人教版七年级数学上册同步讲义专题2.1 整式讲练（学生版）（人教版）

这是一份人教版七年级数学上册同步讲义专题2.1 整式讲练（学生版）（人教版），共16页。试卷主要包含了代数式，单项式，多项式，整式，代数式书写规范等内容，欢迎下载使用。
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1.代数式：用基本运算符号把数和字母连接而成的式子叫做代数式，如n,-1,2n+500,abc。单独的一个数或一个字母也是代数式。
2.单项式：表示数与字母的乘积的代数式叫单项式。单独的一个数或一个字母也是代数式。
单项式的系数：单项式中的数字因数
单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数和
3.多项式：几个单项式的和叫做多项式。每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项。
多项式里次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数。常数项的次数为0。
4.整式：单项式和多项式统称为整式。
注意：分母上含有字母的不是整式。
5.代数式书写规范：
数与字母、字母与字母中的乘号可以省略不写或用“·”表示，并把数字放到字母前；
出现除式时，用分数表示；
带分数与字母相乘时，带分数要化成假分数；
若运算结果为加减的式子，当后面有单位时，要用括号把整个式子括起来。
考点精讲
考点1：单项式的定义及判定
典例：（1）（2022·全国·七年级专题练习）下列说法正确的是（ ）
A． 的系数是3B．的次数是3
C． 的系数是D．的次数是2
（2）（2022·河南许昌·七年级期末）若单项式的系数是m，次数是n，则（ ）
A．B．C．D．
巩固练习
1．（2022·全国·七年级专题练习）下列代数式中，为单项式的是（ ）
A． B．aC． D．
2．（2022·陕西西安·七年级期末）下列说法正确的是（ ）
A．的系数是B．2不是单项式
C．单项式的次数是4D．是多项式
3．（2023·江苏·七年级专题练习）下列代数式中，不是单项式的是（ ）
A．a2B．2aC．D．a+2
4．（2021·黑龙江·塔河县第一中学校七年级期中）下列各式中a，－2ab，x+y，x2+y2 ，－1，5ab2c3，单项式共有（ ）
A．6个B．5个C．4个D．3个
5．（2021·云南·文山二中九年级阶段练习）按一定规律排列的单项式：2x，4x3，8x5，16x7，32x9，64x11，…，则第n个单项式是（ ）
A．2nxn＋1B．2nxn－1C．2nx2n－1D．2nx2n＋1
6．（2022·全国·七年级课时练习）在代数式，，，12，，中，单项式有___________个．
7．（2021·广东·肇庆市颂德学校七年级期中）单项式的系数为________．
8．（2021·广东·雷州市第三中学七年级期中）单项式的系数是________，次数是________．
9．（2022·山东潍坊·七年级期末）请你写出一个系数为3，次数为4，只含字母a、b的单项式：________．
10．（2022·山东济宁·七年级期末）请写出一个含字母 ，系数是，次数是3的单项式________ (写出一个即可)．
11．（2022·全国·七年级课时练习）一个单项式满足下列两个条件：①系数是；②次数是4．写出一个满足上述条件的单项式：________．
12．（2021·广东·肇庆市颂德学校七年级期中）单项式……，它有一定的规律性，则第n个单项式为_________．
考点2：多项式的定义及判定
典例：（1）（2021·广西崇左·七年级期中）关于多项式，下列说法正确的是（ ）
A．它是三次四项式B．它的一次项系数是4
C．它的常数项是1D．它的最高次项是
（2）（2022·全国·七年级专题练习）把下列各代数式填在相应的大括号里．（只需填序号）
①x－7；②；③4ab；④；⑤；⑥y；⑦；⑧；⑨；⑩；⑪；⑫；⑬－1.
