人教版七年级数学上册同步讲义专题4.3 角（教师版）（人教版）

这是一份人教版七年级数学上册同步讲义专题4.3 角（教师版）（人教版），共88页。试卷主要包含了 角，角的表示，角的度量，角的性质，角的平分线，余角和补角，5°，，183°=18°10′58等内容，欢迎下载使用。
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1. 角：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，两条射线的公共端点叫做这个角的顶点，这两条射线叫做这个角的边。或：角也可以看成是一条射线绕着它的端点旋转而成的。
平角和周角：一条射线绕着它的端点旋转，当终边和始边成一条直线时，所形成的角叫做平角。终边继续旋转，当它又和始边重合时，所形成的角叫做周角。
2.角的表示：
①用数字表示单独的角，如∠1，∠2，∠3等。
②用小写的希腊字母表示单独的一个角，如∠α，∠β，∠γ，∠θ等。
③用一个大写英文字母表示一个独立（在一个顶点处只有一个角）的角，如∠B，∠C等。
④用三个大写英文字母表示任一个角，如∠BAD，∠BAE，∠CAE等。
注意：用三个大写英文字母表示角时，一定要把顶点字母写在中间，边上的字母写在两侧。
3.用一副三角板，可以画出15°，30°，45°，60°，75°，90°，105°，120°，135°，150°，165°
4.角的度量
角的度量有如下规定：把一个平角180等分，每一份就是1度的角，单位是度，用“°”表示，1度记作“1°”，n度记作“n°”。
把1°的角60等分，每一份叫做1分的角，1分记作“1’”。
把1’ 的角60等分，每一份叫做1秒的角，1秒记作“1””。
1°=60’，1’=60”
5.角的性质
（1）角的大小与边的长短无关，只与构成角的两条射线的幅度大小有关。
（2）角的大小可以度量，可以比较
（3）角可以参与运算。
6.角的平分线
从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线。
7.余角和补角
①如果两个角的和是一个直角，这两个角叫做互为余角，简称互余，其中一个角是另一个角的余角。用数学语言表示为如果∠α+∠β=90°，那么∠α与∠β互余；反过来，如果∠α与∠β互余，那么∠α+∠β=90°
②如果两个角的和是一个平角，这两个角叫做互为补角，简称互补，其中一个角是另一个角的补角。用数学语言表示为如果∠α+∠β=180°，那么∠α与∠β互补；反过来如果∠α与∠β互补，那么∠α+∠β=180°
③同角（或等角）的余角相等；同角（或等角）的补角相等。
考点精讲
考点1：钟面上的角度计算
典例：16．（2022·全国·七年级课时练习）钟表上的时针、分针和秒针都在绕钟表中心做旋转运动.
⑴钟表从2点现在，经过20分钟后，分针和时针分别旋转了多少度？
⑵当时间到3：20时，钟表上时针和分针的夹角是多少度？
【答案】（1）分针转动120°，时针转动10°；（2）20°
【分析】（1）根据钟表上每相邻两个数字之间的夹角为30°，分针转动一周需要60分钟，分别得出时针与分针转动1分钟转过的角度，据此即可求得答案；
（2）3：20时，根据时针与分针旋转过的角度进行求解即可.
【详解】（1）∵时钟上的分针匀速旋转一周的度数为360°，需要的时间为60分钟，时针转动60分钟转过的角度为30°，
∴时钟上的分针匀速旋转一分钟时的度数为：360°÷60=6°，
时针旋转一分钟时的度数为：30°÷60=0.5°，
∴分针经过20分钟旋转了6°×20=120°，
时针经过20分钟旋转了0.5°×20=10°；
（2）当时间到3：20分时,钟表上时针和分针的夹角是
（6-0.5）×20-30×3=110-90=20度.
方法或规律点拨
本题考查了钟面角，熟练掌握分针与时针每分钟转过的角度是解题的关键.
巩固练习
1．（2021·河南开封·七年级期中）已知在某个时刻，时钟的时针与分针成一直角，则这时可能是（ ）
A．3：30B．6：15C．9：00D．12：45
【答案】C
【分析】根据钟面角的定义进行判断即可．
【详解】解：由钟面角的定义可知，钟面上每相邻两个数字之间所对应的圆心角为360°×＝30°，
当时间为9：00时，时针指向数字9，分针指向数字12，这时分针与时针的夹角为30°×（12﹣9）＝90°，
其余选项均不符合题意，
故选：C．
【点睛】此题主要考查了钟面角，解题关键是找出时钟的时针与分针相差的大格数．
2．（2022·黑龙江·大庆市庆新中学期末）时钟7：30的分针与时针夹角度数是（ ）
A．55度B．45度C．35度D．60度
【答案】B
【分析】根据时钟上一大格是30°，进行计算即可解答．
【详解】解∶
=30°+15°
=45°，
即时钟7：30的分针与时针夹角度数是45°．
故选：B．
【点睛】本题考查了钟面角，熟练掌握时钟上一大格是30°是解题的关键．
3．（2022·浙江丽水·七年级期末）如图是从图的时钟抽象出来的图形，已知三角形是等边三角形，，当时针正对点时恰好是：，若时针与三角形一边平行时，时针所指的时间不可能是（ ）
A．：B．：C．：D．：
【答案】D
【分析】根据题意可知，需要分三种情况，分别画出图形，可根据时钟得出结论．
【详解】解：根据题意可知，需要分三种情况，如下图所示：.
当时，如图2（1），此时对应的时间为：或：；
当时，如图2（2），此时对应的时间为：或：；
当时，如图2（3），此时对应的时间为：或：；
故选：D．
【点睛】本题主要考查分类讨论思想，对于时钟的认识，找到每种情况是解题关键．
4．（2022·全国·七年级专题练习）小明晚上放学到家时，钟表的时间显示为6点15分（如图），此时时钟的分针与时针所成角的度数是（ ）
A．90°B．92.5°C．97.5°D．102.5°
【答案】C
【分析】根据钟面平均分为12份，每份的圆心角度数为30°，再根据时针和分钟相距的份数乘以30°即可求解．
【详解】解：6点15分时，时针和分钟相距的份数是3+=，
∴6点15分时时钟的分针与时针所成角的度数是×30°=97.5°，
故选：C．
【点睛】本题考查钟面角，确定时针和分钟相距的份数是解答的关键．
5．（2022·江苏无锡·七年级期末）钟面上的时间为8点30分时，时针与分针的夹角为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用钟表表盘的特征解答．
【详解】8点30分，时针和分针中间相差2.5个大格．
∵钟表12个数字，每相邻两个数字之间的夹角为30°，
∴8点30分分针与时针的夹角是2.5×30°=75°．
故选D．
【点睛】用到的知识点为：钟表上12个数字，每相邻两个数字之间的夹角为30°．
6．（2021·黑龙江·哈尔滨市萧红中学校七年级阶段练习）时间为7点30分时，时针和分针形成的小于的角为___________°
【答案】
【分析】利用分针和时针的速度求夹角即可．
【详解】解：分针速度：（度/分），时针速度：（度/分）
则7点30分时夹角为：．
故答案为：
【点睛】本题主要考查时钟上的角度问题，搞清楚时针，分针的转动速度，并转化为行程问题是解题关键．
7．（2021·贵州毕节·七年级阶段练习）（12小时的时钟）时钟是7点20分，这一时刻钟面上时针与分针的夹角（小于平角）是_____°．
【答案】100
【分析】时针在钟面上每分钟转，分针每分钟转，所以钟表上7点20分，时针与分针的夹角相隔3个数字．
【详解】解：钟表上7点20分，时针指向7和8之间，分针指向4，每相邻两个数字之间的夹角为，
则．
故答案为：100．
【点睛】本题考查的是钟表表盘与角度相关的特征，解题的关键是掌握钟表表盘被分成12大格，每一大格又被分为5小格，故表盘共被分成60小格，每一小格所对角的度数为．分针转动一圈，时间为60分钟，则时针转1大格，即时针转动．
8．（2022·山东·万杰朝阳学校期中）万杰朝阳学校上午第二节课的下课时间是9：40，此时时针与分针的夹角是_________°．
【答案】50
【分析】根据时钟上时针一小时转动30°，时针一分钟转0.5°，分针一分钟转动6°，进行计算即可解答．
【详解】解：由题意得：
，
故选：50．
【点睛】本题考查了钟面角，熟练掌握时钟上时针一小时转动30°，分针一分钟转动6°，是解题的关键．
9．（2022·全国·七年级单元测试）钟表上的时针和分针都绕其轴心旋转，从8点到8点40分，时针转了_____度，分针转了_____度，8点40分时针与分针所成的角是_____度．
【答案】 20 240 20
【分析】根据分针每分钟走6度，时针每分钟走0.5度，乘以走的时间即可求解
【详解】钟表上的时针和分针都绕其轴心旋转，钟表一圈有360度、60分钟、12个小时，所以分针转动的速度等于 度/分钟，时针转动的速度等于 度/分钟．由题意可知，时针和分针都走了40分钟，所以时针转了 度，分针转了 度，8点时时针与分针所形成的角是120度，所以8点40分时针与分针所形成的角是 度．
故答案为：20；240；20
【点睛】本题考查钟面角，需注意一开始时针与分针的位置不一定重合
10．（2022·河南·郑州二七优智实验学校七年级期末）央视“新闻联播”节目的结束时间一般是19：30，这一时刻钟面上时针与分针的夹角是__________度．
【答案】45
【分析】利用钟表表盘的特征解答．
【详解】解：19：30，时针和分针中间相差1.5个大格．
∵钟表12个数字，每相邻两个数字之间的夹角为30°，
∴19：30分针与时针的夹角是1.5×30°=45°．
故答案为：45．
【点睛】本题考查了钟面角．钟面被分成12大格，每大格30°；分针每分钟转6°，时针每分钟转0.5°．
11．（2022·山东菏泽·七年级期中）北京时间2021年12月9日15点40分，“天宫课堂”第一课正式开讲．在时刻为15：40时，时钟上的时针与分针夹角的度数为______．
【答案】130°##130度
【分析】根据时钟上一大格是30°，时针1分钟转0.5°进行计算即可．
【详解】解：由题意得：
5×30°-40×0.5°=150°-20°=130°，
∴在时刻15：40时，时钟上的时针与分针之间所成的夹角是：130°，
故答案为：130°．
【点睛】本题考查了方向角，熟练掌握时钟上一大格是30°，时针1分钟转0.5°是解题的关键．
12．（2022·山东临沂·七年级期末）某同学走进教室发现黑板前的钟表为8：30，他想知道再过多长时间分针能和时针第一次重合．假设钟表走时准确，请问再过_________分钟．
【答案】##
