人教版七年级数学下册同步精品讲义专题第01课 相交线，垂线（教师版）

这是一份人教版七年级数学下册同步精品讲义专题第01课 相交线，垂线（教师版），共34页。试卷主要包含了邻补角，垂线的画法，垂线的性质，点到直线的距离，如图，三条直线相交于点O等内容，欢迎下载使用。

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知识精讲
知识点01 邻补角与对顶角
1．邻补角：
如果两个角有一条公共边，并且它们的另一边互为反向延长线，那么具有这种关系的两个角叫做互为邻补角．
注意：
(1)邻补角的定义既包含了位置关系，又包含了数量关系：“邻”指的是位置相邻，“补”指的是两个角的和为180°．
(2)邻补角是成对出现的，而且是“互为”邻补角．
(3)互为邻补角的两个角一定互补，但互补的两个角不一定互为邻补角．
(4)邻补角满足的条件：①有公共顶点；②有一条公共边；另一边互为反向延长线.
2. 对顶角及性质：
（1）定义：由两条直线相交构成的四个角中，有公共顶点没有公共边(相对)的两个角，互为对顶角．
（2）性质：对顶角相等．
注意：
(1)由定义可知只有两条直线相交时，才能产生对顶角．
(2)对顶角满足的条件：①相等的两个角；②有公共顶点且一角的两边是另一角两边的反向延长线.
3. 邻补角与对顶角的关系
注意：两直线相交，一个角的对顶角有1个，但一个角与它相等的角有无数个，邻补角最多有2个，而补角则可以有无数个；即对顶角和邻补角，不仅包含数量关系，而且包含位置关系。
知识点02 垂线
1．垂线的定义：
两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫垂足．
注意：
(1)记法：直线a与b垂直，记作：；
直线AB和CD垂直于点O，记作：AB⊥CD于点O.
(2) 垂直的定义具有二重性，既可以作垂直的判定，又可以作垂直的性质，即有：
CD⊥AB．
2．垂线的画法：
过一点画已知直线的垂线，可通过直角三角板来画，具体方法是：
①使直角三角板的一条直角边和已知直线重合；
②沿直线左右移动三角板，使另一条直角边经过已知点；
③沿此直角边画直线，则所画直线就为已知直线的垂线(如图所示)．
注意：
(1)如果过一点画已知射线或线段的垂线时，指的是它所在直线的垂线，垂足可能在射线的反向延长线上，也可能在线段的延长线上．
(2)过直线外一点作已知直线的垂线，这点与垂足间的线段为垂线段．
3．垂线的性质：
（1）在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．
（2）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短．简称：垂线段最短．
注意：
（1）性质（1）成立的前提是在“同一平面内”，“有”表示存在，“只有”表示唯一，“有且只有”说明了垂线的存在性和唯一性．
（2）性质（2）是“连接直线外一点和直线上各点的所有线段中，垂线段最短．”实际上，连接直线外一点和直线上各点的线段有无数条，但只有一条最短，即垂线段最短．在实际问题中经常应用其“最短性”解决问题．
4．点到直线的距离：
定义：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离．
注意：
点到直线的距离是垂线段的长度，是一个数量，不能说垂线段是距离；
（2）求点到直线的距离时，要从已知条件中找出垂线段或画出垂线段，然后计算或度量垂线段的长度．
能力拓展
考法01 概念辨析
【典例1】判断正误：
（1）如果两个角有公共顶点且没有公共边，那么这两个角是对顶角（ ）
（2）如果两个角相等，那么这两个角是对顶角（ ）
（3）有一条公共边的两个角是邻补角（ ）
（4）如果两个角是邻补角，那么它们一定互补（ ）
（5）有一条公共边和公共顶点，且互为补角的两个角是邻补角（ ）
【答案】（1）×；（2）×；（3）×；（4）√；（5）×
【分析】
根据对顶角与邻补角的定义与性质分析判断即可求解．
【详解】
（1）如果两个角有公共顶点且没有公共边，那么这两个角是对顶角，错误；
（2）如果两个角相等，那么这两个角不一定是对顶角，错误；
（3）有一条公共边的两个角不一定是邻补角，错误；
（4）如果两个角是邻补角，那么它们一定互补，正确；
（5）有一条公共边和公共顶点，且互为补角的两个角不一定是邻补角，错误；
故答案为：（1）×；（2）×；（3）×；（4）√；（5）×．
【点睛】
本题主要考查了对顶角的与邻补角的性质，是基础题，熟记概念与性质是解题的关键，如果一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，且这两个角有公共顶点，那么这两个角是对顶角，两个角有一条公共边，它们的另一条边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，叫做邻补角．
【即学即练】下列说法中正确的有_________________．
①如果两个角相等，那么这两个角是对顶角．
②如果两个角有公共顶点且没有公共边，那么这两个角是对顶角．③有一条公共边的两个角是邻补角．
④如果两个角是邻补角，那么它们一定互为补角．
⑤有一条公共边和公共顶点，且互为补角的两个角是邻补角．
【答案】④
【分析】
