人教版九年级数学上册同步讲义专题第15课 二次函数章末复习（教师版）

这是一份人教版九年级数学上册同步讲义专题第15课 二次函数章末复习（教师版），共30页。
知识精讲
知识点01 二次函数的定义
一般地，如果是常数，，那么叫做的二次函数。
【注意】
如果y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)，那么y叫做x的二次函数。这里，当a=0时就不是二次函数了，但b、c可分别为零，也可以同时都为零。a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。
知识点02 二次函数的图象与性质
1．二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：
①；②；③；④，
其中；⑤.（以上式子a≠0）
几种特殊的二次函数的图象特征如下：
2．抛物线的三要素：
开口方向、对称轴、顶点。
(1)的符号决定抛物线的开口方向：当时，开口向上；当时，开口向下；相等，抛物线的开口大小、形状相同.
(2)平行于轴(或重合)的直线记作.特别地，轴记作直线.
3．抛物线中，的作用：
(1)决定开口方向及开口大小，这与中的完全一样.
(2)和共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线的对称轴是直线，
故：①时，对称轴为轴；②(即、同号)时，对称轴在轴左侧；③(即 、异号)时，对称轴在轴右侧.
(3)的大小决定抛物线与轴交点的位置.
当时，，∴抛物线与轴有且只有一个交点(0，)：
①，抛物线经过原点； ②，与轴交于正半轴；③，与轴交于负半轴.
以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在轴右侧，则 .
4．用待定系数法求二次函数的解析式：
(1)一般式：（a≠0）.已知图象上三点或三对、的值，通常选择一般式.
(2)顶点式：（a≠0）.已知图象的顶点或对称轴，通常选择顶点式.(可以看成的图象平移后所对应的函数.)
(3)“交点式”：已知图象与轴的交点坐标、，通常选用交点式：
（a≠0）.(由此得根与系数的关系：).
【注意】
求抛物线（a≠0）的对称轴和顶点坐标通常用三种方法：配方法、公式法、代入法，这三种方法都有各自的优缺点，应根据实际灵活选择和运用．
知识点03 二次函数与一元二次方程的关系
函数，当时，得到一元二次方程，那么一元二次方程的解就是二次函数的图象与x轴交点的横坐标，因此二次函数图象与x轴的交点情况决定一元二次方程根的情况.
(1)当二次函数的图象与x轴有两个交点，这时，则方程有两个不相等实根；
(2)当二次函数的图象与x轴有且只有一个交点，这时，则方程有两个相等实根；
(3)当二次函数的图象与x轴没有交点，这时，则方程没有实根.
通过下面表格可以直观地观察到二次函数图象和一元二次方程的关系：
【注意】
二次函数图象与x轴的交点的个数由的值来确定.
(1)当二次函数的图象与x轴有两个交点，这时，则方程有两个不相等实根；
(2)当二次函数的图象与x轴有且只有一个交点，这时，则方程有两个相等实根；
(3)当二次函数的图象与x轴没有交点，这时，则方程没有实根。
知识点04 利用二次函数解决实际问题
利用二次函数解决实际问题，要建立数学模型，即把实际问题转化为二次函数问题，利用题中存在的公式、内含的规律等相等关系，建立函数关系式，再利用函数的图象及性质去研究问题.在研究实际问题时要注意自变量的取值范围应具有实际意义。
利用二次函数解决实际问题的一般步骤是：
(1)建立适当的平面直角坐标系；
(2)把实际问题中的一些数据与点的坐标联系起来；
(3)用待定系数法求出抛物线的关系式；
(4)利用二次函数的图象及其性质去分析问题、解决问题.
【注意】
常见的问题：求最大(小)值(如求最大利润、最大面积、最小周长等)、桥梁、抛物线的模型问题等.解决这些实际问题关键是找等量关系，把实际问题转化为函数问题，列出相关的函数关系式.
