中职数学高教版（2021·十四五）拓展模块一（上册）本课复习与测试巩固练习

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1．异面直线
异面直线是指不同在任何一个平面内的两条直线．两条直线是异面直线等价于这两条直线既不相交，也不平行．另外特别注意异面直线所成角的范围是.
2．空间两条直线的位置关系
空间两条直线的位置关系有三种：
(1)相交直线：在同一平面内，有且只有一个公共点．
(2)平行直线：在同一平面内，没有公共点．
(3)异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点．
3．空间中两条直线位置关系的分类
(1)从有无公共点的角度分类：
(2)从是否共面的角度分类：
4．异面直线的画法
画异面直线时，为了表示它们不共面的特点，通常用一个或两个平面衬托，如图8-4．2-2(1)(2)(3)．
5. 求异面直线所成的角常采用“平移线段法”，平移的方法一般有三种类型：利用图中已有的平行线平移；利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移；补形平移．计算异面直线所成的角通常放在三角形中进行．具体步骤如下：①平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；②认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；③计算：求该角的值，常利用解三角形；④取舍：由异面直线所成的角的取值范围是，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角．
题型归纳
【题型01 共面直线，相交直线】
【题型02 异面直线】
【题型03 异面直线所成角】
【题型01 直线与直线位置关系的辨析】
【典例1】在棱长为1的正四面体中，直线与是（ ）．
A．平行直线B．相交直线C．异面直线D．无法判断位置关系
【答案】C
【分析】利用异面直线的判断方法判断即可.
【详解】作出正四面体，如图，

因为平面，平面，，平面，
所以与是异面直线.
故选：C.
【题型02 异面直线的辨析】
【典例1】如果两条直线与没有公共点，那么与（ ）
A．共面B．平行
C．是异面直线D．可能平行，也可能是异面直线
【答案】D
【分析】根据空间中两条直线的位置关系，即可求解.
【详解】根据空间中两条直线的位置关系，可得如果两条直线与没有公共点，那么与可能平行，也可能是异面直线.
【题型03 异面直线所成角】
【典例1】在长方体中，，，，则和所成的角是（ ）
A．60°B．45°C．30°D．90°
【答案】A
【分析】根据可知即为和所成的角.
【详解】如图所示：易知，
所以和所成的角，即为和所成的角，
在中，，
所以.
即和所成的角是.
故选：A
同步练习
一、单选题
1．设a，b是空间两条不同直线，则“a与b无公共点”是“a与b是异面直线”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】根据异面直线的定义判断即可.
【详解】当a与b无公共点时，a与b可能平行或异面，反之，当a与b是异面直线时，a与b无公共点.
故选：B.
2．已知直线平面是平面上的一条直线，则直线与的关系不可能是（ ）
A．平行B．相交C．异面D．垂直
【答案】A
【分析】利用线面垂直的性质即可.
【详解】因为直线平面，
所以，
故直线与的关系可以是异面的，也可以是相交的，不可能是平行的.
故选：A
3．已知平面平面，直线，直线，则与的位置关系是（ ）
A．平行B．平行或异面C．异面D．异面或相交
【答案】B
【分析】利用直线与平面的位置关系判断即可.
【详解】因为平面平面，直线，直线，
所以与没有交点，即与可能平行，也可能异面．
故选：B.
4．根据所学知识判断下列描述错误的是（ ）
A．不相交的直线是平行直线B．经过两条平行直线有且只有一个平面
C．不共线的三点确定一个平面D．棱台的各侧棱延长后必交于一点
【答案】A
【分析】利用空间直线的位置关系判断A；利用平面基本事实判断BC；利用棱台的定义判断D作答.
【详解】对于A，在空间，不相交的两条直线可能是平行直线，也可能是异面直线，A错误；
对于B，两条平行直线确定一个平面，B正确；
对于C，不共线的三点确定一个平面，C正确；
对于D，棱锥被平行于棱锥底面的平面所截，截面与底面间的部分是棱台，因此棱台的各侧棱延长后必交于一点，D正确.
故选：A
5．如图所示，长方体中，给出以下判断，其中正确的是（ ）
A．直线与相交
B．直线与是异面直线
C．直线与有公共点
D．
【答案】D
【分析】利用异面直线的定义可以判断出A、C，利用平行四边形的性质可判断出B、D.
【详解】
对于A，面，面，且B不在AC上，
根据异面直线的定义得，直线与是异面直线，故A选项错误；
对于B，，，
四边形为平行四边形，
，即直线与平行直线，故B选项错误；
对于C，面，面，，
根据异面直线的定义得，直线与是异面直线，故C选项错误；
对于D，，，
四边形为平行四边形，
，故D选项正确；
故选：D.
6．如图所示的是一个正方体的平面展开图，在原正方体中，线段AB与CD所在直线的位置关系为（ ）