根据对顶角，邻补角的定义以及性质对各选项分析判断后利用排除法求解．
【详解】
解：①相等的两个角是对顶角，边应为互为反向延长线，故错误；
②有公共顶点，没有公共边的两个角是对顶角，边应为互为反向延长线，故错误；
③有一条公共边的两个角是邻补角，另一边应为互为反向延长线，故错误．
④如果两个角是邻补角，那么它们一定互为补角，正确；
⑤有一条公共边和公共顶点，且互为补角的两个角是邻补角，另一边应为互为反向延长线，故错误．
故答案为：④．
【点睛】
本题主要考查了邻补角，对顶角的定义以及对顶角相等的性质，是基础题，熟记概念与性质是解题的关键．
【典例2】点到直线的距离是指（ ）
A．从直线外一点到这条直线的垂线段B．从直线外一点到这条直线的垂线，
C．从直线外一点到这条直线的垂线段的长D．从直线外一点到这条直线的垂线的长
【答案】C
【分析】
根据点到直线的距离的定义解答本题．
【详解】
解：垂线段是一个图形，距离是指垂线段的长度，故A错误；
垂线是直线，没有长度，不能表示距离，故B错误；
符合点到直线的距离的定义，故C正确；
垂线是直线，没有长度，不能表示距离，故C错误．
故选C．
【即学即练】有下列说法：
①两条直线相交成四个角，如果两个角相等，那么这两条直线垂直；
②两条直线相交成四个角，如果三个角相等，那么这两条直线垂直；
③在同一平面内，过直线上一点可以作无数条直线与已知直线垂直；
④直线外一点到这条的垂线段，叫做点到直线的距离．
其中正确的说法有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】B
【解析】试题解析：①两条直线相交成四个角，如果有一对对顶角相等且均不为90°，那么这两条直线不垂直，故①错误；
②两条直线相交成四个角，则这四个角中有2对对顶角．如果三个角相等，则这四个角相等，都是直角，所以这两条直线垂直．故②正确；
③在同一平面内，过直线上一点只有一条直线与已知直线垂直．故③错误；
④直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离．故④错误；
综上所述，正确的说法是1个．
故选B．
考法02 邻补角与对顶角的应用
【典例3】如图所示，直线和相交于点是一条射线．
（1）写出的邻补角：__________________；
（2）写出的邻补角：__________________；
（3）写出的邻补角：__________________；
（4）写出的对顶角：___________________．
【答案】
【分析】
邻补角指的是有公共顶点且有一条公共边，另一边互为反向延长线的两个角；对顶角定义：有公共顶点且两条边都互为反向延长线的两个角称为对顶角，据此解答即可．
【详解】
解：根据邻补角的定义得，
（1）的邻补角：；
（2）的邻补角：；
（3）的邻补角：；
（4）根据对顶角的定义得，的对顶角：，
故答案为：（1）；（2）；（3）；（4）．
【点睛】
本题考查邻补角的定义、对顶角的定义等知识，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．
【典例4】如图所示，有一个破损的扇形零件，利用图中的量角器可以量出这个扇形零件的圆心角的度数，你能说出所量的角是____度，你的根据是____________．
【答案】40 对顶角相等
【分析】
由题意知，一个破损的扇形零件的圆心角与其两边的反向延长线组的角是对顶角，根据对顶角的性质解答即可．
【详解】
解：由题意得，扇形零件的圆心角与其两边的反向延长线组的角是对顶角，
图中的量角器显示的度数是40°，
∴扇形零件的圆心角40°；
故答案为：40；对顶角相等．
【点睛】
本题主要考查了对顶角的性质，题目比较简单．掌握对顶角的性质：对顶角相等是解题的关键．
【即学即练】如图，A、B、C为直线l上的点，D为直线l外一点，若，则的度数为______．
【答案】60°度
【分析】
由邻补角的定义，结合，可得答案.
【详解】
解：

故答案为：
【点睛】
本题考查的是邻补角的定义，掌握“互为邻补角的两个角的和为”是解本题的关键.
【即学即练】如图，直线AB、CD相交于点O，∠AOD＋∠BOC＝240°，则∠BOC的度数为__________°．
【答案】120
【分析】
由题意根据对顶角相等得出∠BOC=∠AOD进而结合∠AOD＋∠BOC＝240°即可求出∠BOC的度数．
【详解】
解：∵∠AOD＋∠BOC＝240°，∠BOC=∠AOD，
∴∠BOC=120°．
故答案为：120．
【点睛】
本题考查的是对顶角的性质，熟练掌握对顶角相等是解题的关键．
【即学即练】如图，过直线AB上一点O作射线OC、OD ，并且OD是∠ AOC的平分线，∠BOC=29°18′， 则∠BOD的度数为___________．
【答案】
【分析】
先求出的度数，再根据角平分线的运算可得的度数，然后根据角的和差即可得．
【详解】
解：，
，
是的平分线，
，
，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了邻补角、与角平分线有关的计算，熟记角的运算法则是解题关键．
考法03 垂线的应用
【典例5】过点B画线段AC所在直线的垂线段，其中正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】
根据垂线段的定义判断即可.