【分析】由钟表旋转可得每过一分钟时针转过的角度为0.5度，分针每分钟走6度，设再过x分钟，分针与时针第一次重合，根据题意列出方程求解即可．
【详解】解：钟表上一周是360度，有12个大格，
∴每个大格的度数为：360÷12=30度，
一个大格有5个小格，
∴每个小格的度数为：30÷5=6度，
一小时是60分钟，每过一分钟时针转过的角度为：30÷60=0.5度，分针每分钟走6度，
设再过x分钟，分针与时针第一次重合，
根据题意得：，
解得：，
故答案为：．
【点睛】题目主要考查钟面角度的计算及一元一次方程的应用，理解题意，列出方程是解题关键．
13．（2022·全国·七年级专题练习）（1）钟表上2时15分时，时针与分针所成的锐角的度数是多少？
（2）若时针由2点30分走到2点55分，问分针转过多大的角度？
【答案】（1）22.5°；（2）150°
【分析】（1）利用钟表的钟面上每一格的度数为30度，然后利用时针从数字2开始转动的角度为15×0.5°＝7.5°，然后用30°减去7.5°得到时针与分针所成的锐角的度数；
（2）利用分针每分钟转动6°求解．
【详解】（1）2点15分时分针指向数字3，而时针从数字2开始转动的角度为15×0.5°＝7.5°，
所以钟表上2时15分时，时针与分针所成的锐角的度数为30°﹣7.5°＝22.5°；
（2）分针转过的角度为25×6°＝150°．
【点睛】本题考查了钟面角：分针每分钟转动的角度为：360°÷60=6°；时针每分钟转动的角度为：360°÷12÷60=0.5°．
14．（2022·福建泉州·七年级期末）时钟上的分针和时针像两个运动员，绕着它们的跑道昼夜不停地运转．以下请你解答有关时钟的问题：
(1)分针每分钟转了几度？
(2)中午12时整后再经过几分钟，分针与时针所成的钝角会第一次等于？
(3)在(2)中所述分针与时针所成的钝角等于后，再经过几分钟两针所成的钝角会第二次等于？
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据分针一小时转一圈即360°，用360°除以60计算即得；
（2）根据分针每分钟转6°，时针每分钟转0.5°，时针与分针转过的角度差是，列方程解答即可；
（3）相对于12时整第二次所成的钝角第二次等于时，时针与分针转过的角度差超过180°，这个差与之和是360°．
（1）
解：∵分针一小时转一圈即360°,
∴分针每分钟转过的角度是： ,
答：分针每分钟转了6度；
（2）
设中午12时整后再经过x分钟，分针与时针所成的钝角会第一次等于121°，
∵时针一小时转动角度为： ，
时分针每分钟转过的角度是： ；
∵分针与时针所成的钝角会第一次等于，
∴时针与分针转过的角度差是，
∴，
解得：，
答：中午12时整后再经过22分钟，分针与时针所成的钝角会第一次等于121°；
（3）
设经过y分钟两针所成的钝角会第二次等于，
则从12时算起经过(y+22)分钟两针所成的钝角会第二次等于，
因为时针与分针转过的角度差超过180°，这个差与之和是360°，
故列得方程：，
解得：，
解得：，
答：经过分钟两针所成的钝角会第二次等于．
【点睛】本题通过钟面角考查一元一次方程，掌握时针分针的转动情况，会根据已知条件列方程是解题的关键．选择合适的初始时刻会简化理解和运算难度，起到事半功倍的效果．
15．（2022·全国·七年级单元测试）日常生活中，我们几乎每天都要看钟表，它的时针；和分针如同兄弟俩在赛跑，其中蕴涵着丰富的数学知识.
（1）如图1，上午8:00这一时刻，时钟上分针与时针的夹角等于________；
（2）请在图2中画出8:20这一时刻时针和分针的大致位置，思考并回答：从上午8:00到8:20，时钟的分针转过的度数是________，时钟的时针转过的度数是________；
（3）“元旦”这一天，小明上午八点整出门买东西，回到家中时发现还没到九点，但是时针与分针重合了，那么小明从离开家到回到家的时间为多少分钟？
【答案】（1）120°；（2）120°，10°；（3）44
【分析】（1）根据8：00这一时刻时针在8上，分针在12上，之间共有4个大格，列式计算即可得解；
（2）根据分针共转过4个大格子，每一个大格子是30°列式计算即可得解；时针在8到9之间转过20分钟，转完整个大格子需要60分钟，然后列式计算即可得解；
（3）设8点x分钟时，时针与分针重合了，然后根据分针的速度是时针的速度的12倍，列出方程求解即可．
【详解】解：（1）30°×4=120°；
（2）分针转过4×30°=120°，
时针转过：×30°=10°；
故答案为（1）120°；（2）120°，10°；
（3）设8点x分钟时，时针与分针重合了
则（12-1）××30°=8×30°，
解得x=≈44，
∴小明从离开家到回到家的时间为44分钟.
【点睛】本题考查了钟面角问题，求出时针与分针的夹角问题，通常需要考虑夹角中的大格子和小格子两个部分，也可以利用分针的转速是时针的转速的12倍考虑求解．
考点2：方位角及其应用
典例：（2022·河北承德·七年级期末）如图，结论正确的是（ ）
①射线的方向是北偏西50°；②射线的方向是东南方向；③射线的方向是北偏东15°；④和∠AOB互为补角；
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】B
【分析】根据方位角的确定方法依次判断．
【详解】解：①射线的方向是北偏西40°，故错误；
②射线的方向是东南方向，故正确；
③射线的方向是北偏东15°，故正确；
④+∠AOB=45°+90°+40°=175°，故错误；
正确的有2个，
故选：B．
方法或规律点拨
此题考查了方位角的表示方法，以正南（或正北）为基准线，其夹角的度数即为某条射线的方位角．
巩固练习
1．（2022·山东烟台·期末）如图，某海域中有A，B两个小岛，其中B在A的北偏东40°方向，那么小岛A相对于小岛B的方向是（ ）
A．南偏东40°B．北偏东50°C．南偏西40°D．北偏西50°
【答案】C
【分析】根据B在A的北偏东方向，即可得出直线AB与B点正南方向的夹角为，再根据A的位置即可得到答案．
【详解】解：B在A的北偏东40°方向，
∴小岛A相对于小岛B的方向是南偏西，
故选：C．
【点睛】本题考查位置和方向，解题的关键是熟练掌握位置和方向的判断方法．
2．（2022·河北衡水·七年级阶段练习）如图，货船与港口相距海里，我们用有序数对南偏西，海里来描述货船相对港口的位置，那么港口相对货船的位置可描述为（ ）
A．南偏西，海里B．北偏西，海里
C．北偏东，海里D．北偏东，海里
【答案】D
【分析】以点为中心点，来描述点的方向及距离即可．
【详解】解：由题意知港口相对货船的位置可描述为北偏东，海里，
故选：D．
【点睛】本题考查坐标确定位置，用方向角描述方向时，通常以正北或正南方向为角的始边，以对象所处的射线为终边，故描述方向角时，一般先叙述北或南，再叙述偏东或偏西．
3．（2022·全国·七年级单元测试）如图，是表示北偏东的一条射线，是表示北偏西的一条射线，若，则表示的方向是（ ）
A．北偏东B．北偏东
C．北偏东D．北偏东
【答案】C
【分析】根据题意求得∠AOB的度数，根据角的和差以及，可得∠DOC的度数，即可得出结论．
【详解】解：如图，
∵是表示北偏东的一条射线，是表示北偏西的一条射线，
∴，
∴，
∵，
，
，
．
故选C．
【点睛】本题考查了方位角的表示，几何图形中角度的计算，数形结合是解题的关键．
4．（2022·陕西·西安高新一中实验中学七年级期末）如图，OB是北偏西50°方向的一条射线，若∠AOB=90°，则射线OA的方向是（ ）
A．西偏北50°B．东偏北40°C．北偏东40°D．北偏西40°
【答案】C
【分析】利用∠AOB的度数减去50°进行计算，即可解答．
【详解】解：由题意得：
90°-50°=40°，
∴射线OA的方向是：北偏东40°，
故选：C．
【点睛】本题考查了方向角，根据题目的已知条件并结合图形分析是解题的关键．
5．（2022·黑龙江绥化·期末）小丽家在小华家的南偏西30°的方向上，那么小华家在小丽家的什么方向上？（ ）
A．南偏西60°B．北偏东60°C．北偏东30°D．南偏西30°
【答案】C
【分析】根据方向的相对性，以小华家的位置看小丽家的位置与小丽家看小华家的位置方向完全相反，所偏的度数不变进行求解即可
【详解】解：小丽家在小华家的南偏西30°的方向上，那么小华家在小丽家的北偏东30°方向上，
故选C．
【点睛】本题主要考查了位置与方向，熟知两个物体的位置方向相反，所偏角度不变是关键．
6．（2022·黑龙江·哈尔滨市风华中学校阶段练习）如图所示，下列说法中错误的是（ ）
A．射线的方向是北偏东40°B．射线的方向是北偏西15°
C．射线的方向是南偏西30°D．射线的方向是东南方向
【答案】A
【分析】根据方位角的确定方法逐项判断即可得．
【详解】解：A、射线的方向是北偏东，则此项错误，符合题意；
B、射线的方向是北偏西，则此项正确，不符合题意；
C、射线的方向是南偏西，则此项正确，不符合题意；
D、射线的方向是东南方向，则此项正确，不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查了方位角，熟练掌握方位角的确定方法是解题关键．
7．（2022·浙江丽水·七年级期末）如图,射线OA表示北偏东30°方向,射线OB表示北偏西50°方向,则∠AOB的度数是（ ）
A．60°B．80°C．90°D．100°
【答案】B
【分析】根据题意可得∠AOB=30°+50°，进而得出答案．
【详解】解：如图所示：
∵射线OA表示北偏东30°方向，射线OB表示北偏西50°方向，
∴∠AOB=30°+50°=80°．
故选：B
【点睛】此题主要考查了方向角问题，根据题意借助互余两角的关系求出是解题关键．
8．（2022·安徽·定远县第一初级中学七年级期末）如图射线OA的方向是北偏东30°，在同一平面内，则射线OB的方向是（ ）
A．北偏东40°B．北偏西40°或东偏南80°
C．南偏东80°D．北偏西40°或南偏东80°
【答案】D
【分析】根据OA的方向是北偏东30°，在同一平面内∠AOB=70°即可得到结论．
【详解】解：如图，∵OA的方向是北偏东30°，在同一平面内∠AOB=70°，
∴射线OB的方向是北偏西40°或南偏东80°，
故选D．
【点睛】此题主要考查了方向角，正确利用已知条件得出∠AOB度数是解题关键．
9．（2022·吉林·大安市乐胜乡中学校七年级期末）如图，货轮O在航行过程中，发现灯塔A在它南偏东60°的方向上；同时，它又发现了客轮B；仿照表示灯塔方位的方法，客轮B在货轮的_______方向．
【答案】北偏东40°##东偏北50°