A．相交B．平行C．异面D．无法判断
【答案】C
【分析】将正方体的展开图还原为正方体，在正方体中找到展开图中AB、CD对应的直线，再判断AB、CD的位置关系．
【详解】由题意，将正方体展开图还原为正方体，如图所示：
在正方体中找到对应的AB、CD两条直线，由图可知，AB与CD异面．
故选：C．

7．如图，在正方体中，直线与的位置关系是（ ）

A．异面B．平行C．垂直且相交D．相交
【答案】A
【分析】由异面直线的定义判断即可.
【详解】体对角线与面对角线不在同一个平面内，且不平行，
故体对角线与面对角线的位置关系一定是异面.
故选：A.
8．已知长方体中，长方体各个面的对角线所在的直线中与面对角线平行的有（ ）
A．0条B．1条C．2条D．3条
【答案】B
【分析】根据长方体的性质分析判断即可
【详解】长方体共有6个面，每个面上有2条对角线，共12条对角线，
因为∥，，所以四边形为平行四边形，
所以∥，
而其它面对角线与相交或异面，
所以长方体各个面的对角线所在的直线中与面对角线平行的有1条，
故选：B．

9．在直三棱柱中，，点分别是的中点，则（ ）
A．与相交，且
B．与相交，且
C．与是异面直线，且
D．与是异面直线，且
【答案】D
【分析】根据异面直线的定义分析判断，利用勾股定理计算长度即可
【详解】如图所示，因为平面，平面，
所以与是异面直线，
．
因为，所以．
故选：D