【详解】
根据垂线段的定义可知，过点B画线段AC所在直线的垂线段，可得：
故选D．
【点睛】
本题考查了垂线段的定义，过直线外一点做直线的垂线，这点与垂足间的线段叫做这点到直线的垂线段.
【典例6】如图，计划把河水引到水池A中，可以先引AB⊥CD，垂足为B，然后沿AB开渠，则能使所开的渠最短，这样设计的依据是（ ）
A．垂线段最短B．两点之间，线段最短
C．两点确定一条直线D．两点之间，直线最短
【答案】A
【分析】
过直线外一点作直线的垂线，这一点与垂足之间的线段就是垂线段，且垂线段最短．
【详解】
根据垂线段定理，连接直线外一点与直线上所有点的连线中，垂线段最短，
∴沿AB开渠，能使所开的渠道最短，
故选A．
【点睛】
本题考查了垂线段最短，能熟记垂线段最短的内容是解此题的关键．
【即学即练】如图所示，点P到直线l的距离是（ ）
A．线段PA的长度B．线段PB的长度C．线段PC的长度D．线段PD的长度
【答案】B
【详解】
由点到直线的距离定义，即垂线段的长度可得结果，点P到直线l的距离是线段PB 的长度，
故选B.
【即学即练】点是直线外一点，、、为直线上的三点，，，，则点到直线的距离（ ）
A．小于B．等于C．不大于D．等于
【答案】C
【分析】
根据点到直线的距离是点到直线的垂线段的长度以及垂线段最短即可得答案．
【详解】
解：点P为直线l外一点，当P点直线l上的三点A、B、C的距离分别为PA=4cm，PB=5cm，PC=2cm，则点P到直线l的距离为不大于2cm，
故选C．
【点睛】
本题考查了点到直线的距离，点到直线的距离是点到直线的垂线段的长度，利用垂线段最短是解题关键．
【典例7】如图，下列说法不正确的是（ ）
A．点B到AC的垂线段是线段ABB．点C到AB的垂线段是线段AC
C．线段AD是点D到BC的垂线段D．线段BD是点B到AD的垂线段
【答案】C
【分析】
根据点到直线的距离的定义：直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离，结合图示对各个选项逐一分析即可作出判断．
【详解】
A、点B到AC的垂线段是线段AB，正确；
B、点C到AB的垂线段是线段AC，正确；
C. 点A到BC的垂线段是线段AD，故错误；
D. 点B到AD的垂线段是线段BD，正确；
故选C．
【点睛】
本题考查了点到直线距离的概念，解题的关键是明确点到直线的距离的定义：直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离
【即学即练】如图，，，表示点到直线距离的是线段（ ）的长度
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
根据从直线外一点到这直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离解答．
【详解】
解：∵ED⊥AB，
∴点D到直线AB距离的是线段DE的长度．
故选：B．
【点睛】
本题考查了点到直线的距离的定义，是基础题，熟记概念并准确识图是解题的关键．
考法04 综合应用
【典例8】如图，已知直线AB和CD相交于O点，∠COE是直角，OF平分∠AOE，∠COF＝36°，则∠BOD的大小为 _____．
【答案】18°度
【分析】
根据直角的定义可得∠COE＝90°，然后求出∠EOF，再根据角平分线的定义求出∠AOF，然后根据∠AOC＝∠AOF﹣∠COF求出∠AOC，再根据对顶角相等解答．
【详解】
解：∵∠COE是直角，
∴∠COE＝90°，
∵∠COF＝36°，
∴∠EOF＝∠COE﹣∠COF＝90°﹣36°＝54°，
∵OF平分∠AOE，
∴∠AOF＝∠EOF＝54°，
∴∠AOC＝∠AOF﹣∠COF＝54°﹣36°＝18°，
∴∠BOD＝∠AOC＝18°．
故答案为：18°．
【点睛】
本题考查了对顶角相等的性质，角平分线的定义，是基础题，熟记概念与性质并准确识图，理清图中各角度之间的关系是解题的关键．