【分析】根据方位角的表示方法即可得到答案．
【详解】解：仿照表示灯塔方位的方法，客轮B在货轮的北偏东40°的方向上，
故答案为：北偏东40°
【点睛】此题考查了方位角，熟练掌握方位角的表示方法是解题的关键．
10．（2022·黑龙江省新华农场中学期末）下面是学校到少年宫的行走路线图
(1)如果小明从公园到学校，请叙述一下他的行走路线．
(2)如果他每分钟走60米，那么他从公园走到学校要走几分钟？
【答案】(1)见解析
(2)从公园走到学校要走17分钟．
【分析】（1）学校所在的位置依次为从公园出发，先向东偏北20°的方向到电视台，再向北到书店，再向东偏北25°的方向到学校．根据图上方向判断即可；
（2）先算出小明公园到学校，一共走的路程，再根据路程÷速度=时间，算出时间即可．
（1）
解：学校所在的位置依次为从公园出发，先向东偏北20°的方向到电视台，再由电视台向北到书店，再由书店向东偏北25°的方向到学校；
（2）
解：先求小明公园到学校，一共走的路程：450+260+310=1020（米），
需要的时间：1020÷60=17（分钟）；
答：从公园走到学校要走17分钟．
【点睛】此题主要考查了用具体方向描述路线图，要考虑角度，再根据题里条件及路程、速度、时间之间关系解决问题．
考点3：角的运算
典例：（2022·江苏·江阴市敔山湾实验学校七年级阶段练习）计算：
(1)45°10′﹣21°35′20′′；
(2)48°39′+67°31′﹣21°17′；
(3)42°16′+18°23′×2．
【答案】(1)23°34′40′′(2)94°53′(3)79°2′
【分析】（1）根据度分秒之间的进率即可解答；
（2）根据度分秒之间的进率即可解答；
（3）先计算乘法，再计算加法即可．
（1）解：45°10′﹣21°35′20′′=23°34′40′′．
（2）解：48°39′+67°31′﹣21°17′
=116°10′-21°17′
=94°53′．
（3）解：42°16′+18°23′×2
=42°16′+36°46′
=79°2′．
方法或规律点拨
本题考查度分秒的计算，，，掌握度分秒之间的进率是解答本题的关键．
巩固练习
1．（2022·全国·七年级专题练习）把化为用度表示，下列正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据1°等于60′，1′等于60″计算即可．
【详解】40°12′36″中的12′36″化为秒为12×60″+36″=756″，
756″÷3600=0.21°，
即40°12′36″用度表示为：40.21°，
故选：B．
【点睛】本题考查了角的单位于角度制的知识，掌握度分秒之间时60进制是解答本题的关键．
2．（2022·全国·七年级专题练习）下列换算中，正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据度分秒的进制，进行计算逐一判断即可．
【详解】解：A、∵1°=60′，
∴0.48°=28.8′，
∵1′=60″，
∴0.8′=48″，
∴23.48°=23°28′48″，故A不符合题意；
B、∵1°=60′，
∴0.25°=15′，
∴22.25°=22°15′，故B符合题意；
C、∵1°=60′，
∴0.183°=10.98′，
∵1′=60″，
∴0.98′=58.8″，
∴18.183°=18°10′58.8″，故C不符合题意；
D、∵1°=60′，
∴0.11°=6.6′，
∵1′=60″，
∴0.6′=36″，
∴47.11°=47°6′36″，故D不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了度分秒的换算，熟练掌握度分秒的进制是解题的关键．
3．（2022·黑龙江·兰西县崇文实验学校期末）用度表示__________．
【答案】
【分析】根据度分秒的进制，进行计算即可解答．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴用度表示，
故答案为：．
【点睛】本题考查度分秒的换算，熟练掌握度分秒的进制是解题的关键．
4．（2022·浙江·九年级专题练习）计算：108°42'36″＝______°．
【答案】108.71
【分析】根据度分秒的进制进行计算即可解答．
【详解】解：∵1°＝60′，1′＝60″，
∴36″＝0.6′，
∴42.6′＝0.71°，
∴108°42'36″＝108.71°，
故答案为：108.71．
【点睛】本题考查度分秒的转化运算，熟练掌握度分秒的进制1°＝60′、1′＝60″是解题的关键．
5．（2022·山东菏泽·七年级期末）角度换算：＝___°．
【答案】26.8
【分析】根据度分秒的换算法则求解即可．
【详解】解：=，
故答案为：26.8．
【点睛】本题考查了度分秒的换算，解决本题的关键是掌握度分秒的换算法则．
6．（2022·山东·万杰朝阳学校期中）=____度____分____秒；=______度．
【答案】 55 39 36 43.54
【分析】根据“60进制”的特点进行转换，整数部分即是度的数值，小数部分乘以60得到的数的整数部分即是分的数值，再将此时的小数部分乘以60即是秒的数值；将秒的值除以3600加上分的数值除以60，再加上度的数值即可．
【详解】解：，则度的数值为55，
，则分的数值为39，
，即秒的数值为36；
根据1°=，得，
，，
所以，
故答案为：55，39，36，43.54．
【点睛】本题主要考查了度、分、秒之间的转化，掌握“60”进制是解答本题的关键．
7．（2022·山东·泰山外国语学校阶段练习） ____°____′____″；____°．
【答案】 30 7 12 100.21
【分析】根据角度的运算可直接进行求解．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴；
故答案为30，7，12，100.21．
【点睛】本题主要考查角度的运算，熟练掌握度分秒的互换是解题的关键．
8．（2022·黑龙江·哈尔滨市风华中学校阶段练习）把30.6°化成度分为___________．
【答案】##30度36分
【分析】根据进行换算即可得．
【详解】解：
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了角度单位制，熟练掌握角度单位制的换算关系是解题关键．
9．（2022·山东·高唐县第二实验中学七年级期中）计算________．
【答案】
【分析】根据度分秒的进制进行计算，即可解答．
【详解】解：
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了度分秒的换算，解题的关键是熟练掌握度分秒的进制．
10．（2022·全国·七年级专题练习）________°．
【答案】
【分析】先把秒化成分，再把分化成度，从而得出答案．注意：1°=60′，1′=60″．
【详解】解：
=27°14′+0.4′
=27°14.4′
=27°+0.24°
=27.24°．
故答案为27.24°．
【点睛】本题考查度分秒的换算，注意以60为进制，先把秒化成分，再把分化成度．
11．（2022·河北沧州·七年级期末）如图，在灯塔O处观测到轮船M位于北偏西的方向，同时轮船N在北偏东16.12°的方向，那么∠MON的大小为________．
【答案】70°19′48″或70.33°
【分析】利用方向角的定义求解即可．
【详解】解：如下图，
∵灯塔O处观测到轮船M位于北偏西的方向，同时轮船N在北偏东16.12°的方向，
∴∠MOC=，∠NOC=16.12°，
∴∠MON=∠MOC+∠NOC=+16.12°=+16°7′12″=70°19′48″=70.33°．
故答案为：70°19′48″或70.33°．
【点睛】本题主要考查了方向角，解题的关键是根据题意找出图中角的度数．
12．（2022·河南平顶山·七年级期末）计算：______．（结果用度表示）
【答案】110.5°
【分析】利用度加度，分加分进行计算，然后再根据1°＝60′进行换算即可．
【详解】解：，
，
∴，
故答案为：110.5°．
【点睛】本题考查角度的计算和度分秒的转化，了解1°＝60′是解题的关键．
13．（2022·河南省直辖县级单位·七年级期末）若，，则________（用“＞”“=”“＜”填空）．
【答案】＜
【分析】将∠1进行换算，再和∠2比较即可判断大小．
【详解】解：∵0.45°=27′，
∴∠1=30.45°=30°+0.45°=30°27′，
∵∠2=30°28′，
∴∠1＜∠2．
故答案为：＜．
【点睛】本题主要考查度分秒的换算，换成形式一样的即可比较大小．
14．（2022·黑龙江·大庆市庆新中学期末）计算题．
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】根据度分秒的进制进行计算即可解答．
（1）
解：原式；
（2）
原式．
【点睛】本题考查了度分秒的换算及角度的四则运算，熟练掌握度分秒的进制是解题的关键．
考点4：与三角板有关的角度计算
典例：（2022·河南南阳·七年级期末）将一副三角板放在一起．
(1)如图1，已知，求的度数；
(2)如图2，已知，求的度数；
(3)如图3，已知，求的度数．
【答案】(1)(2)(3)
【分析】（1）利用角的和差列出算式即可得出结论；
（2）设∠2=x°，利用角的和差列出方程，解方程即可得出结论；
（3）设∠2=x°，利用角的和差列出方程，解方程即可得出结论．
（1）解：∵∠ACB=90°，∠DCE=45°，∠1=13°，
∴∠2=90°-∠1-∠DCE=32°；
（2）解：设∠2=x°，则∠1=2x°，
∵∠ACB=90°，∠DCE=60°，
∴∠1+60°+∠2=90°．
即：2x+60°+x=90°．
解得：x=10°．
∴∠2=10°．
（3）解：设∠2=x°，则∠1=2x°，
∵∠ACB=90°，∠DCE=60°，
∴∠DCB=90°-∠1=60°-∠2．
∴90°-2x=60°-x．
解得：x=30°．
∴∠2=30°．
方法或规律点拨
本题主要考查了角的计算，利用角的和差列出算式是解题的关键．
巩固练习
1．（2021·湖北·公安县教学研究中心七年级期末）用一副三角板不能拼画出的角度是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】用三角板角度相加减法，根据选项逐一分析，排除错误答案即可．
【详解】解：A、，故能画出角；
B、用一副三角板不能画出的角；