10．在棱长为a的正方体中，与AD成异面直线且距离等于a的棱共有（ ）
A．2条B．3条C．4条D．5条
【答案】C
【分析】结合异面直线与异面直线距离的定义，直接观察直观图即可
【详解】由题，观察正方体即可得与AD成异面直线且距离等于a的棱有，
故选：C
11．有如下命题，其中正确的命题个数是（ ）
（1）和两条异面直线都垂直相交的直线叫做异面直线的公垂线；
（2）任意两条异面直线有且只有一条公垂线；
（3）两条异面直线的公垂线段是分别联结两条异面直线上两点的线段中最短的一条；
（4）两条异面直线的距离是两条异面直线的公垂线段的长度．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【分析】根据异面直线的公垂线的定义、异面直线公垂线段的定义进行判断．
【详解】（1）（4）就是相关定义，正确；
异面直线的公垂线是与异面直线均垂直的直线，有无数条，（2）错误；
两条异面直线的距离是两条异面直线的公垂线段的长度可知（3）正确．
故选：C．
12．已知平面平面，，，且直线与不平行.记平面､的距离为，直线､的距离为，则（ ）
A．B．
C．D．与大小不确定
【答案】B
【分析】根据线线、线面、面面的位置关系，结合面面平行的性质可得答案.
【详解】因为平面平面，，，且直线与不平行，
所以平面､的距离等于直线､的距离，所以，
故选B.
13．在底面为正方形，侧棱垂直于底面的四棱柱中，，异面直线与所成角的余弦值为，则直线与直线的距离为（ ）
A．2B．1C．D．
【答案】B
【分析】根据异面直线与所成角的余弦值为求出底面正方形的边长，进而可求解.
【详解】
如图，该四棱柱为长方体，因为,
所以为异面直线与所成角，
设底面正方形边长为，则，
在中，，
解得，
因为该四棱柱为长方体，所以平面，平面，
所以,同理,
所以直线与直线的距离为，
故选:B.
14．下列说法正确的是（ ）
A．三点确定一个平面B．三角形可以确定一个平面
C．没有公共点的两条直线是异面直线D．两条异面直线的夹角可能为钝角
【答案】B
【分析】对于AB，由不共线的三点确定一个平面判断，对于C，举例判断，对于D，由异面直线的夹角的定义判断即可
【详解】不共线的三点确定一个平面，三角形可以确定一个平面，A错误，B正确．
没有公共点的两条直线可能是平行的共面直线，所以C错误，
两条异面直线的夹角不可能为钝角，所以D错误．
故选：B
15．在正方体的所有面对角线中，所在直线与直线互为异面直线且所成角为的面对角线的条数为（ ）
A．2B．4C．6D．8
【答案】B
【分析】作图，直接观察可得.
【详解】如图，易知为等边三角形，所以，又，所以异面直线与的夹角为，符合题设.
同理，面对角线，，也满足题意，所以满足条件的面对角线共4条，
故选：B．
16．我国古代数学名著《九章算术》中有“堑堵”一说“堑堵”意指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱.如图所示的“堑堵”中，，，分别为棱，的中点，则直线与的位置关系为（ ）
A．平行B．相交C．异面D．无法判断
【答案】C
【分析】如图，连接，取的中点，连接，，则有∥，从而可得∥平面，由此可得直线与没有公共点，而，∥，由此可得直线与不可能平行，从而可得结论
【详解】如图，连接，取的中点，连接，，
因为为的中点，
所以∥，
因为平面，平面，
所以∥平面，
所以与平面没有公共点，
因为平面，所以直线与没有公共点，所以直线与不可能相交，
因为，∥，
所以直线与不可能平行，
所以直线与是异面直线，
故选：C
17．如图是正方体的平面展开图，在这个正方体中，正确的命题是（ ）
A．AB与CF成45°角B．BD与EF成45°角
C．AB与EF成60°角D．AB与CD成60°角
【答案】D
【分析】由正方体的平面展开图还原成正方体，利用正方体的结构特征，逐一判断选项即可.
【详解】由题意得，将正方体的平面展开图还原为正方体，如图，
CF和BD平行，AB垂直与BD，所以AB与CF成角，故A错误；
BD与CF平行，CF垂直与EF，所以BD与EF成角，故B错误；
EF与CG平行，AB与CG成角，所以AB与EF成角,故C错误；
CD与AE平行，在三角形AEB中，AE=EB=AB，所以，所以AB与CD成角，故D正确.
故选：D
18．如图是一个正方体的平面展开图，则在该正方体中下列判断错误的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据题意还原正方体，结合正方体的结构特征和异面直线的定义，逐项判定，即可求解.
【详解】根据题意，还原正方体，如图所示，
连接，可得，又由，所以，所以A正确；
由正方体的结构特征，可知，所以B正确；
因为,为在平面上的射影，所以，所以C正确；
根据正方体的结构特征和异面直线的定义，可得与是异面直线，所以D错误.
故选：D.

19．在正方体中，异面直线AB1与BD的夹角为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】连接，则为异面直线AB1与BD所成的角，故可得出结果.
【详解】异面直线与夹角等于与夹角；
连接，则为异面直线AB1与BD所成的角，
为正三角形，所以，
所以异面直线与夹角为.
故选：B

