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    人教版七年级数学下册同步精品讲义专题第22课 不等式及其性质(教师版)
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    人教版七年级数学下册同步精品讲义专题第22课 不等式及其性质(教师版)

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    这是一份人教版七年级数学下册同步精品讲义专题第22课 不等式及其性质(教师版),共17页。试卷主要包含了不等式的解,不等式的解集,不等式的解集的表示方法等内容,欢迎下载使用。

    目标导航
    知识精讲
    知识点01 不等式的概念
    一般地,用“<”、 “>”、“≤”或“≥”表示大小关系的式子,叫做不等式.用“≠”表示不等关系的式子也是不等式.
    注意:
    (1)不等号“<”或“>”表示不等关系,它们具有方向性,不等号的开口所对的数较大.
    (2)五种不等号的读法及其意义:
    (3)有些不等式中不含未知数,如3<4,-1>-2;有些不等式中含有未知数,如2x>5中,x表示未知数,对于含有未知数的不等式,当未知数取某些值时,不等式的左、右两边符合不等号所表示的大小关系,我们说不等式成立,否则,不等式不成立.
    知识点02 不等式的解及解集
    1.不等式的解:
    能使不等式成立的未知数的值,叫做不等式的解。
    2.不等式的解集:
    对于一个含有未知数的不等式,它的所有解组成这个不等式的解集.
    注意:
    3.不等式的解集的表示方法
    (1)用最简的不等式表示:一般地,一个含有未知数的不等式有无数个解,其解集是一个范围,这个范围可用最简单的不等式来表示.如:不等式x-2≤6的解集为x≤8.
    (2)用数轴表示:不等式的解集可以在数轴上直观地表示出来,形象地表明不等式的无限个解.如图所示:
    注意:
    借助数轴可以将不等式的解集直观地表示出来,在应用数轴表示不等式的解集时,要注意两个“确定”:
    一是确定“边界点”,若边界点是不等式的解,则用实心圆点,若边界点不是不等式的解,则用空心圆圈;二是确定方向,对边界点a而言,x>a或x≥a向右画;对边界点a而言,x<a或x≤a向左画.
    注意:在表示a的点上画空心圆圈,表示不包括这一点.
    知识点03 不等式的基本性质
    不等式的基本性质1:不等式两边加(或减)同一个数(或式子),不等号的方向不变.
    用式子表示:如果a>b,那么a±c>b±c.
    不等式的基本性质2:不等式两边都乘(或除以)同一个正数,不等号的方向不变.
    用式子表示:如果a>b,c>0,那么ac>bc(或).
    不等式的基本性质3:不等式两边乘(或除以)同一个负数,不等号的方向改变.
    用式子表示:如果a>b,c<0,那么ac<bc(或).
    注意:
    不等式的基本性质的掌握应注意以下几点:
    (1)不等式的基本性质是对不等式变形的重要依据,是学习不等式的基础,它与等式的两条性质既有联系,又有区别,注意总结、比较、体会.
    (2)运用不等式的性质对不等式进行变形时,要特别注意性质2和性质3的区别,在乘(或除以)同一个数时,必须先弄清这个数是正数还是负数,如果是负数,不等号的方向要改变.
    能力拓展
    考法01 不等式的概念
    【典例1】有数颗等重的糖果和数个大、小砝码,其中大砝码皆为5克、小砝码皆为1克,且下图是将糖果与砝码放在等臂天平上的两种情形.判断下列正确的情形是 ( )
    【分析】根据图示可知1个糖果的质量>5克,3个糖果的质量<16克,依此求出1个糖果的质量取值范围,再在4个选项中找出情形正确的.
    【答案】D
    【解析】
    解:由图(1)知,每一个糖果的重量大于5克,由图(2)知:3个糖果的重量小于16克,即每一个糖果的重量小于克.故A选项错;两个糖果的重量小于克故B选项错;三个糖果的重量大于15克小于16克故C选项错,四个糖果的重量小于克故D选项对.
    【点睛】观察图示,确定大小.本题涉及的知识点是不等式,涉及的数学思想是数形结合思想,解决问题的基本思路是根据图示信息列出不等式.
