安徽省皖中名校2024届高三上学期第四次联考数学试卷(含答案)

这是一份安徽省皖中名校2024届高三上学期第四次联考数学试卷(含答案)，共16页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．已知集合,则( )
A.B.C.D.
2．若复数z满足，则( )
A.B.5C.D.20
3．若角的终边上有一点,且,则( )
A.4B.C.-1D.
4．已知l,m是两条不同的直线,,是两个不同的平面,则下列命题中正确的是( )
A.若,,,则
B.若,,则
C.若,,,则
D.若,且l与所成的角和m与所成的角相等,则
5．设,则“”是“”的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
6．粮食是关系国计民生的重要战略物资如图为储备水稻的粮仓,中间部分可近似看作是圆柱,圆柱的底面直径为10m,上,下两部分可以近似看作是完全相同的圆锥,圆柱的高是圆锥高的4倍,且这两个圆锥的顶点相距12m,每立方米的空间大约可装0.75吨的水稻,则该粮仓最多可装水稻( )
A.吨B.吨C.吨D.吨
7．镇国寺塔亦称西塔,是一座方形七层楼阁式砖塔,顶端塔刹为一青铜铸葫芦,葫芦表面刻有“风调雨顺､国泰民安”八个字,是全国重点文物保护单位､国家3A级旅游景区,小胡同学想知道镇国寺塔的高度MN,他在塔的正北方向找到一座建筑物AB,高为7.5,在地面上点C处（B,C,N在同一水平面上且三点共线）测得建筑物顶部A,镇国寺塔顶部M的仰角分别为15°和60°,在A处测得镇国寺塔顶部M的仰角为30°,则镇国寺塔的高度约为（参考数据：）( )
A.B.C.D.
8．已知函数有两条与直线平行的切线,且切点坐标分别为,,则的取值范围是( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．已知函数,则下列说法正确的是( )
A.函数的最小正周期为
B.函数的图象的一条对称轴方程为
C.函数的图象可由的图象向左平移个单位长度得到
D.函数在区间上单调递增
10．若实数x,y满足,则( )
A.B.C.D.
11．正方体的棱长为2,M是正方形ABCD的中心,P为线段上一动点,则( )
A.
B.直线与直线AD所成角的余弦值为
C.不存在点P使得平面
D.三棱锥的体积为定值
12．已知为定义在R上的偶函数且不是常函数,,,若是奇函数,则( )
A.的图象关于对称B.
C.是奇函数D.与关于原点对称
三、填空题
13．已知向量,满足,,与的夹角为,则___.
14．大西洋鲑鱼每年都要逆流而上游回产地产卵,研究鱼的科学家发现大西洋鲑鱼的游速v（单位:）可以表示为,其中M表示鱼的耗氧量的单位数.当一条大西洋鲑鱼的耗氧量的单位数是其静止时耗氧量的单位数的倍时,它的游速是______.
15．已知等差数列单调递增且满足,则的取值范围是__________.
16．已知,设的解集为,若,则实数a的取值范围为______.
四、解答题
17．已知,.
（1）求的值;
（2）求的值.
18．设且,函数,,且为奇函数.
（1）求a;
（2）求的最小值.
19．已知函数,其中.
（1）当时,求的最小值;
（2）若对任意的恒成立,求实数a的取值范围.
20．已知各项均为正数的数列的前n项和为,且,（且）.
（1）求的通项公式;
（2）若,求数列的前n项和.
21．如图,在平面四边形ABCD中,,,．
（1）若,求CD的长;
（2）若,求AD的长．
22．如图,在四棱锥中,底面ABCD为正方形,侧面PAD是正三角形,侧面底面ABCD,M是PD的中点.
（1）求证:平面PCD;
（2）求平面BPD与平面夹角的余弦值.
参考答案
1．答案：C
解析：由可得,即,
所以.
故选:C.
2．答案：A
解析：因为，所以，所以.
故选：A.
3．答案：C
解析：由已知,得,解得.
因为,所以,则.
故选：C.
4．答案：C
解析：若,,,则l与m有可能平行,故A错误;
若,,则m可能在内,故B错误;
若,,则,又,则,故C正确;
若,且与所成的角和m与所成的角相等,则l与m有可能相交,故D错误.
故选:C.
5．答案：B
解析：①当时,满足“”,但不满足“”,所以“”不能推出“”,故充分性不成立;
②由,解得,因“”可以推出“”,故必要性成立.
综上,可知“”是“”的必要不充分条件.
故选:B
6．答案：A
解析：由题这两个圆锥的顶点相距12m,圆柱的高是圆锥高的4倍,
设圆锥高为h,则,
所以圆柱体积,
两个圆锥体积,
所以该组合体体积,
所以该粮仓最多可装水稻吨.
故选:A
7．答案：C
解析：在中,则,
所以,而,,
所以,又,
则.
故选：C.
