人教版九年级数学上册同步讲义专题第21课 弧、弦、圆心角、圆周角（教师版）

这是一份人教版九年级数学上册同步讲义专题第21课 弧、弦、圆心角、圆周角（教师版），共28页。试卷主要包含了圆心角定义，定理，推论，圆内接四边形，弦、弧、圆心角、弦心距的关系等内容，欢迎下载使用。

知识点01 弧、弦、圆心角的关系
1．圆心角定义
如图所示，∠AOB的顶点在圆心，像这样顶点在圆心的角叫做圆心角．
2．定理：
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．
3．推论：
在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦也相等．
在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧也相等．
【注意】
(1)一个角要是圆心角，必须具备顶点在圆心这一特征.
(2)注意定理中不能忽视“同圆或等圆”这一前提.
知识点02 圆周角
1．圆周角定义
像图中∠AEB、∠ADB、∠ACB这样的角，它们的顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．
2．圆周角定理
在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
3．圆周角定理的推论
半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
【注意】
(1)圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上；②角的两边都和圆相交.
(2)圆周角定理成立的前提条件是在同圆或等圆中.
4．圆内接四边形
(1)定义: 圆内接四边形：顶点都在圆上的四边形，叫圆内接四边形．
(2)性质：圆内接四边形对角互补，外角等于内对角(即它的一个外角等于它相邻内角的对角)．
5．弦、弧、圆心角、弦心距的关系
在同圆或等圆中，弦，弧，圆心角，弦心距等几何量之间是相互关联的，即它们中间只要有一组量相等。(例如圆心角相等)，那么其它各组量也分别相等(即相对应的弦、弦心距以及弦所对的弧也分别相等)。如果它们中间有一组量不相等，那么其它各组量也分别不等。
考法 圆心角、弧、弦之间的关系及应用
【典例1】下列命题中，正确的是（ ）
A．和半径垂直的直线是圆的切线B．平分直径一定垂直于弦
C．相等的圆心角所对的弧相等D．垂直于弦的直径必平分弦所对的弧
【答案】D
【详解】A项还可能与圆相交，故错误不选；
B项过圆心的直线都平分直径，但不一定垂直于弦，故错误不选；
C项如果半径不等，则对应的弧也不相等，故错误不选；
D项说法正确．
故答案选D．
【即学即练】下列四个命题中，真命题是( )
A．如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等
B．圆是轴对称图形， 任何一条直径都是圆的对称轴
C．平分弦的直径一定垂直于这条弦
D．等弧所对的圆周角相等
【答案】D
【详解】解：A、在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，故此选项错误，不符合题意；
B、圆是轴对称图形， 任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴，故此选项错误，不符合题意；
C、平分弦（非直径）的直径一定垂直于这条弦，故此选项错误，不符合题意；
D、等弧所对的圆周角相等正确，故此选项正确，符合题意，
故选：D．
【典例2】如图，⊙O的半径为9cm，AB是弦，OC⊥AB于点C，将劣弧AB沿弦AB折叠交于OC的中点D，则AB的长为（ ）
A．2B．3C．4D．6
【答案】D
【详解】解：连接OA，
∵将劣弧沿弦AB折叠交于OC的中点D，
∴OCr＝6（cm），OC⊥AB，
∴AC＝CB3（cm），
∴AB＝2AC＝6（cm），
故选：D．
【即学即练】如图，AB是⊙的直径，点D是弧AC的中点，过点D作于点E，延长DE交⊙于点F，若，⊙的直径为10，则AC长为（ ）