能力拓展
考法01 求二次函数的解析式
【典例1】已知二次函数经过点，且函数最大值为4，则a的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】解：∵二次函数经过点，且函数最大值为4，
∴且．
解得．
故选B．
【即学即练】已知二次函数的图像过点，图像向右平移1个单位后以y轴为对称轴，图像向上平移3个单位后与x轴只有一个公共点，则这个二次函数的解析式为（ ）.
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】解：设，
∵图像向右平移1个单位后以y轴为对称轴，
∴，
∵图像向上平移3个单位后与x轴只有一个公共点，
∴，
，
代入点，得，
解得，
，
故选：C．
【典例2】如图，抛物线与轴交于点，与轴交于A，两点，则该抛物线的解析式是____．
【答案】
【详解】当时，，∴，
∴，
∴，，
∴，，
将，代入得，
，
解得，
∴该抛物线的解析式是．
【即学即练】已知二次函数中，函数y与自变量x的部分对应值如下表：
则该二次函数解析的一般式为___．
【答案】
【详解】解：将点，，代入中，得
解得，，
则二次函数的解析式为：，
故答案为：．
考法02 根据二次函数图象及性质判断代数式的符号
【典例3】已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论①abc＜0；②3a+b＞﹣c；③2c＜3b；④（k+1）（ak+a+b）≤a+b，其中正确的是（ ）
A．①③④B．①②③④C．②③④D．①③
【答案】A
【详解】解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵对称轴是直线x＝1，
∴﹣＝1，即b＝﹣2a，
∴b＞0，
∵抛物线与y轴交点在正半轴，
∴c＞0，
∴abc＜0，故①正确；
由图象可知，x＝3时y＜0，
∴9a+3b+c＜0，
∴3a+b＜﹣c，故②错误；
∵9a+3b+c＜0，b＝﹣2a，
∴﹣b+3b+c＜0，
∴2c＜3b，故③正确，
∵x＝1时，y＝a+b+c是函数的最大值，
∴a（k+1）2+b（k+1）+c≤a+b+c，
∴a（k+1）2+b（k+1）≤a+b，
∴（k+1）（ak+a+b）≤a+b，
故④正确，
∴正确的有①③④，
故选：A．
【即学即练】抛物线y＝ax2＋bx＋c的对称轴为直线x＝﹣1，部分图象如图所示，下列判断中：①abc＞0；②b2﹣4ac＞0；③9a﹣3b＋c＝0；④若点（﹣0.5，y1），（﹣2，y2）均在抛物线上，则y1＞y2；其中正确的个数有（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】A
【详解】解：由图象可知a＞0，c＜0，
∵对称轴为x＝﹣1，
∴b＝2a，
∴b＞0，
∴abc＜0，故①错误；
∵图象与x轴有两个不同的交点，
∴b2﹣4ac＞0，故②正确；
∵图象与x轴的一个交点是（1，0），
∴与x轴的另一个交点是（﹣3，0），
∴9a﹣3b＋c＝0，故③正确；
∵（﹣2，y2）到对称轴x＝﹣1的距离是1，（﹣0.5，y1）到对称轴x＝﹣1的距离是0.5，
∴y1＜y2；故④错误；
综上分析可知，②③正确，故A正确．
故选：A．
【典例4】如图，二次函数的图象经过A（1，0），B（5，0），以下结论：①②③④图象的对称轴是直线，正确的是_________
【答案】④
【详解】解：由图象可知：，故①错误；
∵二次函数的图象经过A（1，0），B（5，0），
∴，故②错误；根据二次函数的对称性可知抛物线的对称轴为直线，故④正确；
∴由图象可知当x=-1时，则，故③错误；
∴正确的有④；
故答案为④．
【即学即练】已知平面直角坐标系中，抛物线（a，b，c是常数，）经过点和，当时，．有下列结论：
①抛物线开口向上；
②关于x的方程有两个不相等的实数根；
③当时，y随x的增大而减小；
④．
其中正确结论的序号是_____________．
【答案】①④