单项式集合_______________；
多项式集合_______________；
整式集合_______________
巩固练习
1．（2020·广东·道明外国语学校七年级期中）在下列代数式：，，，，，中，多项式有( )
A．1个B．2个C．3个D．4个
2．（2021·黑龙江·塔河县第一中学校七年级期中）下列说法正确的是 （ ）
A．- 2不是单项式B．表示负数C．的系数是3D．不是多项式
3．（2020·黑龙江·虎林市实验中学七年级期中）在下列代数式：ab，，ab2＋b＋1，3，x3＋x2－3中，多项式有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
4．（2022·湖南岳阳·七年级期末）下列叙述中，正确的是（ ）
A．单项式的系数是，次数是4B．，，0，都是单项式
C．多项式的常数项是1D．是二次二项式
5．（2022·黑龙江哈尔滨·期末）对于多项式，下列说法中错误的是（ ）．
A．多项式的次数是3B．二次项系数为3C．一次项系数为0D．常数项为1
6．（2022·全国·七年级专题练习）下列代数式中的哪些是单项式，哪些是多项式，哪些是整式？
，4xy，，，x2＋x＋，0，，m，﹣2.01×105
整式集合：{_______________ …}
单项式集合：{__________ …}
多项式集合：{_______________…}．
7．（2022·山东烟台·期末）多项式x2y﹣3x﹣的常数项是 _____．
8．（2022·山东烟台·期末）已知关于x，y的多项式x2ym+1+xy2﹣2x3﹣5是六次四项式，单项式3x2ny5﹣m的次数与这个多项式的次数相同，则m﹣n＝_____．
9．（2022·全国·七年级课时练习）多项式a3b - a2+3ab2－4a5+3是______次______项式，按a的降幂排列的结果____________．
10．（2022·湖南·衡阳市田家炳实验中学七年级阶段练习）把多项式按y降幂排列____________．
11．（2022·福建泉州·七年级期末）把多项式按x的降幂排列得：__________．
12．（2021·湖南·衡阳市华新实验中学七年级阶段练习）多项式﹣3x3y﹣1+2xy2﹣y3按照y的降幂排列为 _____．
13．（2022·全国·七年级课时练习）定义：f（a，b）是关于a，b的多项式，如果f（a，b）＝f（b，a），那么f（a，b）叫做“对称多项式”．例如，如果f（a，b）＝a2+a+b+b2，则f（b，a）＝b2+b+a+a2，显然，所以f（a，b）＝f（b，a）是“对称多项式”．
(1)f（a，b）＝a2﹣2ab+b2是“对称多项式”，试说明理由；
(2)请写一个“对称多项式”，f（a，b）＝ （不多于四项）；
14．（2022·全国·七年级专题练习）已知（m+1）x3﹣（n﹣2）x2+（2m+5n）x﹣6是关于x的多项式．
(1)当m、n满足什么条件时，该多项式是关于x的二次多项式？
(2)当m，n满足什么条件时，该多项式是关于x的三次二项式？
考点3：列代数式
典例：（1）（2022·江苏·七年级专题练习）下列各式中，符合代数式书写规则的是（ ）
A．B．C．D．2y÷z
（2）（2022·江苏·七年级专题练习）请仔细分析下列赋予4a实际意义的例子，其中错误的是( )
巩固练习
1．（2022·湖南永州·七年级期末）下列各式中，符合代数式书写规则的是（ ）
A．B．C．D．
2．（2022·上海杨浦·期中）“”用语言叙述是（ ）
A．x的绝对值的相反数B．x的相反数的绝对值
C．x的倒数的相反数D．x的倒数的绝对值
3．（2022·四川乐山·八年级期末）一个矩形的周长为，若矩形的长为，则该矩形的宽为( )
A．B．C．D．
4．（2022·全国·七年级专题练习）用代数式表示“a的2倍与b的差的平方”，正确的是（ ）
A．（2a-b）2B．2（a-b）2C．2a-b2D．（a-2b）2
5．（2021·广西南宁·七年级期中）买一个足球需要元，买一个篮球需要元，则买4个足球、5个篮球共需要（ ）
A．元B．元