A．5B．6C．7D．8
【答案】D
【详解】解：连接，如图：
，过圆心，
，，
为弧的中点，
，
，
，
的直径为10，
，
，
，
在中，由勾股定理得：，
，
，
故选：D．
【典例3】如图，为的直径，是弦，且于点E．连接、、．
(1)求证：；
(2)若，求弦的长．
【答案】(1)见解析
(2)弦BD的长为16cm
【详解】（1）∵AC为⊙O的直径，且AC⊥BD，
∴
∴∠ABD＝∠C，
∵OB＝OC，
∴∠C＝∠CBO，
∴∠CBO＝∠ABD；
（2）∵AE＝4，CE＝16，
∴OA＝10，OE＝6，
在Rt△OBE中，，
∵AC为⊙O的直径，且AC⊥BD，
∴BE＝DE，
∴BD＝2BE＝16cm．
【即学即练】如图，⊙O的弦AB、DC的延长线相交于点E．
(1)如图1，若为120°，为50°，求∠E的度数；
(2)如图2，若AE＝DE，求证：AB＝CD．
【答案】(1)∠E＝35°
(2)见解析
【详解】（1）连接AC，
∵为120°，为50°，
∴，，
∴∠E＝∠ACD-∠BAC＝60°-25°＝35°；
（2）证明：连接AC、BD，
∵，
∴∠A＝∠D，
在△ACE和△DBE中，
，
∴△ACE≌△DBE（ASA），
∴BE＝CE，
∵AE＝DE，
∴AE-BE＝DE-CE，
即AB＝CD．
题组A 基础过关练
1．圆的一条弦把圆分为度数比为的两条弧，则弦心距与弦长的比为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】∵弦AB把⊙O分成度数比为1：3两条弧，
∴弦所对的圆心角∠AOB=，
∴△AOB是等腰直角三角形，
过点O做OC⊥AB于C，
∴,
∴弦心距与弦长的比为1：2．
故选：D．
2．下列命题：①三点确定一个圆；②直径是圆的对称轴；③平分弦的直径垂直于弦；④三角形的外心到三角形三边的距离相等；⑤相等的圆心角所对的弧相等，正确命题的个数是（ ）
A．0个B．1个C．2个D．3个
【答案】A
【详解】解：①不在同一条直线上的三个点确定一个圆，故本小题错误；
②直径所在的直线为圆的对称轴，故本小题错误；
③平分弦的直径垂直于弦（非直径），故本小题错误；
④三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等，故本小题错误；
⑤在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故本小题错误．
∴正确命题的个数为0个．
故选：A．
3．如图，点A、B、C、D在⊙O上，∠AOC=140°，点B是的中点，则∠D的度数是（ ）
A．70°B．60°C．40°D．35°
【答案】D
【详解】解：连接OB，如图所示，
∵点B是的中点，∠AOC=140°，
∴∠AOB=∠AOC=70°，
由圆周角定理得，∠D=∠AOB=35°，
故选：D．
4．如图，在⊙O中，弦AB与直径CD垂直，垂足为E，则下列结论中错误的是（ ）
A．AE=BEB．CE=DEC．AC=BCD．AD=BD
【答案】B
【详解】∵CD⊥AB，CD为直径，
∴AE=BE，弧AD=弧BD，弧AC=弧BC，CE＞DE，
AD=BD,AC=BC,
故选:B．
5．如图，AB是⊙O的弦，点C是的中点，OC交AB于点D．若，⊙O的半径为5，则（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【详解】解：如图，连接OA，OB，
∵C是的中点，
∴=，
∴∠AOC=∠BOC，
又∵OA=OB=5，AB=8，
∴OC⊥AB，AD=BD=AB=4（等腰三角形的三线合一），
在Rt△AOD中
由勾股定理得：OD=，
∴CD=OC-OD=5-3=2．
故选：B．
6．如图，已知AB和CD是⊙O的两条等弦，OM⊥AB、ON⊥CD，垂足分别为M、N，BA、DC的延长线交于点P，连接OP．下列四个说法：①=；②OM=ON；③PA=PC；④∠BPO=∠DPO；正确的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】D