【即学即练】如图，已知直线AB和CD相交于O点，∠COE是直角，OF平分∠AOE，∠COF＝27°，则∠BOD的大小为_____．
【答案】36°
【分析】
根据直角的定义可得∠COE＝90°，然后求出∠EOF，再根据角平分线的定义求出∠AOF，然后根据∠AOC＝∠AOF−∠COF求出∠AOC，再根据对顶角相等解答．
【详解】
解：∵∠COE是直角，
∴∠COE＝90°，
∵∠COF＝27°，
∴∠EOF＝∠COE−∠COF＝90°−27°＝63°，
∵OF平分∠AOE，
∴∠AOF＝∠EOF＝63°，
∴∠AOC＝∠AOF−∠COF＝63°−27°＝36°，
∴∠BOD＝∠AOC＝36°．
故答案为：36°．
【点睛】
本题考查了对顶角相等的性质，角平分线的定义，是基础题，熟记概念与性质并准确识图，理清图中各角度之间的关系是解题的关键．
【典例9】如图，直线AB、CD相交于点O，OE⊥AB于O，∠2=2∠1，求∠AOC的度数．
解：∵OE⊥AB（已知）
∴∠BOE（ ）
即∠1+∠2
又∵∠2=2∠1（已知）
∴∠1=______度
∴∠2=______度（等式性质）
∵∠2与∠AOC是对顶角（已知）
∴∠2=∠AOC（ ）
∵∠2=_______度（已证）
∴∠AOC=_________度（ ）
【答案】见解析
【分析】
根据垂直的定义以及∠1和∠2的关系得到各自的度数，再根据对顶角相等得到结果．
【详解】
解：∵OE⊥AB（已知）
∴∠BOE（垂直的定义）
即∠1+∠2
又∵∠2=2∠1（已知）
∴∠1=30度
∴∠2=60度（等式性质）
∵∠2与∠AOC是对顶角（已知）
∴∠2=∠AOC（对顶角相等）
∵∠2=60度（已证）
∴∠AOC=60度（等式性质）
【点睛】
本题考查了垂直的定义，对顶角相等，解题的关键是得到∠2的度数．
【即学即练】给下面命题的说理过程填写依据．
已知：如图，直线AB，CD相交于点O，EO⊥CD，垂足为O，OF平分∠BOD，对∠EOF＝∠BOC说明理由．
理由：因为∠AOC＝∠BOD( )，
∠BOF＝∠BOD( )，
所以∠BOF＝∠AOC( )．
因为∠AOC＝180°－∠BOC( )，
所以∠BOF＝90°－∠BOC．
因为EO⊥CD( )，
所以∠COE＝90°( )
因为∠BOE＋∠COE＝∠BOC( )，
所以∠BOE＝∠BOC－∠COE.
所以∠BOE＝∠BOC－90°( )
因为∠EOF＝∠BOE＋∠BOF( )
所以∠EOF＝(∠BOC－90°)＋(90°∠BOC)（ ）
所以∠EOF＝∠BOC．
【答案】对顶角相等，角平分线的定义，等量代换，平角的定义，已知，垂直的定义，两角和的定义，等量代换，两角和的定义，等量代换．
【解析】
【分析】
根据对顶角的性质得到∠AOC=∠BOD，由角平分线的定义得到∠BOF=∠BOD，等量代换得到∠BOF=∠AOC，由垂直的定义得到∠COE=90°，等量代换得到∠BOE=∠BOC-90°，于是得到结论．
【详解】
解：因为∠AOC＝∠BOD(对顶角相等)，∠BOF＝∠BOD(平分线的定义)，
所以∠BOF＝∠AOC(等量代换)．
因为∠AOC＝180°－∠BOC(平角的定义)，所以∠BOF＝90°－∠BOC.
因为EO⊥CD(已知)，所以∠COE＝90°(垂直的定义)
因为∠BOE＋∠COE＝∠BOC(两角和的定义)，
所以∠BOE＝∠BOC－∠COE.
所以∠BOE＝∠BOC－90°(等量代换)
因为∠EOF＝∠BOE＋∠BOF(两角和的定义)
所以∠EOF＝(∠BOC－90°)＋(90°∠BOC)(等量代换)
所以∠EOF＝∠BOC.
故答案为对顶角相等，角平分线的定义，等量代换，平角的定义，已知，垂直的定义，两角和的定义，等量代换，两角和的定义，等量代换．
【点睛】
本题考查了对顶角、邻补角、垂线以及角平分线的定义，弄清各个角之间的关系是解题的关键．
【典例10】如图，直线AB，CD相交于点O，OA平分∠EOC．
(1)若∠EOC＝70°，求∠BOD的度数；
(2)若∠EOC：∠EOD＝2：3，求∠BOD的度数．
【答案】（1）35°；（2）36°.