C、，故能画出角；
D、，故能画出角；
故选：B．
【点睛】本题考查了用三角板直接画特殊角，用三角板直接画特殊角步骤：先画一条射线，再把三角板所画角的一边与射线重合，顶点与射线端点重合，最后沿另一边画一条射线，标出角的度数．
2．（2022·全国·八年级专题练习）将一副三角板按如图所示的方式放置，则∠ACD的度数为（ ）
A．45°B．60°C．75°D．80°
【答案】C
【分析】根据三角板的内角度数可知∠DCB=45°，∠ACB＝30°，相加即可．
【详解】解：由题意得：∠ACD＝∠DCB+∠ACB＝45°+30°＝75°，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了角度的运算，熟练掌握三角板各个内角的度数是解题的关键．
3．（2022·山东烟台·期中）如图，将一副三角板与的直角顶点O重合在一起，若，为的平分线，则的度数为（ ）
A．72°B．73°C．75°D．76°
【答案】A
【分析】先推出∠AOD+∠BOC=180°，结合∠AOD=4∠BOC，求出∠BOC的度数，再根据角平分线求出∠COE的度数，利用∠DOE=∠COD-∠COE即可解答．
【详解】解：∵∠AOB=90°，∠COD=90°，
∴∠AOB+∠COD=180°，
∵∠AOB=∠AOC+∠BOC，∠COD=∠BOC+∠BOD ，
∴∠AOC+∠BOC+∠BOC+∠BOD=180° ，
∴∠AOD+∠BOC=180°，
∵∠AOD=4∠BOC，
∴4∠BOC+∠BOC=180°，
∴∠BOC=36°，
∵OE 为 ∠BOC 的平分线，
∴∠COE=∠BOC=18°，
∴∠DOE=∠COD−∠COE=90°−18°=72°，
故选：A．
【点睛】本题考查了角平分线的定义，角的和差计算及数形结合的数学思想，根据图中的数量关系求出∠BOC=36°是解答本题的关键．
4．（2022·河北邢台·七年级期末）如图所示是我们常用的一副直角三角板．用一副三角板不能拼出的角度是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据一副三角尺中的角度相加减得到结果，即可做出判断．
【详解】解：一副三角尺中的角度分别为：，，，，且，，，，
用一幅三角尺拼摆，能画出的角是；；，不能画出．
故选：．
【点睛】本题考查了三角板的知识．注意在大于而小于的范围内，只要是的倍数角都可以用一副三角尺画出．
5．（2022·山东日照·七年级期末）用一副三角板拼成如图所示的图形，其中A、B、C三点在同一条直线上．则图中∠DBE的大小为（ ）
A．75°B．90°C．105°D．135°
【答案】C
【分析】利用平角的定义计算∠ACE的度数．
【详解】由三角板得：
∵A、B、C三点在同一条直线上．
∴．
故选：C．
【点睛】本题考查了角的计算：利用互余或互补计算角的度数．熟记三角板的度数是解题的关键．
6．（2022·山东青岛·期中）如图，将两个三角尺的直角与顶点O重合在一起，若，OE为的平分线，则的度数为（ ）
A．36B．45C．60D．72
【答案】D
【分析】根据∠AOD+∠BOC＝180°，∠AOD＝4∠BOC，求出∠BOC的度数，再根据角平分线求出∠COE的度数，利用∠DOE＝∠COD﹣∠COE即可解答．
【详解】解：∵∠AOB＝90°，∠COD＝90°，
∴∠AOB+∠COD＝180°，
∵∠AOB＝∠AOC+∠BOC，∠COD＝∠BOC+∠BOD，
∴∠AOC+∠BOC+∠BOC+∠BOD＝180°，
∴∠AOD+∠BOC＝180°，
∵∠AOD＝4∠BOC，
∴4∠BOC+∠BOC＝180°，
∴∠BOC＝36°，
∵OE为∠BOC的平分线，
∴∠COE∠BOC＝18°，
∴∠DOE＝∠COD﹣∠COE＝90°﹣18°＝72°，
故选：D．
【点睛】本题考查了角的计算，解决本题的关键是明确∠AOD+∠BOC＝180°．
7．（2022·广西河池·七年级期末）一副三角板摆放在一起的示意图如下，若，则∠2的度数是______．
【答案】35°##35度
【分析】根据图形直接用平角减去一个直角及∠1即可得出结果．
【详解】解：根据图形可得：
∠2=180°-90°-∠1=35°，
故答案为：35°．
【点睛】题目主要考查简单的三角板中的角度计算，结合图形进行求解是解题关键．
8．（2022·福建泉州·七年级期末）如图，将一副三角板的直角顶点重合放置于A处（两块三角板可以在同一平面内自由转动），给出以下结论：
①；
②；
③；
④．
其中不正确的是_________．（写出序号）
【答案】①③④
【分析】根据三角板中角之间的关系解答即可．
【详解】解：∵，，
∴当时， ，故①不正确；
∵
∴②正确；
∵
∴③不正确；
∵，，
∴
∴④不正确；
综上所述：不正确的是①③④，
故答案为：①③④
【点睛】本题考查三角板中角度的关系，解题的关键是结合图象找出角之间的关系．
9．（2021·全国·七年级单元测试）两块三角板按如图所示方式放置，则∠ACD＝__________，∠DBA＝__________．
【答案】 105°##105度 75°##75度
【分析】根据角的和差，可得答案．
【详解】解：∠ACD=∠ACB+∠BCD=60°+45°=105°，
∠DBA=∠ABC+∠CBD=30°+45°=75°，
故答案为：105°，75°．
【点睛】本题考查了角的计算，利用了角的和差．
10．（2022·山东烟台·期末）如图，将直角三角板OMN的直角顶点O放在直线AB上，射线OC平分．
(1)当时，求的度数；
(2)若，求的度数．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据邻补角得出，再由角平分线得出，结合图形求解即可；
（2）设，结合图形利用角平分线及一元一次方程求解即可．
（1）
解：∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴；
（2）
设，
∵，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得，
∴．
【点睛】题目主要考查角平分线的计算，邻补角的计算及一元一次方程的应用，理解题意，找准各角之间的关系是解题关键．
11．（2022·山东枣庄·七年级期中）如图，将两个直角三角板的顶点叠放在一起进行探究．
(1)如图①，将一副直角三角板的直角顶点C叠放在一起，若CE恰好是∠ACB的平分线，请你猜想此时CB是不是∠ECD的平分线，并简述理由；
(2)如图②，将一副直角三角板的直角顶点C叠放在一起，若CB始终在∠DCE的内部，请猜想∠ACE与∠DCB是否相等，并简述理由．
【答案】(1)CB是∠ECD的角平分线；理由见详解；
(2)∠ACE=∠DCE；理由见详解；
【分析】（1）根据∠ACB=90°，CE是∠ACB的角平分线，可知∠ECB=∠ACB=45°，进而可知∠DCB=∠ECD－∠ECB=90°－45°=45°，则∠ECB=∠DCB，由此可证CB是∠ECD的角平分线；
（2）由∠ACB=∠DCE=90°，可知∠ACE＋∠ECB=90°，∠DCB＋∠ECB=90°，则∠ACE=∠DCB．
（1）
解：猜想CB是∠ECD的角平分线，理由如下：
∵∠ACB=90°，CE是∠ACB的角平分线，
∴∠ECB=∠ACB=45°，
∴∠DCB=∠ECD－∠ECB=90°－45°=45°，
∴∠ECB=∠DCB，
∴CB是∠ECD的角平分线；
（2）
猜想：∠ACE=∠DCE，理由如下：
∵∠ACB=∠DCE=90°，
∴∠ACE＋∠ECB=90°，
∠DCB＋∠ECB=90°，
∴∠ACE=∠DCB．
【点睛】本题考查角平分线的判定，角度的转换，能够根据题意分析出角的变换过程是解决本题的关键．
12．（2022·河北保定·七年级期末）如图，以直线AB上一点O为端点作射线OC，使∠BOC=70°，将一块直角三角板DOE直角顶点放在点O处．
(1)如图1，若直角三角板DOE的一边OD放在射线OB上，则∠COE=____________°；
(2)如图2，将直角三角板DOE绕点O逆时针方向转动到某个位置，若OC恰好平分∠BOE，求∠BOD、∠COE的度数；
(3)如图3，将直角三角板DOE绕点O转动，如果OD始终在∠BOC的内部，试猜想∠BOD和∠COE有怎样的数量关系？并说明理由．
【答案】(1)20
(2)∠BOD=50°；∠COE=70°
(3)∠COE﹣∠BOD=20°，理由见解析
【分析】（1）根据图形得出∠COE=∠DOE-∠BOC，代入求出即可；
（2）根据角平分线定义求出∠EOB=2∠BOC=140°，代入∠BOD=∠BOE-∠DOE，求出∠BOD，代入∠COD=∠BOC-∠BOD即可求解；
（3）根据图形得出∠BOD+∠COD=∠BOC=70°，∠COE+∠COD=∠DOE=90°，相减即可求出答案．
（1）
解：如图①，∠COE=∠DOE-∠BOC=90°-70°=20°，
故答案为：20；
（2）
如图②，∵OC平分∠EOB，∠BOC=70°，
∴∠EOB=2∠BOC=140°，
∵∠DOE=90°，
∴∠BOD=∠BOE-∠DOE=50°，
∵∠BOC=70°，
∴∠COD=∠BOC-∠BOD=20°,
∴∠COE=∠EOD-∠COD=70°；
（3）
∠COE-∠BOD=20°
理由是：如图③，∵∠BOD+∠COD=∠BOC=70°，∠COE+∠COD=∠DOE=90°，
∴（∠COE+∠COD）-（∠BOD+∠COD）
=∠COE+∠COD-∠BOD-∠COD
=∠COE-∠BOD
=90°-70°
=20°，
即∠COE-∠BOD=20°．
【点睛】本题考查了角平分线的定义，角的计算的应用，能根据图形求出各个角的度数是解此题的关键．
13．（2022·安徽·宿城第一初级中学七年级期中）以直线上一点为端点作射线，使，将一个直角三角板的直角顶点放在处，即．
(1)如图1，若直角三角板的一边放在射线上，则______；
(2)如图2，将直角三角板绕点顺时针转动到某个位置，
①若恰好平分，则______；
②若在内部，请直接写出与的数量关系为______；
(3)将直角三角板绕点顺时针转动（与重合时为停止）的过程中，恰好有，求此时的度数．
【答案】(1)
(2)①；②
(3)或
【分析】（1）先求出，再根据即可得；
（2）①先求出，再根据角平分线的定义可得，然后根据即可得；
②根据和即可得；
（3）分①在的内部和②在的外部两种情况，根据角的和差分别求出和，再根据建立方程，解方程即可得．
（1）
解：，
，
，
，
故答案为：．
（2）
解：①，
，
恰好平分，
，
