复数的概念和意义-【中职专用】高二数学同步讲测练（高教版2021•拓展模块一 上册）

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专题13 复数的概念和意义知识归纳一、复数的有关概念1、复数的定义：形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位，满足i2=-1，实部是a，虚部是b.2、虚数单位：把平方等于－1的数用符号i表示，规定i2＝－1.我们把i叫作虚数单位．3、表示方法：复数通常用字母z表示，代数形式为z＝a＋bi(a，b∈R)．4、复数集：①定义：全体复数所成的集合． ②表示：通常用大写字母C表示．【注意】复数概念说明：（1）复数集是最大的数集，任何一个数都可以写成a＋bi(a，b∈R)的形式，其中0＝0＋0i.（2）复数的实部是a，虚部是实数b而非bi.（3）复数z＝a＋bi只有在a，b∈R时才是复数的代数形式，否则不是代数形式．二、复数的分类：对于复数a＋bi，（1）当且仅当b＝0时，它是实数； （2）当且仅当a＝b＝0时，它是实数0；（3）当b≠0时，叫做虚数； （4）当a＝0且b≠0时，叫做纯虚数．这样，复数z＝a＋bi可以分类如下：复数=实数 b=0 虚数(b≠0)(当a=0时为纯虚数).【注意】复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系三、复数相等在复数集C中任取两个数a＋bi，c＋di(a，b，c，d∈R)，我们规定：a＋bi与c＋di相等的充要条件是a＝c且b＝d.其中若Z=a＋bi=0则：a=0且b=0.解方程组即可四、复数的几何意义1、复平面:当用直角坐标平面内的点来表示复数时，称这个直角坐标系为复平面，x轴为实轴，y轴为虚轴．2、复数的几何意义（1）任一个复数z＝a＋bi(a，b∈R)与复平面内的点Z(a，b)是一一对应的．（2）一个复数z＝a＋bi(a，b∈R)与复平面内的向量OZ=(a,b)是一一对应的．【注意】实轴、虚轴上的点与复数的对应关系实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数，原点对应的有序实数对为(0，0)，它所确定的复数是z＝0＋0i＝0，表示的是实数．五、复数的模（1）定义：向量OZ的模r叫做复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模或绝对值（2）记法：复数z＝a＋bi的模记为|z|或|a＋bi|.（3）公式：|z|＝|a＋bi|＝r＝a2＋b2(r≥0，r∈R)．六、共轭复数如果两个复数的实部相等，而虚部互为相反数，则这两个复数叫做互为共轭复数．复数z的共轭复数用z表示，即当z＝a＋bi(a，b∈R)时，z＝a－bi.示例：z＝2＋3i的共轭复数是z＝2－3i.【注意】（1）当复数z＝a＋bi的虚部b＝0时，有z＝z，也就是，任一实数的共轭复数是它本身．（2）在复平面内，表示两个共轭复数的点关于实轴对称，并且它们的模相等．题型归纳【题型01 复数的概念】【题型02 复数相等】【题型03 复数的几何意义】【题型04 共轭复数 】【题型01 复数的概念】【典例1】给出下列说法：①复数2＋3i的虚部是3i；②形如a＋bi(b∈R)的数一定是虚数；③若a∈R，a≠0，则(a＋3)i是纯虚数；④若两个复数能够比较大小，则它们都是实数．其中错误说法的个数是( )A．1 B．2 C．3 D．4【典例2】(1)复数的实部为（ ）A．1 B． C． D．（2）（2021·全国·高一课时练习）若复数z＝i（a+i）（a∈R，i为虚数单位）的虚部为2，则a＝（ ）A．﹣2 B．2C．﹣1 D．1【题型02 复数相等】【典例1】已知x2－y2＋2xyi＝2i，求实数x，y的值.【典例2】复数4－3a－a2i与复数a2＋4ai相等，则实数a的值为( )A．1 B．1或－4 C．－4 D．0或－4【题型03 复数方程有实根问题】【典例1】已知方程有实根，且，则复数等于（ ）A． B． C． D．【典例2】已知关于的方程有实数解，则_______.【题型04 复数的几何意义】【典例1】实部为－2，虚部为1的复数所对应的点位于复平面的( )A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【典例2】实数a取什么值时，复平面内表示复数z＝a2＋a－2＋(a2－3a＋2)i的点（1）位于第二象限； （2）位于直线y＝x上？【典例3】若复数满足，则（ ）A．1 B． C． D．2同步练习一、单选题1.已知为虚数单位，则复数的虚部是（ ）A． B．1 C． D．2.复平面中的下列哪个向量对应的复数是纯虚数（ ）A．=(1，2) B．=(-3，0)C． D．=(-1，-2)3.若复数（，为虚数单位）是纯虚数，则实数的值为（ ）A． B． C． D．4.（多选题）给出下列命题，其中是真命题的是（ ）A．纯虚数的共轭复数是 B．若，则C．若，则与互为共轭复数 D．