    考法02 不等式的解及解集
    【典例2】若关于的不等式x≤a只有三个正整数解,求的取值范围.
    【分析】首先根据题意确定三个正整数解,然后再确定a的范围.
    【答案】3≤a<4
    【解析】
    解:∵不等式x≤a只有三个正整数解,
    ∴三个正整数解为:1,2,3,
    ∴3≤a<4,
    【点睛】此题主要考查了一元一次不等式的整数解,做此题的关键是确定好三个正整数解.
    【典例3】如图所示,图中阴影部分表示x的取值范围,则下列表示中正确的是( )
    A.-3≤x<2 B.-3<x≤2 C.-3≤x≤2 D.-3<x<2
    【分析】x表示-3右边的数,即大于-3,并且是2以及2左边的数,即小于或等于2的数.
    【答案】B
    【解析】
    解: A、因为-3≤x<2,在数轴上-3的点应该是实心的圆点;
    C、因为-3≤x≤2,在数轴上-3和2的点应该都是实心的圆点;
    D、因为-3<x<2,在数轴上-3和2的点应该都是空心的圆点;
    故选B.
    【点睛】在数轴上 表示解集时“≥”,“≤”要用实心圆点表示;“<”,“>”要用空心圆点表示,“>”,“≥”向右画;“<”,“≤”向左画.
    【即学即练】根据如图所示的程序计算,若输入x的值为1,则输出y的值为________.
    【答案】4
    提示:由程序图可知,计算求值时所使用的数学表达式为.把x=1输入求值,若求得的结果大于0,则直接得到输出值y;若求得的结果小于0,则需要把得到的结果作为输入值再代入计算,循环往复,直到使最终的结果大于0为止.
    考法03 不等式的基本性质
    【典例4】若关于x、y的二元一次方程组的解满足x+y<2,则a的取值范围是________.
    【分析】观察方程组不难发现只要把两个方程相加即能求出x+y的值.因为x+y<2,故可以构建关于a的不等式.然后利用不等式的性质就能求出a的取值范围.
    【答案】a<4
    【解析】
    解:将两方程相加得:4x+4y=4+a.
    将方程的两边同除以4得 .
    依题意:.
    将不等式的两边同乘以4得4+a<8.
    将不等式的两边同时减去4得a<4.
    故a的取值范围是a<4.
    【点睛】解关于x的一元一次不等式,就是要将不等式逐步化为x>a或x<a的形式,化简的依据是不等式的性质.
    【即学即练】若关于x的不等式(1﹣a)x>3可化为,则a的取值范围是 .
    【答案】a>1.
    解:关于x的不等式(1﹣a)x>3可化为,1﹣a<0,a>1.
    【即学即练】a、b是有理数,下列各式中成立的是( ).
    A.若a>b,则a2>b2;B.若a2>b2,则a>b
    C.若a≠b,则|a|≠|b|D.若|a|≠|b|,则a≠b
    【答案】D
    分层提分
    题组A 基础过关练
    1.式子:①2>0;②4x+y≤1;③x+3=0;④y-7;⑤m-2.5>3.其中不等式有( )
    A.1个B.2个C.3个D.4个
    【答案】C
    【解析】
    【分析】
    找到用不等号连接的式子的个数即可.
    【详解】
    ①是用“>”连接的式子,是不等式;
    ②是用“≤”连接的式子,是不等式;
    ③是等式,不是不等式;
    ④没有不等号,不是不等式;
    ⑤是用“>”连接的式子,是不等式;
    ∴不等式有①②⑤共3个,故选C.
    【点睛】
    此题考查不等式的定义,用到的知识点为:用“<,>,≤,≥,≠”连接的式子叫做不等式.
    2.若m>n,则下列不等式正确的是( )
    A.m﹣2<n﹣2B.C.6m<6nD.﹣8m>﹣8n
    【答案】B
    【解析】
    【分析】
    将原不等式两边分别都减2、都除以4、都乘以6、都乘以﹣8,根据不等式得基本性质逐一判断即可得.
    【详解】
    A、将m>n两边都减2得:m﹣2>n﹣2,此选项错误;
    B、将m>n两边都除以4得: ,此选项正确;
    C、将m>n两边都乘以6得:6m>6n,此选项错误;
    D、将m>n两边都乘以﹣8,得:﹣8m<﹣8n,此选项错误,
    故选B.