又，
，
故答案为：；
②在内部，
，
，
，即，
，
即，
故答案为：．
（3）
解：①如图，当在的内部时，
，
∵，
∴，
又∵，
∴，
解得；
②如图，当在的外部时，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
解得；
综上，的度数为或．
【点睛】本题考查了角的和差、角平分线等知识点，较难的是题（3），正确分两种情况讨论是解题关键．
14．（2022·福建福州·七年级期末）在一次数学活动课上，李磊同学将一副宜角三角板、按如图1放置，点A、C、D在同一直线上，（°、），并将三角板绕点A顺时针旋转一定角度，且始终保持．
(1)在旋转过程中，如图2，当点A、C、E在同一直线上时，则____；
(2)在旋转过程中，如图3，当时．请说明平分；
(3)在旋转过程中，如图4，当时，求此时的度数．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)
【分析】（1）根据计算；
（2）计算的度数，得到，得出结论；
（3）设，表示出，根据，求出，得出答案；
(1)
解：点在同一直线上，，
，
故答案为：；
(2)
如图3，
，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴平分；
(3)
如图4，
，
设，则，
∵，
∴，
∵，
∴，
解得，
∴．
【点睛】本题考查角的和差，角的平分线，旋转的性质，关键是结合图形准确表示角的和差．
15．（2022·江苏盐城·七年级期末）【阅读理解】
如图1，一套三角板如图拼在一起，我们将三角板COD绕点O以每秒15°的速度顺时针旋转180°．
【解决问题】
（1）在旋转过程中，∠AOB、∠AOC、∠BOC之间有怎样的数量关系？
（2）当运动时间为9秒时，图中有角平分线吗？找出并说明理由．
（3）运动过程中，如图2，形成的三个角：∠AOB、∠AOC、∠BOC，当其中一个角的度数是另一个角的两倍时，则称射线OC是∠AOB的“优线”．
①第（2）问中旋转后的射线OC是“优线”吗？为什么？
②在整个旋转过程中，若旋转时间记为t秒，当射线OC是“优线”时，请直接写出所有满足条件的t值．
【答案】（1）∠AOC+∠BOC=∠AOB或者∠AOC-∠BOC=∠AOB；（2）有，理由见解析；（3）①是，理由见解析；②t=2，3，4，9，12
【分析】（1）根据题意画出图形可得结论；
（2）分别计算出角的度数可得结论；
（3）①根据“优线”的定义可判断；②根据题意全面考虑所有可能并分类讨论可得t的值．
【详解】（1）如图，当OC在∠AOB内部时，∠AOC+∠BOC=∠AOB，
当OC在∠AOB外部时，∠AOC-∠BOC=∠AOB，
∴∠AOC+∠BOC=∠AOB或者∠AOC-∠BOC=∠AOB
（2）有，理由如下：
射线OD平分∠AOB，射线OB平分∠COD．
当运动时间为9秒时，∠AOC=15°×9=135°
则∠BOC=∠AOC-∠AOB=135°-90°=45°
因为∠COD=90°，
所以∠BOD=∠COD-∠BOC=90°-45°=45°
∠BOC=∠BOD=45°
所以射线OB平分∠COD
又因为∠BOD=45°=∠AOB
所以射线OD平分∠AOB
（3）①是，理由如下：
第（2）问中∠AOB=90°，∠AOC=135°，∠BOC=45°
则∠AOB=2∠BOC
所以OC是∠AOB的“优线”．
②由题意得，∠AOB＝90°，∠AOC＝15t，
当∠BOC＝2∠AOC时，∠AOC＝30°，
∴15t＝30，解得t＝2；
当∠AO＝2∠AOC时，∠AOC＝45°，
∴15t＝45，解得t＝3；
当∠AOC＝2∠BOC时，∠AOC＝60°，
∴15t＝60，解得t＝4；
当∠AOB＝2∠BOC时，∠AOC＝135°，
∴15t＝135，解得t＝9；
当∠AOC＝2∠AOB时，∠AOC＝180°，
∴15t＝180，解得t＝12．
综上，t＝2，3，4，9，12．
【点睛】本题主要考查了三角尺中角度的计算，几何图形中角的计算，根据题意全面考虑所有可能以分类讨论是解题的关键．
考点5：与角平分线有关的证明与计算
典例：（2022·四川省九龙县中学校七年级期末）如图，OE为∠AOD的平分线，∠COD＝∠EOC，∠COD＝15°，求：
(1)∠EOC的大小；
(2)∠AOC的大小．
【答案】(1)60°；(2)105°．
【分析】（1）根据∠COD=∠EOC，可得∠EOC=4∠COD；
（2）根据角的和差，可得∠EOD的大小，根据角平分线的性质，可得答案．
（1）
解：∵∠COD＝∠EOC，∠COD＝15°，
∴∠EOC=4∠COD=4×15°=60°；
（2）
解：∵∠EOC=60°，∠COD＝15°，
∴∠EOD=∠EOC-∠COD=60°-15°=45°．
∵OE为∠AOD的平分线，
∴∠AOD=2∠EOD=2×45°=90°，
∴∠AOC=∠AOD+∠COD=90°+15°=105°．
方法或规律点拨
本题考查角平分线的定义，数形结合正确计算是本题的解题关键．
巩固练习
1．如图，已知，平分，且，则的度数为（ ）
A．126°B．108°C．112°D．106°
【答案】B
【分析】设∠AOC＝x，则∠COB＝2x，根据角的和差关系，得∠AOB＝∠COB＋∠AOC＝3x，根据角平分线的定义，由OD平分∠AOB，得∠AOD＝∠AOB＝x，从而得到∠COD＝∠AOD−∠AOC＝x−x＝18°，进而解决此题．
【详解】解：设∠AOC＝x，则∠COB＝2x.
∴∠AOB＝∠COB＋∠AOC＝3x.
∵OD平分∠AOB，
∴∠AOD＝∠AOB＝x．
∴∠COD＝∠AOD−∠AOC＝x−x＝18°．
∴x＝36°．
∴∠AOB＝3x＝108°．
故选：B．
【点睛】本题主要考查角的和差关系、角平分线的定义，一元一次方程的应用，熟练掌握角的和差关系、角平分线的定义是解决本题的关键．
2．（2021·云南·文山市薄竹镇乐诗冲中心学校七年级期末）已知∠AOB=70°，∠BOC=30°，OM平分∠AOB，ON平分∠BOC，则∠MON=（ ）
A．50°B．20°C．20°或50°D．不能确定
【答案】C
【分析】分OC在∠AOB的外部和OC在∠AOB的内部两种情况，分别画出图形，利用角平分线的定义计算即可．
【详解】解：当OC在∠AOB的外部时，如图1所示：
∵∠AOB＝70°，∠BOC＝30°，OM平分∠AOB，ON平分∠BOC，
∴∠MON＝∠BOM＋∠BON＝∠AOB＋∠BOC＝×（70°＋30°）＝50°；
当OC在∠AOB的内部时，如图2所示：
∵∠AOB＝70°，∠BOC＝30°，OM平分∠AOB，ON平分∠BOC，
∴∠MON＝∠BOM−∠BON＝∠AOB−∠BOC＝×（70°−30°）＝20°；
综上，∠MON的度数为20°或50°，
故选：C．
【点睛】此题主要考查了角平分线的定义，角的和差计算，正确进行分类讨论是解题的关键．
3．（2022·安徽·合肥市第六十八中学七年级期末）如图，若∠AOB=x°，OC是∠AOB的平分线，是∠AOC的平分线，是的平分线，是的平分线， 则与大小关系是（ ）
A．=B．＜C．＞D．无法确定
【答案】C
【分析】根据角平分线的性质可得，，，进而可得，即有，据此即可作答．
【详解】∵OC平分∠AOB，，
∴，
∵OC1平分∠AOC，
∴，
∵OC2平分，
∴，
依次类推可知：，
∴可知，
∴，
∴，
∵根据题意可知，
∴，
即有：，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了图形规律的探索，依据角平分线的性质推导出是解答本题的关键．
4．（2022·新疆·乌市八中七年级期中）如图，已知，平分，且，求的度数．
【答案】108°
【分析】设，则、、均可用x表示出来，由来列方程，求出x，即可得出答案．
【详解】解：设，则，
∵平分，
∴，
又∵，
∴，
解得，，
∴．
【点睛】本题主要考查了几何图形中角度的计算，角平分线的定义，正确理清角之间的关系是解题的关键．
5．（2021·山东·济南市莱芜区方下鲁西学校期中）如图，OB是的平分线，OD是的平分线，，．求的度数．
【答案】
【分析】先由OB是的平分线求出，从而求出，再用OD是的平分线求出，最后用计算即可．
【详解】∵OB是的平分线，，
∴，
∴．
又∵OD是的平分线，
∴，
又∵，
∴．
【点睛】本题考查与角平分线有关的角度计算，掌握角平分线的定义是解题的关键．
6．（2022·新疆·库车市第七中学七年级期末）如图，已知∠AOB＝90°，∠EOF＝60°，OE平分∠AOB，OF平分∠BOC，求∠AOC和∠COB的度数．
【答案】120°，30°
【分析】先根据角平分线，求得的度数，再根据角的和差关系，求得的度数，最后根据角平分线，求得、的度数．
【详解】解：∵OE平分∠AOB，∠AOB=90°，
∴∠BOE=∠AOB =45°，
又∵∠EOF=60°，
∴∠BOF=∠EOF－∠BOE= 15°，
又∵OF平分∠BOC，
∴∠BOC=2∠BOF=30°，
∴∠AOC=∠AOB＋∠BOC=120°，
故∠AOC=120°，∠COB=30°．
【点睛】本题主要考查了角平分线的定义，根据角的和差关系进行计算是解题的关键，注意：也可以根据的度数是度数的2倍进行求解．
7．（2021·重庆·巴川初级中学校七年级期末）如图所示，OB是∠AOC的平分线，OD是∠COE的平分线．
(1)如果∠AOB=50°，∠DOE=35°，那么∠BOD是多少度？
(2)如果∠AOE=160°，∠COD=25°，那么∠AOB是多少度？
【答案】(1)85°
(2)55°
【分析】（1）可以根据角平分线的定义求得∠COD，∠BOC的度数，即可求∠BOD；
（2）根据角平分线的定义可求∠COE的度数，进而可求∠AOC的度数，再由角平分线定义即可求解∠AOB．
（1）
解：∵OB是∠AOC的平分线，OD是∠COE的平分线，
∴∠COD=∠DOE=35°，∠COB=∠BOA=50°．
∴∠BOD=∠COD+∠COB=85°．
（2）
解：∵OD是∠COE的平分线，
∴∠COE=2∠COD=2×25°=50°，
∴∠AOC=∠AOE-∠COE=160°-50°=110°，
又∵OB是∠AOC的平分线，
∴∠AOB=∠AOC＝×110°＝55°．
【点睛】本题考查了角平分线的定义以及角的和差，根据角平分线定义得出所求角与已知角的关系转化求解．
8．（2021·辽宁·朝阳市第一中学七年级期末）如图，已知，OE平分∠AOB，，OF平分∠BOC．求∠BOC和∠AOC的度数．
【答案】∠BOC和∠AOC的度数分别为，