【分析】
（1）根据角平分线定义得到∠AOC=∠EOC=×70°=35°，然后根据对顶角相等得到∠BOD=∠AOC=35°；
（2）先设∠EOC=2x，∠EOD=3x，根据平角的定义得2x+3x=180°，解得x=36°，则∠EOC=2x=72°，然后与（1）的计算方法一样．
【详解】
解：（1）∵OA平分∠EOC，
∴∠AOC=∠EOC=×70°=35°，
∴∠BOD=∠AOC=35°；
（2）设∠EOC=2x，∠EOD=3x，根据题意得2x+3x=180°，解得x=36°，
∴∠EOC=2x=72°，
∴∠AOC=∠EOC=×72°=36°，
∴∠BOD=∠AOC=36°．
考点：角的计算．
【即学即练】如图：已知直线AB、CD相交于点O，∠COE=90°
（1）若∠AOC=36°，求∠BOE的度数；
（2）若∠BOD：∠BOC=1：5，求∠AOE的度数．
【答案】（1）54°；（2）120°
【解析】
试题分析：（1）根据平角的定义求解即可；
（2）根据平角的定义可求∠BOD，根据对顶角的定义可求∠AOC，根据角的和差关系可求∠AOE的度数．
试题解析：解：（1）∵∠AOC=36°，∠COE=90°，∴∠BOE=180°﹣∠AOC﹣∠COE=54°；
（2）∵∠BOD：∠BOC=1：5，∴∠BOD=180°×=30°，∴∠AOC=30°，∴∠AOE=30°+90°=120°．
【即学即练】如图，已知直线AB，CD相交于点O，射线OE把∠AOC分成两部分．
（1）写出图中∠AOC的对顶角 ，∠COE的补角是 ；
（2）已知∠AOC＝60°，且∠COE：∠AOE＝1：2，求∠DOE的度数．
【答案】（1）∠BOD，∠DOE；（2）160°
【分析】
（1）分析图形，根据对顶角和补角的定义可以求出答案；
（2）先设∠COE＝x求得∠COE和∠AOE的度数，再根据邻补角的定义求得∠AOD的度数，然后将∠AOE与∠AOD的度数相加即可．
【详解】
解：（1）由图形可知，∠AOC的对顶角是∠BOD，∠COE的补角是∠DOE；
（2）设∠COE＝x，则∠AOE＝2x，
∵∠AOC＝60°，
∴x+2x＝60，
解得x＝20，
即∠COE＝20°，∠AOE＝40°，
∵∠AOC+∠AOD＝180°，
∴∠AOD＝120°，
∴∠DOE＝∠AOE+∠AOD＝40°+120°＝160°．
【点睛】
本题考查角的运算，解题的关键是正确找出图中的角的等量关系，本题属于基础题型．
分层提分
题组A 基础过关练
1．图中的∠1、∠2可以是对顶角的是( )
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】
根据对顶角的定义，具有公共顶点且角的两边互为反向延长线对各图形分析判断后进行解答．
【详解】
解：A、∠1与∠2不是对顶角，
B、∠1与∠2不是对顶角，
C、∠1与∠2是对顶角，
D、∠1与∠2不是对顶角，
故选C．
【点睛】
本题主要考查了对顶角的定义，熟练掌握定义是解题关键．
2．下列说法正确的有( )．
①对顶角相等；②相等的角是对顶角；③若两个角不相等，则这两个角一定不是对顶角；④若两个角不是对顶角，则这两个角不相等．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】B
【详解】
解：②对顶角要符合两直线相交构成的没有公共边的两个相对的角是对顶角，但相等的角不一定是对顶角；
④例如30°与30°的角不一定是对顶角，但这两个角一定相等，故②④错误；
正确的有①③两个．
故选B．
3．如图，在线段、、、中，长度最小的是（ ）
A．线段B．线段C．线段D．线段
【答案】B
【分析】
由垂线段最短可解．
【详解】
由直线外一点到直线上所有点的连线中，垂线段最短，可知答案为B．
故选B．
【点睛】
本题考查的是直线外一点到直线上所有点的连线中，垂线段最短，这属于基本的性质定理，属于简单题．
4．如图，经过直线l外一点A作l的垂线，能画出（ ）
A．4条B．3条C．2条D．1条
【答案】D
【分析】
平面内经过一点有且只有一条直线垂直于已知直线，据此可得．
【详解】
经过直线l外一点画l的垂线，能画出1条垂线，
故选D．
【点睛】
本题主要考查垂线，解题的关键是掌握在平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．
5．如图，直线AB，CD相交于点O，若∠1＋∠2＝100°，则∠BOC等于（ ）
A．130°B．140°C．150°D．160°
【答案】A
【详解】
试题分析：两直线相交，对顶角相等，即∠AOC=∠BOD，已知∠AOC+∠BOD=100°，可求∠AOC；又∠AOC与∠BOC互为邻补角，即∠AOC+∠BOC=180°，将∠AOC的度数代入，可求∠BOC．
解：∵∠AOC与∠BOD是对顶角，
∴∠AOC=∠BOD，
又∵∠AOC+∠BOD=100°，
∴∠AOC=50°．
∵∠AOC与∠BOC互为邻补角，
∴∠BOC=180°﹣∠AOC=180°﹣50°=130°．
故选A．
【点评】本题考查对顶角的性质以及邻补角的定义，是一个需要熟记的内容．
6．如图，三条直线相交于点O．若CO⊥AB，∠1=56°，则∠2等于( )
A．30°B．34°C．45°D．56°
【答案】B
【详解】
试题分析：根据垂线的定义求出∠3，然后利用对顶角相等解答．
解：∵CO⊥AB，∠1=56°，
∴∠3=90°﹣∠1=90°﹣56°=34°，
∴∠2=∠3=34°．
故选B．
考点：垂线．
7．如图，点O在直线AB上，射线OC平分∠DOB．若∠COB=35°，则∠AOD等于( ).