20．两条异面直线所成的角的范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】根据异面直线的定义得出答案.
【详解】由异面直线的定义可知，两条异面直线所成的角的范围是
故选：B
21．若、为异面直线，直线与平行，则与的位置关系是（ ）
A．相交B．异面C．平行D．异面或相交
【答案】D
【解析】根据异面直线所成角判断.
【详解】因为、为异面直线，
所以、所成的角为锐角或直角，
因为直线与平行，
所以与所成的角为锐角或直角，
所以与的位置关系是异面或相交，
故选：D
22．正方体如图所示.在三条直线，，中，与BD垂直的有（ ）
A．3条B．2条C．1条D．0条
【答案】B
【分析】通过直线平移，找到异面直线所成的角，从而判断是否垂直.
【详解】连结，
∵为矩形，∴，
∵，，∴，
∵，，
∴与所成的角为，故两直线不垂直；
故选：B.
【点睛】本题考查异面直线的位置关系，考查识图能力，属于基础题.
23．已知三条直线，，满足且，则与（ ）
A．平行B．垂直C．共面D．异面
【答案】B
【分析】根据空间直线平行垂直的定义，结合等角定理进行判定.
【详解】若且，根据空间直线垂直的定义，可得，不平行，有可能共面，也有可能异面.
故选：B.
24．在正方体ABCD­-A1B1C1D1中，与直线AA1垂直的棱有（ ）条．
A．2B．4
C．6D．8
【答案】D
【分析】由正方体ABCD­-A1B1C1D1的图象结合线线垂直的定义即可求解结果．
【详解】在正方体ABCD­-A1B1C1D1中，与AA1垂直的棱为A1B1，B1C1，C1D1，D1A1，AB，BC，CD，DA，共8条．
故选：D．
25．如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1的棱中，与棱AB垂直的棱有（ ）
A．2条B．4条
C．6条D．8条
【答案】D
【分析】根据线线之间的垂直关系判断即可.
【详解】在长方体ABCD－A1B1C1D1的棱中，与棱AB垂直的棱有BC，B1C1，A1D1，AD，AA1，BB1，CC1，DD1，共8条．
故选：D.
26．在正方体中，为的中点，则直线与所成的角为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据正方体性质，将直线平移到，再利用即可求得角的大小.
【详解】连接，如下图所示：

根据正方体性质可知，所以直线与所成的角即为直线与所成的角；
设正方体棱长为2，易知，，，
在中，满足，即，
因此，所以.
故选：B
27．点E，F，G，H分别为空间四边形ABCD中AB，BC，CD，AD的中点，若AC＝BD，且AC与 BD所成角的大小为90°，则四边形EFGH是（ ）
A．梯形B．空间四边形
C．正方形D．有一内角为60°的菱形
【答案】C
【分析】根据已知，结合图形，利用三角形中位线的性质以及等角定理进行判断.
【详解】
因为点E，F，G，H分别为空间四边形ABCD中AB，BC，CD，AD的中点，
所以，，，,
所以，，所以四边形是平行四边形，
又AC与 BD所成角的大小为90°，所以与所成角的大小为90°，
即，所以四边形是矩形，
又AC＝BD，，，所以，
所以四边形是正方形，故A，B，D错误.
故选：C.
二、填空题
1．已知、是异面直线，直线直线，则直线与直线b的位置关系是 .
【答案】相交或异面
【分析】根据空间中直线与直线的位置关系即可得出结论.
【详解】若，因为，则，与已知、是异面直线矛盾，
所以直线与直线b不平行，
则当直线与直线b在同一平面则相交，当直线与直线b不在同一平面则异面，
故答案为：相交或异面.
2．异面直线和所成的角为，则的范围是 ．
【答案】
【分析】直接利用异面直线所成角定义可得答案.
【详解】由异面直线所成角的定义可知：异面直线和所成角的范围为.
故答案为：.
3．如图，正六棱柱的底面和顶面均为正六边形，侧棱均垂直于底面和顶面.其6个侧面12条面对角线所在的直线中，与直线异面的共有 条.

【答案】5
【分析】列出与直线异面的面对角线所在直线，得到答案.
【详解】与直线相交的有，
与直线平行的有，
剩余的与直线异面，共5条.
故答案为：5
4．空间中已知直线，直线，直线，若直线直线，直线与直线异面，则直线与直线的位置关系是 .
【答案】相交或异面
【分析】根据直线与直线的位置关系判断可得出结论.
【详解】空间直线，直线，直线a与c为异面直线，
则直线b与直线c可能是相交直线或也可能是异面直线.
故答案为：相交或异面
三、解答题
1．在正方体中的12条棱所在直线中，与直线是异面直线的共有 条.
【答案】6
【分析】利用正方体的结构特征，结合异面直线的意义求解即得.
【详解】在正方体中的12条棱所在直线中，
与直线相交的棱所在直线有，共6条，
其余6条棱所在直线与直线是异面直线，