C．元D．元
6．（2022·河南南阳·七年级期末）“的平方与5的和的相反数减去的差”用代数式表示为（ ）
A．B．
C．D．
7．（2020·广东·道明外国语学校七年级期中）列式表示比a的5倍大4的数与b的差____________．
8．（2022·浙江舟山·七年级期末）用代数式表示：x的2倍与y的平方的差___________．
9．（2022·全国·七年级专题练习）为鼓励节约用水，某地推行阶梯式水价计费制，标准如下：每月用水不超过17吨的按每吨a元计费，超过17吨而未超过30吨的部分按每吨b元计费，超过30吨的部分按每吨c元计费，某户居民上月用水35吨，应缴水费________元．
10．（2022·新疆乌鲁木齐·七年级期末）一条长为m，宽为n的长方形纸条（），分成两个正方形和一个长方形（如图1），现将长方形纸条对折，使边AB与边CD重合，得到折痕MN（如图2），则长方形MNFE的面积是______（用含有m、n的代数式表示）．
11．（2022·江苏·七年级专题练习）说出下列代数式所表示的实际意义．
(1)若一个长方形的长为pcm，宽为qcm，则2（p+q）表示什么？
(2)若n为整数，则（2n﹣1）（2n+1）（2n+3）表示什么？
(3)代数式5a+6b表示什么？
考点4：数字、字母类规律探究
典例：（2022·辽宁大连·八年级期末）按者一定规律排列的一组数：，第n个数是________．（用含有n的式子表示）
巩固练习
1．（2022·陕西咸阳·七年级期末）定义一种正整数n的“T”运算：①当n为奇数时，结果为3n+1；②当n为偶数时，用n连续除以2，直到结果为奇数停止，并且运算重复进行．例如，当＝18时，运算过程如下：
若n＝21，则第2021次“T”运算的结果是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】D
2．（2021·广西南宁·七年级期中）有一列数，从第二个数开始，每一个数都等于1与它前面那个数倒数的差，若 ，则为（ ）
A．2021B．2C．－1D．
3．（2022·山东滨州·七年级期末）已知50个整数满足下列条件：，，，……，，则（ ）
A．-25B．C．-50D．50
4．（2022·全国·七年级课时练习）（阅读理解）计算：
观察算式，我们发现两位数乘11的速算方法：头尾一拉，中间相加，满十进一．
（拓展应用）已知一个两位数，十位上的数字是a，个位上的数字是b，这个两位数乘11，计算结果中十位上的数字可表示为（ ）
A．或B．或
C．D．或
5．（河南省郑州市经开区2021-2022学年七年级下学期期末数学试题）观察：，，，，，用代数式表示这一规律为：______．
6．（2021·广东·雷州市第三中学七年级期中）若a1＝﹣1，a2＝﹣|a1﹣2|，a3＝﹣|a2﹣3|，a4＝﹣|a3﹣4|，…依此类推，则a100＝________．
7．（2022·上海杨浦·期中）观察下列各式：×2 = + 2；×3 = + 3；×4 = + 4；×5 = + 5．设n表示正整数，试用关于n的等式，表示这个规律为： × = + ．
8．（2022·河南南阳·七年级期末）观察如图“品”字形中各数之间的规律，根据观察到的规律得出的值为_______．
9．（2022·湖北恩施·七年级期末）如图将大于0的奇数按照如图排列，则第11行最后一个数是__________．
10．（2022·四川广元·七年级期末）如图，在数轴上，O，，P三点表示的数分别是0，1，2，已知两点到点O的距离相等，两点到点P的距离相等，两点到点O的距离相等，两点到点P的距离相等，…，依此规律，则点表示的数是_________．
11．（2022·山东烟台·期末）观察下列等式：
13＝12；
13+23＝32；
13+23+33＝62；
13+23+33+43＝102；
13+23+33+43+53＝152；
(1)根据以上等式的规律，请你写出第6个等式；
(2)用含n（n为正整数）的式子表示第n个等式；
(3)请用上述规律计算：53+63+73+…+203．
考点5：图形规律探究