【详解】解：如图连接OB、OD；
∵AB=CD，
∴=，故①正确；
∵OM⊥AB，ON⊥CD，
∴AM=MB，CN=ND，
∴BM=DN，
∵OB=OD，
∴Rt△OMB≌Rt△OND，
∴OM=ON，故②正确；
∵OP=OP，
∴Rt△OPM≌Rt△OPN，
∴PM=PN，∠OPB=∠OPD，故④正确；
∵AM=CN，
∴PA=PC，故③正确，
综上，四个选项都正确，
故选：D．
7．如图，在⊙O中，弧AB＝弧BC＝弧CD，连接AC，CD，则AC______2CD（填“＞”、“＜”或“＝”）
【答案】
【详解】解：如图，连接AB、BC，
∵弧AB＝弧BC＝弧CD，
∴AB=BC=CD，
∵ ，
∴．
故答案为：
8．如图，在⊙O中，，∠1＝45°，则的度数为 ___．
【答案】
【详解】解：∵，
∴∠2=∠1=45°，
，
故答案为：．
9．已知，如图，A、B、C、D是⊙O上的点，∠AOB＝∠COD，求证：AC＝BD
【答案】见解析
【详解】证：∵
∴
∴
10．如图，在RtΔABC中，∠BAC=90°，以点A为圆心，AC长为半径作圆，交BC于点D，交AB于点E，连接DE．
（1）若∠ABC=20°，求∠DEA的度数；
（2）若AC=3，AB=4，求CD的长．
【答案】（1）65°；（2）．
【详解】解：（1）如图，连接AD．
∵∠BAC=90°，∠ABC=20°，
∴∠ACD=70°．
∵AC=AD，
∴∠ACD=∠ADC=70°，
∴∠CAD=180°-70°-70°=40°，
∴∠DAE=90°-40°=50°．
又∵AD=AE，
∴∠DEA=∠ADE= (180°−50°) =65°；
（2）如图，过点A作AF⊥CD，垂足为F．
∵∠BAC=90°，AC=3，AB=4，
∴BC=5．
又∵•AF•BC=•AC•AB，
∴AF=，
∴CF=．
∵AC=AD，AF⊥CD，
∴CD=2CF=．
题组B 能力提升练
1．如图，BD是的直径，弦AC交BD于点G．连接OC，若，，则的度数为（ ）
A．98°B．103°C．108°D．113°
【答案】C
【详解】解：∵∠COD=126°，
∴∠COB=54°，
∴，
∵BD是圆O的直径，
∴∠BAD=90°，
∵，
∴AB=AD，
∴∠ABD=∠ADB=45°，
∴∠AGB=180°-∠BAG-∠ABG=108°，
故选C．
2．将一张正方形的透明纸片ABCD和按如图位置叠放，顶点A、D在上，边AB、BC、CD分别与相交于点E、F、G、H，则下列弧长关系中正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【详解】如图，连接，过点作，交于，交于，则，
四边形是正方形，
，，
，
四边形是矩形，
，
，
，
，
，
A. ，，故该选项不正确，不符合题意；
B. ，，故该选项不正确，不符合题意；
C. ，，故该选项正确，符合题意；
D.，，故该选项不正确，不符合题意；
故选：C.
3．如图，点A，B，C，D是⊙O上的四个点，且，OE⊥AB，OF⊥CD，则下列结论错误的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】解：在⊙O中，
∵
∴，
故A、C选项正确，不符合题意；
∵，OA=OD，OB=OC
∴
∴
∵OE⊥AB，OF⊥CD，
∴
∴OE=OF
故B选项正确，不符合题意．
故选D
4．下列命题是真命题的是（ ）
A．相等的弦所对的弧相等
B．圆心角相等，其所对的弦相等
C．在同圆或等圆中，圆心角不等，所对的弦不相等
D．弦相等，它所对的圆心角相等
【答案】C
【详解】解：A、B、D结论若成立，都必须以“在同圆或等圆中”为前提条件，所以A、B、D错误；
故选：C．
5．如图，AB 为⊙O 的直径，点 D 是弧 AC 的中点，过点 D 作 DE⊥AB 于点 E，延长 DE 交⊙O 于点 F，若 AC＝12，AE＝3，则⊙O 的直径长为（ ）
A．7.5B．15
C．16D．18
【答案】B
【详解】解：如图，连接OF．
∵DE⊥AB，
∴DE=EF，，
