第09讲 利用导数研究函数的零点问题及方程的根（6类核心考点精讲精练）-备战2025年高考数学一轮复习考点帮（新高考通用）

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1. 5年真题考点分布
2. 命题规律及备考策略
【命题规律】本节内容是新高考卷的必考内容，设题稳定，难度较大，分值为15-17分
【备考策略】1能用导数证明函数的单调性
2能结合零点的定义及零点存在性定理解决零点问题
3能结合方程的根的定义用导数解决方程的根的问题
【命题预测】导数的综合应用是高考考查的重点内容,也是高考压轴题之一近几年高考命题的趋势，是稳中求变、变中求新、新中求活，纵观近几年的高考题,导数的综合应用题考查多个核心素养以及综合应用能力,有一定的难度,一般放在解答题的最后位置，对数学抽象、数学运算、逻辑推理等多个数学学科的核心素养都有较深入的考查，需综合复习
知识讲解
利用导数研究函数零点的方法
(1)通过最值(极值)判断零点个数的方法
借助导数研究函数的单调性、极值后，通过极值的正负，函数单调性判断函数图象走势，从而判断零点个数或者通过零点个数求参数范围.
(2)数形结合法求解零点
对于方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性，画出草图数形结合确定其中参数的范围.
(3)构造函数法研究函数零点
①根据条件构造某个函数，利用导数确定函数的单调区间及极值点，根据函数零点的个数寻找函数在给定区间的极值以及区间端点的函数值与0的关系，从而求解.
②解决此类问题的关键是将函数零点、方程的根、曲线交点相互转化，突出导数的工具作用，体现转化与化归的思想方法．
利用导数研究函数方程的根的方法
(1)通过最值(极值)判断零点个数（方程的根）的方法
借助导数研究函数的单调性、极值后，通过极值的正负，函数单调性判断函数图象走势，从而判断零点个数（方程的根）或者通过零点个数（方程的根）求参数范围.
(2)数形结合法求解零点（方程的根）
对于方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性，画出草图数形结合确定其中参数的范围.
(3)构造函数法研究函数零点（方程的根）
①根据条件构造某个函数，利用导数确定函数的单调区间及极值点，根据函数零点的个数（方程的根）寻找函数在给定区间的极值以及区间端点的函数值与0的关系，从而求解.
②解决此类问题的关键是将函数零点、方程的根、曲线交点相互转化，突出导数的工具作用，体现转化与化归的思想方法．
考点一、求函数零点及其个数
1．（2024·湖北武汉·模拟预测）已知函数.
(1)当时，求的最大值；
(2)讨论函数在区间上零点的个数.
2．（2024·湖南长沙·三模）已知函数.
(1)求的最小值；
(2)设函数，讨论零点的个数.
3．（2024·河北保定·二模）已知函数.
(1)若，求曲线在点处的切线方程；
(2)若，试讨论的零点个数.
1．（2024·山东·模拟预测）已知函数．
(1)求曲线在点处的切线在轴上的截距；
(2)探究的零点个数．
2．（2024·浙江·模拟预测）已知函数.
(1)当时，求的单调区间；
(2)当时，判断的零点个数.
3．（2024·河南·模拟预测）已知函数．
(1)求的极大值；
(2)若，求在区间上的零点个数．
考点二、由函数零点及个数求参数值
1．（2022·全国·高考真题）已知函数．
(1)当时，求的最大值；
(2)若恰有一个零点，求a的取值范围．
2．（2022·全国·高考真题）已知函数
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)若在区间各恰有一个零点，求a的取值范围．
3．（2024·湖南邵阳·三模）已知函数．
(1)求函数的单调递增区间；
(2)若函数有且仅有三个零点，求的取值范围．
4．（2024·广东茂名·一模）设函数，.
(1)当时，在上恒成立，求实数的取值范围；
(2)若在上存在零点，求实数的取值范围.
1．（2024·广东汕头·三模）已知函数.
(1)若曲线在处的切线与轴垂直，求的极值.
(2)若在只有一个零点，求.
2．（2024·福建泉州·模拟预测）已知函数.
(1)若是函数的极值点，求的值，并求其单调区间；
(2)若函数在上仅有2个零点，求的取值范围．
3．（2024·全国·模拟预测）已知函数的单调递增区间为．
(1)求函数的图象在点处的切线方程；
(2)若函数有两个零点，求实数的取值范围．
4．（2024·安徽·三模）已知函数．
(1)求证：至多只有一个零点；
(2)当时，分别为的极大值点和极小值点，若成立，求实数k的取值范围．
考点三、求方程根的个数
1．（2024·浙江温州·一模）已知（）.