【分析】根据角平分线的定义得到，∠BOC=2∠BOF，再计算出，然后根据∠BOC=2∠BOF，∠AOC=∠BOC+∠AOB进行计算．
【详解】解：∵OE平分∠AOB，OF平分∠BOC，
∴，∠BOC=2∠BOF，
∵，
∴，
．
即∠BOC和∠AOC的度数分别为，．
【点睛】本题主要考查了角的计算以及角平分线的定义，正确应用角平分线的定义是解题关键．
9．（2022·山东·龙口市培基学校期中）如图，已知OC是∠AOB内部任意的一条射线，OM、ON分别是∠AOC、∠BOC的平分线．
(1)若∠AOM＝20°，∠BON＝30°，求∠MON的度数；
(2)若∠AOB＝α，求∠MON的度数．
【答案】(1)50°
(2)
【分析】（1）根据角平分线的性质可知∠MOC＝∠AOM，∠NOC＝∠BON，再根据∠MON＝∠MOC＋∠NOC即可求出∠MON的度数；
（2）根据角平分线性质可知∠MOC＝∠AOC，∠NOC＝∠BOC，再根据∠MON＝∠MOC＋∠NOC即可计算∠MON的度数．
（1）
解：根据角平分线的性质可知∠MOC＝∠AOM＝20°，∠NOC＝∠BON＝30°，
∴∠MON＝∠MOC+∠NOC＝20°+30°＝50°，
即∠MON的度数为50°；
（2）
解：根据角平分线性质可知∠MOC＝∠AOC，∠NOC＝∠BOC，
∴∠MON＝∠MOC+∠NOC＝∠AOC+∠BOC＝∠AOB，
∵∠AOB＝α，
∴∠MON＝α．
【点睛】本题主要考查角的计算，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键．
10．（2022·宁夏·景博中学七年级期末）如图，OC是∠AOD的平分线，OE是∠DOB的平分线．
(1)如果，那么∠COE是多少度？
(2)在（1）的条件下，如果，那么∠BOE是多少度？
【答案】(1)65度
(2)45度
【分析】（1）先根据角平分线的定义可得，再根据角的和差即可得；
（2）先根据角的和差可得，再根据角平分线的定义即可得．
（1）
解：是的平分线，是的平分线，
，
，
．
（2）
解：，，
，
是的平分线，
．
【点睛】本题考查了与角平分线有关的计算，熟练掌握角平分线的定义是解题关键．
11．（2022·河北·泊头市教师发展中心七年级期末）如图，点O是直线上的一点，是直角，平分．
(1)如图1，若，求的度数；
(2)如图2，若，求的度数．
【答案】(1)20°
(2)144°
【分析】（1）已知，欲求，需求．由，得．由平分，得，进而解决此题．
（2）欲求，需求．由，得．由平分，得．由，得，故，进而可求得．
（1）
解：，
．
平分，
．
，
．
（2）
解：，
．
平分，
．
，
．
．
．
．
【点睛】本题主要考查角的和差关系、角平分线的定义以及直角的定义，熟练掌握角的和差关系、角平分线的定义以及直角的定义是解决本题的关键．
12．（2022·福建泉州·七年级期末）如图，，射线以的速度从位置出发，射线以的速度从位置出发，设两条射线同时绕点逆时针旋转．
(1)当时，求的度数；
(2)若．
①当三条射线、、构成的三个度数大于的角中，有两个角相等，求此时的值；
②在射线，转动过程中，射线始终在内部，且平分，当，求的值．
【答案】(1)
(2)①或；②
【分析】（1）根据题意求得OD与OA重合，∠AOC＝20°，即可得到∠COD的度数；
（2）①分三种情况，列出方程，解方程即可得到答案；②先证明运动至外部．由，，可以得到，又因为平分，则，从而求出，再求得，即可求得答案．
（1）
解：依题意，当时，射线运动的度数为，
∵，
∴此时与重合，
射线运动的度数为，
即，
∴当时，．
（2）
①若时，分下面三种情形讨论：
（i）如图1，
当时，，
∴，符合．
（ii）如图2，
当时，，
∴，符合．
（iii）如图3，
当时，，
∴，不在范围内，舍去．
综上所得或．
②如图4，
∵，
∴，，
∴最大度数为，最大度数为．
∵，
∴当时，，
∴，即，
∴运动至外部．
此时，，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
又，
∴．
【点睛】此题主要考查了与角平分线有关的计算、图形的旋转、角之间计算、一元一次方程的应用等知识，解题的关键是找到等量关系列方程．
13．（2021·江西省遂川县教育局教学研究室七年级期末）如图，，，，分别是，的平分线．
(1)如图1，当在左侧，且时，的度数是_________；
(2)当的位置不确定时，请利用备用图，画出相关图形，探究的大小与的数量关系；
(3)当的度数为时，请直接写出的度数．
【答案】(1)
(2)或或
(3)或
【分析】（1）利用角平分线的定义和角的和差关系求解；
（2）分OC在OB左侧，OC在内部，OC在OA下方三种情况，利用角的和差关系分别计算即可求解；
（3）将代入（2）中结论即可求解．
（1）
解：由题意得，，，
∵，分别是，
∴，，
∴，
即的度数是；
（2）
解：分三种情况讨论，当OC在OB左侧时，如下图所示：
；
当OC在内部时，如下图所示：
；
当OC在OA下方时，如下图所示：
；
综上可知，或或．
（3）
解：由（2）可知，时，
，或，或
解得，或，或（舍去），
即的度数为或．
【点睛】本题考查角平分线的定义和角的和差关系，需要注意OC的位置有多种可能，掌握分类讨论思想是解题的关键．
14．（2022·广东·正德中学七年级期末）多多对几何中角平分线等兴趣浓厚，请你和多多一起探究下面问题吧．已知∠AOB=100°，射线OE，OF分别是∠AOC和∠COB的角平分线．
(1)如图1，若射线OC在∠AOB的内部，且∠AOC=30°，求∠EOF的度数；
(2)如图2，若射线OC在∠AOB的内部绕点O旋转，则∠EOF的度数_____；
(3)若射线OC在∠AOB的外部绕点O旋转（旋转中∠AOC，∠BOC均指小于180°的角），其余条件不变，请借助图3探究∠EOF的大小，请直接写出∠EOF的度数（不写探究过程）．
【答案】(1)
(2)
(3)或
【分析】（1）先根据角平分线的定义可得，再根据角的和差、角平分线的定义可得，然后根据即可得；
（2）先根据角的和差可得，再根据角平分线的定义可得，然后根据即可得；
（3）如图（见解析），先根据角平分线的定义可得，再分①射线在的内部，②射线在的内部，③射线在的内部三种情况，分别根据角的和差即可得．
（1）
解： 是的平分线，，
，
，
，
是的平分线，
，
；
（2）
，
，
是的平分线，是的平分线，
，
故答案为：
（3）
是的平分线，是的平分线，
，
由题意，分以下三种情况：
①如图，延长至点，当射线在的内部时，
，
，
；
②如图，延长至点，延长至点，当射线在的内部时，
，
，
；
③如图，延长至点，当射线在的内部时，
，
，
；
综上，的度数为或．
【点睛】本题考查了角平分线的定义、角的和差等知识点，较难的是题（3），正确分三种情况讨论是解题关键．
15．（2022·河南·郑州市第四初级中学七年级期末）【阅读理解】
如图①，射线OC在∠AOB内部，图中共有三个角∠AOC、∠AOB、∠BOC，若其中有两个角的度数之比为1：2，则称射线OC为∠AOB的“幸运线”．
(1)∠AOB的角平分线 这个角的“幸运线”；（填“是”或“不是”）
(2)若∠AOB＝120°，射线OC为∠AOB的“幸运线”，则∠AOC＝ ．
【问题解决】
(3)如图②，已知∠AOB=150°，射线OP从OA出发，以20°/s的速度顺时针方向旋转，射线OQ从OB出发，以10°/s的速度逆时针方向旋转，两条射线同时旋转，当其中一条射线旋转到与∠AOB的边重合时，运动停止，设旋转的时间为t（s），当t为何值时，射线OP是以射线OA、OQ为边构成角的幸运线？试说明理由．
【答案】(1)是；
(2)40°或60°或80°；
(3)或或3．
【分析】（1）由角平分线的定义可得；
（2）分三种情况讨论，即∠AOC=2∠BOC，2∠AOC=∠BOC，∠AOB=2∠AOC或∠AOB=2∠BOC三种情况，结合∠AOC+∠BOC=∠AOB =120°可以求出∠AOC．
（3）分三种情况讨论，由“幸运线”的定义，列出方程可求t的值．
（1）
解：∵一个角的平分线平分这个角，且这个角是所分两个角的两倍，
∴一个角的角平分线是 这个角的“幸运线”，
故答案为：是．
（2）
解：∵射线OC在∠AOB内部，
∴∠AOC+∠BOC=∠AOB =120°．
①当∠AOC=2∠BOC时，∠AOC+∠BOC=3∠BOC =120°，
∴∠BOC=40°，
∴∠AOC=80°．
②当2∠AOC=∠BOC，且∠AOC+∠BOC=3∠AOC =120°，
∴∠AOC=40°．
③当∠AOB=2∠AOC或∠AOB=2∠BOC时，OC平分∠AOB，
∴∠AOC =∠AOB =60°．
综上所述：∠AOC=40°或60°或80°．
故答案为： 40°或60°或80°．
（3）
解：∵射线OP是以射线OA、OQ为边构成角的“幸运线”，
∴射线OP在以射线OA、OQ为边构成角的内部．如下图所示：
∴∠AOP=20t°，∠BOQ =10t°，
∴∠POQ=∠AOB-∠AOP-∠BOQ= (150-20t-10t)°=(150-30t)°,
∠AOQ=∠AOB -∠BOQ==(150-10t)°．
①当∠AOP=2∠POQ时，则20t =2×(150-30t)，
∴t=．
②若∠POQ=2∠AOP，则150-30t =2×20t，
∴t=．
③若2∠AOP=∠AOQ或2∠POQ=∠AOQ，则2×20t=150-10t，
∴t=3．
综上所述：t=或或3．
【点睛】本题考查一元一次方程的应用，角平分线的性质，找等量关系列出方程是解决问题的关键，属于中考常考题型．
16．（2022·陕西·西安高新一中实验中学七年级期末）如图所示，OA，OB，OC是以直线EF上一点O为端点的三条射线，且∠FOA=20°，∠AOB=60°，∠BOC=10°，射线OP从OF处开始出发，绕点O逆时针匀速旋转，旋转速度为每秒5度：射线OQ从OC处开始出发，绕点O顺时针匀速旋转，两条射线同时开始旋转（当射线OQ旋转至与射线OF重合时，OP、OQ同时停止运动），旋转时间为t秒.（旋转速度÷旋转角度：旋转时间）
(1)当t＝ 秒，射线OP平分∠AOB时；
(2)若射线OQ的旋转速度为每秒4度时，请求出当∠POQ=60°时，射线OP旋转的时间；
(3)若射线OQ的旋转速度为每秒3度时，是否存在某个时刻，使得射线OQ，OP，OB中的某一条射线是另两条射线所夹角的角平分线？若存在，请直接写出所有满足题意的的值，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)10；
(2)或秒；
(3)或；
