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
8．（高三上·浙江宁波·期中）设a，b为正实数，且，则的最大值和最小值之和为（ ）
A．2B．C．D．9
9．（2024·辽宁·一模）已知，则 的最小值为（ ）
A．B．C．D．
10．（23-24高一上·甘肃兰州·期末）对任意实数，不等式恒成立，则实数的最大值（ ）
A．2B．4C．D．
二、填空题
11．（2024·宁夏石嘴山·模拟预测）已知，，则的最小值为 .
12．（2024·内蒙古呼和浩特·一模）已知实数，且，则的最小值是 ．
13．（2024·河南·三模）在中，角的对边分别为，若，则的最小值为 ．
14．（2024·广西河池·模拟预测）若实数，且，则的最小值为 .
15．（2024·全国·模拟预测）已知，，且，则的最小值是 ．
16．（2024·全国·模拟预测）已知，，则的最小值为 ．
17．（21-22高三上·天津南开·期中）已知正实数a，b满足，则的最小值为 .
18．（2024·江西·一模）已知正数x，y满足，若不等式恒成立，则实数a的取值范围是 ．
19．（22-23高三上·山东·阶段练习）已知正实数，满足，则的最小值为 .
20．（23-24高三上·上海黄浦·开学考试）已知，则的最小值为 .
21．（2024·江西宜春·三模）已知，，且满足，则的最大值为 ．
22．（22-23高一上·福建福州·期中）若三个正数满足，则的最小值为 .
23．（2024·上海嘉定·二模）已知，，则函数的最小值为 ．
24．（2024·河南信阳·模拟预测）已知正数满足，则的最小值为 .