(1)求导函数的最值；
(2)试讨论关于的方程（）的根的个数，并说明理由.
1．（2024·山西·模拟预测）已知函数，且与轴相切于坐标原点．
(1)求实数的值及的最大值；
(2)证明：当时，；
(3)判断关于的方程实数根的个数，并证明．
2．（2024·河南信阳·一模）已知函数．
(1)若，求证：；
(2)讨论关于x的方程在上的根的情况．
考点四、由方程根的个数求参数范围
1．（2024·贵州贵阳·二模）已知函数.
(1)当时.求在处的切线方程;
(2)若方程存两个不等的实数根，求的取值范围.
2．（2024·山东烟台·三模）已知函数.
(1)讨论函数的单调性；
(2)当时，若方程有三个不等的实根，求实数的取值范围.
1．（2023·广东梅州·三模）已知函数，，为函数的导函数.
(1)讨论函数的单调性；
(2)若方程在上有实根，求的取值范围.
2．（2024·全国·模拟预测）已知函数的图象在点处的切线方程为．
(1)求的值；
(2)若有两个不同的实数根，求实数的取值范围．
考点五、图象交点问题
1．（2021·全国·高考真题）已知且，函数．
（1）当时，求的单调区间；
（2）若曲线与直线有且仅有两个交点，求a的取值范围．
2．（2022·全国·高考真题）已知函数和有相同的最小值．
(1)求a；
(2)证明：存在直线，其与两条曲线和共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列．
1．（2024·江苏·模拟预测）已知函数在处的切线经过原点.
(1)判断函数的单调性；
(2)求证：函数的图象与直线有且只有一个交点.
2．（2024·陕西西安·二模）设函数.
(1)当时，讨论的单调性；
(2)若时，函数的图像与的图像仅只有一个公共点，求的取值范围.
3．（2024·云南昆明·模拟预测）已知函数.
(1)当时，求的单调区间；
(2)证明：若曲线与直线有且仅有两个交点，求的取值范围.
考点六、零点、方程的根、图象交点小题综合
1．（2023·全国·高考真题）函数存在3个零点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
2．（2024·全国·高考真题）（多选）设函数，则（ ）
A．当时，有三个零点
B．当时，是的极大值点
C．存在a，b，使得为曲线的对称轴
D．存在a，使得点为曲线的对称中心
3．（2022·全国·高考真题）（多选）已知函数，则（ ）
A．有两个极值点B．有三个零点
C．点是曲线的对称中心D．直线是曲线的切线
4．（2021·北京·高考真题）已知函数，给出下列四个结论：
①若，恰 有2个零点；
②存在负数，使得恰有1个零点；
③存在负数，使得恰有3个零点；
④存在正数，使得恰有3个零点．
其中所有正确结论的序号是 ．
1．（2024·四川绵阳·模拟预测）函数恰好有一零点，且，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
2．（2024·陕西铜川·模拟预测）已知，若函数有4个零点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
3．（2024·全国·模拟预测）（多选）已知函数，，则（ ）
A．若有极值点，则
B．当时，有一个零点
C．
D．当时，曲线上斜率为2的切线是直线
4．（2024·安徽·模拟预测）若关于的方程有解，则实数m的最大值为 .
5．（2024·天津北辰·三模）若函数有四个零点，则实数的取值范围为 .
一、单选题
1．（2023·陕西西安·模拟预测）方程有两个不等的实数解，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
2．（2024·四川凉山·二模）若，，则函数的零点个数为（ ）
A．0B．1C．2D．3
二、多选题
3．（2024·四川成都·模拟预测）已知函数，则（ ）
A．有两个极值点
B．有一个零点
C．点是曲线的对称中心
D．直线是曲线的切线
4．（2024·辽宁·模拟预测）已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．的极值点为
B．的极值点为1
C．直线是曲线的一条切线
D．有两个零点
三、填空题
5．（2024·全国·模拟预测）方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围为 ．
6．（2024·山西·三模）已知函数，若函数恰有一个零点，则的取值范围是 .
7．（23-24高三上·四川内江·期末）已知函数，若函数的图象与曲线有三个交点，则的取值范围是 .