    【点睛】
    本题考查了不等式的性质,解题的关键是熟练掌握握不等式的基本性质,尤其是性质不等式的两边同时乘以(或除以)同一个负数,不等号的方向改变.
    3.下面列出的不等式中,正确的是( )
    A.“m不是正数”表示为m<0
    B.“m不大于3”表示为m<3
    C.“n与4的差是负数”表示为n﹣4<0
    D.“n不等于6”表示为n>6
    【答案】C
    【解析】
    【分析】
    根据各个选项的表示列出不等式,与选项中所表示的不等式对比即可.
    【详解】
    A. “m不是正数”表示为 故错误.
    B. “m不大于3”表示为故错误.
    C. “n与4的差是负数”表示为n﹣4<0,正确.
    D. “n不等于6”表示为,故错误.
    故选:C.
    【点睛】
    考查列不等式,解决本题的关键是理解负数是小于0的数,非负数是大于或等于0的数,不大于用数学符号表示是“≤”.
    4.若 是关于x的一元一次不等式,则m的值为( )
    A.±1B.1C.-1D.0
    【答案】B
    【解析】
    【详解】
    根据一元一次不等式的概念,可知m+1≠0,解得m≠-1,然后根据次数可知m2=1,解得m=±1,因此可知m的值为1.
    故选B.
    5.下列不等式变形正确的是( )
    A.由,得B.由,得
    C.由,得D.由,得
    【答案】B
    【解析】
    【分析】
    根据不等式的基本性质结合特殊值法逐项判断即可.
    【详解】
    解:A、由a>b,不等式两边同时减去2可得a-2>b-2,故此选项错误;
    B、由a>b,不等式两边同时乘以-2可得-2a<-2b,故此选项正确;
    C、当a>b>0时,才有|a|>|b|;当0>a>b时,有|a|<|b|,故此选项错误;
    D、由a>b,得a2>b2错误,例如:1>-2,有12<(-2)2,故此选项错误.
    故选:B.
    【点睛】
    主要考查了不等式的基本性质.“0”是很特殊的一个数,因此,解答不等式的问题时,应密切关注“0”存在与否,以防掉进“0”的陷阱.不等式的基本性质:(1)不等式两边加(或减)同一个数(或式子),不等号的方向不变.(2)不等式两边乘(或除以)同一个正数,不等号的方向不变.(3)不等式两边乘(或除以)同一个负数,不等号的方向改变.
    6.下列数值中不是不等式5x≥2x+9的解的是( )
    A.5B.4C.3D.2
    【答案】D
    【解析】
    【详解】
    解:移项得,5x﹣2x≥9,合并同类项得,3x≥9,系数化为1得,x≥3,所以,不是不等式的解集的是x=2.
    故选D.
    【点睛】
    本题考查一元一次不等式的解集.
    7.不等式x<-2的解集在数轴上表示为( )
    A.
    B.
    C.
    D.
    【答案】D
    【解析】
    【详解】
    A选项中,数轴上表达的解集是:,所以不能选A;
    B选项中,数轴上表达的解集是:,所以不能选B;
    C选项中,数轴上表达的解集是:,所以不能选C;
    D选项中,数轴上表达的解集是:,所以可以选D.
    故选D.
    8.若不等式的解集是,则必满足( )
    A.B.C.D.
    【答案】C
    【解析】
    【分析】
    由不等式的解集是,不等式的方向发生了改变,从而可得:< 于是可得答案.
    【详解】
    解: 不等式的解集是,


    故选:
    【点睛】
    本题考查的是不等式的基本性质,不等式的解集,掌握“不等式的两边都除以同一个负数,不等号的方向要改变.”是解题的关键
    9.用不等式表示图中的解集,其中正确的是( )
    A.x≥﹣2B.x≤﹣2C.x<﹣2D.x>﹣2
    【答案】D
    【解析】
    【分析】
    根据不等式的解集表示方法即可求解.
    【详解】
    解:∵表示不等式的解集的折线向右延伸,且表示﹣2的点是空心圆点
    ∴x>﹣2
    故选:D.