8．答案：D
解析：根据题意可知的定义域为,所以,
易得,
由导数的几何意义可得切点为时,切线斜率为,
同理可得,Q点处切线斜率为;
又因为两条切线与直线平行,可得,
即
所以,是关于方程的两根,
所以,即,又,
可得;
所以,由可得
即,所以的取值范围是.
故选：D.
9．答案：ABC
解析：,函数的最小正周期为,故A正确;
由,得,当时,,故B正确;
由的图象向左平移个单位长度,得,故C正确.
因为,,函数在上不单调,故D错误.
故选:ABC.
10．答案：BD
解析：当,时,,故A错误;
因为,所以,所以,故B正确;
当时,因为,所以与都是负数,
所以,故C错误;
因为,
当时,由得,两边同乘,得,即;
当时,由得,两边同乘,得,即,
所以,故D正确.
故选:BD.
11．答案：ABD
解析：对于选项A:在中,是AC的中点,故,正确;
对于选项B:设N是AB的中点,连接MN,则,
所以是异面直线与直线AD所成角（或其补角）,
在中,,,,
所以,正确;
对于选项C:根据正方体的性质可知,,
由于平面,平面,所以平面,
同理可证得平面,
由于,BD,平面,所以平面平面,
当时,平面,所以平面,
即存在点P使得平面,错误;
对于选项D:,正确.
故选:ABD.
12．答案：ABC
解析：对于选项A,因为是奇函数,所以,
即,整理得2,
所以的图象关于对称,故A正确;
对于选项B,因为为偶函数,所以,
所以,,所以,故B正确;
对于选项C,,故C正确;
对于选项D,因为,所以与关于y轴对称,不关于原点对称,故D错误.
故选:ABC.
13．答案：2
解析：由,,与的夹角为,得,
所以.
故答案为:2
14．答案：或
解析：设大西洋鲑鱼静止时的耗氧量为,则,可得,
将代入可得,.
故答案为:.
15．答案：
解析：设等差数列的公差为d,因为单调递增,所以,
由,
所以,
则,
所以的取值范围是.
故答案为:
16．答案：
解析：,
设,则,
所以单调递减,又时,,,
所以存在,使得,
故在上单调递增,在上单调递减,且,
又当和时,,所以存在,使得,因,所以,所以,
因为,所以,
设,
易知,又,
所以单调递增,所以,所以,即.
故答案为:.
17．答案：（1）
（2）
解析：（1）因为,所以,
所以,即.
因为,则,所以,,
因为,所以.
（2）由,解得,,
所以;
所以.
18．答案：（1）;
（2）.
解析：（1）因为,且为奇函数
所以,即,
所以,解得,又,
故.
（2）由（1）知,,
所以,
令,则,
所以,令,得,
当时,,单调递减;当时,,单调递增.
所以当,取得最小值,
即时,的最小值为.
19．答案：（1）
（2）
解析：（1）当时,,则,
由得;由得.
当时,,此时函数单调递增;当时,,此时函数单调递减,
所以.
（2）设,则,
,令,则,
令,其中,则,
当时,,此时函数单调递增;当时,,此时函数单调递减,
所以.
①当时,,则,且不恒为0,
所以函数在区间上单调递减,
当时,,单调递增;
当时,,单调递减.
所以,即对任意的恒成立;
②当时,,则,
所以函数在区间上单调递减,因为,当时,,
此时存在,使得,且当,,单调递减,
所以,不合题意;
③当时,,因为,,
由于函数在区间上单调递减,故存在,使得当时,,
此时,,则函数在区间上单调递增,
故当时,,单调递增,
所以,不满足题意.
综上所述,若对任意的恒成立,则a的取值范围为.
20．答案：（1）
（2）.
解析：（1）当时,,
即,解得.
因为（）,
所以（）,
又（,）,,
所以（）,
又,
所以数列是以1为首项,1为公差的等差数列,
所以,所以.
当时,,
当时,,满足上式,
所以数列的通项公式为.
（2）由（1）知,
所以,
所以,
所以,
所以.
21．答案：（1）5
（2）
解析：（1）在中,
整理得,
所以,故,
又,
在中,又,
所以,故.
（2）由,
由,
而,故,故,
所以,
所以,即,
则
,
在中,则.
22．答案：（1）证明见解析
（2）
解析：（1）证明:在正方形ABCD中,,
又侧面底面ABCD,侧面底面,平面ABCD,
所以平面PAD,
又平面PAD,所以,
因为是正三角形,M是PD的中点,所以,
又,CD,平面PCD,所以平面PCD.
（2）取AD中点为O,BC中点为N,连接OP,ON,建立如图所示的空间直角坐标系,不妨设,
则,,,,,
所以,.
设平面PBD的法向量为,则
由得
取,则,
由（1）知平面PCD的一个法向量为,
设平面BPD与平面PCD的夹角为,
则.
所以平面BPD与平面PCD夹角的余弦值为.