第14讲 导数中的隐零点问题（3类核心考点精讲精练）-备战2025年高考数学一轮复习考点帮（新高考通用）

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（3类核心考点精讲精练）
1. 5年真题考点分布
2. 命题规律及备考策略
【命题规律】本节内容是新高考卷的载体内容，设题稳定，难度较大，分值为15-17分
【备考策略】1能用导数求解函数基本问题
2掌握函数零点存在性定理及其应用
3能设而不求进行隐零点的相关替换求值或范围
【命题预测】零点问题是高考的热点问题，隐零点的代换与估计问题是函数零点中常见的问题之一, 其源于含指对函数的方程无精确解, 这样 我们只能得到存在性之后去估计大致的范围，高考中曾多次考查隐零点代换与估计, 所以本节我们做一个专门的分析与讨论，方便学生高考综合复习
知识讲解
在求解导数问题时，我们一般对函数的零点设而不求，通过一种整体代换和过渡，再结合题目条件最终解决问题，我们称这类问题为“隐零点问题”．
解题步骤
第 1 步: 用零点存在性定理判定导函数零点的存在性, 列出零点方程 , 并结合 的单调性得到零点的范围;
第 2 步: 以零点为分界点, 说明导函数 的正负, 进而得到 的最值表达式;
第 3 步: 将零点方程 适当变形, 整体代入 最值式子进行化简:
（1）要么消除 最值式中的指对项
（2）要么消除其中的参数项;
从而得到 最值式的估计.
2. 隐零点的同构
实际上, 很多隐零点问题产生的原因就是含有指对项, 而这类问题由往往具有同构特征, 所以下面我们看到的这两个问题, 它的隐零点代换则需要同构才能做出, 否则, 我们可能很难找到隐零点合适的代换化简方向. 我们看下面两例: 一类同构式在隐零点问题中的应用的原理分析
所以在解决形如 , 这些常见的代换都是隐零点中常见的操作.
3. 解题感悟
1.隐零点指对于超越方程或者是一些带参数的方程，无法直接求得确切的零点，但是零点确实存在的问题。特别是在求导的过程，求函数极值点，对原函数求导后，令导函数等于零，就导函数零点进一步探寻原函数极值点或最值时会经常遇到“隐零点”问题。
2.隐零点常见题型，有证明零点个数，求解不等式，求最值的取值范围，求参数的范围。
3.解决办法，往往是“虚设零点”，设而不求，结合零点存在定理来初步确定零点的所在区间。往往这样的零点都与某个参数相关联，相互依赖。在使用零点存在定理确定区间时往往存在困难，必要时使用放缩法取含参的特殊值来确定零点存在区间。
4.特别是针对导函数的“隐零点”，求解取值范围时，需要根据导函数零点代入方程，把参数表示成含隐零点的函数，再来求原函数的极值或者最值问题，或证明不等式。构建关于隐零点作为自变量的新函数，求函数值域或者证明不等式恒成立问题。
考点一、隐零点初应用
1．证明
2．求 的极值
1．已知函数，求：
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)当时，总有，求整数的最小值.
1．（2024·山东威海·二模）已知函数．
(1)求的极值；
(2)证明：．
2．（2024·浙江杭州·一模）已知函数．
(1)求函数的单调区间；
(2)当时，证明：对任意的，．
考点二、隐零点问题之参数范围综合
1．（2020·新Ⅰ卷·统考高考真题第21题）已知函数．
（1）当时，求曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；
（2）若不等式恒成立，求a的取值范围．
2．已知函数 ，若, 求 的取值范围.
3．已知函数 ，当 且 时, 不等式 在 上恒成立, 求 的最大值.
4．已知函数 对任意的 恒成立, 其中实数 , 求 的取值范围.
1．（2024·湖南邵阳·三模）已知函数
(1)若，求的单调区间.
(2)若对，恒成立，求实数的取值范围
2．（2024·山东日照·三模）已知函数，，.
(1)讨论函数的单调性；
(2)当时，对，，求正整数的最大值.
3．（2024·四川绵阳·模拟预测）已知函数.
(1)讨论的零点个数；
(2)若关于的不等式在上恒成立，求的取值范围.
考点三、隐零点问题之不等式证明综合
1．（2024·全国·模拟预测）已知函数．
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)当时，证明：在定义域内恒成立．
2．（2024·河北张家口·三模）已知函数．
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)证明：．
1．（2024·陕西西安·模拟预测）已知函数，若的最小值为0，
(1)求的值;
(2)若，证明:存在唯一的极大值点，且.
2．（2024·陕西安康·模拟预测）已知函数，.
(1)求的极值；
(2)证明：.
1．（2021·黑龙江·模拟预测）已知函数，求：
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)当时，总有，求整数的最小值.
2．（2024·全国·模拟预测）已知函数．
(1)讨论函数的单调性；
(2)若函数的最小值为，不等式在上恒成立，求实数的取值范围．
3．（2023·吉林·三模）已知函数．
(1)证明：函数在上存在唯一的零点；
(2)若函数在区间上的最小值为1，求a的值．
4．（2023·江苏盐城·二模）设函数，
（1）当时，求函数图象在处的切线方程；
（2）求的单调区间；
（3）若不等式对恒成立，求整数的最大值.
5．（2023高三·天津·阶段练习）已知函数（其中为自然对数的底数）．
(1)当时，求函数的极值；
(2)若函数在有唯一零点，求实数的取值范围；
(3)若不等式对任意的恒成立，求整数的最大值．
6．（2023高三下·全国·阶段练习）已知函数的图象在点（为自然对数的底数）处的切线斜率为．
（1）求实数的值；
（2）若，且对任意恒成立，求的最大值．
7．（23-24高三下·湖南岳阳·阶段练习）函数．
(1)若，求函数的最大值；
(2)若在恒成立，求实数m的取值范围．
8．（2024·全国·模拟预测）已知函数，.
(1)求证：；
(2)若，求的取值范围.
9．（2023高三·云南·阶段练习）已知函数，．
（1）令，求的最小值；
（2）若恒成立，求的取值范围．
10．（2023·山东·一模）已知函数在点处的切线过点．
(1)求实数的值，并求出函数单调区间；
(2)若整数使得在上恒成立，求的最大值．
11．（2024·山东·二模）已知函数．
(1)当时，求的单调区间；
(2)当时，，求的取值范围．
12．（2024·湖南衡阳·模拟预测）已知函数在点处的切线与直线垂直.
(1)求实数的值；
(2)求函数在区间的最大值和最小值；
(3)证明：.
13．（2024·四川南充·三模）已知函数．
(1)当时，求的最小值；
(2)①求证：有且仅有一个极值点；
②当时，设的极值点为，若．
求证：．
14．（2024·安徽合肥·模拟预测）.
(1)若的图象在点处的切线经过原点，求；
(2)对任意的，有，求的取值范围.
15．（23-24高三上·浙江·阶段练习）已知函数.
(1)若在有两个零点，求实数的取值范围；
(2)设函数，证明：存在唯一的极大值点，且.
1．（全国·高考真题）设函数.
（Ⅰ）讨论的导函数的零点的个数；
（Ⅱ）证明：当时.
2．（全国·高考真题）(1)讨论函数 的单调性，并证明当 >0时，
(2)证明：当 时，函数 有最小值.设g（x）的最小值为，求函数 的值域.
5年考情
考题示例
考点分析
关联考点
2020年新I卷，第21题,12分
导数中的隐零点问题
不等式恒成立问题