    【点睛】
    此题主要考查不等式解集的表示,解题的关键是熟知不等式解集的表示方法.
    10.如果(m+3)x>2m+6的解集为x<2,则m的取值范围是( )
    A.B.C.D.m是任意实数
    【答案】B
    【解析】
    【详解】
    由含有m的不等式(m+3)x>2m+6的解集为:x<2,根据不等式的基本性质3,可知m+3<0,解得m<-3.
    故选B.
    题组B 能力提升练
    11.“x的3倍与2的差不大于-1”所对应的不等式是___________.
    【答案】3x-2≤-1
    【解析】
    【分析】
    不大于就是小于等于的意思,根据x的3倍与2的差不大于-1,可列出不等式.
    【详解】
    根据题意得:3x-2≤-1.
    故答案为3x-2≤-1.
    【点睛】
    本题考查由实际问题抽象出一元一次不等式,关键是抓住关键词语,弄清运算的先后顺序和不等关系,才能把文字语言的不等关系转化为用数学符号表示的不等式.
    12.“5与m的2倍的和是负数”可以用不等式表示为_____.
    【答案】5+2m<0
    【解析】
    【分析】
    根据题意列不等式可得答案.
    【详解】
    解:由题意得:5与m的2倍的和是负数,
    可列不等式:5+2m<0
    故答案为5+2m<0.
    【点睛】
    本题主要考查列不等式,较简单.
    13.用不等式表示下列各语句所描述的不等关系:
    (1)是正数:_____________________;
    (2)是负数:_____________________;
    (3)不小于4:_____________________;
    (4)是非负数:_____________________;
    (5)的2倍比9大:_____________________;
    (6)的一半与8的和是负数:_____________________;
    (7)的3倍与5的和大于的:_____________________;
    (8)相反数是非正数:_____________________;
    【答案】 >0; <0; ≥4; ≥0; 2>9; +8<0; +5>; -() ≤0.
    【解析】
    【分析】
    读懂题意,抓住关键词语,弄清运算的先后顺序和不等关系,才能把文字语言的不等关系转化为用数学符号表示的不等式.
    【详解】
    (1)>0;(2)<0;(3)≥4;(4)≥0;(5)2>9;(6)+8<0;(7)+>;(8)-() ≤0.
    故答案为(1)>0;(2)<0;(3)≥4;(4)≥0;(5)2>9;(6)+8<0;(7)+5>;(8)-() ≤0.
    【点睛】
    此题考查利用字母来表示题目中的不等关系,抓住大于、小于、不大于、不小于等关键字.
    14.一种药品的说明书上写着:“每日用量60~120mg,分4次服用”,一次服用这种药量x(mg)范围为_________.
    【答案】15mg<x<30
    【解析】
    【详解】
    根据题意,由“每日用量60~120mg,分4次服用”,用60÷4=15(mg/次),120÷4=30(mg/次)得到每天服用这种药的剂量为:15mg≤x≤30mg.
    故答案为15≤x≤30.
    点睛:本题考查的是不等式的定义,本题需注意应找到每天服用60mg时4次每次的剂量;每天服用120mg时4次每次的剂量,然后找到最大值与最小值.
    15.如图所示的不等式的解集是________.
    【答案】x≤2
    【解析】
    【详解】
    分析:本题考察不等式的解集在数轴上表示,左边表示小于,实心圆点表示等于.
    解析:由图得,x≤2.
    故答案为x≤2.
    16.若5x3m-2-2>7是一元一次不等式,则m=_____.
    【答案】1
    【解析】
    【详解】
    根据题意得:3m-2=1,
    解得:m=1.
    故答案是:1.
    17.如果不等式(a-3)x<b的解集是x>,那么a的取值范围是________.
    【答案】a<3
    【解析】
    【详解】
    因为不等号没有改变方向,所以a-3<0,则a<3,
    故答案为a<3.
    18.对于一个数,我们用表示小于的最大整数 ,例如:,,如果,则的取值范围为__________.
    【答案】﹣3<x≤﹣2或3<x≤4
    【解析】
    【分析】
    根据的定义和绝对值的意义分两种情况列出关于x的不等式,解不等式即可.