A．35°B．70°
C．110°D．145°
【答案】C
【详解】
∵OC平分∠DOB，∠COB=35°，
∴∠BOD=2∠COB=2×35°=70°,
∴∠AOD=180°-70°=110°.
故选C.
8．如图所示，已知直线AB、CD相较于O，OE平分∠COB，若∠EOB=55°，则∠BOD的度数是（ ）
A．20B．25°C．30°D．70°
【答案】D
【分析】
由角平分线的定义可求出∠COB的度数，根据邻补角的定义求出∠BOD的度数即可.
【详解】
∵OE平分∠COB，若∠EOB=55°，
∴∠COB=2∠EOB=110°，
∵∠BOD与∠COB是邻补角，
∴∠BOD=180°-∠COB=70°，
故选D.
【点睛】
本题考查了角平分线的定义及邻补角的概念，掌握角平分线的定义和邻补角之和为180°是解题的关键．
题组B 能力提升练
1．如图，与是对顶角，，，则______．
【答案】145°
【分析】
根据对顶角相等列出关系式求解即可．
【详解】
解：∵与是对顶角，
∴=，
∵，，
∴ ，
∴，
故答案为：145°．
【点睛】
本题考查对顶角，掌握对顶角相等是解答的关键．
2．两条直线相交所成的四个角中，有两个角分别是(2x－10)°和(110－x)°，则x＝_____．
【答案】40或80
【详解】
当这两个角是对顶角时，(2x-10) =(110-x)，
解之得
x=40;
当这两个角是邻补角时，(2x-10) +(110-x) =180，
解之得
x=80;
∴x的值是40或80.
点睛：本题考查了两条直线相交所成的四个角之间的关系及分类讨论的数学思想，两条直线相交所成的四个角或者是对顶角的关系，或者是邻补角的关系，明确这两种关系是解答本题的关键.
3．如图，直线AD与BE相交于点O，∠COD=90°，∠COE=70°，则∠AOB= _______．

【答案】20°
【详解】
【分析】由题意可知∠DOE=90°-∠COE，∠AOB与∠DOE是对顶角相等，由此即可得解．
【详解】∵已知∠COD=90°，∠COE=70°，
∴∠DOE=90°-70°=20°，
又∵∠AOB与∠DOE是对顶角，
∴∠AOB=∠DOE=20°，
故答案为20°.
【点睛】本题考查了余角、对顶角的定义和性质，熟练掌握两角互余与对顶角的定义和性质是解题的关键.
4．如图，直线相交于点O，，且，则______．
【答案】53°
【分析】
根据∠2=180°－∠COE－∠1，可得出答案．
【详解】
解：由题意得∠2=180°－∠COE－∠1=180°－90°－37°=53°．
故答案为：53°．
【点睛】
本题考查平角、直角的定义和几何图形中角的计算，能识别∠AOB是平角且它等于∠1、∠2和∠COE三个角之和是解题关键．
5．如图，计划在河边建一水厂，可过C点作CD⊥AB于D点．在D点建水厂，可使水厂到村庄C的路程最短，这样设计的依据是________．
【答案】垂线段最短
【分析】
根据垂线段最短解释即可.
【详解】
由作法可知，CD是点C到AB的垂线段，所以这样设计的依据是：垂线段最短.
故答案为垂线段最短.
【点睛】
本题考查了垂线段最短的实际应用，熟记垂线段最短是解答此题的关键.
6．如图，直线AB，AB相交于点O，OA平分∠EOC.若∠EOA∶∠EOD＝1∶3，则∠BOD＝______°.