【详解】根据题意把点的坐标和x=2时y>1代入抛物线表达式，得：
，
解得： ，
∵a>1，
∴抛物线开口向上，①正确；
∵方程的，b>-1，
∴，方程可能有两个相等的实数根，②错误；
∵抛物线的对称轴为，a>1，
∴
∴当时，y不一定随x的增大而减小，③错误；
∵，b>-1，
∴，④正确
故答案为：①④．
考法03 函数与一元二次方程
【典例5】小颖用计算器探索方程ax2+bx+c＝0的根，她作出如图所示二次函数y＝ax2+bx+c的图象，并求得一个近似根为x＝﹣4.3，则方程的另一个近似根为（ ）（精确到0.1）
A．x＝4.3B．x＝3.3C．x＝2.3D．x＝1.3
【答案】C
【详解】解：∵抛物线与x轴的一个交点为（﹣4.3，0），又抛物线的对称轴为：x＝﹣1，
∴另一个交点坐标为：（2.3，0），
则方程的另一个近似根为x＝2.3，
故选：C．
【即学即练】二次函数的部分图像如图所示，可知方程的所有解的积为（ ）
A．－4B．4C．5D．－5
【答案】D
【详解】解：由图象可知对称轴为，与x轴的一个交点横坐标是5，
∵交点到对称轴的距离是3个单位，
∴另外一个交点的横坐标是﹣1，
∴.
故选：D.
【典例6】二次函数的图象与轴的交点坐标为________．
【答案】
【详解】解：对于二次函数，
当时，，
则二次函数的图象与轴的交点坐标为，
故答案为：．
【即学即练】已知二次函数，过，，假设，则，的大小关系是______．
【答案】
【详解】解：二次函数，
该函数的图象开口向下，对称轴是直线，
，
，
故答案为：．
考法04 二次函数与实际问题
【典例7】如图，某拱形门建筑的形状时抛物线，拱形门地面上两点的跨度为192米，高度也为192米，若取拱形门地面上两点的连线作x轴，可用函数表示，则a的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】解：如图，若取拱形门地面上两点的连线作x轴，两点的中点为坐标原点建立平面直角坐标系，则A（96，0），
可设抛物线的解析式为，
将A（96，0）代入，得：，
解得：，
所以，该抛物线的解析式为，
故选：D．
【即学即练】如图，在中，，，，，垂足为点，动点从点出发沿方向以的速度匀速运动到点，同时动点从点出发沿射线方向以的速度匀速运动．当点停止运动时，点也随之停止，连接，设运动时间为，的面积为，则下列图象能大致反映与之间函数关系的是（ ）
B．C．D．
【答案】B
【详解】解：∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，，
∴∠B＝60°，，，
∵CD⊥AB，
∴，，，
∴当M在AD上时，0≤t≤3，
，，
∴，
当M在BD上时，3＜t≤4，
，
∴，
故选：B．
【典例8】如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m，以B为原点、AB所在水平线为x轴建立坐标系，拱桥对应抛物线的解析式为______．
【答案】（或）
【详解】解：以B为原点、AB所在水平线为x轴建立坐标系，
由题意得A（-4，0），顶点（-2，2），
设抛物线的解析式为：
把A（-4，0）代入，得
4a＝﹣2，解得a，
所以抛物线解析式为．
故答案为：．
【即学即练】小明和小丽先后从A地出发沿同一直道去B地．设小丽出发第x分钟时，小丽、小明离B地的距离分别为米、米，y1与x之间的函数表达式是＝﹣180x+2250，与x之间的函数表达式是＝﹣10﹣100x+2000．小丽出发至小明到达B地这段时间内，两人之间的最近距离为 ___米．
【答案】90
【详解】解：设小丽出发第x min时，两人相距s m，则
，
∴当x＝4时，s取得最小值，此时最小值s＝90，
答：小丽出发第4min时，两人相距最近，最近距离是90m．
故答案为：90．
分层提分
题组A 基础过关练
1．下列各式中，y是关于x的二次函数的是（ ）
A．y＝4x+2B． C． D．y＝
【答案】C
【详解】解：A．y=4x+2，是一次函数，故A不符合题意；