    【详解】
    解:当x<0时,
    ∵,
    ∴x>﹣3
    ∴﹣3<x≤﹣2;
    当x>0时,
    ∵,
    ∴x>3,
    ∴3<x≤4,
    综上所述,x的取值范围是﹣3<x≤﹣2或3<x≤4
    【点睛】
    本题考查解不等式,理解的定义和分两种情况是解题的关键.
    题组C 培优拔尖练
    19.在数轴上表示下列不等式的解集:
    (1)x>3
    (2)x≥-2
    (3)x≤4
    (4)x<-
    【答案】略
    【解析】
    【详解】
    整体分析:
    在数轴上表示不等式的解集时,大于向右,小于向左,包含等于号用实心点,不包含等于号用空心点.
    解:(1)x>3
    (2)x≥-2
    (3)x≤4
    (4)x<-
    20.用适当的不等式表示下列不等关系:
    (1)x减去6大于12;
    (2)x的2倍与5的差是负数;
    (3)x的3倍与4的和是非负数;
    (4)y的5倍与9的差不大于;
    【答案】(1)x-6>12;(2)2x-5<0;(3)3x+4≥0;(4)5y-9≤-1.
    【解析】
    【分析】
    (1)根据x减去6得出x-6,再根据x减去6大于12得出答案;
    (2)先表示出x的2倍为2x,再表示出与5的差为2x-5,列出不等式即可;
    (3)先表示出x的3倍为3x,再表示出与41的和为3x+4,列出不等式即可;
    (4)先表示出y的5倍是5y,再表示出与9的差5y-9,然后根据不大于-1即为小于等于-1,列出不等式即可.
    【详解】
    (1)由题意可得:x-6>12;
    (2)由题意可得:2x-5<0;
    (3)由题意可得:3x+4≥0;
    (4)由题意可得:5y-9≤-1.
    【点睛】
    本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式,弄清运算的先后顺序和不等关系,才能把文字语言的不等关系转化为用数学符号表示的不等式.
    21.用不等式表示
    (1)a的与一1的差是非正数.
    (2)a的平方减去b的立方大于a与b的和.
    (3)a的减去4的差不小于-6.
    (4)x的2倍与y的和不大于5.
    (5)长方形的长与宽分别为4、,它的周长大于20.
    【答案】(1);(2);(3);(4);(5)
    【解析】
    【分析】
    根据题意以及不等式的定义列不等式.
    【详解】
    (1);
    (2);
    (3);
    (4);
    (5).
    【点睛】
    本题考查列不等式,解题的关键是根据不等式的定义,找到题目中的不等关系进行列式.
    22.不等式的解集中是否一定有无限多个数?
    不等式|x|≤0、x2<0的解集是什么?
    不等式x2>0和x2+4>0的解集分别又是什么?
    【答案】见解析.
    【解析】
    【详解】
    整体分析:
    根据不等式的解集的定义和非负数的性质,绝对值的性质解题.
    解:不等式的解集中不一定有无数多个数.
    |x|≤0的解集是x=0,x2<0无解.
    x2>0的解集为x>0或x<0,
    x2+4>0的解集为一切实数.课程标准
    1.了解不等式的意义,认识不等式和等式都可以用来刻画现实世界中的数量关系.
    2. 知道不等式解集的概念并会在数轴上表示解集.
    3. 理解不等式的三条基本性质,并会简单应用.
    符号
    读法
    意义
    “≠”
    读作“不等于”
    它说明两个量之间的关系是不相等的,但不能确定哪个大,哪个小
    “<”
    读作“小于”
    表示左边的量比右边的量小
    “>”
    读作“大于”
    表示左边的量比右边的量大
    “≤”
    读作“小于或等于”
    即“不大于”,表示左边的量不大于右边的量
    “≥”
    读作“大于或等于”
    即“不小于”,表示左边的量不小于右边的量
    不等式的解
    是具体的未知数的值,不是一个范围
    不等式的解集
    是一个集合,是一个范围.其含义:
    ①解集中的每一个数值都能使不等式成立;
    ②能够使不等式成立的所有数值都在解集中
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