【答案】36
【分析】
根据对顶角和角平分线定义、已知得出∠EOA：∠EOD：∠BOD=1：3：1，根据∠AOE+∠EOD+∠BOD=180°求出即可．
【详解】
解：∵OA平分∠EOC，
∴∠AOC=∠AOE，
∴∠DOB=∠AOC=∠AOE，
∵∠EOA：∠EOD=1：3，
∴∠EOA：∠EOD：∠BOD=1：3：1，
∵∠AOE+∠EOD+∠BOD=180°，
∴∠BOD=×180°=36°，
故答案为36．
【点睛】
本题考查了对顶角、角平分线定义等知识点，能根据已知求∠EOA：∠EOD：∠BOD=1：3：1是解此题的关键．
7．如图，已知直线和相交于点，是直角，平分，，则的大小为__________．
【答案】
【解析】
【分析】
根据直角的定义可得∠COE=90°，然后求出∠EOF，再根据角平分线的定义求出∠AOF，然后根据∠AOC=∠AOF-∠COF求出∠AOC，再根据对顶角相等解答．
【详解】
∵∠COE是直角，
∴∠COE=90°，
∴∠EOF=∠COE-∠COF=90°-24°=66°，
∵OF平分∠AOE，
∴∠AOF=∠FOE=66°，
∴∠AOC=∠AOF-∠COF=66°-24°=42°，
∴∠BOD=∠AOC=42°．
故答案为42°．
【点睛】
本题考查了对顶角相等的性质，角平分线的定义，是基础题，熟记概念与性质并准确识图，理清图中各角度之间的关系是解题的关键．
题组C 培优拔尖练
1．如图，两直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOD，如果∠AOC：∠AOD＝7：11，
（1）求∠COE；（2）若OF⊥OE，求∠COF．
【答案】（1）145°；（2）125°．
【详解】
试题分析：（1）首先依据∠AOC：∠AOD=7：11，∠AOC+∠AOD=180°可求得∠AOC、∠AOD的度数，然后可求得∠BOD的度数，依据角平分线的定义可求得∠DOE的度数，最后可求得∠COE的度数；
（2）先求得∠FOD的度数，然后依据邻补角的定义求解即可．
试题解析：解：（1）∵∠AOC：∠AOD=7：11，∠AOC+∠AOD=180°，∴∠AOC=70°，∠AOD=110°，∴∠BOD=70°．∵OE平分∠BOD，∴∠DOE=35°，∴∠COE=180°﹣35°=145°．
（2）∵∠DOE=35°，OF⊥OE，∴∠FOD=55°，∴∠FOC=180°﹣55°=125°．
点睛：本题主要考查的是角平分线的定义、对顶角、邻补角的定义，熟练掌握相关知识是解题的关键．
2．如图，直线AB，CD相交于点O，OD平分∠BOE，OF平分∠AOE
（1）判断OF与OD的位置关系，并进行证明．
（2）若∠AOC：∠AOD＝1：5，求∠EOF的度数．
【答案】（1）OF⊥OD，证明详见解析；（2）∠EOF＝60°．
【分析】
（1）由OD平分∠BOE、OF平分∠AOE，可得出∠FOE＝∠AOE、∠EOD＝∠EOB，根据邻补角互补可得出∠AOE+∠EOB＝180°，进而可得出∠FOD＝∠FOE+∠EOD＝90°，由此即可证出OF⊥OD；
（2）由∠AOC：∠AOD＝1：5结合邻补角互补、对顶角相等，可求出∠BOD的度数，根据OD平分∠BOE、OF平分∠AOE，可得出∠BOE的度数以及∠EOF＝∠AOE，再根据邻补角互补结合∠EOF＝∠AOE，可求出∠EOF的度数．
【详解】
（1）OF⊥OD．
证明：∵OD平分∠BOE，OF平分∠AOE，
∴∠FOE＝∠AOE，∠EOD＝∠EOB．
∵∠AOE+∠EOB＝180°，
∴∠FOD＝∠FOE+∠EOD＝（∠AOE+∠EOB）＝90°．
∴OF⊥OD．
（2）∵∠AOC：∠AOD＝1：5，∠AOC＝∠BOD，
∴∠BOD：∠AOD＝1：5．
∵∠AOD+∠BOD＝180°，
∴∠BOD＝30°，∠AOD＝150°．
∵OD平分∠BOE，OF平分∠AOE，
∴∠BOE＝2∠BOD＝60°，∠EOF＝∠AOE．
∵∠AOE+∠BOE＝180°，
∴∠AOE＝120°，
∴∠EOF＝60°．
【点睛】
此题考查对顶角，邻补角，角平分线的定义，解题的关键是：（1）根据邻补角互补结合角平分线的定义找出∠FOD=90°；（2）通过比例关系结合邻补角互补求出∠BOD的度数．
3．如图，与交于点，，，若，求的度数．
解：，
，
，
又，
， ，
，
，
．
【答案】，，，，，，，，
【分析】
据垂直定义，结合及图形依次作答．
【详解】
，
，
，
又，
，，
，
，
．
故答案为：，，，，，，，，．
【点睛】
考查垂直定义、角的和差等知识点，熟悉相关定义并能结合图形进行计算是关键．
4．如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOD，OF平分∠COE．
（1）若∠AOC=76°，求∠BOF的度数；
（2）若∠BOF=36°，求∠AOC的度数；
（3）若|∠AOC﹣∠BOF|=α°，请直接写出∠AOC和∠BOF的度数．（用含的代数式表示）
【答案】（1）∠BOF=33°；（2）∠AOC=72°；(3) ∠AOC=2x=（）°﹣α°，∠BOF=（）°+α°．
【详解】
试题分析：
（1）由∠AOC=76°易得∠BOD=76°，结合OE平分∠BOD可得∠DOE=∠BOE=38°，由此可得∠COE=180°-38°=142°，结合OF平分∠COE可得∠EOF=71°，最后由∠BOF=∠EOF-∠BOE即可求得∠BOF的度数；
（2）设∠BOE=x，由OE平分∠BOD，∠AOC=∠BOD可得∠DOE=∠BOE=x，∠AOC=2x，结合∠BOF=36°，OF平均∠EOF可得∠COF=∠EOF=x+36°，最后由∠AOC+∠COF+∠BOF=180°即可列出关于x的方程，解方程求得x的值即可求得∠AOC的度数；
（3）设∠BOE=x，则由已知条件易得∠AOC=2x，∠BOF=90°-x，这样结合|∠AOC﹣∠BOF|=α°即可列出关于x的方程，解方程求得x的值即可求得∠AOC和∠BOF的值.