∵点D是弧AC的中点，
∴，
∴，
∴AC=DF=12，
∴EF=DF=6，
设OA=OF=x，
在Rt△OEF中，则有x2=62+（x-3）2，
解得x=，
∴AB=2x=15，
故选：B．
6．如图，是的直径，且，点，在上，，，点是线段的中点，则（ ）
A．1B．C．3D．
【答案】B
【详解】∵，，
∴，
∴，
∵，为中点，
∴，，
∵，
∴，
∴，
故选B．
7．如图，A，B，C，D是⊙O上的四个点，∠BAC=42°，OD⊥BC于点E，则∠BDE为_____°．
【答案】69
【详解】解：如图，连接CD，
∵A，B，C，D是⊙O上的四个点，
∴∠BDC+∠BAC=180°，
∵∠BAC=42°，
∴∠BDC =180°-42°=138°，
∵OD⊥BC，
∴，
∴BD=CD，
∴∠BDE=∠BDC=，
故答案为：69．
8．如图，⊙O的半径为，四边形ABCD内接于⊙O，AC⊥BD，垂足为E，且BC=2AD，则AD+BC的值为_______．
【答案】12
【详解】解：如图，作直径BF，连接DF，FC．
∵BF是直径，
∴∠BDF=∠BCF=90°，
∴BD⊥DF，
∵AC⊥BD，
∴DF∥AC
∴DFAC，
∴∠CDF=∠ACD，
∴，
∴AD=FC，
∵BC=2AD，
∴BC=2FC，
∴可以假设FC=k，BC=2k，
∴k2+（2k）2=（4）2，
∴k=4或-4（舍弃），
∴BC=8，FC=4，
∴AD=FC=4，
∴AD+BC=4+8=12，
故答案为：12．
9．如图，已知C，D是以AB为直径的⊙O上的两点，连接BC，OC，OD，若OD//BC，求证：D为的中点．
【答案】见解析
【详解】，
，.
，
，
.
.
∴D为的中点．
10．如图，已知AB、AC是⊙O的两条弦，且AO平分∠BAC．点M、N分别在弦AB、AC上，满足AM＝CN．
（1）求证：AB＝AC；
（2）联结OM、ON、MN，求证：．
【答案】（1）见解析；（2）见解析．
【详解】证明：（1）过点O作OD⊥AB于点D，OE⊥AC于点E，如图所示：
∵AO平分∠BAC．
∴OD＝OE．
，
．
，
，
∴AB＝AC；
（2）联结OB，OM，ON，MN，如图所示，
∵AM＝CN，AB＝AC
∴BM＝AN．
∵OA＝OB，
∴∠B＝∠BAO．
∵∠BAO＝∠OAN，
∴∠B＝∠OAN，
∴△BOM≌△AON（SAS），
∴∠BOM＝∠AON，OM＝ON，
∴∠AOB＝∠MON，
∴△NOM∽△BOA，
∴．
题组C 培优拔尖练
1．如图，AB，CD是的弦，延长AB，CD相交于点P．已知，，则的度数是（ ）
A．30°B．25°C．20°D．10°
【答案】C
【详解】解：如图，连接OB，OD，AC，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴．
∴的度数20°．
故选：C．
2．有一直径为的圆，且圆上有、、、四点，其位置如图所示．若，，，，，则下列弧长关系何者正确？（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】B
【详解】解：连接，，
直径，，，
，
，
，
，
，
直径，，，
，
，
，
，
所以B符合题意，
故选：B．
3．如图，A，B是⊙O上的点，∠AOB＝120°，C是的中点，若⊙O的半径为5，则四边形ACBO的面积为（ ）
A．25B．25C．D．
【答案】D
【详解】解：连OC，如图，
∵C是的中点，∠AOB=120°，
∴∠AOC=∠BOC=60°，
又∵OA=OC=OB，
∴△OAC和△OBC都是等边三角形，
∴S四边形AOBC=．
故选：D．
4．如图，在半径为5的中，弦BC，DE所对的圆心角分别是，．若，，则弦BC的弦心距为（ ）.
A．B．C．4D．3
【答案】D
【详解】作AH⊥BC于H，作直径CF，连接BF，如图，
∵∠BAC+∠EAD=180°，
而∠BAC+∠BAF=180°，
∴∠DAE=∠BAF，
∴，
∴DE=BF=6，
∵AH⊥BC，
∴CH=BH，
而CA=AF，
∴AH为△CBF的中位线，
∴AH=BF=3,
故选：D.