B．，当a≠0时，才是二次函数，故B不符合题意；
C．，是二次函数，故C符合题意；
D．y＝，等号右边是分式，不是二次函数，故D不符合题意；
故选：C．
2．把抛物线向上平移个单位，向右平移个单位，得到（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】抛物线向上平移1个单位，可得，再向右平移2个单位得到的抛物线是．
故选：D．
3．二次函数中，的取值范围是（ ）
A．B．C．D．一切实数
【答案】C
【详解】解：∵函数是二次函数，
∴，
∴．
故选：C．
4．对二次函数y＝x2﹣2x的图像性质描述，正确的是（ ）
A．开口向下
B．对称轴是y轴
C．经过原点
D．对称轴右侧图像呈下降趋势
【答案】C
【详解】解：y=x2-2x=（x-1）2-1，
A．由a=1＞0可知抛物线开口向上，此选项错误；
B．抛物线的对称轴为直线x=1，此选项错误；
C．当x=0时，y=0，即此抛物线经过原点，此选项正确；
D．由a＞0且对称轴为直线x=1知，当x＞1，即对称轴右侧时，y随x的增大而增大，此选项错误；
故选：C．
5．据省统计局公布的数据，合肥市2021年第一季度GDP总值约为2.4千亿元人民币，若我市第三季度GDP总值为y千亿元人民币，平均每个季度GDP增长的百分率为x，则y关于x的函数表达式是（ ）
A．y＝2.4（1+2x）B．y＝2.4（1-x）2
C．y＝2.4（1+x）2D．y＝2.4+2.4（1+x）+2.4（1+x）2
【答案】C
【详解】解：设平均每个季度GDP增长的百分率为x，
则y关于x的函数表达式是：y=2.4（1+x）2．
故选：C．
6．某公园有一个圆形喷水池，喷出的水流呈抛物线状，一条水流的高度与水流时间之间的解析式为，那么水流从抛出至落到地面所需要的时间是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】在h＝30t−5t2中，令h＝0可得30t−5t2＝0，
解得：t＝0或t＝6，
所以水流从抛出至落到地面所需要的时间是6s，
故选：B．
7．若是关于的二次函数，则的值为____．
【答案】2
【详解】解：由题意可知 m2-2=2，m+2≠0，
解得：m=2．
故答案为：2．
8．如图所示，抛物线与轴的两个交点分别为A和，当时，_________．
【答案】-1或2##2或-1
【详解】根据题意，得，
∵抛物线与轴的两个交点分别为A和
∴当时，-1或2
故答案为：-1或2．
9．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点，与x轴交于点A、B（点A在点B左侧）．
（1）求二次函数的解析式及顶点坐标；
（2）根据图象直接写出当y＞0时，自变量x的取值范围．
【答案】（1），；（2）或．
【详解】解：（1）将代入得，
，
，
，
顶点坐标为；
（2）令得，
解得，，
，，
当时，自变量的取值范围是或．
10．普洱茶是中国十大名茶之一，也是中华古老文明中的一颗瑰宝．某公司经销某种品牌普洱茶，每千克成本为50元．经市场调查发现：每周销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）满足一次函数关系，部分数据如下表所示，
解答下列问题：
（1）求y与x的函数关系式；
（2）求这一周销售这种品牌普洱茶获得的利润W元的最大值；
（3）物价部门规定茶叶销售单价不得高于90元/千克，公司想获得不低于2000元周利润，请计算销售单价范围．
【答案】（1）；（2）2450元；（3）
【详解】解：（1）设y与x的函数关系式为，把和分别代入得：
解得：．
∴y与x的关系式为；
（2）由题意知：，
∴W与x的关系式为：，
∴，
∴当时，在内，W的值最大为2450元
（3）若公司想获得不低于2000元周利润，则，
解得，所以当时，，
又∵物价部门规定茶叶销售单价不得高于90元/千克，
∴销售单价范围为：．
题组B 能力提升练
1．已知函数 的图像与x轴有交点，则k的取值范围是（ ）
A．k