试题解析：
（1）∵∠BOD=∠AOC=76°，
又∵OE平分∠BOD，
∴∠DOE=∠BOD=×76°=38°．
∴∠COE=180°﹣∠DOE=180°﹣38°=142°，
∵OF平分∠COE，
∴∠EOF=∠COE=×142°=71°，
∴∠BOF=∠EOF﹣∠BOE=71°﹣38°=33°．
（2）∵OE平分∠BOD，OF平分∠COE，
∴∠BOE=∠EOD，∠COF=∠FOE，
∴设∠BOE=x，则∠DOE=x，
故∠COA=2x，∠EOF=∠COF=x+36°，
则∠AOC+∠COF+∠BOF=2x+x+36°+36°=180°，
解得：x=36°，
故∠AOC=72°．
（3）设∠BOE=x，
∵OE平分∠BOD，∠BOD=∠AOC，
∴∠DOE=x，∠COA=2x，
∴∠BOC=180°-2x，
∴∠COE=180°-x，
∵OF平分∠COE，
∴∠EOF=90°-x，
∴∠BOF=90°﹣x，
∵|∠AOC﹣∠BOF|=α°，
∴|2x﹣（90°﹣x）|=α°，
解得：x=（）°+α°或x=（）°﹣α°，
当x=（）°+α°时，
∠AOC=2x=（）°+α°，
∠BOF=90°﹣x=（）°﹣α°；
当x=（）°﹣α°时，
∠AOC=2x=（）°﹣α°，
∠BOF=90°﹣x=（）°+α°．
5．已知点A，B，O在一条直线上，以点O为端点在直线AB的同一侧作射线，，使．
（1）如图①，若平分，求的度数；
（2）如图②，将绕点O按逆时针方向转动到某个位置时，使得所在射线把分成两个角．
①若，求的度数；
②若（n为正整数），直接用含n的代数式表示．
【答案】（1）；（2）①；②．
【分析】
（1）依据角平分线的定义可求得，再依据角的和差依次可求得和，根据邻补角的性质可求得结论；
（2）①根据角相等和角的和差可得∠EOC=∠BOD，再根据比例关系可得，最后依据角的和差和邻补角的性质可求得结论；
②根据角相等和角的和差可得∠EOC=∠BOD，再根据比例关系可得，最后依据角的和差和邻补角的性质可求得结论．
【详解】
解：（1）∵平分，，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）①∵，
∴∠EOC+∠COD=∠BOD+∠COD，
∴∠EOC=∠BOD，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴；
②∵，
∴∠EOC+∠COD=∠BOD+∠COD，
∴∠EOC=∠BOD，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】
本题考查邻补角的计算，角的和差，角平分线的有关计算．能正确识图，利用角的和差求得相应角的度数是解题关键．课程标准
1.了解两直线相交所成的角的位置和大小关系，理解邻补角和对顶角概念，掌握对顶角的性质；
2.理解垂直作为两条直线相交的特殊情形，掌握垂直的定义及性质；
3.理解点到直线的距离的概念，并会度量点到直线的距离；
4.能依据对顶角、邻补角及垂直的概念与性质，进行简单的计算.
角的名称
特 征
性 质
相 同 点
不 同 点
对顶角
①两条直线相交形成的角；
②有一个公共顶点；
③没有公共边.
对顶角相等.
①都是两条直线相交而成的角；
②都有一个公共顶点；
③都是成对出现的.
①有无公共边；
②两直线相交时，对顶角只有2对；邻补角有4对.
邻补角
①两条直线相交而成；
②有一个公共顶点；
③有一条公共边.
邻补角互补.