典例：（山东省青岛市西海岸新区2021-2022学年七年级下学期期末数学试题）为迎接七一建党节，某社区党委在广场上设计了一座三角形展台，需在它的每条边上摆放上相等盆数的鲜花进行装饰．若每条边上摆放两盆鲜花，共需要3盆鲜花；若每条边上摆放3盆鲜花，共需要6盆鲜花；…，按此要求摆放下去（如图所示，每个小圆圈表示一盆鲜花）
(1)填写下表：
(2)写出需要的鲜花总盆数与之间的关系式______；
(3)能否用2022盆鲜花作出符合要求的摆放？如果能，请计算出每条边上应摆放的盆数；如果不能，请说明理由．
巩固练习
1．（2022·山东济宁·中考真题）如图，用相同的圆点按照一定的规律拼出图形．第一幅图4个圆点，第二幅图7个圆点，第三幅图10个圆点，第四幅图13个圆点……按照此规律，第一百幅图中圆点的个数是（ ）
A．297B．301C．303D．400
2．（2022·湖南永州·七年级期末）汉字文化正在走进人们的日常消费生活．下列图形都是由同样大小的圆点和线段按照一定的规律排列组成的篆书简化“汉”字，其中，图①中共有12个圆点，图②中共有18个圆点，图③中共有25个圆点，图④中共有33个圆点…依此规律则，图⑧中共有圆点的个数是（ ）
A．63B．75C．88D．102
3．（2022·陕西咸阳·七年级期末）如图，是一组有规律的图案，它们是由边长相同的小正方形组成的，其中部分小正方形涂有阴影，按照这样的规律，第2022个图案中涂有阴影的小正方形个数是（ ）
A．8089B．8088C．4044
D．4045
4．（2022·浙江舟山·七年级期末）已知某点阵的第①②③个图如图所示，按此规律第（ ）个点阵图中，点的个数为2022个．
A．1009B．2018C．2022D．2048
5．（2022·河南驻马店·七年级期末）如图所示，用火柴棍摆成第1个图形所需要的火柴棍的根数是4，摆成第2个图形所需要的火柴棍的根数是12，摆成第3个图形所需要的火柴棍的根数是24，按照此类图形的结构规律，摆成第10个图形所需要的火柴棍的根数是（ ）
A．196B．100C．220D．200
6．（2022·浙江衢州·七年级期末）如图1所示，一块瓷砖表面有四条分割线，由分割线可构成一个正方形图案．图2由两块瓷砖铺成，分割线可构成3个正方形．图3由四块瓷砖铺成，分割线可构成9个正方形．若用十二块瓷砖铺成长方形，则由分割线可构成的正方形数不可能是（）
A．35B．33C．28D．23
7．（2021·广东·雷州市第三中学七年级期中）如图（1）表示1张餐桌和6张椅子（每个小半圆代表1张椅子），若按这种方式摆放n张餐桌需要的椅子张数是________．
8．（2022·河北保定·七年级期末）如图，自行车每节链条的长度为，交叉重叠部分的圆的直径为．
（1）4节链条拉直后长度为_______；
（2）n节链条拉直后长度为_______；
（3）如果一辆自行车的链条由50节这样的链条首尾环形相连组成，那么该自行车链条环的长度是_______．
9．（2022·湖北宜昌·九年级期末）（1）探究：已知，如图是一个三角形点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有一个点，第二行有两个点…第n行有n个点…容易发现，10是三角形点阵中前4行的点数和．
①求三角形点阵中前10行的点数和；
②若三角形点阵中前a行的点数之和为300，求a的值；
③三角形点阵中前b行的点数之和 是600吗？（填“能”或“不能”）
（2）拓展：若果把（1）的三角形点阵中各行的点数依次换为2，4，6，…，2n，…，
①求这个三角形点阵中前n行点数和（用含n的代数式表示）；
②这个三角形点阵中前n行点数和能是600吗？若能，求出n；若不能，请说明理由．
10．（2022·山东青岛·七年级期末）阅读下列材料并完成
将边长为n（n≥2）的正方形四条边分别n等分，连接对应的各分点，则图形中一共有多少个正方形？
问题探究：
为了解决上面的问题，我们先研究特殊的情形，再逐次递进最后得出结论．
探究一：将一个边长为2的正方形四条边分别平分，连接各边对应的中点，则图形中一共有多少个正方形？