【分析】（1）作出角平分线，求出OP运动到OG时的时间即可．
（2）动点问题需要分类讨论，第一种OP、OQ还没有相遇时，第二种OP、OQ相遇之后，画图利用角度列出等式．
（3）分别一其中一条作为角平分线来分析，画出图像之后列等式求时间．
（1）
解：作∠AOB的角平分线OG
∵∠AOB=60°，
∴∠AOG=∠AOB=30°，
∴∠FOG=∠FOA+∠AOG=20°+30°=50°，
此时OP的运动时间t=（秒）；
故答案为：10；
（2）
解：∵∠FOA=20°，∠AOB=60°，∠BOC=10°，
∴∠FOC=90°
由题意可得，∠FOP=5t°，∠COQ=4t°
①如图所示：
∴4t+60+5t=90，
∴t=；
②如图所示：
此时 4t+5t-60=90，
∴t=
∵OQ停止运动时间t=，
∴以上两种情况均符合
∴当∠POQ=60°时，OP的旋转时间为或秒；
（3）
解：存在；
①当OQ平分∠BOP时，则∠BOQ=∠POQ，如图：
则，
解得：；
②当OP平分∠BOQ时，则∠BOP=∠POQ，如图：
则，
解得：；
综合上述，或；
【点睛】主要考查角平分线的计算，角度的和差倍分问题，解题的关键是掌握所学的知识，运用分类讨论的思想，利用图象找关系．
17．（2022·福建·福州时代中学七年级期末）已知，OC、OD是过点O的射线，射线OM、ON分别平分∠AOC和∠DOB．
(1)如图①，若OC、OD是∠AOB的三等分线，则______°
(2)如图②，若，，则______°
(3)如图③，在∠AOB内，若，则______°
(4)将（3）中的∠COD绕着点O逆时针旋转到∠AOB的外部（，），求此时∠MON的度数．
【答案】(1)80
(2)80
(3)
(4)或
【分析】（1）根据角平分线的定义得到，，，则；
（2）根据角平分线的定义得到，，而，则，所以；
（3）与（2）一样得到，，则；
（4）反向延长、得到、，然后分类讨论：当、在内部；当、在内部，可计算得到；
当、在内部，可计算得到；当、在内部，可计算得到．
（1）
解：、是的三等分线，
，
射线、分别平分和，
，，
；
故答案为80；
（2）
解：射线、分别平分和，
，，
，
，，
，
；
故答案为80；
（3）
解：射线、分别平分和，
，，
，
，，
，
，
；
故答案为；
（4）
解：反向延长、得到、，如图，
当、在内部，
，
设，则，
，，
；
当、在内部，可计算得到；
当、在内部，可计算得到；
当、在内部，可计算得到．
【点睛】本题考查了角度的计算，也考查了角平分线的定义，熟练掌握角的和差关系是解题的关键．
考点6：与余角（补角）有关的证明与计算
典例：（2022·山西运城·七年级期中）如图（甲），和都是直角．
(1)如果，那么的度数为______度．若越来越小，则如何变化？
(2)找出图（甲）中相等的角．如果，他们还会相等吗？
(3)在图（乙）中利用能够画直角的工具再画一个与相等的角．
【答案】(1)148，∠DOC越来越小，则∠AOB越来越大；
(2)图(甲)中相等的角有∠AOC=∠BOD，∠AOD=∠BOC；见解析
(3)见解析
【分析】（1）结合∠AOB= ∠AOC+∠BOD-∠COD= 180°-∠DOC即可得出答案；
（2）无论∠DOC是否等于32°，∠AOC=∠BOD= 90°；根据∠AOD+∠COD=∠BOC + ∠COD= 90°可得∠AOD= ∠BOC；
（3）利用同角的余角相等画图．
（1）
解：∵∠BOD= 90°，∠DOC= 32°，
∴∠BOC =∠BOD- ∠COD = 90°-32°= 58°，
∵∠AOC= 90°，
∴∠AOB=∠AOC+∠BOC= 90°+58°= 148°；
故答案为：148；
∵∠AOC=∠BOD= 90°，
∴∠AOB=∠ AOC+∠BOD-∠COD= 180°- ∠DOC，
∴∠DOC越来越小，则∠AOB越来越大；
（2）解：图(甲)中相等的角有∠AOC=∠BOD，∠AOD=∠BOC；
无论∠DOC是否等于32°，
∠AOC=∠BOD= 90°，
∵∠AOD+∠COD=∠BOC+∠COD= 90°，
∴∠AOD=∠BOC；
（3）解：过点O在OE的同侧作∠EOM =∠FON = 90°，则∠FOE=∠MON；
如图所示：
方法或规律点拨
本题考查余角与补角，正确观察并分析图形，熟练掌握余角和补角的意义是解答本题的关键．
巩固练习
1．（2020·安徽安庆·八年级期中）如果一个角的度数比它补角的2倍多30°，那么这个角的度数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】设角的度数为，则补角的度数为，根据题意列方程求解即可．
【详解】设角的度数为，则补角的度数为，
根据题意得：，
，

解得：，
所以，这个角的度数为，
故选C．
【点睛】本题考查了一元一次方程与补角性质，正确列出方程式求解即可．
2．（2022·全国·七年级专题练习）下列说法正确的是（ ）
A．∠A是余角B．∠A和∠B是补角
C．∠A的余角是∠BD．如果∠A和∠B互补，则∠A和∠B能拼成直角
【答案】C
【分析】根据余角、补角的定义逐项分析即可．
【详解】A．余角是指两个角的数量关系，不能单独存在，所以∠A是余角错误，故不符合题意；
B．只能说一个角是另一个角的补角，所以∠A和∠B是补角错误，故不符合题意；
C．由余角的定义可知当∠A+∠B=90°时，∠A的余角是∠B说法正确，符合题意；
D．当∠A=10°，∠B=170°时，∠A和∠B互补，但∠A和∠B不能拼成直角，所以如果∠A和∠B互补，则∠A和∠B能拼成直角错误，故不符合题意；
故选C．
【点睛】本题考查了余角和补角的意义，如果两个角的和等于90°，那么这两个角互为余角，其中一个角叫做另一个角的余角；如果两个角的和等于180°，那么这两个角互为补角，其中一个角叫做另一个角的补角．
3．（2022·甘肃·临泽县第三中学七年级期中）已知∠A与∠B互余，∠B与∠C互补，若∠A＝50°，则∠C的度数是（ ）
A．40°B．50°C．60°D．140°
【答案】D
【分析】先根据互补角的定义可得，再根据互余角的定义即可得．
【详解】与互余，且，
，
又与互补，
，
故选：D．
【点睛】本题考查了互补角、互余角，熟练掌握互补角与互余角的定义是解题关键．
4．（2022·辽宁·丹东市第十七中学七年级期末）在同一平面内，若与的两边分别垂直，且比的3倍少，则的度数为（ ）
A．B．C．或D．或
【答案】C
【分析】因为两个角的两边分别垂直，则这两个角相等或互补，可设是度，利用方程即可解决问题．
【详解】解：设是度，根据题意，得
①两个角相等时，如图1：
，
，
解得，
故，
②两个角互补时，如图2：
，
∴，
故的度数为：或．
故选：C．
【点睛】此题主要考查了垂线的定义，角的运算，一元一次方程的应用，本题需仔细分析题意，利用方程即可解决问题．
5．（2021·贵州毕节·七年级期末）若的补角与的余角相等，则等于（ ）
A．90°B．60°C．180°D．270°
【答案】A
【分析】根据余角与补角的定义求解即可：如果两个角的度数之和为90度，则这两个角互余，如果两个角的度数之和为180度，则这两个角互补．
【详解】解：由题意得：180°-∠α=90°-∠β，
∴∠α-∠β=180°-90°=90°，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了余角与补角，熟知二者的定义是解题的关键．
6．（2022·四川·大竹县文星中学七年级期中）∠A的补角是125°，则它的余角是（ ）
A．54°B．35°C．25°D．以上均不对
【答案】B
【分析】首先根据补角的定义，算出∠A的度数，然后再根据余角的定义，即可得出∠A的余角．
【详解】解：∵∠A的补角是125°，
∴，
∴的余角为：．
故选：B
【点睛】本题考查了补角和余角，解本题的关键在熟练掌握补角和余角的定义．一般地，如果两个角的和等于（直角），就说这两个角互为余角，即其中一个角是另一个角的余角；一般地，如果两个角的和等于（平角），就说这两个角互为补角，即其中一个角是另一个角的补角．
7．（2022·浙江·永嘉县崇德实验学校七年级期中）将一个含有45°角的直角三角板如图所示放置，其中一个45°角的顶点落在直线a上，含90°角的顶点落在直线b上.若a//b，∠2=∠15°，则∠3的度数为___________°
【答案】75
【分析】由余角的定义进行计算，即可求出答案．
【详解】解：根据题意，
∵，，
∴；
故答案为：75
【点睛】本题考查了余角的定义，解题的关键是掌握余角的定义进行计算．
8．（2021·山东·济南市钢城区实验学校期末）若一个角的余角为65°．则这个角的补角为___________．
【答案】155°##155度
【分析】根据互为余角的两个角的和等于90°求出这个角，再根据互为补角的两个角的和等于180°列式计算即可得解．
【详解】解：∵一个角的余角是65°，
∴这个角是90°65°=25°，
∴这个角的补角为180°25°=155°．
故答案为：155°．
【点睛】本题考查了余角和补角，是基础题，熟记余角和补角的概念是解题的关键．
9．（2022·广东·普宁市普师高级中学七年级期中）已知∠α与∠β互补，∠α＝150°，则∠β的余角的度数是_________
【答案】 ##60度
【分析】两个角之和为 则这两个角互为补角，两个角之和为 则这两个角互为余角，根据互余互补的两个角的含义进行计算即可．
【详解】解：∵∠α与∠β互补，∠α＝150°，
∴
∴的余角为
故答案为：
【点睛】本题考查的是互余互补的两个角之间的关系，掌握互为余角，互为补角的含义是解本题的关键．
10．（2022·安徽·宿城第一初级中学七年级期中）如果一个角的补角是，那么这个角的余角是______．
【答案】##46度
【分析】根据补角的定义（和为的两个角互为补角）和余角的定义（和为的两个角互为余角）即可得．
【详解】解：一个角的补角是，
这个角的度数为，
这个角的余角是，
故答案为：．
【点睛】本题考查了求一个角的余角与补角，熟记余角与补角的定义是解题关键．
11．（2022·广东·佛山市顺德区勒流育贤实验学校七年级期中）已知∠α是钝角，∠α与∠β互补，∠β与∠γ互余，则∠α与∠γ的关系式为________
【答案】
【分析】根据互补，两个角的和等于，根据互余，两个角的和等于，将两个等式相减，即可求出答案．
【详解】解：根据题意得，
①，②，
∴①②得，，
故答案是：．
【点睛】本题主要考查角的互余、互补知识，理解互补，互余的概念是解题的关键．
12．（2021·黑龙江·肇源县第五中学七年级期中）如图，直线AB，CD相交于点O，且∠DOE＝3∠COE，∠EOB＝90º，则∠AOD＝____．