若，则与互为共轭复数5.复数z＝3+4i对应的点Z关于原点的对称点为Z1，则对应的向量为（ ）A．﹣3﹣4i B．4+3i C．﹣4﹣3i D．﹣3+4i6.(多选)有下列四个命题，其中正确的是（ ）①方程2x－5＝0在自然数集N中无解；②方程2x2＋9x－5＝0在整数集Z中有一解，在有理数集Q中有两解；③x＝i是方程x2＋1＝0在复数集C中的一个解；④x4＝1在R中有两解，在复数集C中也有两解.A．① B．②C．③ D．④7.(多选)已知i为虚数单位,下列命题中正确的是A．若,则是纯虚数 B．虚部为的虚数有无数个C．实数集是复数集的真子集 D．两个复数相等的一个必要条件是它们的实部相等8.复数z=(a2-2a)+(a2-a-2)i的共轭复数对应的点在虚轴上，则实数a的值为（ ）A．a=0或a=2 B．a=0C．a≠1，且a≠2 D．a≠1或a≠29.在，，，，0.618，这几个数中，纯虚数的个数为（ ）A．0 B．1 C．2 D．310.关于复数z的方程|z|+2z=13+6i的解是（）A．3+4i B．4+3iC．+3i D．3+i11.四边形ABCD是复平面内的平行四边形，已知A、B、C三点对应的复数分别是1+3i，-i，2+i，则向量BD对应的复数是 ( )A.1-2i B.2+2i C.2-2i D.3+6i12.在复平面内，向量AB=(2，-3)对应的复数为( )A.2-3i B.2+3i C.3+2i D.-3-2i13.（1）设，则在复平面内对应的点位于（ ）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限（2）复数在复平面内的对应点在第四象限，则实数的取值范围是______．14.复数（其中为虚数单位），则（ ）A． B．5 C．7 D．2515．在复平面内，复数（为虚数单位）对应的点位于（ ）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限16．已知，在复平面内，复数对应的点位于第二象限，则为（ ）A．-2 B．-1 C．0 D．317．已知复数的虚部为1，且，则可以是（ ）A． B． C． D．18.(多选)下列命题中，正确的是（ ）A．复数的模总是非负数B．复数集与复平面内以原点为起点的所有向量组成的集合一一对应C．如果复数对应的点在第一象限，则与该复数对应的向量的终点也一定在第一象限D．相等的向量对应着相等的复数19.(多选)实数满足，设，则下列说法正确的是（ ）A．在复平面内对应的点在第一象限B．C．的虚部是iD．的实部是120.(多选)下列关于复数的命题中正确的是（ ）A．若是虚数，则不是实数B．若，且，则C．一个复数为纯虚数的充要条件是这个复数的实部等于零D．复数对应的点在实轴上方21．已知是复数z的共轭复数，若在复平面上的对应点位于第一象限，则z的对应点位于（ ）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限22．当时，复数在复平面内对应的点位于（ ）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限23.设，则“”是“复数为纯虚数”的(　　)A．充分必要条件 B．必要不充分条件C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件24.若复数是纯虚数，则一定有（ ）A． B．且 C．或 D．25.已知i为虚数单位，，则（ ）A．5 B．7 C．9 D．2526.设复数z1＝a＋2i，z2＝－2＋i，且|z1|＜|z2|，则实数a的取值范围是( )A．(－∞，－1)∪(1，＋∞) B．(－1，1) C．(1，＋∞) D．(0，＋∞)二、填空题1.给出下列命题：①任意两个复数都不能比较大小；②若，则当且仅当且时，；③若，，且，则；④若，则.其中，________是假命题.（填序号）2.已知，复平面内表示复数的点在虚轴上，则m=_____________．3.复数在复平面上对应的点在第______象限．4.已知复数在复平面内的对应点在第三象限，则实数的取值范围是____.5.给出下列命题：①若，且，则是纯虚数；②，为复数，，则；③若，则z一定是纯虚数；④虚数的平方根仍是虚数，其中正确的是______.（填序号）6.已知，则实数的取值分别为______．三.解答题1.在复平面内，点A，B，C对应的复数分别为1+4i，-3i，2，O为坐标原点.（1）求向量OA+OB和AC对应的复数;（2）求平行四边形ABCD的顶点D对应的复数.2.实数m取什么值时，复数lg(m2－2m－2)＋(m2＋3m＋2)i分别是：（1）纯虚数； （2）实数．3.当实数为何值时，复数为（1）实数？（2）虚数？（3）纯虚数？4.已知复数，求实数x的值.5.在复平面内，若复数的对应点在虚轴上和实轴负半轴上，分别求复数.6.已知复数（），．（1）若为纯虚数，求的值；（2）若在复平面内对应的点在第二象限，求的取值范围．7.已知，，若，求实数的取值集合．