四、解答题
8．（2023·广西河池·模拟预测）已知函数
(1)当时，求函数在处的切线方程；
(2)若函数与直线在上有两个不同的交点，求实数的取值范围．
9．（23-24高三上·北京大兴·阶段练习）已知，
(1)求的极值；
(2)若函数存在两个零点，求的取值范围.
10．（2024·湖南邵阳·三模）已知函数．
(1)求函数的单调递增区间；
(2)若函数有且仅有三个零点，求的取值范围．
一、单选题
1．（2024·全国·模拟预测）已知过点的直线与函数的图象有三个交点，则该直线的斜率的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
2．（2024·贵州贵阳·一模）已知函数，若方程存在三个不相等的实根，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
3．（2024·重庆·模拟预测）若函数的图象与函数的图象有三个不同的公共点，则实数的取值范围为 ．
4．（2024·湖北黄冈·二模）已知函数与函数的图象有且仅有两个不同的交点，则实数的取值范围为 .
5．（2024·福建泉州·一模）已知函数有且只有两个零点，则a的范围 ．
三、解答题
6．（2024·广东深圳·模拟预测）已知在时取得极大值．
(1)讨论在上的单调性；
(2)令，试判断在上零点的个数．
7．（2024·全国·模拟预测）已知函数，，.
(1)若的最小值为0，求的值；
(2)当时，证明：方程在上有解.
8．（2024·广东梅州·二模）已知函数，，（）．
(1)证明：当时，；
(2)讨论函数在上的零点个数．
1．2．3．4．9．（2024·广西南宁·二模）已知函数
(1)若在定义域内单调递增，求的取值范围，
(2)若函数恰有两个零点，求的取值范围，
10．（2024·广西贺州·一模）已知函数．
(1)若，讨论的单调性；
(2)若关于x的方程有且只有一个解，求a的取值范围．
1．（2022·浙江·高考真题）设函数．
(1)求的单调区间；
(2)已知，曲线上不同的三点处的切线都经过点．证明：
（ⅰ）若，则；
（ⅱ）若，则．
（注：是自然对数的底数）
2．（2021·全国·高考真题）已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）从下面两个条件中选一个，证明：只有一个零点
①；
②．
3．（2021·浙江·高考真题）设a，b为实数，且，函数
（1）求函数的单调区间；
（2）若对任意，函数有两个不同的零点，求a的取值范围；
（3）当时，证明：对任意，函数有两个不同的零点，满足.
(注：是自然对数的底数)
4．（2020·全国·高考真题）设函数，曲线在点(，f())处的切线与y轴垂直．
（1）求b．
（2）若有一个绝对值不大于1的零点，证明：所有零点的绝对值都不大于1．
5．（2020·全国·高考真题）已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）若有三个零点，求的取值范围．
6．（2020·全国·高考真题）已知函数.
（1）当时，讨论的单调性；
（2）若有两个零点，求的取值范围.
7．（2019·全国·高考真题）已知函数.证明：
（1）存在唯一的极值点；
（2）有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数.
8．（2019·全国·高考真题）已知函数f（x）=2sinx－xcsx－x，f′（x）为f（x）的导数．
（1）证明：f′（x）在区间（0，π）存在唯一零点；
（2）若x∈[0，π]时，f（x）≥ax，求a的取值范围．
9．（2019·全国·高考真题）已知函数，为的导数．证明：
（1）在区间存在唯一极大值点；
（2）有且仅有2个零点．
10．（2018·江苏·高考真题）若函数在内有且只有一个零点，则在上的最大值与最小值的和为 ．
5年考情
考题示例
考点分析
关联考点
2024年新Ⅱ卷，第11题,6分
利用导数研究函数的零点
利用导数研究具体函数单调性
函数对称性的应用
极值与最值的综合应用
判断零点所在的区间
2023年新Ⅱ卷，第22题,12分
利用导数研究函数的零点
利用导数求函数的单调区间 (不含参)
利用导数研究不等式恒成立问题
根据极值点求参数
2022年新I卷，第10题,5分
利用导数研究函数的零点
求在曲线上一点处的切线方程 (斜率）
求已知函数的极值点
2022年新I卷，第22题,12分
利用导数研究方程的根
由导数求函数的最值 (含参)
2021年新Ⅱ卷，第21题,12分
利用导数研究方程的根
求离散型随机查量的均值
均值的实际应用
2021年新Ⅱ卷，第22题,12分
利用导数研究函数的零点
含参分类讨论求函数的单调区间