【答案】135°##135度
【分析】由∠DOE＝3∠COE，∠DOE与∠COE互补，可得∠COE＝45°，∠EOD＝135°，又根据∠BOE＝90°，得∠BOD＝45°，所以∠AOD＝135°．
【详解】解：由∠DOE＝3∠COE，且∠DOE＋∠COE＝180°，
可得∠COE＝45°，∠EOD＝135°
∠BOE＝90°，
∠BOD＝∠EOD－∠BOE＝135°－90°＝45°
故∠AOD＝180°－∠BOD＝180°－45°＝135°
故答案为：135°
【点睛】本题考查了平角的定义以及角的计算，解题时注意结合图形分析已知条件与问题之间的位置关系，把条件与问题的联系作为主要的思考方向．
13．（2022·全国·七年级开学考试）如图，已知点A、O、B在一条直线上，∠COD＝90°，OE平分∠AOC，OF平分∠BOD，求∠EOF的度数．
【答案】135°
【分析】直接利用角平分线的定义得出∠COE＋∠DOF＝×90°＝45°，进而得出答案．
【详解】解：∵点A、O、B在一条直线上，∠COD＝90°，
∴∠AOC＋∠BOD＝90°，
∵OE平分∠AOC，OF平分∠BOD，
∴∠AOE＝∠COE＝∠AOC，
∠DOF＝∠BOF＝∠DOB，
∴∠COE＋∠DOF＝×90°＝45°，
∴∠EOF的度数为：90°＋45°＝135°．
【点睛】此题主要考查了角的计算以及角平分线的定义，正确得出∠COE＋∠DOF＝45°是解题关键．
14．（2022·湖南怀化·七年级期末）如图，直线AB、CD相交于点O，．
(1)若∠1=∠2，则ON，CD是什么位置关系？请说明理由．
(2)若，求∠BOC的度数．
【答案】(1)，见解析
(2)135°
【分析】（1）分析题意，找出ON与OD的夹角大小，即可得出结论；
（2）根据角的位置关系，列出代数式，求解即可得出答案．
（1）
ON⊥CD，理由如下：
∵OM⊥AB，
∴∠AOM＝∠AOC+∠1＝90°，
∵∠1＝∠2，
∴∠CON＝∠AOC+∠2＝∠AOC+∠1＝90°，
∴ON⊥CD；
（2）
∵∠1∠BOC，∠BOC＝∠1+∠BOM，
∴∠BOM∠BOC，
∵OM⊥AB，
∴∠BOM＝90°，
∴∠BOC＝135°．
【点睛】本题考查了余角、角的运算，解题关键是分清角的对应关系．
15．（2021·浙江工业大学附属实验学校七年级期中）如图，BD是∠ABC的平分线，∠ABE+∠BCF＝180°
(1)若∠ABC＝80°，求∠BCF的度数：
(2)若CB是∠ACF的平分线，∠ADB＝k∠ABD，求k的值．
【答案】(1)40°
(2)k=2
【分析】（1）根据角平分线和互余的关系确定∠DBC=∠BCF即可．
（2）根据角平分线和互余的关系确定∠DBC=∠BCF，再通过互补的关系求角度等量关系即可．
（1）
解：∵∠ABE+∠BCF＝180°，∠ABE+∠ABD＝180°，
∴∠ABD＝∠BCF，
∵BD是∠ABC的平分线，∠ABC＝80°，
∴∠ABD＝∠CBD＝40°，
∴∠BCF＝40°．
（2）
解：∵∠ABE+∠BCF＝180°，∠ABE+∠ABD＝180°，
∴∠ABD＝∠BCF，
∵BD是∠ABC的平分线，
∴∠ABD＝∠CBD＝∠BCF，
∵CB是∠ACF的平分线，
∴∠ABD＝∠CBD＝∠BCF＝∠BCD，
∵∠ADB＝∠CBD+∠BCD，
∴∠ADB＝2∠ABD，
∴k=2．
【点睛】本题主要考查角平分线的性质在求角度时的应用，熟练运用角平分线的性质是解题关键．
16．（2022·陕西·西安辅轮中学七年级期末）已知：O是直线AB上的一点，∠COD是直角，OE平分∠BOC．
(1)如图1，当∠AOC＝40°时，求∠DOE的度数；
(2)如图2，OF平分∠BOD，求∠EOF的度数；
(3)如图3，∠AOC=36°，此时∠COD绕点O以每秒6°沿逆时针方向旋转t秒（0≤t”连接）．
【答案】
【分析】先把各角统一单位，再进行比较大小即可得到答案．
【详解】解：，，
∵，
∴．
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了角的大小比较，解答此题的关键是把各角统一单位．
10．（2022·山西大同·七年级期末）用一副三角板按如图方式放置，恰好与重合，则的大小为____________°
【答案】75
【分析】利用三角板两个锐角的度数即可求解．
【详解】解：左侧三角板中较小的锐角为，右侧三角板为等腰直角三角形，两个锐角均为，
．
故答案为：75．
【点睛】本题考查三角板中的角度计算，熟知三角板每个角的度数是解题的关键．
11．（2021·湖北·公安县教学研究中心七年级期末）若的度数为，且与互余，则的度数为____．
【答案】
【分析】根据余角定义：若两个角的和为，则这两个角互余，直接解答即可．
【详解】解：∵与互余，，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查互余角的数量关系．理解互余的概念是解题的关键，根据余角的定义：若两个角的和为，则这两个角互余列式计算．
12．（2022·湖南长沙·七年级期末）如图，在∠AOB的内部有3条射线OC、OD、OE，若∠AOC＝70°，∠BOE＝∠BOC，∠BOD＝∠AOB，则∠DOE＝________°．（用含n的代数式表示）
【答案】
【分析】根据角的和差即可得到结论．
【详解】解：∵∠BOE=∠BOC，
∴∠BOC=n∠BOE，
∴∠AOB=∠AOC+∠BOC=70°+n∠BOE，
∴∠BOD=∠AOB=+∠BOE，
∴∠DOE=∠BOD-∠BOE=，
故答案为：．
【点睛】本题考查了角的计算，正确的识别图形是解题的关键．
三、解答题（13题5分，14题6分，15题7分）
13．（2022·全国·七年级专题练习）（1）如图，分别确定四个城市相应钟表上时针与分针所成角的度数．
（2）每经过，时针转过多少度？每经过，分针转过多少度？
（3）当时钟指向上午，时针与分针的夹角是多少度？
（4）请你的同伴任意报一个时间（精确到分），你来确定时针与分针的夹角．
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）答案不唯一，见解析．
【分析】（1）时针的12个小时把360°分解成12份，每份30°，按照这个度数关系对每个时钟表进行计算即可．
（2）时针1小时走总度数的，分针60分钟把360°分解成60份，每份6°，分针一分钟走一格，故是6°．
（3）先求出此时时针与10点整时时针的夹角，再用30°减去这个夹角，再加上3个30°即可．
（4）方法与（3）相同，任选一个时间进行计算即可．
【详解】（1）巴黎时间：12到1夹角为360°的，是30°
伦敦时间：夹角为0°
北京时间：4个30°，故为120°
东京时间：3个30°，故为90°
（2）时针每经过1小时，转过360°÷12=30°，分针每分钟转过360°÷60=6°
（3）此时分针走过了360°的，所以时针移动的角度占30°的，是5°，所以剩余25°，
故夹角为：25°+30°+30°+30°=115°
（4）9:20时此时时针与分针夹角是多少？
解：此时分针走过了360°的，时针移动的角度占30°的，是10°，20°+30°+30°+30+30°+30°+30°=200°
故夹角为：360°-200°=160°.
【点睛】本题考查时针分针在转动过程中的夹角的求解，熟练掌握时针每小时走30°，分针每分钟走6°是本题关键．
14．（2022·福建省尤溪第一中学文公分校七年级期末）如图所示，将两块三角板的直角顶点重合．
(1)写出以为顶点的相等的角；
(2)若，求度数；
(3)写出与之间所具有的数量关系；
(4)当三角板绕点旋转时，你所写出的（3）中的关系是否变化？请说明理由．
【答案】(1)，
(2)
(3)与互补
(4)不变，见解析
【分析】（1）根据同角的余角相等作答；
（2）由图得∠DCE＝90°−∠ACE，求∠ACE的度数即可；
（3）∠ACB＋∠DCE＝∠BCE＋∠ACE＋∠DCE＝90°＋90°＝180°；
（4）由（3）可得，当三角板ACD绕点C旋转时，不变化．
（1）
解：根据同角的余角相等可得：∠ACE＝∠BCD，∠ACD＝∠ECB．
（2）
解：∵∠ACB＝150°，∠BCE＝90°，
∴∠ACE＝150°−90°＝60°，
∴∠DCE＝90°−∠ACE＝90°−60°＝30°．
（3）
解：∵∠ACB＋∠DCE＝∠BCE＋∠ACE＋∠DCE＝90°＋90°＝180°，
∴∠ACB与∠DCE互补．
（4）
解：不变化．
∵∠ACB＋∠DCE＝∠BCE＋∠ACE＋∠DCE＝90°＋90°＝180°，
∴无论如何旋转，∠ACB与∠DCE互补．
【点睛】本题主要考查了几何图形中的角度计算，解答本题需要熟悉一副三角板各角之间的关系．
15．（2021·湖北·十堰市郧阳区教学研究室七年级期末）已知，，OM，ON分别是和的平分线．
(1)如图1，如果OA，OC重合，且OD在的内部，求的度数；
(2)如图2，固定，将图1中的绕点O顺时针旋转（）．
①与旋转度数有怎样的数量关系？说明理由；
②当n为多少时，为直角？
(3)如果的位置和大小不变，的边OD的位置不变，改变的大小；将图1中的OC绕着O点顺时针旋转（），如图3，请直接写出与旋转度数之间的数量关系：_____．
【答案】(1)25°
(2)①n°＋25°，②n＝65
(3)∠MON=m°＋25°
【分析】（1）如图1，根据OM平分∠AOB，∠AOB＝130°，求出∠AOM，再根据ON平分∠COD，∠COD＝80°，可出∠AON，进而求出∠MON＝∠AOM﹣∠AON；
（2）①根据图形中角的和差关系可直接求出；②当∠MON＝90°时，由于n°＋25°＝90°，所以n＝65，
（3）根据图中角的和差关系可得：∠MON＝∠COM﹣∠CON，即可得出答案．
（1）
如图1，∵OM平分∠AOB，∠AOB＝130°，
∴∠AOM＝∠AOB＝×130°＝65°，
∵ON平分∠COD，∠COD＝80°，
∴∠AON＝∠COD＝×80°＝40°，
∴∠MON＝∠AOM﹣∠AON＝65°﹣40°＝25°，
（2）
①如图2中，∠MON＝∠COM﹣∠NOC＝65°＋n°﹣40°＝n°＋25°，
②当∠MON＝90°时，n°＋25°＝90°，
∴n＝65，
（3）
如图3中，∠MON＝∠COM﹣∠CON＝65°＋m°﹣（80°＋m°）＝m°＋25°．
故答案是：∠MON＝m°＋25°．
【点睛】本题主要考查角平分线的定义和角的和差关系，解决本题的关键是要熟练掌握角平分线的定义，并能结合图形分析角的和差关系．