所以与直线是异面直线的共有6条.
故答案为：6
2．如图是正方体的平面展开图，在原来的正方体中
（1）与平行；
（2）与是异面直线；
（3）与垂直；
（4）与成．
其中正确的序号是 ．
【答案】（4）
【分析】将正方体的直观图画出，判断出与为异面直线，（1）错误；证明出四边形为平行四边形，得到（2）错误；根据面面平行推导出与不垂直，（3）错误；作出辅助线，得到或其补角即为与所成角，结合是等边三角形得到答案.
【详解】画出正方体的直观图如下：

对于（1），与为异面直线，不平行，错误；
对于（2），连接，因为，且，故四边形为平行四边形，
故与平行，（2）错误；
对于（3），在平面上，⊥，
由于平面与平面平行，要想与垂直，
只需与平行，显然两者不平行，故与不垂直，（3）错误；
对于（4），连接，因为与平行，
所以或其补角即为与所成角，
设正方体的边长为1，由勾股定理得到，
故是等边三角形，故，故与成，（4）正确.
故答案为：（4）
3．如图所示，在正方体中M，N分别是和的中点，则下列直线、平面间的位置关系是什么？

(1)AM所在的直线与CN所在的直线的位置关系；
(2)CN所在的直线与平面ABCD的位置关系；
(3)AM所在的直线与平面的位置关系；
(4)平面ABCD与平面的位置关系.
【答案】(1)异面
(2)相交
(3)平行
(4)相交
【分析】根据正方体的几何结构特征，结合线面位置关系的判定与性质，逐项判定，即可求解.
【详解】（1）解：因为平面，平面，平面，且直线，
所以直线与为异面直线.
（2）解：因为平面，且平面，所以与平面相交于点，
即直线平面，即直线与平面相交.
（3）解：在正方体中，可得平面平面，
因为平面，所以平面.
（4）解：在正方体中，可得平面平面，即两平面相交.
4．如图，在长方体中，，，．求异面直线AD和的距离．
【答案】3cm
【分析】由长方体性质及异面直线距离的定义，确定异面直线AD和的距离即可.
【详解】∵，，
∴就是异面直线AD和的公垂线．
∴长度即为异面直线AD和的距离．
∵，
∴异面直线AD和的距离是3cm．
5．如图，已知正方体
(1)哪些棱所在直线与直线是异面直线？
(2)直线和和的夹角是多少？
(3)哪些棱所在的直线与直线垂直？
【答案】(1)棱AD、DC、CC′、DD′、D′C′、B′C′所在直线分别与直线BA′是异面直线；
(2)45°
(3)直线AB、BC、CD、DA、A′B′、B′C′、C′D′、D′A′分别与直线AA′垂直．
【分析】（1）根据异面直线的定义即可求解；
（2）由BB′∥CC′可知，∠B′BA′为异面直线BA′与CC′的夹角，即可得出结论；
（3）根据线线垂直的判定定理即可求解.
【详解】（1）由异面直线的定义可知，棱AD、DC、CC′、DD′、D′C′、B′C′所在直线分别与直线BA′是异面直线；
（2）由BB′∥CC′可知，∠B′BA′为异面直线BA′与CC′的夹角，∠B′BA′＝45°，所以直线BA′和CC′的夹角为45°；
（3）直线AB、BC、CD、DA、A′B′、B′C′、C′D′、D′A′分别与直线AA′垂直．
6．如图，正方体中，点分别是棱的中点，判断下列直线的位置关系：
(1)与：
(2)与：
(3)与：
(4)与.
【答案】(1)异面
(2)异面
(3)共面
(4)共面
【分析】（1）（2）均可直接判断出异面；（3）连接与，证明出四边形为平行四边形，得到共面；（4）连接，由中位线证明出线线平行，从而得到共面.
【详解】（1）由图易得与异面；
（2）由图易得与异面
（3）连接与，
因为分别是棱的中点，
所以，由勾股定理得：，
故四边形为平行四边形，所以与共面；
（4）连接，
因为分别是棱的中点，
所以∥，
又因为∥，
所以∥，
所以与共面