如图1，连接边长为2的正方形四条边的中点，边长为1的正方形有22＝4个；边长为2的正方形有12＝1个，总共有12+22＝1+4＝＝5个正方形．
探究二：将一个边长为3的正方形四条边分别三等分，连接各边对应的三等分点，则图形中一共有多少个正方形？
如图2，连接边长为3的正方形四条边对应的三等分点，边长为1的正方形有32＝9个；边长为2的正方形有22＝4个；边长为3的正方形有12＝1个，总共有12+22+32＝1+4+9＝＝14个正方形．
(1)探究三：请你仿照上面的方法，探究将边长为4的正方形四条边四等分，连接各边对应的四等分点，则图形中一共有多少个正方形？（在图3中画出示意图，并写出探究过程）
(2)探究四：将边长为5的正方形四条边五等分，连接各边对应的五等分点，则图形中一共有 个正方形．
(3)问题解决：将边长为n（n≥2）的正方形四条边分别n等分，连接各边对应的n等分点，则图形中一共有 个正方形？
(4)应用拓展：计算：1+3+8+24+…+899＝ ．
能力提升
一、单选题（每题3分）
1．（2022·广西河池·七年级期末）单项式系数与次数分别是（ ）．
A．2，2B．2，3C．-2，3D．-2，2
2．（2022·甘肃酒泉·七年级期末）下列代数式的书写格式规范的是（ ）
A．a×b÷5+1B．C．ab2D．
3．（2022·河南鹤壁·七年级期末）多项式是关于的四次三项式，则的值是（ ）
A．4B．C．D．4或
4．（2022·浙江衢州·七年级期末）如图，直角三角尺中阴影部分的面积可以表示为（ ）
A．ab﹣πr2B．﹣πr2C．ab﹣2πrD．﹣2πr2
5．（2021·广东·雷州市第三中学七年级期中）观察下列关于x的单项式，探究其规律，x，3x2，5x3，7x4，9x5，11x6…按照上述规律第2021个单项式是（ ）
A．2021x2021B．4041x2020C．4041x2021D．4043x2021
6．（2022·山东临沂·七年级期末）植物园内，月季花按正方形种植，在它的周围种植牵牛花，如图反映了月季花的列数（n）和牵牛花的数量规律，那么当n＝2021时，牵牛花的数量为（ ）
A．8076株B．8080株C．8084株D．8088株
二、填空题（每题3分）
7．（2022·全国·七年级课时练习）写出一个只含字母x、y，并且系数为负数的三次单项式 _____．（提示：只要写出一个即可）
8．（2021·云南·川师大昆明附中安宁校区七年级期中）在式子①，②，③，④，⑤，⑥，⑦0中，整式有______个．
9．小王用100元人民币买3枚面值为a元的邮票，应找回__________元．
10．（2022·甘肃酒泉·七年级期末）多项式 是________次_______项式．
11．（2022·四川眉山·七年级期末）多项式按x的降幂排列为_____．
12．（贵州省黔东南州2020-2021学年七年级上学期期末考试数学试题）对于正数，规定，例如：，，，…利用以上的规律计算：____．
三、解答题（13题5分，14题6分，15题7分）
13．（2022·全国·七年级专题练习）已知代数式：①，②，③，④，⑤，⑥，⑦，⑧，⑨．
其中属于单项式的有_________________；（填序号）
属于多项式的有____________________；（填序号）
属于整式的有__________________________．（填序号）
14．（2022·江苏·七年级专题练习）某花卉基地购买了一批水培植物营养液，已知甲种营养液每瓶2L，乙种营养液每瓶3L．
(1)若花卉基地购买了甲种营养液m箱（每箱12瓶），乙种营养液n箱（每箱10瓶），共QL．用含m，n的式子表示Q；
(2)若购进甲种营养液瓶，乙种营养液瓶，用科学记数法表示Q．
15．（2022·福建泉州·七年级期末）如图，每个图形都由同样大小的正方形按照一定的规律组成，每个正方形的面积是1．
根据图形与等式的关系解答下列问题：
(1)直接写出图5所反映的等式： ；
(2)直接写出图n所反映的等式： ；
(3)根据（2）的结论计算：．
每条边上摆放的盆数（）
2
3
4
5
6
…
需要的鲜花总盆数（）
3
6
9
…