5．如图，直线l1∥l2，点A在直线l1上，以点A为圆心，适当长度为半径画弧，分别交直线l1，l2于B，C两点，以点C为圆心，CB长为半径画弧，与前弧交于点D（不与点B重合），连接AC，AD ，BC，CD，其中AD交l2于点E．若∠ECA＝40°，则下列结论错误的是（ ）
A．∠ABC =70°B．∠BAD =80°C．CE =CDD．CE =AE
【答案】C
【详解】A.∵直线l1∥l2，
∴∠ECA＝∠CAB＝40°，
∵以点A为圆心，适当长度为半径画弧，分别交直线l1，l2于B，C两点，
∴BA＝AC＝AD，
∴∠ABC＝＝70°，故A正确，不符合题意；
B.∵以点C为圆心，CB长为半径画弧，与前弧交于点D（不与点B重合），
∴CB＝CD，
∴∠CAB＝∠DAC＝40°，
∴∠BAD＝40°＋40°＝80°，故B正确，不符合题意；
C.∵∠ECA＝∠BAC＝40°，
∴∠CAD＝40°，
∴∠BAD＝∠CED＝80°，
∵∠CDA＝∠ABC＝70°，
∴CE≠CD，故C错误，符合题意；
D.∵∠ECA＝40°，∠DAC＝40°，
∴∠ECA=∠DAC，
∴CE＝AE，故D正确，不符合题意．
6．如图，在⊙O中，AB是⊙O的直径，OB＝5，，点E是点D关于AB的对称点，M是AB上的一动点，下列结论：①的长度是；②∠CED＝∠DOB；③DM⊥CE；④CM+DM的最小值是10，上述结论中正确的个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【详解】解：，点是点关于的对称点，
，
，
的长度是，
①正确；
，
②正确；
的度数是，
的度数是，
只有当和重合时，，
，
只有和重合时，，
③错误；
作关于的对称点，连接，交于，连接交于，此时的值最短，等于长，
连接，
，并且弧的度数都是，
，，
，
是的直径，
即，
的最小值是10，
④正确；
综上所述，正确的个数是3个．
故选：．
7．如图，点A、B、C、D、E都是圆O上的点，，∠B＝116°，则∠D的度数为______度．
【答案】128
【详解】解：连接AD．
∵，
∴∠ADC=∠ADE，
∵∠B+∠ADC=180°，
∴∠ADC=180°-116°=64°，
∴∠CDE=2×64°=128°，
故选：128．
8．如图，在扇形BOC中，，OD平分交弧BC于点D．点E为半径OB上一动点，若，则长的最小值为______．
【答案】
【详解】如图，作点D关于OB的对称点D′，连接D′C交OB于点E′，连接OD′，
此时E′C+E′D最小，即：E′C+E′D=CD′，
由题意得，∠COD=∠DOB=∠BOD′=30°，
∴∠COD′=90°，
∴CD′=，
故答案为．
9．如图，上依次有，，，四个点，弧弧，连接，，，延长到点，使，连接，是的中点，连接，求证：．
【答案】证明见解析
【详解】证明：连接AC，
∵AB=BE，
∴点B为AE的中点，
∵F是EC的中点，
∴BF为△EAC的中位线，
∴BF=，
∵，
∴ ，
∴BD=AC，
∴BF=．
10．已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，D为弧BC的中点．
（1）如图①，连接AC，AD，OD，求证：ODAC；
（2）如图②，过点D作DE⊥AB交⊙O于点E，直径EF交AC于点G，若G为AC的中点，⊙O的半径为2，求AC的长．
【答案】（1）证明见解析；（2）．
【详解】（1）证明：为的中点，
，
∴，
，
∴，
∴，
；
（2）解：为中点，
，
由（1）得：，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
．
课程标准
（1）了解圆心角、圆周角的概念；
（2）理解圆周角定理及其推论，能灵活运用圆周角的定理及其推理解决有关问题；
（3）掌握在同圆或等圆中，三组量：两个圆心角、两条弦、两条弧，只要有一组量相等，就可以推出其它两组量对应相等，及其它们在解题中的应用．